6教育統(tǒng)計(jì)學(xué)第六章課件

第六章抽樣分布及總體

平均數(shù)的推斷

第一節(jié)抽樣分布

第二節(jié)總體平均數(shù)的推斷

第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理

第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)第六章抽樣分布及總體

平均數(shù)的1一、抽樣分布的概念區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布總體分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布抽樣分布：某一統(tǒng)計(jì)量的頻數(shù)分布

第一節(jié)抽樣分布

二、平均數(shù)抽樣分布的幾個(gè)定理（1）從總體中隨機(jī)抽取容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)，即一、抽樣分布的概念第一節(jié)抽樣分布二、平均數(shù)抽2

（2）容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差，等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以n的平方根，即（3）從服從正態(tài)分布的總體中，隨機(jī)抽取容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。（4）雖然總體不呈正態(tài)分布，如果樣本容量較大，反映總體和的樣本平均數(shù)的抽樣分布，也接近于正態(tài)分布。（2）容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差3以上幾條定理反應(yīng)了平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)，一切可能樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之間的關(guān)系；平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差與總體標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。抽樣分布是統(tǒng)計(jì)推斷的理論依據(jù)。實(shí)際中只能抽取一個(gè)隨機(jī)樣本根據(jù)一定的概率來(lái)推斷總體的參數(shù)。即使是抽取一切可能樣本，計(jì)算出的某種統(tǒng)計(jì)量與總體相應(yīng)參數(shù)的真值，大多也是不相同的，這是由于抽樣誤差的緣故。抽樣誤差用抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示。因此，某種統(tǒng)計(jì)量在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差稱(chēng)為該種統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對(duì)總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)的可靠度越大，所以標(biāo)準(zhǔn)誤是統(tǒng)計(jì)推斷可靠性的指標(biāo)。以上幾條定理反應(yīng)了平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)4三、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計(jì)量的形態(tài)

從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取樣本容量為n的一切可能樣本平均數(shù)以總體平均數(shù)為中心呈正態(tài)分布。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)：當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)：三、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計(jì)量的形態(tài) 5總體標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)量為總體標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)量為6參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)

一、總體參數(shù)估計(jì)的基本原理根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)相應(yīng)總體參數(shù)所作的估計(jì)叫總體參數(shù)估計(jì)?？傮w參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。1.點(diǎn)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)是指用樣本統(tǒng)計(jì)量的值來(lái)估計(jì)相應(yīng)總體參數(shù)的值。點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于它能夠提供總體參數(shù)的估計(jì)值；缺點(diǎn)在于它總是以誤差的存在為前提，但又不能提供正確估計(jì)的概率。第二節(jié)總體平均數(shù)的估計(jì)參數(shù)估計(jì)假7良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)

（1）無(wú)偏性：用統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)一定會(huì)有誤差，不可能恰恰相同。因此，好的估計(jì)量應(yīng)該是一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，即用多個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)值，其偏差的的平均值為0。

（2）有效性：當(dāng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，無(wú)偏估計(jì)變異性小者有效性高，變異大者有效性低。（3）一致性：當(dāng)樣本容量無(wú)限增大時(shí)，估計(jì)量的值能越來(lái)越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)值，估計(jì)值越來(lái)越精確，逐漸趨近于真值。（4）充分性：一個(gè)容量為的樣本統(tǒng)計(jì)量，是否充分地反映了全部個(gè)數(shù)據(jù)所反映總體的信息。

良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)82.區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)的概念區(qū)間估計(jì)是指以樣本統(tǒng)計(jì)量的樣本分布為理論依據(jù)，按一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值的所在范圍。置信區(qū)間與顯著性水平置信區(qū)間是指在某一置信度時(shí)，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長(zhǎng)度。

顯著性水平是指估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率，用α表示。1－α為置信度或置信水平。2.區(qū)間估計(jì)9區(qū)間估計(jì)的原理

區(qū)間估計(jì)的原理是樣本分布理論。在計(jì)算區(qū)間估計(jì)值、解釋估計(jì)的正確概率時(shí)，依據(jù)是該樣本統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律及樣本分布的標(biāo)準(zhǔn)誤。下面以平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)為例，說(shuō)明如何根據(jù)平均數(shù)的樣本分布及平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算置信區(qū)間和解釋成功估計(jì)的概率。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ為已知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布或漸近正態(tài)分布，此時(shí)樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)誤。根據(jù)正態(tài)分布，可以說(shuō)：有95%的落在

