(常微分方程)第3章線性方程課件

第3章線性方程3.1引言3.2解的存在性與唯一性3.3齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)3.4非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)3.5邊值問題和周期解3.6高階線性方程3.7線性微分方程的一些求解方法3.8線性方程的復(fù)值解第3章線性方程3.1引言 3.1引言

在第2章中，我們介紹了解微分方程的一些初等積分法，利用這些方法，人們可以求得方程的通解表達式.然而，能用初等積分法解出的微分方程是很少的.這就迫使人們將注意力轉(zhuǎn)移到直接根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)以及出現(xiàn)在方程中的函數(shù)的性質(zhì)去探索解的各種性質(zhì)，建立方程的各種理論.本章至第5章所要講述的就是沿著這個方向建立的基本理論和基本方法. 3.1引言

在第2章中，我們介紹了解微分

本章研究一類具有特殊結(jié)構(gòu)的方程，即線性方程.這類方程，雖然結(jié)構(gòu)簡單，但一般不能用初等積分法求得它的通解表達式.然而，人們可直接根據(jù)方程的特點，從理論上推斷它的通解具有簡單而清晰的結(jié)構(gòu).這一重要事實不僅是線性方程理論的基石，而且在非線性方程的研究中也有著重要的應(yīng)用.本章研究一類具有特殊結(jié)構(gòu)的方程，即線性方程.這類方程，雖

由于高階微分方程式總可以化成一階微分方程組，因此本章將首先研究一階線性微分方程組，然后將一階線性微分方程組的結(jié)果應(yīng)用到高階線性微分方程式上.所謂一階線性微分方程組,是指形如(3.1)的方程組，它的右端是x1,…,xn的線性函數(shù)，這里aij、fi(i,j=1,…,n)都是區(qū)間I上的已知函數(shù).由于高階微分方程式總可以化成一階微分方程組，因此本章將首

為了書寫方便，引進向量和矩陣記號.記則方程組(3.1)可以簡寫為(3.2)其中,A(t)和f(t)分別稱為系數(shù)矩陣和非齊次項.當(dāng)非齊次項f(t)≡0時，式(3.2)變成(3.3)為了書寫方便，引進向量和矩陣記號.記則方程組(3.1)可它稱為齊次線性微分方程組.而當(dāng)非齊次項，即fi(t)(i=1,…,n)不都恒等于零時，式(3.2)稱為非齊次線性微分方程組.

初值條件也可簡記為其中為維列向量，即向量的轉(zhuǎn)置.以后凡談到向量，如無特殊說明，都是指列向量.為了便于對寫成向量和矩陣形式的微分方程組(3.2)進行討論，我們引進一些記號和概念.它稱為齊次線性微分方程組.而當(dāng)非齊次項

稱一矩陣（包括作為特殊矩陣的向量）函數(shù)是連續(xù)（或可微，或連續(xù)可微，等等）的，指的是它的每一個元素都是連續(xù)（或可微，或連續(xù)可微，等等）的；一矩陣函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或積分，或極限）,是指這樣一個矩陣函數(shù)，它的各個元素是原矩陣的相應(yīng)元素的導(dǎo)數(shù)（或積分，或極限）；稱一矩陣函數(shù)序列是收斂（或在區(qū)間Ｉ上一致收斂）的，指的是它的每一個相應(yīng)元素作成的序列是收斂（或在區(qū)間I上一致收斂）的.

如果稱一矩陣（包括作為特殊矩陣的向量）函數(shù)是連續(xù)（或可微，或則記而依次稱為向量x和矩陣A的模，也稱為范數(shù).從定義出發(fā)，容易推出如下幾個不等式：

(1)|Ax|≤|A|·|x|.(2)若B也是n×n矩陣，則|AB|≤|A|·|B|；特別對任意自然數(shù)m，有則記而依次稱為向量x和矩陣A的模，也稱為范數(shù).從定義出發(fā)，

(3)三角不等式：若y也是n維向量，則|x+y|≤|x|+|y|.

(4)若x(t)是n維向量，且在a≤t≤b上連續(xù)，則(3)三角不等式：若y也是n維向量，則|x+y|≤|x| 3.2解的存在性與唯一性

對于一個不能用初等積分法求解的微分方程，首要問題是，它是否有解？更明確地說，是否有滿足給定初值條件的解？進而還要問：滿足給定初值條件的解是否唯一？這些問題得不到滿意的回答，就很難再談關(guān)于這一方程的其他研究.下面的定理就線性方程組的情形對上述問題給出了完滿的回答，它是線性微分方程理論的基礎(chǔ). 3.2解的存在性與唯一性

對于一個不能用初等積分

定理3.1設(shè)A(t)和f(t)均在區(qū)間I上連續(xù)，則對任一t0∈I和任意n維常向量ξ,方程組(3.2)恒有定義在整個區(qū)間I上且滿足初值條件式(3.4)的解.此外，方程組(3.2)也只能有一個解滿足初值條件式(3.4).

