《現(xiàn)代控制理論》第3版課后習(xí)題答案

歐陽學(xué)文創(chuàng)編《現(xiàn)代控制理論參考答案》歐陽學(xué)文第一章答案試求圖127式。解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：令 ，則所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為有電路如圖128所示。以電壓 為輸入量，求以電感的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻 上的電壓作為輸出量的輸出方程。解：由圖，令 ，輸出量有電路原理可知： 既得歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編寫成矢量矩陣形式為：14兩輸入 ， ，兩輸出 ， 的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如130所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示：15系統(tǒng)的動態(tài)特性由下列微分方程描述圖。解：令相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：

，則有（2）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) ,試求出系統(tǒng)約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實現(xiàn)，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖解：給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編‘（1）（2）

畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（2）求下列矩陣的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：當(dāng) 時，歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編解得： 令 得（或令 ，得 當(dāng) 時，解得： 令 得（或令 ，得 當(dāng) 時，解得： 令 得將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解）歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編（2）解：A的特征方當(dāng) 時，解之得 令 當(dāng) 時，解之得 令 當(dāng) 時，解之得 令 得歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編約旦標(biāo)準(zhǔn)型已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為W1(s)和W2(s)陣，并討論所得結(jié)果解：（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié)（第3版教材）已知如圖1221、2求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：111（第2版教材）已知如圖122所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：已知差分方程為試將其用離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使驅(qū)動函數(shù) u的數(shù)b(即控制列陣)為（1）歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編解法1：解法2：求T,使得 得 所以所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為第二章習(xí)題答案用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù) 。（2）A=解：第一種方法： 令則 ，即 求解得到 ，當(dāng) 時，特征矢量由 ，得即 ，可令當(dāng) 時，特征矢量歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編由 ，得即

，可令則 ，第二種方法，即拉氏反變換法：第三種方法，即凱萊—哈密頓定由第一種方法可知 ，求與之對應(yīng)的A陣。（ 3 ） （ 4 ）解：（3）因為陣的條件（4）因為

，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編條件求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解：初始狀態(tài) ，輸入 時單位階躍函數(shù)解：因為 ，29有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。采樣周期分別為T=0.1s和1s，而 和 為分段常數(shù)。圖2.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖列出狀態(tài)方程則離散時間狀態(tài)空間表達(dá)式由 和 得：當(dāng)T=1時當(dāng)T=0.1第三章習(xí)題歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。系統(tǒng)中 的取值對能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取值條件如何？（1）系統(tǒng)如圖3.16所示：解：由圖可得：狀態(tài)空間表達(dá)式為：由于、、與無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于只與有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。（3）系統(tǒng)如下式：解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對于約旦塊的最后一行元素不能為0，故有 。要使系統(tǒng)能觀，則C中對應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0，故有 。時不變系統(tǒng)試用兩種方法判別其能控性和能觀性。解：方法一：歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。，中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。系統(tǒng)可觀。

中沒有全為0的列，確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)解：構(gòu)造能控陣：要使系統(tǒng)完全能控，則，即構(gòu)造能觀陣：要使系統(tǒng)完全能觀，則，即34設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是（1）當(dāng)a取何值時，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？（2）當(dāng)a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。（3）當(dāng)a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編解：(1)方法1：系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒有零極點對消。因此當(dāng)或a=3或a=6時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。方法2：系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6當(dāng)a=1,a=3或a=6時，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I根據(jù)對偶原理，當(dāng)a=1,a=2或a=4準(zhǔn)II型為36已知系統(tǒng)的微分方程為：解：傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為39已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編解：系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為觀標(biāo)準(zhǔn)型。解：試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解（1）解：rankM=2<3，系統(tǒng)不是完全能控的。構(gòu)造奇異變換陣 ： ，其中是任意的，只要滿足 滿秩。歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編即 得試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解（1）解：由已知得則有rankN=2<3，該系統(tǒng)不能觀構(gòu)造非奇異變換矩陣 ，則試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解（1）歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編解：由已知得rankM=3，則系統(tǒng)能控rankN=3，則系統(tǒng)能觀所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系取 ，則則 ， ，求下列傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn)。（1）解： ， ，， ，系統(tǒng)能控不能取 ，歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編所以 ，，所以最小實現(xiàn)為 ， ， ，驗證：設(shè) 和 是兩個能控且能觀的系統(tǒng)試分析由 和 所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能性，并寫出其傳遞函數(shù)；試分析由 和 所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能性，并寫出其傳遞函數(shù)。解：和 串聯(lián)當(dāng) 的輸出 是 的輸入 時，，則rankM=2<3，所以系統(tǒng)不完全能控當(dāng) 得輸出 是 的輸入 時歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編，因為rankM=3 因為rankN=2<3 則系統(tǒng)不能觀和 并聯(lián)，因為rankM=3因為rankN=3，所以系統(tǒng)完全能觀41（1）（2）解：（1）由已知得歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編， ，因此 是負(fù)定的（2）由已知得， ，因此 不是正定的已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。解：方法（1）：則要求滿足A即：即：方法（2）：系統(tǒng)的原點平衡狀等價于 。