之間，或者說(shuō)：

之間包含所有的的95%

，即

區(qū)間估計(jì)的原理10

但是，在實(shí)際研究中，只能得到一個(gè)樣本平均數(shù)，我們可以將這個(gè)樣本平均數(shù)看做是無(wú)限多個(gè)樣本平均數(shù)之中的一個(gè)。于是將上式經(jīng)過(guò)移項(xiàng)寫(xiě)成這意味著有95%的μ落在之間，或者說(shuō)，估計(jì)μ落在

之間正確的概率為95%

。

11估計(jì)總體平均數(shù)的步驟

（1）根據(jù)實(shí)得樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。（2）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤。 （已知）或（未知）（3）確定置信區(qū)間或顯著性水平。（4）根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計(jì)表。（5）計(jì)算置信區(qū)間。（正態(tài)分布）或（ｔ分布）（6）解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。估計(jì)總體平均數(shù)的步驟12總體方差σ2已知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)μ的估計(jì)

（1）當(dāng)總體分布為正態(tài)時(shí)

當(dāng)總體分布為正態(tài)，總體方差已知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布，這時(shí)可用下式計(jì)算其置信區(qū)間：

（其中）（2）當(dāng)總體分布為非正態(tài)時(shí)總體分布非正態(tài)，總體方差

已知，這時(shí)只有當(dāng)樣本容量

時(shí)，其樣本平均數(shù)的分布為漸近正態(tài)分布，這時(shí)可用下式計(jì)算其置信區(qū)間：

（其中）總體方差σ2已知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)μ的估計(jì)（1）當(dāng)總體分布13例如：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差6.25cm，現(xiàn)從該校隨機(jī)抽27名10歲女童，測(cè)得平均身高為134.2cm，試估計(jì)該校全體10歲女童平均身高95%和99%置信區(qū)間。例如：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差6.14總體方差σ2未知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)μ的估計(jì)

（1）當(dāng)總體分布為正態(tài)時(shí)

當(dāng)總體分布為正態(tài)，總體方差

未知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為ｔ分布，這時(shí)可用下式計(jì)算其置信區(qū)間：

（其中）

（2）當(dāng)總體分布為非正態(tài)時(shí)總體分布非正態(tài)，總體方差

未知，這時(shí)只有當(dāng)樣本容量

時(shí)，其樣本平均數(shù)的分布為漸近ｔ分布，這時(shí)可用下式計(jì)算其置信區(qū)間：

（其中）總體方差σ2未知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)μ的估計(jì)（1）當(dāng)總體分布15小樣本的情況例如，從某小學(xué)二年級(jí)隨機(jī)抽取12名學(xué)生，其閱讀能力得分為28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、29、26.試估計(jì)該校二年級(jí)閱讀能力總體平均數(shù)95%和99%的置信區(qū)間。小樣本的情況例如，從某小學(xué)二年級(jí)隨機(jī)抽取12名16大樣本的情況例如，從某年高考中隨機(jī)抽取102份作文試卷，平均分?jǐn)?shù)為26，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5，估計(jì)總體平均數(shù)95%和99%的置信區(qū)間。說(shuō)明：樣本容量n=103>30,t分布接近正態(tài)分布，故可用正態(tài)分布近似處理。大樣本的情況例如，從某年高考中隨機(jī)抽取102份17第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理

一、假設(shè)

假設(shè)是根據(jù)已知理論與事實(shí)對(duì)研究對(duì)象所做的假定性說(shuō)明，統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)一般專(zhuān)指用統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)總體參數(shù)所做的假定性說(shuō)明。在進(jìn)行任何一項(xiàng)研究時(shí)，都需要根據(jù)已有的理論和經(jīng)驗(yàn)對(duì)研究結(jié)果作出一種預(yù)想的希望證實(shí)的假設(shè)，這種假設(shè)叫科學(xué)假設(shè)，用統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)表示時(shí)叫研究假設(shè)（備擇假設(shè)），記作H1。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中不能對(duì)H1的真實(shí)性直接檢驗(yàn)，需要第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理一、假設(shè)18建立與之對(duì)立的假設(shè)，稱(chēng)做零假設(shè)（虛無(wú)假設(shè)，無(wú)差假設(shè)，原假設(shè)），記作H0。

