考研高數(shù)內(nèi)部講義

高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向：1.利用等價(jià)無窮小；2.利用洛必達(dá)法則，對于蔣型和爰■型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于°,、8"、1'型的題目則是先轉(zhuǎn)化為券型或三型，再使用洛比達(dá)法則；3.利用重要極限，包括1皿就=1、1mg)"、1也^十“”；4.夾逼定理。高數(shù)第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》、第三章《不定積分》、第四章《定積分》第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》與前面的第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》、后面的第三章《不定積分》、第四章《定積分》都是基礎(chǔ)性知識(shí)，一方面有單獨(dú)出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運(yùn)用，故非常有必要打牢基礎(chǔ)。對于第三章《不定積分》，陳文燈復(fù)習(xí)指南分類討論的非常全面，范圍遠(yuǎn)大于考試可能涉及的范圍。在此只提醒一點(diǎn)：不定積分= 中的積分常數(shù)C容易被忽略，而考試時(shí)如果在答案中少寫這個(gè)C會(huì)失一分。所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以加深印象：定積分J〃x)dx的結(jié)果可以寫為f(x)+1,1指的就是那一分，把它折彎后就是J/*)公=F*)+C中的那個(gè)C,漏掉了C也就漏掉了這1分。第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對第三章中解不定積分方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵除了運(yùn)用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異一一出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：對于型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有L"'"=0：若f(x)為偶函數(shù)則有對于『八、"型積分，f(x)一般含三角函數(shù)，此時(shí)用'《J的代換是常用方法。所以解這一部分題的思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中入手,對于對稱區(qū)間上的積分要同時(shí)考慮到利用變量替換x=-u和利用性質(zhì)L奇函數(shù)=°、工偶函數(shù)=2(偶函數(shù)。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路時(shí)于證明定積分等式的題H也同樣有效。高教第五章《中值定理的證明技巧》由本章《中值定理的證明技巧》討論一下證明題的應(yīng)對方法。用以下這組邏輯公式來作模型:假如有邏輯推導(dǎo)公式AnE、(aHb)=>C,(CnDnE)=F,由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易程度不等的證明題，其中一個(gè)可以是這樣的：條件給出A、B、D,求證F成立。為了證明F成立可以從條件、結(jié)論兩個(gè)方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。正方向入手時(shí)可能遇到的問題有以下幾類：1.已知的邏輯推導(dǎo)公式太多，難以從中找出有用的一個(gè)。如對于證明F成立必備邏輯公式中的A=E就可能有A=H、A=*(ICK)、(AAB)=>M等等公式同時(shí)存在，有的邏輯公式看起來最有可能用到，如(ACB)=>M,因?yàn)槠渲猩婕傲祟}目所給的3個(gè)條件中的2個(gè)，但這恰恰走不通；2.對于解題必須的關(guān)鍵邏輯推導(dǎo)關(guān)系不清楚，在該用到的時(shí)候想不起來或者弄錯(cuò)。如對于模型中的（ACB）=>C,如果不知道或弄錯(cuò)則一定無法得出結(jié)論。從反方向入手證明時(shí)也會(huì)遇到同樣的問題。通過對這個(gè)模型的分析可以看出，對可用知識(shí)點(diǎn)掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。針對以上分析，解證明題時(shí)其一要靈活，在一條思路走不通時(shí)必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)該再從頭開始反復(fù)地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡可能多地獲取信息。當(dāng)我們解證明題遇到困難時(shí)，最常見的情況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結(jié)論簡直是風(fēng)馬牛不相及的東西，長時(shí)間無法入手：好不容易找到一個(gè)大致方向，在做若干步以后卻再也無法與結(jié)論拉近距離了。從出題人的角度來看，這是因?yàn)闆]能夠有效地從條件中獲取信息?！