證明這個定理的證明分4步完成.

(1)把初值問題式(3.2)、(3.4)化成下述等價的積分方程組：(3.5)等價的意思是：如果x=φ(t)是初值問題式(3.2)、(3.4)的解，則它是積分方程組(3.5)的連續(xù)解；反之，如果x=φ（t)是積分方程組(3.5)的連續(xù)解，則它必是初值問題式(3.2)、(3.4)的解.這樣一來，我們就只需證明：積分方程組(3.5)在區(qū)間I上有連續(xù)解，且只能有一個連續(xù)解.定理3.1設(shè)A(t)和f(t)均在區(qū)間I上連續(xù)，則對任(2)用逐步逼近法構(gòu)造皮卡（Picard,1856-1941）序列，即用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，φk(t)(k=1,2,…)在區(qū)間I上有定義且連續(xù).(2)用逐步逼近法構(gòu)造皮卡（Picard,1856-19(3)證明序列{φk(t)}在區(qū)間I內(nèi)一致收斂（即在I的任意有限閉子區(qū)間上一致收斂），且其極限函數(shù)是積分方程組(3.5)在區(qū)間I上的連續(xù)解.

事實上，假設(shè)I1是I的一個任意給定的有限閉子區(qū)間，且t0∈I1.由序列與級數(shù)的關(guān)系知，只需證明無窮級數(shù)(3.7)在I1上一致收斂.以K表示|A(t)|和|A(t)ξ+f(t)|在I1上的一個公共上界.于是當(dāng)t∈I1時,有(3)證明序列{φk(t)}在區(qū)間I內(nèi)一致收斂（即在I的用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對任意自然數(shù)m，有用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對任意自然數(shù)m，有(常微分方程)第3章線性方程課件(4)證明唯一性，即證明：如果x=ψ(t)，在區(qū)間上是方程組(3.5)的連續(xù)解，且t0∈I0，則在I0上必有(3.8)(3.9)于是我們有(4)證明唯一性，即證明：如果x=ψ(t)，在區(qū)間把它代入式(3.9)右端，進而得到用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對任意自然數(shù)m，有將定理3.1應(yīng)用于方程組(3.3)特別就有把它代入式(3.9)右端，進而得到用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對引理3.1方程組(3.3)的解，若在區(qū)間I的某點處為零（向量），則必在區(qū)間I上恒等于零（向量）.

證明設(shè)x=x(t)是方程組(3.3)在I上的解，它在t0∈I處為零（向量）,則x=x(t)是方程組(3.3)滿足初值條件x(t0)=0的解.由于x=0也是此方程組滿足同一初值條件的解，因此根據(jù)定理3.1所指出的唯一性即知，必有引理證完.引理3.1方程組(3.3)的解，若在區(qū)間I的某點處為零注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程組(3.2)的初值問題的方法.注3.3設(shè)I=R1且A(t)和f(t)是以正數(shù)ω為周期的周期函數(shù),x=φ(t)是方程組(3.2)在R1上的解，則φ(t)是以ω為周期的周期函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)φ(0)=φ(ω).注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程組(3.2)的初例3.1半徑為R的球一半沉入水中，用手將其稍微向下按后放手，球即上下振動，求振動周期.

解以球原位置為坐標原點，x為球心位移.球密度

(kg/m3)，水密度ρ=1(kg/m3)，則有因x≈0(微振動)，故取近似微分方程為例3.1半徑為R的球一半沉入水中，用手將其稍微向下按后 3.3齊次線性方程組的通解的結(jié)構(gòu)

本節(jié)研究齊次線性方程組(3.3)的所有解所構(gòu)成的集合的結(jié)構(gòu).因為任何解都能延拓到I上，所以我們只考慮那些在I上有定義的解.