假設(shè)檢驗(yàn)的問(wèn)題，就是要判斷零假設(shè)H0

是否正確，決定接受還是拒絕零假設(shè)H0，若拒絕零假設(shè)H0

，則接受備擇假設(shè)H1。假設(shè)檢驗(yàn)是從零假設(shè)出發(fā)，視其被拒絕的機(jī)會(huì)，如果根據(jù)樣本信息，不得不否定零假設(shè)的真實(shí)性時(shí)，就不得不承認(rèn)備擇假設(shè)的真實(shí)性，這時(shí)，就要拒絕零假設(shè)而接受備擇假設(shè)；如果根據(jù)樣本的信息不能否定零假設(shè)的真實(shí)性時(shí)，就要保留零假設(shè)而拒絕備擇假設(shè)。建立與之對(duì)立的假設(shè)，稱(chēng)做零假設(shè)（虛無(wú)假設(shè)，無(wú)差假設(shè)，原假設(shè)）19

二、小概率事件

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。為了檢驗(yàn)零假設(shè)，首先假定零假設(shè)為真。在零假設(shè)為真的前提下，如果導(dǎo)致違反邏輯或違反人們常識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的不合理現(xiàn)象出現(xiàn)，則表明“零假設(shè)為真”的假定是不正確的，也就不難接受零假設(shè)。若沒(méi)有導(dǎo)致不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)，那就認(rèn)為“零假設(shè)為真”的假定是正確的，也就是接受了零假設(shè)。二、小概率事件20假設(shè)檢驗(yàn)中的“反證法”思想不同于數(shù)學(xué)中的反證法，后者是在假設(shè)某一條件下導(dǎo)致邏輯上的矛盾從而否定原來(lái)的假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)中“不合理現(xiàn)象”是指小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，它是基于人們?cè)趯?shí)踐中廣泛采用的小概率事件原理（小概率事件原理是指“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生”。通常情況下，將概率不超過(guò)0.05或0.01的事件當(dāng)做“小概率事件”）。假設(shè)檢驗(yàn)中的“反證法”思想不同于數(shù)學(xué)中的反證法，后者是21

三、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類(lèi)錯(cuò)誤

統(tǒng)計(jì)學(xué)中將這類(lèi)拒絕H0時(shí)所犯的錯(cuò)誤稱(chēng)做

α

錯(cuò)誤，α

錯(cuò)誤的概率，可以由研究者通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平加以主動(dòng)控制。稱(chēng)這類(lèi)接受H0時(shí)所犯的錯(cuò)誤為β

錯(cuò)誤，控制β錯(cuò)誤的概率有以下兩種方法：①利用已知的實(shí)際總體參數(shù)值與假設(shè)參數(shù)值之間大小關(guān)系，合理安排拒絕區(qū)域的位置；②增大樣本的容量。兩類(lèi)錯(cuò)誤的關(guān)系：（1）

α＋β

不一定等于1；（2）

α

與β

不可能同時(shí)減小或增大；（3）1-β

反映著正確辨認(rèn)真實(shí)差異的能力。三、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類(lèi)錯(cuò)誤22單側(cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn)

只強(qiáng)調(diào)差異而不強(qiáng)調(diào)方向性的檢驗(yàn)叫雙側(cè)檢驗(yàn)，假設(shè)形式為強(qiáng)調(diào)某一方向的檢驗(yàn)叫單側(cè)檢驗(yàn)。右側(cè)檢驗(yàn)：左側(cè)檢驗(yàn)：?jiǎn)蝹?cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn)只強(qiáng)調(diào)差異而不強(qiáng)調(diào)方向23假設(shè)檢驗(yàn)的步驟

（1）根據(jù)問(wèn)題要求，提出零假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值。（3）規(guī)定顯著性水平。（4）選擇檢驗(yàn)的方式（單側(cè)還是雙側(cè)）。（5）做出統(tǒng)計(jì)決策。假設(shè)檢驗(yàn)的步驟（1）根據(jù)問(wèn)題要求，提出零假設(shè)和備擇24假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想引例

解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想引例解25

我們知道,即使應(yīng)屆與歷屆成績(jī)一樣,即

成立,個(gè)別應(yīng)屆畢業(yè)生成績(jī)也是有波動(dòng)的，成績(jī)r(jià).v.正說(shuō)明了這一點(diǎn).故實(shí)測(cè)值與理論值總有一些差異.

用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的語(yǔ)言就是說(shuō):如果

成立,即往屆應(yīng)屆成績(jī)一樣.

