青科大化工-傳遞第四章

第四章邊界層理論基礎(chǔ)邊界層理論由普朗特1904年(Prantdl)提出，用于處理高Re

數(shù)的流動(dòng)問(wèn)題。邊界層理論不但在動(dòng)量傳遞中非常重要，它還與傳熱、傳質(zhì)過(guò)程密切相關(guān)。本章簡(jiǎn)要 邊界層的概念、邊界層理論的要點(diǎn)以及某些簡(jiǎn)單邊界層的求解等問(wèn)題。為什么要提出邊界層理論？對(duì)于某些流動(dòng)問(wèn)題，其慣性力>>黏性力。采用理想流體理論簡(jiǎn)化處理時(shí)，流體的壓力與實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常吻合；但流動(dòng)阻力的結(jié)果偏差很大。Prandtl

發(fā)現(xiàn)，其根本原因是：在物體與流體接觸的界面附近的薄層流體內(nèi)，慣性力~黏性力，應(yīng)單獨(dú)處理—邊界層理論。第四章邊界層理論基礎(chǔ)4.1邊界層的概念一、普朗特邊界層理論的要點(diǎn)二、邊界層的形成過(guò)程三、邊界層厚度的定義第四章邊界層理論基礎(chǔ)當(dāng)流體以高Re流過(guò)固體壁面時(shí)，由于流體的黏性作用，在壁面上流速降為零；在壁面附近區(qū)域存在一極薄的流體層，其內(nèi)速度梯度很大；一、普蘭德邊界層理論的要點(diǎn)δu0u03.

在遠(yuǎn)離壁面的流動(dòng)區(qū)域，其速度梯度幾乎為零，可視其為理想流體的勢(shì)流。二、邊界層的形成過(guò)程1.平板壁面上的速度邊界層當(dāng)黏性流體（高Re）在一半無(wú)窮平板壁面上流動(dòng)時(shí)，速度邊界層的形成過(guò)程見圖：首先，在壁面附近有一薄層流體，速度梯度很大；在薄層之外，速度梯度很小，可視為零。壁面附近速度梯度較大的流體層稱為邊界層。邊界層外，速度梯度接近于零的區(qū)稱為外流區(qū)或主流區(qū)。二、邊界層的形成過(guò)程x=0xyu0u0u0u0層流邊界層和湍流邊界層在板前緣附近，邊界層內(nèi)流速較低，為層流邊界層；而后逐漸過(guò)渡為湍流邊界層。湍流邊界層分為3層近壁面的薄層流體為層流內(nèi)層；其次為緩沖層；然后為湍流。二、邊界層的形成過(guò)程x=0xyu0u0u0u0層流邊界層過(guò)渡區(qū)湍流邊界層層流內(nèi)層 緩沖層湍流臨界距離和臨界雷諾數(shù)：臨界距離xc由層流邊界層開始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鬟吔鐚拥木嚯x；平板流動(dòng)RexcRe=

xcu0

ρμxRe =

xu0

ρμ2

105

Re

3106xcx—由平板前沿算起的距離，mu0—主流區(qū)流體流速，m/s

。臨界Rexc二、邊界層的形成過(guò)程x=0xyu0u0u0u0xc層流邊界層過(guò)渡區(qū)湍流邊界層層流內(nèi)層緩沖層湍流2.管內(nèi)邊界層形成過(guò)程0uL

fδ

ri黏性流體以u(píng)0

的流速流進(jìn)管內(nèi),在進(jìn)口附近形成速度邊界層。二、邊界層的形成過(guò)程(a)

u0

較小，在管中心匯合依然為層流邊界層。匯合以后為充分發(fā)展的層流：二、邊界層的形成過(guò)程LfriLfri（b）層流與湍流邊界層（a）層流邊界層層流邊界層