齊次線性方程組的最基本的性質(zhì)是它的解具有可疊加性，即下面的結(jié)論成立. 3.3齊次線性方程組的通解的結(jié)構(gòu)

本節(jié)研究齊次線也是方程組(3.3)的解.但它未必是方程組(3.3)的通解.例如當(dāng)φ1(t)≡0時，上式變成也是方程組(3.3)的解.但它未必是方程組(3.3)的通解.它只含有個任意常數(shù)，又如當(dāng)時，上式變成它實際上也只有n-1個任意常數(shù).因此為了使它能構(gòu)成方程組(3.3)的通解，必須對解組φ1(t),…,φn(t)之間的關(guān)系作適當(dāng)限制，這就引出了一組向量函數(shù)線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念.它只含有個任意常數(shù)，又如當(dāng)時，上式變成它實際上也只有n-如果有不全為零的常數(shù)α1,…,αm,使得(3.10)則稱向量函數(shù)φ1(t),…,φm(t)在區(qū)間I上是線性相關(guān)的.否則，要想式(3.10)成立，除非α1=…=αm=0，便稱此m個向量函數(shù)在區(qū)間I上是線性無關(guān)的.如果有不全為零的常數(shù)α1,…,αm,使得(3.10)(常微分方程)第3章線性方程課件(3.11)是方程組(3.3)的通解，確切地說，是方程組(3.3)的全部解的共同表達式，即對任意常數(shù)c1,…,cn，向量函數(shù)(3.11)都是方程組(3.3)的解；反之，方程組(3.3)的任一解，都可以寫成式(3.11)的形式.(3.11)是方程組(3.3)的通解，確切地說，是方程組((常微分方程)第3章線性方程課件這表明解x(t)可以通過在式(3.11)中適當(dāng)選取c1,…,cn而得到.這表明解x(t)可以通過在式(3.11)中適當(dāng)選取c1,…,注3.4定理3.2表明，方程組(3.3)的解的全體構(gòu)成一個n維線性空間.

方程組(3.3)的任意n個線性無關(guān)的解合起來稱為它的一個基本解組.如果以它們作為列向量排成一個n階矩陣，則此矩陣稱為方程組(3.3)的一個基本解矩陣.若以Φ(t)表示方程組(3.3)的一個基本解矩陣，則可將表達式(3.11)簡寫為其中c=(c1,…,cn)T是任意的n維常向量.作為方程組(3.3)的基本解矩陣，Φ(t)滿足:(3.12)注3.4定理3.2表明，方程組(3.3)的解的全體構(gòu)成(3.13)式(3.12)之所以成立，是因為Φ(t)的每一列都是方程組(3.3)在I上的解；式(3.13)之所以成立，是因為Φ(t)的每一列都是方程組(3.3)的解，而且這n個解是線性無關(guān)的.

順便指出，對于n個一般的n維向量函數(shù)，線性無關(guān)并不包含相應(yīng)的n階行列式不等于零，例如二維向量函數(shù):在任意區(qū)間上線性無關(guān)，可是相應(yīng)的行列式卻恒等于零.(3.13)式(3.12)之所以成立，是因為Φ(t)的每一

設(shè)有n個定義在區(qū)間I上的向量函數(shù)：由它們排列而成的行列式:稱為這n個向量函數(shù)的朗斯基(Wronski,1776-1853)行列式.設(shè)有n個定義在區(qū)間I上的向量函數(shù)：由它們排列而成的行列引理3.4(劉維爾公式)若φ1(t),…,φn(t)是方程組(3.3)的解，則它們的朗斯基行列式W(t)可表示為其中t0∈I可任意取定，而證明由行列式的微商公式知引理3.4(劉維爾公式)若φ1(t),…,φn(t)是可見x=W(t)是下述初值問題的解所以引理的結(jié)論成立.

這個引理加強了前面的結(jié)論式(3.13).可見x=W(t)是下述初值問題的解所以引理的結(jié)論成立.注3.5設(shè)Φ1(t)和Φ2(t)是方程組(3.3)在區(qū)間I上的兩個基本解矩陣,則存在非奇異常矩陣C，使得注3.6設(shè)τ∈I.若方程組(3.3)的基本解矩陣Φ(t)滿足初值條件Φ(τ)=E(n階單位矩陣），則Φ(t)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.顯然，對任一基本解矩陣Φ(t),Ψ(t,τ)=Φ(t)Φ-1(τ)是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.容易證明：(1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ψ(t,τ)與基本解矩陣Φ(t)的選擇無關(guān)；注3.5設(shè)Φ1(t)和Φ2(t)是方程組(3.3)在區(qū)(2)Ψ(t,τ)關(guān)于變量t是矩陣方程滿足初值條件Y(τ)=E的唯一解；(3)對任意t,τ∈I,Ψ(t,τ)是非奇異的，并且Ψ-1(t,τ)=Ψ(τ,t)；(4)對任意t,σ,τ∈I,有Ψ(t,τ)=Ψ(t,σ)Ψ(σ,τ)；(5)方程組(3.3)的解x(t,τ,ξ)有表達式(2)Ψ(t,τ)關(guān)于變量t是矩陣方程滿足初值條件Y(例3.2證明函數(shù)組在區(qū)間(-∞,+∞)上線性無關(guān)，但它們的朗斯基行列式恒為零.