如果

不成立,即往屆應(yīng)屆成績(jī)不一樣.我們知道,即使應(yīng)屆與歷屆成績(jī)一樣,即26如何確定k呢?對(duì)于適當(dāng)小的正數(shù)α(α=0.05,0.01,等),如何確定k呢?對(duì)于適當(dāng)小的正數(shù)α(α=0.05,0.01,27由實(shí)際推斷原理若為真由實(shí)際推斷原理若為真28綜述假設(shè)檢驗(yàn)方法的基本思想是:由樣本出發(fā),在為真的前提下通過(guò)對(duì)被檢參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量,結(jié)合統(tǒng)計(jì)量的分布,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量(樞軸函數(shù)),由此結(jié)合實(shí)際,并利用上α分位點(diǎn)確定小概率事件,便得檢驗(yàn)真?zhèn)蔚臉?biāo)準(zhǔn).其思想方法是帶有概率的反證法,理論依據(jù)是實(shí)際水平推斷原理.綜述假設(shè)檢驗(yàn)方法的基本思想是:由樣本出29注1稱(chēng)為原假設(shè),稱(chēng)為備擇假設(shè),

α稱(chēng)為檢驗(yàn)水平,U=稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.注2由小概率事件確定的區(qū)域W={U|}稱(chēng)為拒絕域,而{U|}稱(chēng)為接受域,稱(chēng)為臨界值.注1稱(chēng)為原假設(shè),稱(chēng)為備擇假設(shè),30第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)是指根據(jù)樣本平均數(shù)與假設(shè)總體平均數(shù)的差異檢驗(yàn)樣本所在總體的平均數(shù)與假設(shè)總體的平均數(shù)的差異。第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)平均數(shù)的顯著31（1）總體正態(tài)分布、總體方差已知的條件下平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

（2）總體正態(tài)分布、總體方差未知條件下平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

平均數(shù)顯著性檢驗(yàn)的方法（1）總體正態(tài)分布、總體方差已知的條件下平均數(shù)的32

（3）總體非正態(tài)分布條件下平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

①當(dāng)n≥30時(shí)，盡管總體分布非正態(tài)，對(duì)于平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)仍可用Z檢驗(yàn)。

（σ已知）或（σ未知）

②當(dāng)n＜30時(shí)，若總體分布非正態(tài)，對(duì)于平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)不符合近似Z檢驗(yàn)的條件，嚴(yán)格講此時(shí)也不符合t檢驗(yàn)的條件。（3）總體非正態(tài)分布條件下平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)33一、已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)例1：某小學(xué)歷屆畢業(yè)生漢語(yǔ)拼音測(cè)驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為66分，標(biāo)準(zhǔn)差為11.7.現(xiàn)已同樣的試題測(cè)驗(yàn)應(yīng)屆畢業(yè)生，并從中隨機(jī)抽18份試卷，算的平均分為69分，問(wèn)該校應(yīng)屆與往屆畢業(yè)生漢語(yǔ)拼音測(cè)驗(yàn)成績(jī)是否一致？（1）提出假設(shè)一、已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)例1：34（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值（3）確定檢驗(yàn)形式雙側(cè)檢驗(yàn)（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值（3）確定檢驗(yàn)形式35（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.2雙側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則接收H0拒絕H1結(jié)論為：該校應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生漢語(yǔ)拼音成績(jī)無(wú)顯著性差異（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.2雙側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則接收H036例2：某市高中入學(xué)考試數(shù)學(xué)平均分為68分，標(biāo)準(zhǔn)差為8.6.其中某所中學(xué)參加此次考試的46名學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為63分，過(guò)去的資料表明，該校數(shù)學(xué)成績(jī)低于全市平均水平，問(wèn)此次考試該校數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)是否仍顯著低于全市平均分?jǐn)?shù)？（1）提出假設(shè)例2：某市高中入學(xué)考試數(shù)學(xué)平均分為68分，標(biāo)準(zhǔn)37（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值（3）確定檢驗(yàn)形式左側(cè)檢驗(yàn)（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值（3）確定檢驗(yàn)形式38（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.3單側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則在0.01的水平上拒絕H0而接收H1。其結(jié)論為：該校高中入學(xué)考試數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)極其顯著的低于全市平均分?jǐn)?shù)。（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.3單側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則39二、未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)1.小樣本情況例1：某區(qū)初三英語(yǔ)統(tǒng)一測(cè)驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為65分，該區(qū)某校20份試卷的分?jǐn)?shù)為：72、76、68、78、62、59、64、85、70、75、61、74、87、83、54、76、56、66、68、62.問(wèn)該校初三英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)與全區(qū)是否一致？（1）提出假設(shè)二、未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)1.小樣本情況40（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值未知，n=20<30（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值未知，n=2041（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.3t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則在0.05的顯著性水平上拒絕H0而接收H1。其結(jié)論為：該校初三英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)與全區(qū)平均分?jǐn)?shù)有本質(zhì)區(qū)別，或者說(shuō)，它不屬于平均分為65的總體。（3）確定檢驗(yàn)形式——雙側(cè)檢驗(yàn)（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.3t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則42例2：某校上一屆初一學(xué)生自學(xué)能力平均分為38分，這一屆初一24個(gè)學(xué)生自學(xué)能力平均分為42分，標(biāo)準(zhǔn)差為5.7.假定這一屆與上一屆初一學(xué)生的學(xué)習(xí)條件相同，問(wèn)這一屆初一學(xué)生的自學(xué)能力是否高于上一屆？（1）提出假設(shè)例2：某校上一屆初一學(xué)生自學(xué)能力平均分為38分43（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值未知，n=24<30（3）確定檢驗(yàn)形式——右側(cè)檢驗(yàn)（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值未知，n=2444（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.3t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則在0.01的顯著性水平上拒絕H0而接收H1。其結(jié)論為：這一屆初一學(xué)生的自學(xué)能力極其顯著的高于上一屆。（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.3t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則452.大樣本情況例：某年高考某市數(shù)學(xué)平均分為60，現(xiàn)從參加此次考試的文科學(xué)生中，隨機(jī)抽取94份試卷，算得平均分?jǐn)?shù)為58分，標(biāo)準(zhǔn)差為9.2，問(wèn)文科數(shù)學(xué)成績(jī)與全市考生是否相同？（1）提出假設(shè)2.大樣本情況例：某年高考某市數(shù)學(xué)平均分為6046（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值未知，n=94>30（3）確定檢驗(yàn)形式——雙側(cè)檢驗(yàn)（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值未知，n=9447（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.3單側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則在0.05的顯著性水平上拒絕H0而接收H1。其結(jié)論為：某市文科學(xué)生數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)與全市平均分?jǐn)?shù)有本質(zhì)區(qū)別，或者說(shuō)，它不屬于平均數(shù)為60的總體。（4）統(tǒng)計(jì)決斷表6.3單側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則48第六章抽樣分布及總體