氨M可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時(shí)出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時(shí)也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時(shí)一開始就想到了公式（CcdcE）nF再倒推想到（ACB）=>C、A=E就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結(jié)論可用定理A關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，常常是只有連續(xù)性已知存在?個(gè)￡滿足某個(gè)式子介值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)￡使得九“=?）零值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)￡使得/B條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個(gè)￡滿 足/"%=0費(fèi)爾馬定理（結(jié)論部分為：=°）洛爾定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)￡使得幾=°）C條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個(gè)￡滿 足拉格朗日中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)￡使得f，=/⑹J（￡）-b-a）柯西中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)￡使得九）二/⑹⑷g（c） ）另外還常利用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為可用費(fèi)爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時(shí)A也只多了一條“可導(dǎo)性”而已；所以在面對這一部分的題目時(shí)，如果把與證結(jié)論與可能用到的幾個(gè)定理的的結(jié)論作一比較,會(huì)比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。故對于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點(diǎn)應(yīng)該放在熟記定理的結(jié)論部分上；如果能夠做到想到介值定理時(shí)就能同時(shí)想起結(jié)論“存在一個(gè)￡使得『">=八‘、看到題目欲證結(jié)論中出現(xiàn)類似“存在一個(gè)￡使得九“="”的形式時(shí)也能立J3_刻想到介值定理；想到洛爾定理時(shí)就能想到式子兒＞二°;而見到式子g% 也如同見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處理本部分的題目時(shí)就會(huì)輕松的多，時(shí)常還會(huì)收到“豁然開朗”的效果。所以說，“牢記定理的結(jié)論部分”對作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現(xiàn)的最為明顯。綜上所述，針對包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合；同時(shí)保持清醒理智，降低出錯(cuò)的可能”。希望這些想法對你能有一點(diǎn)啟發(fā)。不過僅僅弄明白這些離實(shí)戰(zhàn)要求還差得很遠(yuǎn)，因?yàn)樵趯?shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時(shí)想不到；很多結(jié)論、性質(zhì)和定理自己感覺確實(shí)是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時(shí)那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運(yùn)用；這也就是自身感覺與實(shí)戰(zhàn)要求之間的差別。這就像在記英語單詞時(shí)，看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的掌握程度是不同的一樣，對于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”和“掌握”這兩個(gè)詞的認(rèn)識(shí)其實(shí)是在做題的過程中才慢慢清晰的。我們需要做的就是靠足量、高效的練習(xí)來透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運(yùn)用各種變形轉(zhuǎn)換技巧，從而達(dá)到大綱的相應(yīng)要求，提高實(shí)戰(zhàn)條件下解題的勝算。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。高數(shù)第六章《常微分方程》本章常微分方程部分的結(jié)構(gòu)簡單，陳文燈復(fù)習(xí)指南對一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對應(yīng)的表格。歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點(diǎn)處的切線、法線、積分方程等問題來引出：從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。對于本章的題目，第一步應(yīng)該是辨明類型，實(shí)踐證明這是必須放在第一位的；分清類型以后按照對應(yīng)的求解方法按部就班求解即可。這是因?yàn)槠鋵?shí)并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識(shí)點(diǎn)緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。