證明要證明φ1(x)、φ2(x)在(-∞,+∞)上線性無關(guān)，只需證明等式α1φ1(x)+α2φ2(x)=0對一切x成立，必須取α1=α2＝０.實際上，若取α1≠0，對于x≥0,有即對所有的x，恒有W(x)=0.例3.2證明函數(shù)組在區(qū)間(-∞,+∞)上線性無關(guān)，但例3.3設(shè)在方程

y″+p(x)y′+q(x)y=0

中，p(x)在某區(qū)間I上連續(xù)且恒不為零，試證：它的任意兩個線性無關(guān)的解的朗斯基行列式是區(qū)間I上的嚴格單調(diào)函數(shù).

證明設(shè)y1(x)、y2(x)是已知方程的定義在區(qū)間I上的任意兩個線性無關(guān)的解.根據(jù)劉維爾公式，有其中W(x0)≠0.考察例3.3設(shè)在方程

y″+p(x)y′+q(x)y(常微分方程)第3章線性方程課件例3.4求微分方程

下面給出通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的例子.

先介紹幾個基本概念.

出生（死亡）率:單位時間內(nèi)每N個成員中出生（死亡）的成員數(shù)與N之比.

增長率:單位時間內(nèi)每N個成員中增長的成員數(shù)與N之比，其中N是一個適當(dāng)?shù)臄?shù)，例如1000.例3.4求微分方程下面給出通過建立數(shù)學(xué)模型來解決

顯然以上三者有關(guān)系:增長率=出生率-死亡率（3.14）

設(shè)時刻t某物種的成員數(shù)為y，即y=y(t),則從t到t+Δt時成員數(shù)增長所以，從t到t+Δt這段時間中的平均增長率為當(dāng)成員可數(shù)時，成員數(shù)是非負整數(shù).如果對一系列時間t1,t2,…,知道相應(yīng)的成員數(shù)y(t)為顯然以上三者有關(guān)系:增長率=出生率-死亡率（3.14則我們把y(t)開拓為實變數(shù)t的非負實數(shù)值y的函數(shù)y=y(t)，并且使y(t)連續(xù)，有連續(xù)導(dǎo)數(shù).這樣一來，就得到（3.15）則我們把y(t)開拓為實變數(shù)t的非負實數(shù)值y的函數(shù)y=y(t(1)增長率是常數(shù)α(α>0).

此時根據(jù)式（3.15），物種成員數(shù)y=y(t)應(yīng)滿足微分方程:即（3.16）設(shè)t=0時，成員數(shù)為y(0)，則滿足此初始條件的解為顯然，只要y(0)>0，就有 .也就是說，物種的成員會無限地增長.(1)增長率是常數(shù)α(α>0).

此時根據(jù)式（3.1

(2)增長率依賴于主要食物供給量σ(σ>0).

設(shè)維持該物種生存的最低食物供應(yīng)量為σ0.例如，某種貓靠食鼠為生.要捕食鼠首先就要有機會遇到鼠，因此維持這種貓的生存就要在它的活動范圍內(nèi)有一個最低的鼠的只數(shù)σ0.當(dāng)σ>σ0時,增長率為正；當(dāng)σ<σ0時,增長率為負；當(dāng)σ=σ0時,增長率為零.

取滿足以上條件的增長率的最簡單的形式:于是由式（3.15）得到該物種成員數(shù)y=y(t)應(yīng)滿足微分方程:（3.17）(2)增長率依賴于主要食物供給量σ(σ>0).

設(shè)維其中常數(shù)α與σ0反映該物種的特性，而常數(shù)σ與環(huán)境有關(guān).此方程滿足t=0時y=y(0)的解為顯然這表示無論開始時有多少成員，當(dāng)σ>σ0時，物種成員將無限增長；當(dāng)σ=σ0時，物種成員將維持不變；而當(dāng)σ<σ0時，此物種將滅絕.由此可見，同一個物種在不同的環(huán)境里將有不同的前途.其中常數(shù)α與σ0反映該物種的特性，而常數(shù)σ與環(huán)境有關(guān).此方程

(3)增長率與物種的成員數(shù)有關(guān).

