數(shù)軸與有理數(shù)

課程信息年級初一學(xué)科數(shù)學(xué)］版本北京實(shí)驗(yàn)版內(nèi)容標(biāo)題寒假專題-數(shù)軸與有理數(shù)編稿老師祁英【本講教育信息】教學(xué)內(nèi)容:寒假專題一一數(shù)軸與有理數(shù)（一）了解數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系；理解相反數(shù)、絕對值的幾何意義（二）建立數(shù)軸上的某些點(diǎn)與有理數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，樹立數(shù)形結(jié)合的思想意識（三）通過數(shù)軸上的某些點(diǎn)與有理數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，掌握一些特殊有理數(shù)的性質(zhì)，弄清相反數(shù)與絕對值的性質(zhì)與求法的幾何意義；（四）能夠利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，解決一些有關(guān)相反數(shù)、絕對值的復(fù)雜問題。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：（一）重點(diǎn)1、樹立數(shù)形結(jié)合的意識，能夠利用數(shù)軸描述有理數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算；2、能夠利用數(shù)軸進(jìn)行有理數(shù)大小的比較；3、能夠利用數(shù)軸解決有關(guān)相反數(shù)與絕對值的一些問題。（二）難點(diǎn)1、有理數(shù)運(yùn)算法則的理解；2、利用相反數(shù)與絕對值的幾何意義解題。課堂教學(xué)（一）知識要點(diǎn)1、利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)通過具有原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線建立數(shù)軸，從而使所有有理數(shù)在數(shù)軸上都能找到它們的對應(yīng)點(diǎn)，這樣把有理數(shù)的一些問題直觀形象化，達(dá)到快速、有效解決問題的目的。例如：有理數(shù)的分類，原點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)表示有理數(shù)為正有理數(shù)，左側(cè)的點(diǎn)表示的有理數(shù)為負(fù)有理數(shù)，通過數(shù)軸可直觀反映出正、負(fù)有理數(shù)所在的范圍。-3-2-1012345原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比0大，所以正數(shù)通常表示為a-0，類似的有負(fù)數(shù)表示為a.■非負(fù)數(shù)表示為a一0,非正數(shù)表示為a<0。再如，一些特殊的有理數(shù)可由數(shù)軸直接觀察到。最小的正整數(shù)為1,最大的負(fù)整數(shù)為-1，沒有最大或最小的有理數(shù)，最小的自然數(shù)為0等。如：大于-3且小于2的整數(shù)有：-2、-1、0、1。2、相反數(shù)與絕對值的幾何定義引入數(shù)軸后，使抽象的數(shù)變成了具體的點(diǎn)，為我們的研究和應(yīng)用帶來了極大的方便。在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁離開原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)叫做互為相反數(shù)（注：0的相反數(shù)為°），由此在數(shù)軸上可直接觀察到-3的相反數(shù)為3；a的相反數(shù)為-瓦相反數(shù)為本身的數(shù)只有°。-5-4-3-2-1012一個(gè)數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。數(shù)a的絕對值記作|a，觀察可知5=5,0=0。正數(shù)的絕對值等于其本身，負(fù)數(shù)的絕對值為它的相反數(shù)。aa■總結(jié)得到：a=*0a=0-aay0可知：任何一個(gè)數(shù)的絕對值總是非負(fù)數(shù)，即la_°。絕對值為本身的數(shù)為非負(fù)數(shù)；絕對值最小的數(shù)是0。從數(shù)軸上觀察可知，絕對值為一個(gè)正數(shù)的有兩個(gè)，如a|=2，則a=±2。注意：從數(shù)軸上正負(fù)兩個(gè)方向考慮。