這樣的知識(shí)點(diǎn)特點(diǎn)就決定了我們可以采取相對機(jī)械的“辨明類型——〉套用對應(yīng)方法求解”的套路，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。先討論一下一階方程部分。這一部分結(jié)構(gòu)清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠?qū)σ谆煜念}目做出準(zhǔn)確判斷。各種類型都有自己對應(yīng)的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規(guī)律可循——這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為f（x）dx=f（y）dy這樣的形式，再積分得到答案。對于可分離變量型方程?（X）及g⑺人⑴&0心+人⑴心⑺辦，=o,就是變形為小*=一行*,再積分求解；對于齊次方程y'=/G）則y duit—二 〃+工—做變量替換 ,,則y化為公,原方程就可化為關(guān)于"祗的可分離變量方程，變形積分即可解；對于一階線性方程V+口（幻，=4（幻第一步先求V+p（x?=°的通解，然后將變形得到的?積分，第二步將通解中的c變?yōu)閏（x）代入原方程y'+p（x）y=4"）解出c（x）后代入即可得解：對于貝努利方程y'+p*）y=q（x）y",先做變量代換z=y2代入可得到關(guān)于z、x的一階線性方程，求解以后將z還原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特殊，因?yàn)槠溆袟l件等=黨，而且解題時(shí)直接套用通解公式r河",如)公+fN"y)dy=C所以，對于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結(jié)果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對于ys'=f(x)型方程，就是先把力”當(dāng)作未知函數(shù)z,則=N’原方程就化為dz=f(x)dx的一階方程形式，積分即得；再對y”"依次做上述處理即可求解；y*=/(x，y')叫不顯含y的二階方程，解法是通過變量替換y'=p、y"=p'⑴為x的函數(shù))將原方程化為一階方程；>"=,(乂>')叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令，'=尸(但ft_dpdy_dp ，此中的P為y的函數(shù))，則y=^z=P彳=PP,也可化為一階形式。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換？=""，"求解貝努利方程就用變量替換z=廣"”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換y'=p、y'=P'"、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換y'=〃、y=PP'大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對比記憶：若必⑴、為(％)是齊次方程y'+p(%)y'+q(%)y=°的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則該齊次方程的通解為夕(x)=q%(x)+c2y2(x)若齊次方程組Ax=O的基礎(chǔ)解系有(n-r)個(gè)線性無關(guān)的解向量，則齊次方程組的通解為%=匕%+七為+???+%”_?"一非齊次方程v+p(x)V+鼠*》=/a)的通解為V=，必*)+c2y2(x)+%*(x),其中工(X)是非齊次方程的一個(gè)特解，4月(*)+,2乃(*)是對應(yīng)齊次方程y'+p(x)y'+q(%)y=°的通解非齊次方程組Ax=b的一個(gè)通解等于Ax=b的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組齊次方程Ax=O的通解之和

若非齊次方程有兩個(gè)特解%（%）%（%）,則對應(yīng)齊若4、0是方程組Ax=b的兩個(gè)特解，則次方程的一個(gè)解為'（X）-X*）-內(nèi)（無） （S-作）是其對應(yīng)齊次方程組Ax=o的解由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)該成為高數(shù)部分中比較難辦的章節(jié)，因?yàn)檫@一章如果有難點(diǎn)的話也僅在于“如何準(zhǔn)確無誤地記憶各種方程類型及對應(yīng)解法”，也可以說本章難就難在記憶量大上。高數(shù)第七章《一元微積分的應(yīng)用》上限積分由 單獨(dú)分離到方程的一端形成上限積分由 單獨(dú)分離到方程的一端形成“白fWt”的形式，在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對應(yīng)解法求解。對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時(shí)則須注意以下兩點(diǎn)：A.極值的定義是：對于演）的鄰域內(nèi)異于的任一點(diǎn)都有fO）＞A%）或/⑶v”九。），注意是＞或＜而不是，或W；B,極值點(diǎn)包括圖1、圖2兩種可能，所以只有在在處可導(dǎo)且在X0處取極值時(shí)才有/（*）二°。以上兩點(diǎn)都是實(shí)際做題中經(jīng)常忘掉的地方，故有必耍加深一下印象。討論方程根的情況。這一部分常用定理有零值定理（結(jié)論部分為）、洛爾定理f-o（結(jié)論部分為）:常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時(shí)，畫輔助圖會(huì)起到很好的作用，尤其是對于討論方程根個(gè)數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較容易判斷。理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件：A.若函數(shù)/（*）在區(qū)間I上的/（X）＜°,則/（X）在I上是凸的；若/⑸在I上的/（X）＞°,則/（*）在I上是凹的;B.若于（，）在點(diǎn)/處有/⑴一°且/（o），則當(dāng)'（。）