例如成員多，就有居住擁擠,疾病易于傳染,……社會摩擦(負的社會現(xiàn)象)；當(dāng)然也有利于集體捕食，抵御外來物種的攻擊，……正的社會現(xiàn)象.

現(xiàn)在我們只考慮社會摩擦.設(shè)成員數(shù)有一個極限值η，即當(dāng)成員數(shù)超過η時增長率為負的.取于是物種成員數(shù)滿足極限增長方程:（3.18）方程右端出現(xiàn)了非線性項——cy2，它反映社會摩擦.(3)增長率與物種的成員數(shù)有關(guān).

例如成員多，就有居

顯然，y≡0,y≡η都是方程(3.18)的解.而當(dāng)t=0時,y=y(0)(y(0)≠0,y(0)≠η)的解是當(dāng)t→+∞時,y→η.

亦即，若開始時物種成員數(shù)為0或η，則分別保持此成員數(shù).而開始時，不論成員數(shù)是多于η還是少于η，終將達到極限值η.顯然，y≡0,y≡η都是方程(3.18)的解.而當(dāng)t=0 3.4非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)

引理3.5非齊次線性方程組(3.2)的解與相應(yīng)的齊次線性方程組(3.3)的解之和仍是(3.2)的解.(3.2)的兩個解之差是相應(yīng)的(3.3)的解.

利用這一關(guān)系和相應(yīng)的(3.3)的通解就可得到(3.2)的通解. 3.4非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)

引理3.5定理3.3設(shè)ψ(t)是方程組(3.2)的一個解，Φ(t)是相應(yīng)的方程組(3.3)的一個基本解矩陣，則含n維任意常向量c的表達式(3.19)是方程組(3.2)全部解的共同表達式.

證明首先，由引理3.5知對任意n維常向量c，式(3.19)是方程組(3.2)的解.其次，若x(t)是方程組(3.2)的任意給定的解，則由引理3.5知x(t)-ψ(t)是相應(yīng)的方程組(3.3)的解.再由定理3.2知存在n維常向量c0，使得這表明解x(t)可通過在式(3.19)中適當(dāng)選取c而得到.定理證完.定理3.3設(shè)ψ(t)是方程組(3.2)的一個解，Φ(t

根據(jù)定理3.3，假如已知相應(yīng)的方程組(3.3)的一個基本解矩陣，則求方程組(3.2)的通解的問題就歸結(jié)為求它的任意一個特解.為求方程組(3.2)的特解，我們可采用常數(shù)變易法.利用這種方法，實際上不僅只得到方程組(3.2)的一個特解，而且同時可得到它的通解.根據(jù)定理3.3，假如已知相應(yīng)的方程組(3.3)的一個基本定理3.4（常數(shù)變易公式）設(shè)Φ(t)是與方程組(3.2)相應(yīng)的方程組(3.3)的一個基本解矩陣，則方程組(3.2)的全部解的共同表達式可以寫成(3.20)其中c是任意的n維常向量，t0∈I可任意取定.

證明我們知道方程組(3.3)的通解可表示為其中c=(c1,…,cn)T為任意的n維常向量.現(xiàn)在將常向量c換成向量函數(shù)c(t)，考慮形如(3.21)定理3.4（常數(shù)變易公式）設(shè)Φ(t)是與方程組(3.2的向量函數(shù)，而設(shè)法在這種形式的函數(shù)中去求方程組(3.2)的解，其中c(t)是待定的可微向量函數(shù).將式(3.20)代入方程組(3.2)，得到因為Φ(t)是方程組(3.3)的基本解矩陣，故上式可簡化為這是一個關(guān)于 的線性代數(shù)方程組.由于detΦ(t)≠0，故可解出的向量函數(shù)，而設(shè)法在這種形式的函數(shù)中去求方程組(3.2)的解任取t0∈I，積分上式得到(3.22)其中c是任意的n維常向量.取c=0，并將代入式(3.21)，可得到方程組(3.2)的一個特解再由定理3.3便得到所要證明的結(jié)論.實際上，將式(3.22)代入式(3.21)就可直接得到定理的結(jié)論.任取t0∈I，積分上式得到(3.22)其中c是任意的n維注3.7利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)，初值問題式(3.2)和(3.4)的解可表示為(3.23)

例3.5驗證微分方程組(3.24)的通解為(3.25)注3.7利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)，初值問題式(3.2)證明事實上，不難驗證(3.26)是齊次線性微分方程組(3.24)在區(qū)間-∞<x<∞上的兩個解，而且它們的朗斯基行列式W(x)在x=0處的值為所以方程組(3.26)是一個基本解組，從而式(3.25)是通解.證明事實上，不難驗證(3.26)是齊次線性微分方程例3.6求解初值問題：解事實上，從例3.5知道，相應(yīng)齊次線性微分方程組有一個基解矩陣例3.6求解初值問題：解事實上，從例3.5知道容易求出利用通解公式，就得到所求初值問題的解為容易求出利用通解公式，就得到所求初值問題的解為例3.7試求微分方程組(3.27)的一個基解矩陣，并求出它的通解.其中自變量x的取值區(qū)間為x>0或x<0.