湍流邊界層(b)u0

較大，在匯合之前已發(fā)展為湍流邊界層。匯合以后為充分發(fā)展的湍流；u0u0流動(dòng)進(jìn)口段—由管進(jìn)口開始至邊界層匯合以前的距離Lf充分發(fā)展的流動(dòng)—邊界層匯合以后的流動(dòng)二、邊界層的形成過(guò)程管內(nèi)流動(dòng)雷諾數(shù)Re=

dρubμd

—圓管直徑，m；ub—主體流速，m/s

。Re

<2000時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)為層流。二、邊界層的形成過(guò)程三、邊界層厚度的定義1.平板邊界層厚度δδ

y

ux

99%u02.管內(nèi)邊界層的厚度δ

y

ux

99%u0進(jìn)口段區(qū)匯合后δ

riLf=

0.0575RedfL

—進(jìn)口段長(zhǎng)度，m；d

—管道內(nèi)徑，m；Re

—雷諾數(shù)。三、邊界層厚度的定義第四章邊界層理論基礎(chǔ)邊界層的概念普朗特邊界層方程一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)二、普朗特邊界層方程的解一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)ux

xuu2u

1

p μ

2u

uy

x

x

x

xyρ

x ρ

x2

y2xyuuuμ

2u

2u1

p

u

yx

yy

y

y

y2ρ

y ρ

x2ux

uy

0x

yu0yx0δ(x)不可壓縮流體沿平壁作穩(wěn)態(tài)二維層流流動(dòng)的變化方程：uzu非線性二階偏微分方程ur大Re數(shù)下的邊界層流動(dòng)有兩個(gè)重要性質(zhì)：邊界層厚度δ

<<物體特征尺寸x

；邊界層內(nèi)粘性力與慣性力的量級(jí)相同。對(duì)平板上流動(dòng)的變化方程作量階分析：量階：指物理量在整個(gè)區(qū)域內(nèi)相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)量階而言的平均水平，不是指該物理量的具體數(shù)值。一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)x

O(1)u0

取如下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量階：（1）取坐標(biāo)x

為距離的標(biāo)準(zhǔn)量階，外流速度u0為流速的標(biāo)準(zhǔn)量階，即（2）取邊界層厚度δ為另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量階：δ

O(δ)一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)（1）ux

：0→u0

，

ux=O(1)ux

:

Δux

O(1)

O(1)（2>xΔx

O(1)2u

Δu

O(1)x

x:

O(1)x2

x2

(Δx)2

O(1)O(1)（3）2uxy

O(

)（4）y

：在邊界層的范圍內(nèi)，y

由

0→δ，y

O(δ)y（5）u

：由連續(xù)性方程ux

uy

0x

y

xyy

O(δ)

O(

)δux

Δux

O(1)

1y

y

Δy

O(δ)（6）

ux

:一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)1)(Δy)2

O(δ2

)δ22u

2u

Δu

O(1)

x

x

O(（7）

x

:uxuu2u

1

p μ

2uy2

y2

uy

x

x

xx

xyρ

x ρ

x2

y211/δ21/δ1

1

δ(1)2u2u

xx2

xy2(2)

μ

/

ρ

ν

O(δ2

)分析結(jié)果：獲得邊界層流動(dòng)，流體的粘性要非常低(3)

1

p

O(1)ρ

x一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)xyuu

u2u

x

u

ν

xx

xy1

pρ

x

y2xyuuu

2u2u

u

y

yy

yx1

δ

δ

1δ21

p

μ

yρ

y

ρ

x2

y2δ1/δ分析結(jié)果：（1）各項(xiàng)的量階均小于或等于O(δ)

ρ

y（2）y方向的運(yùn)動(dòng)方程較次要，可忽略不計(jì)。一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)p

y

O(δ)