時(shí)"為極大值，當(dāng)，°時(shí)"“°）為極小值。其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，于（*）是/（，）的變化率,/（九）是/（X）的變化率。f（x）＞°可以說明函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是/⑶＜°可以說明函數(shù)f（X）的變化率在區(qū)間I3此時(shí)/（無）為正，且隨X變大而變?。ù笮￡P(guān)系可參a.b.此時(shí)/（X）為負(fù),隨無變大而變小（大小關(guān)系可參考圖3）；同樣，于（龍）＞°也只有兩種對應(yīng)圖像:此時(shí)/（“）為正，隨著％變大而變大;d. 此時(shí)/（%）為負(fù)，隨無變大而變大。所以，當(dāng)/（無）＜°時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)圖像，是凸的;/（%）＞°時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)圖像，是凹的。所以，當(dāng)/（無）＜°時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)圖像，是凸的;/（%）＞°時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)圖像，是凹的。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“1（X）且/（無0）W°,,,這從圖像上也很容易理解：滿足f（X）＜°的圖像必是凸的，即、“/（;）=。目/"（*。）0°、“/（;）=。目/"（*。）0°時(shí)不就一定是tI-i-r的情況嗎。對于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對微元法熟練掌握。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍,對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習(xí)才能真正體會(huì)其思想。在此結(jié)合函數(shù)圖像與對應(yīng)的微元法核心式來歸納微元法的三種常見類型：薄桶型.y=f(x)本例求的是由平面圖型a《薄桶型.y=f(x)本例求的是由平面圖型a《xWb,O《yWf（x）繞y旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），根據(jù)微元法思想可得薄桶體積du=2R（x）dx，其中/（*）是薄桶的高2時(shí)（工）是薄桶展開變成薄板后的底面枳，dx就是薄板的厚度；二者相乘即得體枳

Tdv=17DCf(X}dX加八-rmV二o在這個(gè)例子中，體現(xiàn)微元本例求的是由拋物線丁二'及,=4/對 J\' 積分可得法特色的地方在于：I.雖然薄桶的高是個(gè)變化量，但卻用/（“）來表示；2.用dx表示薄桶的厚度：o在這個(gè)例子中，體現(xiàn)微元本例求的是由拋物線丁二'及,=4/軸旋轉(zhuǎn)形成的高H的旋轉(zhuǎn)體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個(gè)薄餅型形體，可

得微元法核心式八二乃（＞一彳）以其中乃（》一不）是薄餅的底面積，薄餅與

_2 2 2 2—.Jili丁=%旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是71r 丫=x、：.k=m._A2 型同理薄餅與y-旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是4,二者相減即得薄餅底面積。核心式中的是薄餅的高。這個(gè)例子中的薄餅其實(shí)并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺(tái)，但將其視為上下等粗來求解，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了微元法的特色。薄球型.本例求球體質(zhì)量，半徑為r薄球型.本例求球體質(zhì)量，半徑為r，密度〃=其中r指球內(nèi)任意一點(diǎn)到球心的距離。方法是取球體中的一個(gè)薄球形形體，其內(nèi)徑為r厚度為對于這個(gè)薄球的體積有= 持4加~是薄球表面積，dr是厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個(gè)薄面以后再用底面積乘高得到的。2由于很小，故可認(rèn)為薄球內(nèi)質(zhì)量均勻，為N=r,則薄球質(zhì)量dm=4勿"一，積分可得結(jié)果。本例中“用內(nèi)表面的表面積4萬~乘以薄球厚度1廠得到核心式”、“將"丫內(nèi)的薄球密度視為均勻”體現(xiàn)了微元法的特色。