解其實，方程組(3.27)的分量形式為例3.7試求微分方程組(3.27)的一個基解矩陣，從后一式容易求出y2的通解為y2=kx，其中k為任意常數(shù).可分別取y2=0和y2=x代入前一式得到兩個相應(yīng)的特解y1=ex和y1=-(x+1).這樣就求得方程組(3.27)的一個解矩陣為顯然，當(dāng)x≠0時，det［Φ(x)］=xex≠0.因此，Φ(x)是方程組(3.27)的一個基解矩陣.所以，方程組(3.27)的通解為從后一式容易求出y2的通解為y2=kx，其中k為任意常數(shù).可例3.8設(shè)f(x)可微且滿足關(guān)系式 求f(x).

解事實上，f(x)是下列微分方程的解：解之得例3.8設(shè)f(x)可微且滿足關(guān)系式 求f(x)例3.9求微分方程的通解.

解設(shè)y′=p(x)，原方程變?yōu)閤2p′=2xp+p2.由此解得即例3.9求微分方程的通解.即例3.10利用變換y=u(et)求微分方程的通解.解由y=u(t),t=ex可將原方程變?yōu)榻獾盟岳?.10利用變換y=u(et)求微分方程的通解.

下面給出通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的例子。

以下對兩個作為捕者與食物的物種進行討論.

兩個物種，一個為捕者，其成員數(shù)為y；另一個為食物，其成員數(shù)為x.下面分別對忽略社會現(xiàn)象和考慮社會摩擦來進行討論.

(1)忽略社會現(xiàn)象.

捕者y的食物量是食的成員數(shù)x,應(yīng)用3.3節(jié)式(3.17)中的結(jié)論得到捕者y滿足的微分方程其中α>0,σ0>0，且皆是常數(shù).我們把方程改寫為(3.28)下面給出通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的例子。

以下

設(shè)食x的食物是充分供給的，有一個穩(wěn)定的出生率A.x的死亡率等于單位時間內(nèi)食的x成員中的死亡數(shù)與x之比.而單位時間內(nèi)食的x成員中的死亡數(shù)應(yīng)該與x及y都是成正比的，是Bxy.這是因為兩倍的貓將吃掉兩倍的鼠；鼠有兩倍就使貓有兩倍的機會遇到鼠.于是由式（3.14）得從而得到食x滿足的微分方程:(3.29)

聯(lián)合方程(3.28)與(3.29)得到Volterra-Lotka的捕食方程:設(shè)食x的食物是充分供給的，有一個穩(wěn)定的出生率A.x的死亡

(2)考慮社會摩擦.

由于考慮社會摩擦，因此要增加非線性項，由方程（3.30）進而得到極限增長的捕食方程：(2)考慮社會摩擦.

由于考慮社會摩擦，因此要增加非 3.5邊值問題和周期解

周期邊值條件：兩點邊值條件：其中,a、b∈I,L、N為n×n階常矩陣.

與初值問題不同，一般來說，邊值問題不一定有解，即使有，也不一定唯一.但我們有下面的基本結(jié)果. 3.5邊值問題和周期解

周期邊值條件：兩點邊定理3.5若方程組(3.3)的邊值問題僅有平凡解x=0，則對任何f(t)，方程組(3.2)的邊值問題恒有解.

證明先考慮周期邊值條件.由定理3.4知，方程組(3.2)的解可表示成(3.34)由此知，它滿足周期邊值條件當(dāng)且僅當(dāng)向量c滿足即(3.35)定理3.5若方程組(3.3)的邊值問題僅有平凡解x=0對于齊次方程組(3.3)，(3.35)變成(3.36)按假設(shè)，方程組(3.3)只有平凡解滿足周期邊值條件，即關(guān)于c的線性代數(shù)方程組(3.36)只有零解c=0，故必有從而可由式(3.35)把c解出，代入式(3.34)便得到方程組(3.2)滿足周期邊值條件的解.