平均數(shù)的推斷

第一節(jié)抽樣分布

第二節(jié)總體平均數(shù)的推斷

第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理

第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)第六章抽樣分布及總體

平均數(shù)的49一、抽樣分布的概念區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布總體分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布抽樣分布：某一統(tǒng)計(jì)量的頻數(shù)分布

第一節(jié)抽樣分布

二、平均數(shù)抽樣分布的幾個(gè)定理（1）從總體中隨機(jī)抽取容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)，即一、抽樣分布的概念第一節(jié)抽樣分布二、平均數(shù)抽50

（2）容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差，等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以n的平方根，即（3）從服從正態(tài)分布的總體中，隨機(jī)抽取容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。（4）雖然總體不呈正態(tài)分布，如果樣本容量較大，反映總體和的樣本平均數(shù)的抽樣分布，也接近于正態(tài)分布。（2）容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差51以上幾條定理反應(yīng)了平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)，一切可能樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之間的關(guān)系；平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差與總體標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。抽樣分布是統(tǒng)計(jì)推斷的理論依據(jù)。實(shí)際中只能抽取一個(gè)隨機(jī)樣本根據(jù)一定的概率來(lái)推斷總體的參數(shù)。即使是抽取一切可能樣本，計(jì)算出的某種統(tǒng)計(jì)量與總體相應(yīng)參數(shù)的真值，大多也是不相同的，這是由于抽樣誤差的緣故。抽樣誤差用抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示。因此，某種統(tǒng)計(jì)量在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差稱(chēng)為該種統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對(duì)總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)的可靠度越大，所以標(biāo)準(zhǔn)誤是統(tǒng)計(jì)推斷可靠性的指標(biāo)。以上幾條定理反應(yīng)了平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)52三、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計(jì)量的形態(tài)

從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取樣本容量為n的一切可能樣本平均數(shù)以總體平均數(shù)為中心呈正態(tài)分布。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)：當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)：三、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計(jì)量的形態(tài) 53總體標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)量為總體標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)量為54參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)

一、總體參數(shù)估計(jì)的基本原理根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)相應(yīng)總體參數(shù)所作的估計(jì)叫總體參數(shù)估計(jì)?？傮w參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。1.點(diǎn)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)是指用樣本統(tǒng)計(jì)量的值來(lái)估計(jì)相應(yīng)總體參數(shù)的值。點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于它能夠提供總體參數(shù)的估計(jì)值；缺點(diǎn)在于它總是以誤差的存在為前提，但又不能提供正確估計(jì)的概率。第二節(jié)總體平均數(shù)的估計(jì)參數(shù)估計(jì)假55良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)