O(δ)

p

0p

x

O(1)

y（3）沿邊界層法線方向上流體的壓力梯度可忽略，即壓力可穿過(guò)邊界層保持不變。根據(jù)理想流體理論，邊界層外部邊界上的壓力分布是確定的。于是邊界層內(nèi)的壓力變成了已知函數(shù)。一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

xxyuu

u

x

u

x

xy1

p μ

2uρ

xρ

y2二、普朗特邊界層方程的解ux

x

yB.C.(1)

y

0,ux

0

,

uy

0x(2)

y

(2)

y

,

ux

u

0普朗特邊界層方程考慮不可壓縮流體沿平板作穩(wěn)態(tài)層流流動(dòng)的情況。邊界層外為理想流體的勢(shì)流，可用Bernolli方程描述。在流動(dòng)的同一水平高度上，有2ρu2p

0

常數(shù)dx

dxdp

ρu

du00

0dp

0dx邊界層內(nèi)：p

y

0dxdp

0二、普朗特邊界層方程的解p1p2u0yx0δp3p4xyuu

u

2u

u

xx

x

ν

xy

y2uxx

yxu

ψyyu

ψx流函數(shù)ψ

2ψ

ψ

2ψ

3ψy

xy

x

y2ν

y3ψ(1)

y

0,

y

0(2)

y

0,ψ

0x0(3)

y

,ψ

uy二、普朗特邊界層方程的解相似變換法求解

u0νxη(x,

y)

y令將流函數(shù)

ψ

[m

s

m]

轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)量綱形式的流函數(shù)：ψu(yù)0νxf

(η)

ψf

(ηxxy二、普朗特邊界層方程的解00(1)u00

dηu

νx

df

yψ

u

df

u f

νx

y dη

y

0(2)u0

νx

f2ψ

d

2

f

η

uu

0y2dη2

y23(3)u

ψ

f

0y3

νx00u

νx

)

u

νx

df

η

1u0ν

(

f

ηf

)(4)

ψ

f

(η)

(x

xdη

x

2

x(5)u0

f2ψ

1u

1

uy

0

0

η

f2

νx3

2

xxy二、普朗特邊界層方程的解2

f

fB.C.ηη

0η

,

f

1級(jí)數(shù)解：f

0.16603

η2

4.5943104

η5

2.4972

106

η81.4277

108

η11

二、普朗特邊界層方程的解表4-1

無(wú)量綱流函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)u0η

yff

'

uxf

''νxu00000.332060.20.006640.066410.331991.00.165570.329790.323015.03.283290.991550.01591二、普朗特邊界層方程的解邊界層內(nèi)的速度分布x

0u

ψ

u f

yyuu0ν

(ηf

f

)

ψ

1x

2

x對(duì)于給定的位置（x，y）→η，f，f’→ux，uy二、普朗特邊界層方程的解邊界層厚度時(shí)，壁面的法向距離y

即當(dāng)

f

ux

u0為邊界層厚度，此時(shí)u0νxη

y

5.0νxu0δ

5.0xxδ

5.0Re1

2二、普朗特邊界層方程的解局部摩擦曳力系數(shù)sxτy

0y

μ

uxu0y

0y

0ux

ψ2

u0

νx

f

(0)y

y20sxu0νxτ

μuf

(0)