通過以上三個(gè)例子談了一下了我對微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。這種方法的靈活運(yùn)用必須通過自己動(dòng)手做題體會(huì)才能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槠渲行┻壿嫳砻嫔喜⒉环铣Ｒ?guī)思維，但也許這正是研究生入學(xué)考試出題老師喜歡微元法的原因o關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公式表格:求平面圖形面枳求旋轉(zhuǎn)體體積（可用微元法也可用公式）y=f(x)VX=7t繞y軸旋左圖中圖形繞入軸旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)體得體積Vy=2/r\xf(x)dx通過以上三個(gè)例子談了一下了我對微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。這種方法的靈活運(yùn)用必須通過自己動(dòng)手做題體會(huì)才能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槠渲行┻壿嫳砻嫔喜⒉环铣Ｒ?guī)思維，但也許這正是研究生入學(xué)考試出題老師喜歡微元法的原因o關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公式表格:求平面圖形面枳求旋轉(zhuǎn)體體積（可用微元法也可用公式）y=f(x)VX=7t繞y軸旋左圖中圖形繞入軸旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)體得體積Vy=2/r\xf(x)dx左圖中圖形繞％軸旋轉(zhuǎn)體的體積Vx=7t[[疔⑶-/九切公，繞y軸旋轉(zhuǎn)體得體積Vy=2兀/x[f2(%)—力(x)]dx

已知平行截面面積求立體體積y,!：1 1!11 (bx， V=js[x)dx求平面曲線的弧長y，/=j+{y')dx高數(shù)第八章《無窮級數(shù)》本章在考研真題中最頻繁出現(xiàn)的題型包括“判斷級數(shù)斂散性”、“級數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)的累級數(shù)展開:其中判斂是大、小題都?？嫉模诖箢}中一般作為第一問出現(xiàn)，求和與展開則都是大題。這一章與前面的常微分方程、后面的曲線曲面積分等章都是比較獨(dú)立的章節(jié)，在考試時(shí)會(huì)出大題，而且章內(nèi)包含的內(nèi)容多、比較復(fù)雜。陳文燈復(fù)習(xí)指南上對相關(guān)章節(jié)的指導(dǎo)并不盡如人意，因?yàn)樘最}型的方法在這些復(fù)雜章節(jié)中不能展現(xiàn)其長處，故整體來說結(jié)構(gòu)比較散亂。對于級數(shù)判斂部分，主要用的方法是比較法、級數(shù)斂散性的定義和四則運(yùn)算性質(zhì)。其中比較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子：1.已知級數(shù)收斂，判斷級數(shù)z收斂，判斷級數(shù)z0I戶'的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式再應(yīng)用比較法的一般形式即可判明。其實(shí)這種“知一判一”式的題目是有局限性的——若已知級數(shù)收斂，則所要求判斂的級數(shù)只能也是收斂的，因?yàn)橹挥小靶∮谑諗考墧?shù)的級數(shù)必收斂”這一條規(guī)則可用，若待判斂級數(shù)大于已知收斂級數(shù)，則結(jié)果無法判定。所以考研真題中一般只會(huì)出成選擇題“已知某級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中收斂的是（）”。2.上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級數(shù)某些性質(zhì)要求判斷斂散性，方法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級數(shù)建立起聯(lián)系，再應(yīng)用比較法一般形式判斷。舉例aliman= Y（-L-）n的斂如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列"滿足Xf° a>u,判斷級數(shù)冊+1的斂（」一）"<（」一）"散性。關(guān)鍵步驟是：由盤+1 0+1得到%+1 0+1 ，再利用比較判斂法的一般形式即得。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會(huì)超出“知一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。哥級數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)的基級數(shù)展開問題是重點(diǎn)內(nèi)容，也是每年都有的必考題。通過做歷年真題，我發(fā)現(xiàn)像一元函數(shù)微積分應(yīng)用中的微元法、無窮級數(shù)中的求和與展開這樣倍受出題人青睞的知識(shí)點(diǎn)都有一個(gè)相似之處，就是這些知識(shí)點(diǎn)從表面上看比較復(fù)雜、難于把握，實(shí)際上也必須通過認(rèn)真思考和足量練習(xí)才能達(dá)到應(yīng)有的深度，但在領(lǐng)會(huì)到解決方法的精髓思想以后這些知識(shí)點(diǎn)又會(huì)“突然”變的十分簡單。也就是說，掌握這樣的知識(shí)點(diǎn)門檻較高，但只要跨過緩慢的起步階段，后面的路就是一馬平川了；同時(shí)，具有這種特點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)也可以提供給出題人更大的出題靈活性，而通過“找到更多便于靈活出題的知識(shí)點(diǎn)來跳出題型套路”正是近幾年考研真題出題專家致力達(dá)到的目標(biāo)，這一趨勢不僅體現(xiàn)在了近年來的考卷上，也必然是今后的出題方向。