（1）無(wú)偏性：用統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)一定會(huì)有誤差，不可能恰恰相同。因此，好的估計(jì)量應(yīng)該是一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，即用多個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)值，其偏差的的平均值為0。

（2）有效性：當(dāng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，無(wú)偏估計(jì)變異性小者有效性高，變異大者有效性低。（3）一致性：當(dāng)樣本容量無(wú)限增大時(shí)，估計(jì)量的值能越來(lái)越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)值，估計(jì)值越來(lái)越精確，逐漸趨近于真值。（4）充分性：一個(gè)容量為的樣本統(tǒng)計(jì)量，是否充分地反映了全部個(gè)數(shù)據(jù)所反映總體的信息。

良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)562.區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)的概念區(qū)間估計(jì)是指以樣本統(tǒng)計(jì)量的樣本分布為理論依據(jù)，按一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值的所在范圍。置信區(qū)間與顯著性水平置信區(qū)間是指在某一置信度時(shí)，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長(zhǎng)度。

顯著性水平是指估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率，用α表示。1－α為置信度或置信水平。2.區(qū)間估計(jì)57區(qū)間估計(jì)的原理

區(qū)間估計(jì)的原理是樣本分布理論。在計(jì)算區(qū)間估計(jì)值、解釋估計(jì)的正確概率時(shí)，依據(jù)是該樣本統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律及樣本分布的標(biāo)準(zhǔn)誤。下面以平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)為例，說(shuō)明如何根據(jù)平均數(shù)的樣本分布及平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算置信區(qū)間和解釋成功估計(jì)的概率。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ為已知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布或漸近正態(tài)分布，此時(shí)樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)誤。根據(jù)正態(tài)分布，可以說(shuō)：有95%的落在

之間，或者說(shuō)：

之間包含所有的的95%

，即

區(qū)間估計(jì)的原理58

但是，在實(shí)際研究中，只能得到一個(gè)樣本平均數(shù)，我們可以將這個(gè)樣本平均數(shù)看做是無(wú)限多個(gè)樣本平均數(shù)之中的一個(gè)。于是將上式經(jīng)過(guò)移項(xiàng)寫(xiě)成這意味著有95%的μ落在之間，或者說(shuō)，估計(jì)μ落在

之間正確的概率為95%

。

59估計(jì)總體平均數(shù)的步驟

（1）根據(jù)實(shí)得樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。（2）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤。 （已知）或（未知）（3）確定置信區(qū)間或顯著性水平。（4）根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計(jì)表。（5）計(jì)算置信區(qū)間。（正態(tài)分布）或（ｔ分布）（6）解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。估計(jì)總體平均數(shù)的步驟60總體方差σ2已知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)μ的估計(jì)

（1）當(dāng)總體分布為正態(tài)時(shí)

當(dāng)總體分布為正態(tài)，總體方差已知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布，這時(shí)可用下式計(jì)算其置信區(qū)間：

（其中）（2）當(dāng)總體分布為非正態(tài)時(shí)總體分布非正態(tài)，總體方差

已知，這時(shí)只有當(dāng)樣本容量

時(shí)，其樣本平均數(shù)的分布為漸近正態(tài)分布，這時(shí)可用下式計(jì)算其置信區(qū)間：

（其中）總體方差σ2已知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)μ的估計(jì)（1）當(dāng)總體分布61例如：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差6.25cm，現(xiàn)從該校隨機(jī)抽27名10歲女童，測(cè)得平均身高為134.2cm，試估計(jì)該校全體10歲女童平均身高95%和99%置信區(qū)間。例如：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差6.62總體方差σ2未知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)μ的估計(jì)

（1）當(dāng)總體分布為正態(tài)時(shí)

當(dāng)總體分布為正態(tài)，總體方差

未知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為ｔ分布，這時(shí)可用下式計(jì)算其置信區(qū)間：

（其中）

（2）當(dāng)總體分布為非正態(tài)時(shí)總體分布非正態(tài)，總體方差

未知，這時(shí)只有當(dāng)樣本容量

時(shí)，其樣本平均數(shù)的分布為漸近ｔ分布，這時(shí)可用下式計(jì)算其置信區(qū)間：

（其中）總體方差σ2未知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)μ的估計(jì)（1）當(dāng)總體分布63小樣本的情況例如，從某小學(xué)二年級(jí)隨機(jī)抽取12名學(xué)生，其閱讀能力得分為28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、29、26.試估計(jì)該校二年級(jí)閱讀能力總體平均數(shù)95%和99%的置信區(qū)間。小樣本的情況例如，從某小學(xué)二年級(jí)隨機(jī)抽取12名64大樣本的情況例如，從某年高考中隨機(jī)抽取102份作文試卷，平均分?jǐn)?shù)為26，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5，估計(jì)總體平均數(shù)95%和99%的置信區(qū)間。說(shuō)明：樣本容量n=103>30,t分布接近正態(tài)分布，故可用正態(tài)分布近似處理。大樣本的情況例如，從某年高考中隨機(jī)抽取102份65第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理