為大范圍漸近穩(wěn)定，歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編取 ，令 ，則帶入 ，得到若 ，則此方程組有唯一解。即其中要求 正定，則要因此 ，且試用lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。（1）（2）解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)為 ，則是負(fù)定的。 ，圍漸近穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)為 ，則是負(fù)定的。 ，有

。選取Lyapunov函數(shù)。即系統(tǒng)在原點處大范。選取Lyapunov函數(shù)。即系統(tǒng)在原點處大范圍歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編漸近穩(wěn)定。46設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：取很明顯， 的符號無法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數(shù)為 ，則是負(fù)定的。 ，漸近穩(wěn)定。49設(shè)非線性方程：

。即系統(tǒng)在原點處大范圍試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依題意有：，有 。取則

，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：， 的符號無法判斷。（2）李雅普諾夫方法：選取 Lyapunov 函數(shù)為歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編，則是負(fù)定的。圍漸近穩(wěn)定。

，有 。即系統(tǒng)在原點處大范412試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)解：假設(shè) 的梯度為：計算 的導(dǎo)數(shù)為：選擇參數(shù)，試選，顯然滿足旋度方程

，于是得：

，表明上述選擇的參數(shù)是允許的。則有：如果的約束條件計算得到 為：

，則 是負(fù)定的，因此， 是是正定的，因此在穩(wěn)定的。

范圍內(nèi)， 是漸進(jìn)現(xiàn)代控制理論第五章習(xí)題答案51已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置為1，2，3。歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編解：依題意有：，系統(tǒng)能控。系統(tǒng) 的特征多項式為：則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

。，其中矩陣，設(shè)項式為：

，則系統(tǒng)

的特征多根據(jù)給定的極點值，得到期望特征多項式為：比較有系統(tǒng)：

各對應(yīng)項系數(shù)，可解得：。畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。若動態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點？若指定極點為3，3，求狀態(tài)反饋陣。解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點的充要條件是系統(tǒng)歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編完全能控。對于系統(tǒng) 有：，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點。（3）系統(tǒng) 的特征多項式為：則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有 。引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ，設(shè)，則系統(tǒng) 的特征多項式為根據(jù)給定的極點值，得到期望特征多項式為：比 較 各 對 應(yīng) 項 系 數(shù) ， 可 解 得 ：。設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試問能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成若有可能，試求出狀態(tài)反饋 ，并畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：由于傳遞函數(shù)無零極點對消，因此系統(tǒng)為能控且能觀。歐陽學(xué)文創(chuàng)編歐陽學(xué)文創(chuàng)編能控標(biāo)準(zhǔn)I型為令 為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為點應(yīng)為2，2，3，得期望特征多項式為比較 與 的對應(yīng)項系數(shù)，可即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：使判斷下列系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。（1）解：系統(tǒng)的能控陣為：，系統(tǒng)能控。由定理5.2.1可知，采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng) 任意配置極點的充要條件是 完全能控。又由于，系統(tǒng) 能控，可以采用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的極點配置在