所以我們在復(fù)習(xí)過程中對于具有“淺看復(fù)雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識(shí)點(diǎn)要倍加注意，對于無窮級數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識(shí)點(diǎn),更是要緊抓不放。因?yàn)檫@種知識(shí)點(diǎn)對“復(fù)習(xí)時(shí)間投入量”的要求接近于一個(gè)定值，認(rèn)認(rèn)真真搞明白以后，只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點(diǎn)“一次投入，終生受益”的意思，花時(shí)間來掌握很劃算。另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達(dá)到熟練做題程度以后會(huì)發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。這種規(guī)律是建立在對6個(gè)關(guān)鍵的函數(shù)展開式“熟之又熟”的掌握上的。對此6個(gè)展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣，對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個(gè)就能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區(qū)別相似公式，將出錯(cuò)概率降到最小。公式如下：00=1+〃+〃-+???+〃〃+??,=S'U〃\-u //n=0(-1,1)oo=1_〃3+???+(一])〃〃〃+???=(―1)，?U，]71=0(-1,1)ln(l+w)=u-\u~ +(-1)〃喏+...=僚72=0（-00,+oo）ooe11=1+〃+ …=2號(hào)71=0（—oo,+oo）oosin”=u-^u~+…+ +…=￡（T）"tS^〃=0（-oo,+oo）00cosh=1-4tW+土〃4 +（_1）"由〃"+…=Z（T）〃卻〃=0（-oo,+oo）這六個(gè)公式可以分為兩個(gè)部分，前3個(gè)相互關(guān)聯(lián)，后3個(gè)相互關(guān)聯(lián)。1式是第一部分式子的基礎(chǔ).]+〃+〃+...+〃〃+..?不就是一個(gè)無窮等比數(shù)列嗎，在?〃k1時(shí)的求S=和公式 J"正是函數(shù)展開式的左端。所以這個(gè)式子最好記，以此為出發(fā)點(diǎn)看式子2：100式左端是1-",2式左端是1+"；I式右端是"=°,2式右端也僅僅是變成了交錯(cuò)級數(shù)00Z（T）""=° ，故可以通過這種比較來記憶式子2；對于3式來說，公式左端的ln（l+"）與2式左端的由存在著關(guān)系“Un。+"）]一黃”，故由由的展開式00之（T）"需可以推導(dǎo)出EQ+“）的展開式為"=。 ?這三個(gè)式子中的"e（一口），相互之間存在著上述的清晰聯(lián)系。后3個(gè)式子的〃G（-8,+00）,相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式形式上的相似00

e"=工M性。這一部分的基本式是公式4： "=°與之相比，sin”的展開式是00 00乙I （2/1+1）! 乙1'）（2n）! u"=° ,c°S”的展開式是“=o 。一個(gè)可看成是將e展開式U中的奇數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級數(shù)得到的，一個(gè)可看成是將e展開式中的偶數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級數(shù)而得到。像這樣從“形似”上掌握不費(fèi)腦子，但要冒記混淆的危險(xiǎn)，但此處恰好都是比較順的搭配：sin”、cosm習(xí)慣上說“正余弦”，先正后余；而sin〃的展開式對應(yīng)的是奇數(shù)項(xiàng),c°s〃的展開式對應(yīng)的是偶數(shù)項(xiàng)，習(xí)慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。記好6個(gè)關(guān)鍵式是解決哥級數(shù)求和與函數(shù)的界級數(shù)展開問題的基礎(chǔ)，不僅在記憶上具有規(guī)律性，在解題時(shí)也大有規(guī)律可循。在已知鼎級數(shù)求和函數(shù)時(shí)，最佳途徑是根據(jù)各個(gè)公式右端的形式來選定公式：第一部分（前13式）的展開式都不帶階乘，其中只有1T的展開式不是交錯(cuò)級數(shù)；第二部分（后3式）的U展開式都帶階乘，其中只有e的展開式不是交錯(cuò)級數(shù)。由題目給出的基級數(shù)的形式就可以看個(gè)八九不離十了，比如給出的某級數(shù)帶階乘而不是交錯(cuò)級數(shù)，則應(yīng)該用公式4,因?yàn)檗@級數(shù)的變形變不掉階乘和'）；若題目給出的基級數(shù)不帶階乘而且是交錯(cuò)級數(shù)，則必從2、3兩式中選擇公式，其它情況也類似。對于函數(shù)的基級數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的累級數(shù)展開）、四則運(yùn)算（用于展開、求和）、逐項(xiàng)微積分（用于展開、求和）。對于數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的題目，主要方法是構(gòu)造基級數(shù)法，即利用變換00 00 00〃=° ?=0 求得累級數(shù)〃=° 的和函數(shù)”J以后代入極限式即可。其中的關(guān)鍵步驟是選擇適當(dāng)?shù)凝垺?，一般情況下如果〃、（2〃-1）這樣的項(xiàng)在分子中，則應(yīng)該先用逐項(xiàng)積分再用逐項(xiàng)求導(dǎo)，此時(shí)的X應(yīng)為X的形式，如X、（2n-l）-l !———1—— n（...）% ,以方便先積分；若題目有（2"-1）、（3"+1）這樣的項(xiàng)，則無應(yīng)為工的形