一、假設(shè)

假設(shè)是根據(jù)已知理論與事實(shí)對(duì)研究對(duì)象所做的假定性說(shuō)明，統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)一般專(zhuān)指用統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)總體參數(shù)所做的假定性說(shuō)明。在進(jìn)行任何一項(xiàng)研究時(shí)，都需要根據(jù)已有的理論和經(jīng)驗(yàn)對(duì)研究結(jié)果作出一種預(yù)想的希望證實(shí)的假設(shè)，這種假設(shè)叫科學(xué)假設(shè)，用統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)表示時(shí)叫研究假設(shè)（備擇假設(shè)），記作H1。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中不能對(duì)H1的真實(shí)性直接檢驗(yàn)，需要第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理一、假設(shè)66建立與之對(duì)立的假設(shè)，稱(chēng)做零假設(shè)（虛無(wú)假設(shè)，無(wú)差假設(shè)，原假設(shè)），記作H0。

假設(shè)檢驗(yàn)的問(wèn)題，就是要判斷零假設(shè)H0

是否正確，決定接受還是拒絕零假設(shè)H0，若拒絕零假設(shè)H0

，則接受備擇假設(shè)H1。假設(shè)檢驗(yàn)是從零假設(shè)出發(fā)，視其被拒絕的機(jī)會(huì)，如果根據(jù)樣本信息，不得不否定零假設(shè)的真實(shí)性時(shí)，就不得不承認(rèn)備擇假設(shè)的真實(shí)性，這時(shí)，就要拒絕零假設(shè)而接受備擇假設(shè)；如果根據(jù)樣本的信息不能否定零假設(shè)的真實(shí)性時(shí)，就要保留零假設(shè)而拒絕備擇假設(shè)。建立與之對(duì)立的假設(shè)，稱(chēng)做零假設(shè)（虛無(wú)假設(shè)，無(wú)差假設(shè)，原假設(shè)）67

二、小概率事件

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。為了檢驗(yàn)零假設(shè)，首先假定零假設(shè)為真。在零假設(shè)為真的前提下，如果導(dǎo)致違反邏輯或違反人們常識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的不合理現(xiàn)象出現(xiàn)，則表明“零假設(shè)為真”的假定是不正確的，也就不難接受零假設(shè)。若沒(méi)有導(dǎo)致不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)，那就認(rèn)為“零假設(shè)為真”的假定是正確的，也就是接受了零假設(shè)。二、小概率事件68假設(shè)檢驗(yàn)中的“反證法”思想不同于數(shù)學(xué)中的反證法，后者是在假設(shè)某一條件下導(dǎo)致邏輯上的矛盾從而否定原來(lái)的假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)中“不合理現(xiàn)象”是指小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，它是基于人們?cè)趯?shí)踐中廣泛采用的小概率事件原理（小概率事件原理是指“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生”。通常情況下，將概率不超過(guò)0.05或0.01的事件當(dāng)做“小概率事件”）。假設(shè)檢驗(yàn)中的“反證法”思想不同于數(shù)學(xué)中的反證法，后者是69

三、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類(lèi)錯(cuò)誤

統(tǒng)計(jì)學(xué)中將這類(lèi)拒絕H0時(shí)所犯的錯(cuò)誤稱(chēng)做

α

錯(cuò)誤，α

錯(cuò)誤的概率，可以由研究者通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平加以主動(dòng)控制。稱(chēng)這類(lèi)接受H0時(shí)所犯的錯(cuò)誤為β

錯(cuò)誤，控制β錯(cuò)誤的概率有以下兩種方法：①利用已知的實(shí)際總體參數(shù)值與假設(shè)參數(shù)值之間大小關(guān)系，合理安排拒絕區(qū)域的位置；②增大樣本的容量。兩類(lèi)錯(cuò)誤的關(guān)系：（1）

α＋β

不一定等于1；（2）

α

與β

不可能同時(shí)減小或增大；（3）1-β

反映著正確辨認(rèn)真實(shí)差異的能力。三、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類(lèi)錯(cuò)誤70單側(cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn)