假如所考慮的是兩點邊值條件，則代替式(3.35)和式(3.36)的分別是對于齊次方程組(3.3)，(3.35)變成(3.36)和其余同理.定理證完.和其余同理.定理證完.注3.8從定理3.5的證明可知,齊次方程組(3.3)只有零解x=0滿足周期邊值條件（兩點邊值條件）的充要條件是:Φ(b)-Φ(a)［LΦ(a)+NΦ(b)］是非奇異矩陣.

下面討論方程組(3.2)的周期解.問題是：如果A(t)和f(t)都在R1上有定義，并且是ω周期函數(shù)，即以ω為周期的周期函數(shù)，這里ω>0為某常數(shù)，那么在何種條件下，方程組(3.2)存在ω周期解？下述馬塞拉(Massera,1915-2002)準則給出了回答.注3.8從定理3.5的證明可知,齊次方程組(3.3)只定理3.6若A(t)和f(t)在R1上有定義，并且是ω周期函數(shù)，則方程組(3.2)存在ω周期解的充要條件是：方程組(3.2)有一個在R1上有界的解.

證明必要性是顯然的.只需證明充分性.設(shè)x=x0(t)是方程組(3.2)在R1上的有界解.由A(t)和f(t)的周期性知，對任何正整數(shù)k,x0［t+(k-1)ω］是方程組(3.2)滿足初值條件x(0)=x0［(k-1)ω］的解，故由式(3.23)有其中Φ(t)是方程組(3.3)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，特別就有(3.37)定理3.6若A(t)和f(t)在R1上有定義，并且是ω其中方程組(3.2)的任何解都可由式(3.20)表示出，它是ω周期解，當(dāng)且僅當(dāng)注意到Φ(0)=E，上式就可寫成(3.38)

假如方程組(3.2)沒有ω周期解，則關(guān)于c的線性代數(shù)方程組(3.38)必?zé)o解.由線性代數(shù)的知識我們知道，必存在非零向量u，使得(3.39)(3.40)其中方程組(3.2)的任何解都可由式(3.20)表示出聯(lián)合式(3.37)和式(3.39)可以證明(3.41)但由于有式(3.40),而x0(t)又是有界的，當(dāng)k充分大時，式(3.41)不可能成立，這一矛盾就表明方程組(3.2)必有ω周期解.

下面由式(3.37)和式(3.39)推導(dǎo)式(3.41).假設(shè)當(dāng)k=m時，式(3.41)成立.利用當(dāng)k=m+1時的式(3.37)可得聯(lián)合式(3.37)和式(3.39)可以證明(3.41)故當(dāng)k=m+1時，式(3.41)也成立.利用當(dāng)k=1時的式(3.37)容易驗證當(dāng)k=1時，式(3.41)也成立.總之，式(3.41)對任何正整數(shù)k都成立.至此，定理證明完畢.

下面給出通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的例子。

以下對兩個競爭物種的情況進行討論.

兩個物種x與y競爭共同的食物.設(shè)它們的增長方程為（3.42）故當(dāng)k=m+1時，式(3.41)也成立.利用當(dāng)k=1時的式(其中,x與y的增長率M與N都是非負變量x、y的函數(shù).設(shè)它們對x、y連續(xù)，有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足以下三個條件：

（1）一種物種的成員數(shù)增加時另一物種的增長率下降，所以

（2）任一物種的成員數(shù)過多，兩物種都不能增長.所以存在常數(shù)K>0，使得：當(dāng)x≥K或y≥K時，有M(x,y)≤0,

N(x,y)≤0其中,x與y的增長率M與N都是非負變量x、y的函數(shù).設(shè)它們對

（3）只有一個物種時，按極限增長.所以存在常數(shù)a>0,b>0，使得

當(dāng)x<a時，M(x,0)>0；當(dāng)x>a時，M(x,0)<0.

當(dāng)y<b時，N(0,y)>0；當(dāng)y>b時，N(0,y)<0.

它們的求解方法讀者可參照相關(guān)書籍.（3）只有一個物種時，按極限增長.所以存在常數(shù)a>0,b 3.6高階線性方程

本節(jié)討論形如(3.43)的n階線性微分方程，其中x,a1(t),…,an(t),f(t)都是區(qū)間I上的純量函數(shù).當(dāng)f(t)≡0時，式(3.43)變成(3.44)它稱為階齊次線性微分方程.我們要討論它們解的結(jié)構(gòu)以及關(guān)于周期解和邊值問題的一些基本結(jié)果. 3.6高階線性方程

本節(jié)討論形如(3.43)1.通解的結(jié)構(gòu)

由于引進個未知函數(shù)后，方程(3.43)化成等價方程組：(3.45)1.通解的結(jié)構(gòu)