絕對值不小于5的整數(shù)有：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5；距離-3兩個(gè)單位長度的點(diǎn)有兩個(gè)：-1、-5。a二^有兩種可能，即a=b或a二-b（即a、b互為相反數(shù)）。3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小由于數(shù)軸的某些點(diǎn)與有理數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系，即所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之相對應(yīng)，而數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊表示的數(shù)比左邊的大，因此，可以直觀準(zhǔn)確地比較數(shù)的大小，女口02、-2-1、一-—±O233■■■■■■■■一M--MMM-2-1--012

2注意：進(jìn)行數(shù)的比較時(shí)，可考慮這些數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，再寫出其大小關(guān)系。觀察cb0a可知cb0a，c、b為負(fù)數(shù)，a為正數(shù)。數(shù)軸上表示有理數(shù)的點(diǎn)的位置決定了正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)都小于零。而兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，表示負(fù)數(shù)的點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)則越靠左，因而越小。由此得到兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小的法則：兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對值越大反而該數(shù)小。4、有理數(shù)的加減運(yùn)算有理數(shù)的加減法運(yùn)算結(jié)果可以通過數(shù)軸直接得到。-3+5可以理解為從表示-3的點(diǎn)向正方向移動(dòng)5個(gè)單位長度，其結(jié)果為2o3-5可以理解為從表示3的點(diǎn)向負(fù)方向移動(dòng)5個(gè)單位長度，其結(jié)果為-2?？梢缘弥篴3一定比a大。【典型例題】例1.在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，再按大小順序用“>”連接起來。

分析：在畫數(shù)軸時(shí)，原點(diǎn)、單位長度、正方向不能少；個(gè)單位的點(diǎn)。解：-1上是在原點(diǎn)左側(cè)距離原點(diǎn)122—4-3-2-10112.5—1—0—-1—-14-1上是在原點(diǎn)左側(cè)距離原點(diǎn)1222例2.有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡下式。c0ba求.c—a—a—b—c分析：由數(shù)軸觀察可知c0ba,a、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù)則c-a為較小數(shù)減去較大數(shù)，結(jié)果為負(fù)數(shù)；而負(fù)數(shù)的絕對值為其相反數(shù)，因此有c-a=-(c-a)=-c+a；a-b為較大數(shù)減去較小數(shù)，結(jié)果為正數(shù)，而正數(shù)的絕對值等于其本身，于是有a-b=a—b；c為負(fù)數(shù)，因此有c=-co解.c—a—a-b-c--ca_(a_b)_(-c)例3.判斷若aA|b，則aab()分析：a的絕對值大于b的絕對值，是指表示的a點(diǎn)比表示b的點(diǎn)距離原點(diǎn)遠(yuǎn)，但在數(shù)軸上可以看到，可以分別從正負(fù)兩個(gè)方向取得到原點(diǎn)距離某一單位長度的點(diǎn)，若正負(fù)不能確定，不能得到a、b大小關(guān)系的結(jié)論。對于判斷題還可以采用舉反例的方法，即舉出一個(gè)符合條件卻不滿足結(jié)論的例子，即可以判斷其為錯(cuò)誤。例如a=—7，b=—2，則a訂匕，但是ayb；同時(shí)，若aab，也不能判斷aAb。若a=—1，b=—2，aab，但是a~bo解：(x)例4.若aAb,aA°,bY°，把a(bǔ)、b、—a、—b按由小到大的順序排列。分析：按照所給條件將在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置找出來，就可以比較大小了。