只強(qiáng)調(diào)差異而不強(qiáng)調(diào)方向性的檢驗(yàn)叫雙側(cè)檢驗(yàn)，假設(shè)形式為強(qiáng)調(diào)某一方向的檢驗(yàn)叫單側(cè)檢驗(yàn)。右側(cè)檢驗(yàn)：左側(cè)檢驗(yàn)：?jiǎn)蝹?cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn)只強(qiáng)調(diào)差異而不強(qiáng)調(diào)方向71假設(shè)檢驗(yàn)的步驟

（1）根據(jù)問(wèn)題要求，提出零假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值。（3）規(guī)定顯著性水平。（4）選擇檢驗(yàn)的方式（單側(cè)還是雙側(cè)）。（5）做出統(tǒng)計(jì)決策。假設(shè)檢驗(yàn)的步驟（1）根據(jù)問(wèn)題要求，提出零假設(shè)和備擇72假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想引例

解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想引例解73

我們知道,即使應(yīng)屆與歷屆成績(jī)一樣,即

成立,個(gè)別應(yīng)屆畢業(yè)生成績(jī)也是有波動(dòng)的，成績(jī)r(jià).v.正說(shuō)明了這一點(diǎn).故實(shí)測(cè)值與理論值總有一些差異.

用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的語(yǔ)言就是說(shuō):如果

成立,即往屆應(yīng)屆成績(jī)一樣.

如果

不成立,即往屆應(yīng)屆成績(jī)不一樣.我們知道,即使應(yīng)屆與歷屆成績(jī)一樣,即74如何確定k呢?對(duì)于適當(dāng)小的正數(shù)α(α=0.05,0.01,等),如何確定k呢?對(duì)于適當(dāng)小的正數(shù)α(α=0.05,0.01,75由實(shí)際推斷原理若為真由實(shí)際推斷原理若為真76綜述假設(shè)檢驗(yàn)方法的基本思想是:由樣本出發(fā),在為真的前提下通過(guò)對(duì)被檢參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量,結(jié)合統(tǒng)計(jì)量的分布,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量(樞軸函數(shù)),由此結(jié)合實(shí)際,并利用上α分位點(diǎn)確定小概率事件,便得檢驗(yàn)真?zhèn)蔚臉?biāo)準(zhǔn).其思想方法是帶有概率的反證法,理論依據(jù)是實(shí)際水平推斷原理.綜述假設(shè)檢驗(yàn)方法的基本思想是:由樣本出77注1稱(chēng)為原假設(shè),稱(chēng)為備擇假設(shè),

α稱(chēng)為檢驗(yàn)水平,U=稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.注2由小概率事件確定的區(qū)域W={U|}稱(chēng)為拒絕域,而{U|}稱(chēng)為接受域,稱(chēng)為臨界值.注1稱(chēng)為原假設(shè),稱(chēng)為備擇假設(shè),78第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)是指根據(jù)樣本平均數(shù)與假設(shè)總體平均數(shù)的差異檢驗(yàn)樣本所在總體的平均數(shù)與假設(shè)總體的平均數(shù)的差異。第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)平均數(shù)的顯著79（1）總體正態(tài)分布、總體方差已知的條件下平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

（2）總體正態(tài)分布、總體方差未知條件下平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

平均數(shù)顯著性檢驗(yàn)的方法（1）總體正態(tài)分布、總體方差已知的條件下平均數(shù)的80

（3）總體非正態(tài)分布條件下平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

①當(dāng)n≥30時(shí)，盡管總體分布非正態(tài)，對(duì)于平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)仍可用Z檢驗(yàn)。

（σ已知）或（σ未知）

②當(dāng)n＜30時(shí)，若總體分布非正態(tài)，對(duì)于平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)不符合近似Z檢驗(yàn)的條件，嚴(yán)格講此時(shí)也不符合t檢驗(yàn)的條件。（3）總體非正態(tài)分布條件下平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)81一、已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)例1：某小學(xué)歷屆畢業(yè)生漢語(yǔ)拼音測(cè)驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為66分，標(biāo)準(zhǔn)差為11.7.現(xiàn)已同樣的試題測(cè)驗(yàn)應(yīng)屆畢業(yè)生，并從中隨機(jī)抽18份試卷，算的平均分為69分，問(wèn)該校應(yīng)屆與往屆畢業(yè)生漢語(yǔ)拼音測(cè)驗(yàn)成績(jī)是否一致？（1）提出假設(shè)一、