0.33206

ρu2

Re1

20

x0DxxCρu2

2τx

0.664Re1

2二、普朗特邊界層方程的解0000流體流過(guò)長(zhǎng)度為L(zhǎng)、寬度為b的平板壁面的總曳力LLτ

sxdxu0μρLu3νxFd

b

0.332μbudx

0.664平均曳力系數(shù)00DL2FCρu2

Aρu2bL2

0.664

μρLu3

d

0

1.328Re1

2二、普朗特邊界層方程的解第四章邊界層理論基礎(chǔ)邊界層的概念普朗特邊界層方程邊界層積分動(dòng)量方程一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)二、平板層流邊界層的近似解一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)普朗特邊界層方程雖然比一般化的奈維—斯托克斯方程簡(jiǎn)單，但仍然只有在少數(shù)幾種簡(jiǎn)單的流動(dòng)情形例如平板、楔形物體等才能獲得精確解。工程實(shí)際中，許多較復(fù)雜的問(wèn)題直接求解普蘭德邊界層方程相當(dāng) 。本節(jié)介紹一種計(jì)算量較小、工程上廣泛采用的由卡門（Karman） 積分動(dòng)量方程法?；舅枷胧牵涸谶吔鐚觾?nèi)，選一微分控制體作微分動(dòng)量衡算，導(dǎo)出一個(gè)邊界層積分動(dòng)量方程；然后用一個(gè)只依賴于的單參數(shù)速度剖面近似代替真實(shí)速度側(cè)形，將其代入邊界層積分動(dòng)量方程中積分求解，從而可以得到若干有意義的物理量如邊界層厚度、曳力系數(shù)的表達(dá)式。一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)yxu0δδ

dδ0dx1423在距壁面前緣x

處，取一微元控制體

dV=δdx（1）將動(dòng)量守恒原理應(yīng)用于微元控制體dV，得d

(mu)

dθΣF

x方向：xdθΣF

d

(mux

)（1）一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)11-2截面：流入δm1

ρuxdy(1)0δxJ

ρu2dy(1)03-4截面：流出m

δm2

m1

1

dx

m1

xx

0

ρuxdy(1)

dx21xρu

dy(1)

dxJ

δJ2

J1

1

dx

J

xx

0一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)yxu0δδ

dδ0dx14231-4截面：無(wú)對(duì)流m4

0J4

02-3截面：流入1xρu

dy(1)

dx

δm3

m2

m

x

030

30

xu

ρu

dy(1)

dx

δJ

u

m

x

0一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)yxu0δδ

dδ0dx1423整個(gè)微元控制體內(nèi)的凈動(dòng)量變化速率為流出與流入之差，即2x0

xx

x

δ

δρu

dy(1)

dx

ρu

u

dy(1)

dxxx

0

0

δρu

(u

u0

)dy

dxx

0（2）一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)213dθd

(mux

)

J

J

Ju0yxδδ

dδ0dx1423作用在控制體x

方向上的力（取x

坐標(biāo)方向?yàn)檎?hào)）①1-4截面（壁面剪應(yīng)力）τs

(dx)(1②1-2截面（壓力）：pδ

(1)

pδ一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)yxu0δδ

dδ0dx1423(

pδ

(

pδ)

dx)(1)x

pδ

(

pδ)

dxx④

2-3截面（壓力）因該截面與理想流體接壤，故無(wú)剪應(yīng)力，僅存在著流體的壓力p

δ

dx(1)

p

δ

dxx

x一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)③

3-4截面（壓力）：

y0xu0δδ

dδdx1423作用在整個(gè)微元控制體上的x

方向的合外力為x

xsxx

(δp

τ

)dxx

F

pδ

pδ

(

pδ)

dx

p

δ

dx

τ

dx0δ

pρ

x

(u0

ux

)uxdy

δ

x

τs（3）將式（2）和（3）代入（1）中，得δdρdx

0dpdx

τs(u0

ux

)uxdy

δ僅沿

x方向流動(dòng)Karman邊界層積分動(dòng)量方程一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)δdρdx

0dpdx

τs(u0

ux

)uxdy

δ適用條件（1）對(duì)于層流邊界層和湍流邊界層均適用；（2）可用于曲面物體邊界層。對(duì)于平板壁面的層流邊界層，

dp dx

0δdρdx

0(u0

ux

)uxdy

τs一、邊界層積分動(dòng)量方程的推導(dǎo)二、平板層流邊界層的近似解平板層流邊界層內(nèi)的速度分布可近似表示為niia

yi0u

x

ai

(i

0

,

1

,

2

,

3,

n)—待定系數(shù)，由以下B.C.