(2/1-1) (3n+l)式，如X、X,便于先求導(dǎo)。這些經(jīng)驗(yàn)在做一定量的題目后就會(huì)得到。本章最后的知識(shí)點(diǎn)是付立葉級數(shù)，很少考到，屬于比較偏的知識(shí)點(diǎn)，但其思想并不愛雜，花時(shí)間掌握還是比較劃算的。函數(shù)的付立葉級數(shù)的物理意義就是諧波分析，即把一個(gè)復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)看作是若干個(gè)正余弦運(yùn)動(dòng)的疊加。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時(shí)有以下兩種情況：題目給出的函數(shù)至少有一個(gè)完整的周期，如圖題目給出的函數(shù)至少有一個(gè)完整的周期，如圖式即可，不存在奇開拓和偶開拓的問題。對于形狀類似上圖的函數(shù)，展開以后級數(shù)中既有正弦級數(shù)也有余弦級數(shù)；若為奇函數(shù)如后只有余弦函數(shù);數(shù)，此時(shí)得到的級數(shù)中只有正弦級數(shù)，圖像為:若要求進(jìn)行若為奇函數(shù)如后只有余弦函數(shù);數(shù)，此時(shí)得到的級數(shù)中只有正弦級數(shù)，圖像為:若要求進(jìn)行偶開拓就是要展開成偶函數(shù)，此時(shí)得到的展開式中只有余弦級數(shù)，圖像為高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復(fù)習(xí)本章時(shí)需要重點(diǎn)考慮的問題。抓住本章前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系來復(fù)習(xí)是一種有效的策略，因?yàn)檫@樣做既可以避免重復(fù)記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的準(zhǔn)確性。同時(shí)，知識(shí)點(diǎn)前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點(diǎn)之一。以下列出本章中前后聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)：矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。這個(gè)聯(lián)系很明顯，舉例來說，平面與直線平行時(shí)，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量x-x（）_y-y。_z—z（）關(guān)系性質(zhì)知此時(shí)二矢量的數(shù)積為o,若直線方程為‘一加一〃，平面方程為Ax+'y+ +O=0,piij^Al+Bm+Cn=0q同理可對線面、線線、面面關(guān)系進(jìn)行判定。數(shù)枳定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯(lián)系。數(shù)積定義式—>—>->f->-> COS0=?°卜為。b=1。IIbIcos。，故有㈤⑸,這個(gè)式子是所有線線、線面、面面夾7. _y-y}_z-z]o1,/Z-Z2

〃2角公式的源公式。舉例來說，設(shè)直線I1Z-Z2

〃2Q_ "2+加1嗎+〃1〃2則二直線夾角一面+*〃”崔+屁+卜T->其中a、〃分別是兩條直線的方向矢量。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點(diǎn)就亶線是線面夾角公式中不是cos6=??.而是sine=?一，因?yàn)槿缬覉D所示亶線由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角°是兩矢量夾角°’的余角，即夕+。'=9°°,故求夾角公式的左端是sin°。對于線線夾角和面面夾角則無此問題。平面方程各形式間的相互聯(lián)系。平面方程的一般式、點(diǎn)法式、三點(diǎn)式、截距式中，點(diǎn)法式和截距式都可以化為一般式。點(diǎn)法式A（xf）+B（yf）+C（-Zo）=O（點(diǎn)（%,%,%）為平面上已知點(diǎn),｛ASC｝為法矢量）可變形為幾十By+Cz-⑷。+為。+。）=0,符合般式4*+6，+。2+。=°的形式；截距式十+了+%=1（Q，"c為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距）可變形為限~acy+血-abc=0,也符合一般式的形式。這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因?yàn)樵诳荚囍锌赡苄枰獙⑦@些式子相互轉(zhuǎn)化以方便答題（這種情況在歷年真題中曾經(jīng)出現(xiàn)過）。同樣,直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式和標(biāo)準(zhǔn)式之間可以相互轉(zhuǎn)化。