利用數(shù)軸把抽象的字胃直觀形象化是解決這類問題的好方法。解：由a'0,b0可知，a為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)，a、b的對應(yīng)點(diǎn)分別在原點(diǎn)的右邊和左邊；由aYb可知，表示a的點(diǎn)比表示b的點(diǎn)距離原點(diǎn)近，首先確定a、b的位置，而表示-a、-b的點(diǎn)分別與表示a、b的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，而在原點(diǎn)的另一側(cè)，可以得到-a、-b的位置?？梢缘玫奖硎镜腶、b、-a、-b點(diǎn)在數(shù)軸上的位因此由小到大的順序排列為b<_a<a<「bo例5.如果a=3,b=4且ayb,求a、b的值。分析：a=3從正負(fù)兩個(gè)方向考慮，a有兩個(gè)可能，即a二3；同理，b=4。利用ab,即表示a的點(diǎn)在表示b的點(diǎn)的左側(cè)。(可以標(biāo)在數(shù)軸上觀察)。baab——■—■—■—.—.—*—.?■—■"-4-32T0~1~2"3"4解：》a=3b=4.a=3或-3,b=4或-4ab.a=-3,b=4或a=3,b=4例6.(1)X-4=0,那么X=x=x,那么x=x=—x,那么x=分析：(1)絕對值為0的數(shù)只有0,即x-4=0正數(shù)的絕對值為本身，但是零的絕對值為零，也可以說零的絕對值為本身；負(fù)數(shù)與零的絕對值都是其相反數(shù)；解：(1)x=4x是非負(fù)數(shù)x是非正數(shù)例7.已知-ba-ab則①ab-0②a-b0③-2a-0④-ab0錯(cuò)誤的有分析：觀察可以得知a0b,a為絕對值較小的負(fù)數(shù)，b為絕對值較大的正數(shù)，可分別畫出表示-a>—b的點(diǎn)。則①a+ba0:②a—b可以看作a+(—b)為兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，a—b=a+(—b)y0；③a為負(fù)數(shù)，所以-'2a=-2a'0；q—a■b為兩個(gè)正數(shù)相加，—ab'0o解：④小結(jié)：1、初步樹立數(shù)形結(jié)合的思想意識2、理解相反數(shù)、絕對值的幾何意義3、會(huì)利用數(shù)軸進(jìn)行相反數(shù)絕對值有關(guān)問題的分析；利用相反數(shù)、絕對值幾何定義解決問題，深入理解相反數(shù)、絕對值的性質(zhì)；4、能夠利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小?！灸M試題】（答題時(shí)間：50分鐘）「、填空1在數(shù)軸上表示-2—的點(diǎn)在表示-3—的點(diǎn)的2邊,-2-比—3（填大?。?。2、3、絕對值最小的數(shù)是，最大的負(fù)整數(shù)是_在數(shù)軸上，表示a的點(diǎn)A在表示b的點(diǎn)B的左邊，B兩點(diǎn)的距離可以表示8、數(shù)軸上距離原點(diǎn)3個(gè)單位長度的數(shù)是絕對值小于4的整數(shù)之積為如果a是非正數(shù)，則a=比較大?。?）-0但55⑶一610、a-0，則at（（填>或.yV)t〉二、選擇正確的個(gè)數(shù)是（1、在下列關(guān)于0的說法中①0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；②0是整數(shù)也是有理數(shù)；③0沒有倒數(shù)；④0沒有相反數(shù)D.4A.1B.2C.3正確的個(gè)數(shù)是（D.422、下列說法中正確的是（A.a表示正數(shù)C.任何數(shù)都有倒數(shù)3、如圖）B.|a一定大于0D.a-3一定比a大下列各式正確的是A.-c'a'bB.b--c-aC.|c—b「-aD.b下列各式正確的是A.-c'a'b4、在數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的有理數(shù)A.aabA■比a0bB.a?bC.-aY—bD.b一a，下列不等式關(guān)A、B、C三點(diǎn)對應(yīng)的有理數(shù)是a、b、^且有a=ca、b的大小關(guān)系中正確的是5、如圖，在數(shù)軸上有系中錯(cuò)誤的是（A.ab0B.ab—c7C.-bc■0>”號連接。2、一（一5>”號連接。2、一（一5）、2-5,1一1、0、「1—、<”號連接。四、已知有理數(shù)a、b、c,試比較a、-a、b、-b、c、-c的大小，并用〃abt)五、已知A、B如圖所示，-1a01b<”號連接。茨學(xué)的三個(gè)條件是:爹觀察.粵吃