確定：（1）在y=δ(邊界層外緣）x

0u

2u

3uy

δ

,

u

u

,

x

0

,

x

0

,

x

0

,

.......yy2y3x

y（2）在y=0(壁面處）2u3uu

0,

u

0

,

x0

,

x

0

,

......y2y3B.C.？請(qǐng)證明。ux

a0B.C.

(1)

y

0,

ux

0為何

y=0

處滿足上述；1.

采用線性多項(xiàng)式0x(2)

y

δ,

u

ua0

0,

a1

u0

δux

yu0

δ二、平板層流邊界層的近似解2.采用二次多項(xiàng)式u

a

a

y

a

y2x

0

1

2B.C(2)(3)

y

δ

,

ya0a

2u1a2

u0

δu

xu0

y

y

2

2

δ

δ

二、平板層流邊界層的近似解3.采用三次多項(xiàng)式u

a

a

y

a

y2

a

y3x

0

1

2

3B.C. (1)

y

0

,

u

0x(2)

y

δ

,

ux

u0(3)

y

δ

,

ux

02uxy(4)

y

0

,

y2

0a0

0132δ2δ3a0

03ua

0a2

0a

u0u

3

y

1

y

3

xu0

2

δ

2

δ

二、平板層流邊界層的近似解4.采用四次多項(xiàng)式u

xu0

y

y

3

y

4

2

2

δ

δ

δ

二、平板層流邊界層的近似解以最常用的三次多項(xiàng)式為例求解平板層流邊界層：000

0

000δ

δδdd

u

uρuud3

y

1

y3

y

1

y2

δ

2

δ(u0

ux

)uxdy

ρu2

(

x

)(1

x

)dy

ρu2[

( )

( )3

][1

( )

( )3

]dydx

dx

dx

2

δ

2

δ0

s280

dx39

ρu2

dδ

τ

τs積分得sdy2

δy

0τ

μ

dux

μ

3

u0

3

u0

y2

3

μu0

2

δ

2

δ

3

y

0二、平板層流邊界層的近似解μdx13

ρu0δ

dδ

140聯(lián)立得一階常微分方程B.C.

x

0,

δ

000νxρuuδ

4.64μx

4.64邊界層厚度xxδ

4.64Re1

2二、平板層流邊界層的近似解局部摩擦曳力系數(shù)02sxμu04.64

νx

uτ

3

0.323ρu2

Re1

20

x0DxCρu2

s

300LLdu0

dxνF

bτ

sxdx

0.323μbu0

0.646

μρLu0x平均曳力系數(shù)00DL2FCu2

ρAρu2bL2

0.646

μρLu3

d

0

1.292Re1

2二、平板層流邊界層的近似解ux0δ2

δ

δ

2

δ

2

δ

2

2

2

δ

平板層流邊界層近似解與精確解的比較5.83ux

δ

Re1/

20

xτsx

Re1/

2ρu2

xC

Re1/

2D

Ly

3.460.2891.155

y

y

2

5.480.3651.4603

y

1

y

3

4.640.3231.292

y

y

3

y

4

δ

δ

δ

0.3431.372sin

π

y

4.790.3271.310精確解

5.00.3321.328二、平板層流邊界層的近似解第四章邊界層理論基礎(chǔ)邊界層的概念普蘭德邊界層方程邊界層積分動(dòng)量方程流體在管道進(jìn)口段的流動(dòng)管道進(jìn)口段的流動(dòng)分析管道進(jìn)口段的流動(dòng)分析u0L

fδ

ri進(jìn)口段為層流邊界層的情況：邊界層內(nèi)為二維流動(dòng)uzuur2u

u

u

1

p

1

ur

r

uz

r

ν

(rur

)

r

rzz2ρ

r

r

r

r2ru

uz

uz

ν(r

)

ruz

1

p

1

uz

u

2zz ρ

zr

r

r

z對(duì)于不可壓縮流體、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，由于流動(dòng)沿管軸對(duì)稱

uθ

0,

θ

0運(yùn)動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為管道進(jìn)口段的流動(dòng)分析Langhaar