x=x0+lt\y=y0+mt直線方程的參數(shù)形式〔'一[°十〃'（（'°'為"°）是平面上已知點(diǎn)，犯"｝為mZ-Q=t x-xQ_y-y0_z-z0方向矢量）可變形為〔n,即為標(biāo)準(zhǔn)式1機(jī)〃；標(biāo)準(zhǔn)式X-Xo二=Z-Zo x-Xo二y一%=z-z（）=,mn若變形為1mn 則也可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化在歷年真題中應(yīng)用過不止一次?？臻g曲面投影方程、柱面方程、柱面準(zhǔn)線方程之間的區(qū)別與聯(lián)系。關(guān)于這些方程的基礎(chǔ)性知識(shí)包括：'（x’y'z）二°表示的是一個(gè)空間曲面；由于空F^x,y,z）=O<F?（%,y,z）=0間曲線可視為由兩個(gè)空間曲面相交而得到的，故空間曲面方程為l2、，；柱2 2xy2,2_p2 ~~ ~~]面方程如圓柱面X+y=K、橢圓柱面b可視為是二元函數(shù)/(無,y)二°在三維坐標(biāo)系中的形式。[f(x,y)=OIz=0在這些基礎(chǔ)上分析，柱面方程的準(zhǔn)線方程如〔 可視為是由空間曲面——柱面與特殊的空間曲面——坐標(biāo)平面Z二°相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線2；而空間曲線的投影方程與柱面準(zhǔn)線方程其實(shí)是一回事，如上圖中曲線1的投影是由過曲線1的投影柱面與坐標(biāo)平面相交得到的，所以也產(chǎn)Cr,y,z)=O|(x,y,z)=0就是圖中的柱面準(zhǔn)線。在由空間曲線方程i2J 求投影方程時(shí)，需要先從方程組中消去z得到一個(gè)母線平行于z軸的柱面方程；；再與z二°聯(lián)立即可得投影方程J/(x,y,z)=。[z=0

高數(shù)第十章《多元函數(shù)微分學(xué)》愛習(xí)本章內(nèi)容時(shí)可以先將多元函數(shù)各知識(shí)點(diǎn)與一元函數(shù)對應(yīng)部分作對比，這樣做即可以將相似知識(shí)點(diǎn)區(qū)別開以避免混清，又可以通過與―元函數(shù)的對比來促進(jìn)對二元函數(shù)某些地方的理解。木章主要內(nèi)容可以整理成一個(gè)大表格：二元函數(shù)的定義（略）相似一元函數(shù)的定義（略）二元函數(shù)的連續(xù)性及極限：二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)以任何方向、任何路徑趨向尸區(qū)）‘兒）時(shí)均仃/（*，,）一^a如果沿不同路徑的limf（x,y） lim f（x,y）x—>x0 x—>x0y-y。 不相等，則可斷定y-y。不存在。不l"J一元函數(shù)的連續(xù)性及極限：一元函數(shù)的極限與路徑無關(guān)，由等價(jià)式lim/（x）-A=￡（%）=/+（%）=4即可判斷。二元函數(shù)”=在點(diǎn)尸（“。'打）處連續(xù)XfXo性判斷條件為：yf% 存在且等于/（■Wo）相似一元函數(shù)，=/（九）在點(diǎn)x0處連續(xù)性limf（x）x->x0判斷條件為 且等于二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)"=/（*’田的偏導(dǎo)數(shù)定義1加J=]1m以北空處正迎心一°Ax"to Ar分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用偏導(dǎo)數(shù)的定義III似一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一元函數(shù)）=/（*）的導(dǎo)數(shù)定義：Ay /（x0+Ax）-/（x0）lim—=lim -Ax Ax分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)的全微分：簡化定義為：對于函數(shù)％=/（x'y）,若其在點(diǎn)尸（與，先）處的增量Az可表示為相似一元函數(shù)的全微分：簡化定義為：若函數(shù)、=/（，）在點(diǎn)工處的增量Ay可表示為

Az=AAx+BAy+o(p)其中o(p)為Ay=A\x+d“ide1AxgJ ,其中"是a的身。的高階無窮小，則函數(shù)"及》)在戶(*0，＞0)處可微，全微分為階無窮小，則函數(shù)在該點(diǎn)可微，即dy=AAx般^.dy=f'(x)dx^,dz=^dx+fdy二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖連續(xù) 可導(dǎo)不二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖連續(xù) 一可導(dǎo)可R /同可鼠//多元函數(shù)的全導(dǎo)歙、 /設(shè)［= w)U=g(t)v=h(t)不同一元函數(shù)沒不能導(dǎo)數(shù)/為個(gè)概念，但是左邊多元函數(shù)的總導(dǎo)數(shù)｝卻可以從''一元復(fù)合函數(shù)”的角度理解。一元復(fù)合函數(shù)是指卬二及⑴且都可導(dǎo)，則z對力的全導(dǎo)數(shù)y=/(?)、u=g(x)時(shí)有dzdfdudfdvdfdwdy_dydu? — 1 1dtdudtdvdtdwdtdxdudxo與左邊的多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng)一起來。多元復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)z=/("'匕卬)、一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所示，與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相似，只需分清式子中dzdzU=j(x,y) v=h(x,y)、、dx