給出的近似解為uz

I0[γ(z)]

I0[(r

ri

)γ(z)]u0

I2[γ(z)]式中，I0

、I1

—分別是第一類修正的貝塞爾函數(shù)（Bessel

function）；r、ri

—分別是距管中心的距離坐標(biāo)和管半徑；γ(z)

f

[(z

d)

/

Re]管道進(jìn)口段的流動(dòng)分析γ(z(z

d

)

/

Re管道進(jìn)口段的流動(dòng)分析流動(dòng)進(jìn)口段長(zhǎng)度Led

0.0575Re管道進(jìn)口段的流動(dòng)分析第四章邊界層理論基礎(chǔ)邊界層的概念普蘭德邊界層方程邊界層積分動(dòng)量方程管道進(jìn)口段的流體流動(dòng)4.4邊界層分離與形體曳力一、邊界層分離的概念二、形成邊界層分離的過(guò)程三、邊界層分離的條件邊界層分離指原來(lái)緊貼壁面運(yùn)動(dòng)的邊界層流動(dòng)在某些條件下,脫離壁面而進(jìn)入外部流場(chǎng)。分離出來(lái)的流體在物體后面形成尾渦區(qū),從而產(chǎn)生很大的尾部阻力。因此有必要研究邊界層為什么會(huì)從物面分離,又應(yīng)該如何防止或推遲分離邊界層分離。一、邊界層分離的概念二、形成邊界層分離的過(guò)程現(xiàn)以流體繞長(zhǎng)圓柱流動(dòng)為例, 邊界層分離的大致過(guò)程，見圖：當(dāng)粘性流體以大Re繞過(guò)圓柱體流動(dòng)時(shí)，由于流體的粘性作用，沿柱體表面的法線上將建立起速度邊界層，并沿流動(dòng)方向逐漸加厚。A→B點(diǎn)（上游區(qū)）：

邊界層外—?jiǎng)萘鳎毫鞯澜孛鏈p小，u↑，p↓邊界層內(nèi)—黏性流：u↑，p↓p推動(dòng)流體向前流動(dòng)，一部分轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，其它用于摩擦阻力消耗。順壓區(qū)，①

dp dx作用＞

②黏性力作用流體質(zhì)點(diǎn)沿流動(dòng)方向，貼壁面向前運(yùn)動(dòng)。二、形成邊界層分離的過(guò)程B

點(diǎn)以后（下游區(qū)）：邊界層外—?jiǎng)萘鳎毫鞯澜孛孀兇螅瑄

↓，p

↑邊界層內(nèi)—黏性流：u↓，p

↑流體向前流流體流動(dòng)。逆壓區(qū)，①

dp

dx作用+

②黏性力作用，二者 流體質(zhì)點(diǎn)向前運(yùn)動(dòng)。dp

dx

0dp dx

0

，p動(dòng)，摩擦阻力二、形成邊界層分離的過(guò)程在逆壓梯度和摩擦阻力雙重作用下，邊界層內(nèi)流體的流速愈來(lái)愈慢，以致于在壁面附近的某一點(diǎn)P

處，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能消耗殆盡而停滯下來(lái)，形成一個(gè)新的停滯點(diǎn)P。在P點(diǎn)處，流體速度為零。由于P點(diǎn)處的壓力較上游壓力大，后繼的流體質(zhì)點(diǎn)因P點(diǎn)處的高壓不能接近該點(diǎn)，被迫脫離壁面和原來(lái)的流向向下游流去，造成邊界層脫離壁面—邊界層分離，P點(diǎn)為分離點(diǎn)。二、形成邊界層分離的過(guò)程P點(diǎn)下游的壁面區(qū)域形成一個(gè)流體的空白區(qū)。在逆壓梯度作用下，必然有倒流的流體來(lái)補(bǔ)充。但這些倒流的流體又不能靠近處于高壓下的P點(diǎn)而被迫