由于引進個未知函數(shù)后，方程這里說的等價指的是：如果x=φ(t)(t∈I)是方程(3.43)的解，則是(3.45)的解.反之，如果是方程組(3.45)的解，則x=φ1(t)是方程(3.43)的解.利用這種等價關(guān)系，容易把前幾節(jié)的結(jié)果搬到方程(3.43)和方程(3.44)上.這里說的等價指的是：如果x=φ(t)(t∈I)是方程(3.4定理3.7設(shè)a1(t),…,an(t)和f(t)均在區(qū)間I上連續(xù)，則對任一t0∈I和任意n個常數(shù)ξ0,ξ1,…,ξn-1,方程(3.43)恒有定義在整個區(qū)間I上且滿足初值條件的解.此外，方程(3.43)也只能有一個解滿足此初值條件.定理3.7設(shè)a1(t),…,an(t)和f(t)均在區(qū)以下我們總認為a1(t),…,an(t)和f(t)均在區(qū)間I上連續(xù).

引理3.6若在區(qū)間I的某點處，齊次線性方程(3.44)的解及其直到n-1階微商均為零，則它必在區(qū)間I上恒等于零.

引理3.7(疊加原理)若x=φ1(t)和x=φ2(t)都是方程(3.44)的解，則對任意常數(shù)c1、c2,函數(shù)x=c1φ1(t)+c2φ2(t)都是方程(3.44)的解.

如果有不全為零的常數(shù)α1,…,αm,使得(3.46)則稱函數(shù)φ1(t),…,φm(t)在區(qū)間I上線性相關(guān)，否則，要想式(3.46)成立，除非α1=…=αm=0，便稱這m個函數(shù)在區(qū)間I上線性無關(guān).以下我們總認為a1(t),…,an(t)和f(t)均在區(qū)引理3.8設(shè)t0∈I,φ1(t),…,φm(t)是區(qū)間I上齊次線性方程(3.44)的m個解,則解組φ1(t),…,φm(t)在I上線性相關(guān)的充要條件是向量組線性相關(guān).引理3.8設(shè)t0∈I,φ1(t),…,φm(t)是區(qū)間定理3.8如果φ1(t),…,φn(t)是方程(3.44)在區(qū)間I上的n個線性無關(guān)的解，則含任意常數(shù)c1,…,cn的表達式是方程(3.44)的通解，確切地說，是方程(3.44)的全部解的共同表達式.定理3.8如果φ1(t),…,φn(t)是方程(3.4注3.9定理3.8表明，n階齊次線性方程(3.44)的解的全體，構(gòu)成一個n維線性空間.齊次線性方程(3.44)的任意n個線性無關(guān)的解合起來，稱為它的一個基本解組.設(shè)有n個定義在區(qū)間I上且n-1次可微的函數(shù)φ1(t),…,φn(t)，由它們及其直到n-1階微商排列而成的行列式稱為這n個函數(shù)的朗斯基行列式.注3.9定理3.8表明，n階齊次線性方程(3.44)的引理3.9(劉維爾公式)若φ1(t),…,φn(t)是方程(3.44)的解，則它們的朗斯基行列式W(t)可表示為(t∈I)其中t0∈I可任意取定.引理3.9(劉維爾公式)若φ1(t),…,φn(t)是引理3.10若x=φ(t)和x=ψ(t)分別是方程(3.43)和方程(3.44)的解，則函數(shù)x=φ(t)+ψ(t)是方程(3.43)的解；若x=φ(t)和x=ψ(t)是方程(3.43)的解，則函數(shù)x=φ(t)-ψ(t)是方程(3.44)的解.

是方程(3.43)全部解的共同表達式.引理3.10若x=φ(t)和x=ψ(t)分別是方程(3定理3.10(拉格朗日常數(shù)變易公式）設(shè)φ1(t),…,φn(t)是與方程(3.43)相應(yīng)的方程(3.44)的一個基本解組.則方程(3.43)的全部解的共同表達式可以寫為其中:c1,…,cn是任意常數(shù);t0∈I可任意取定;W(t)是φ1(t),…,φn(t)的朗斯基行列式;Δ(t,s)是這樣的n階行列式：前n-1行是W(s)的前n-1行相應(yīng)元素，而第n行是W(t)第一行的相應(yīng)元素.定理3.10(拉格朗日常數(shù)變易公式）設(shè)φ1(t),…,例3.11設(shè)φ1(t)、φ2(t)是與二階線性方程(3.47)相應(yīng)的齊次方程的基本解組.則(3.47)的全部解的共同表達式為(3.48)例3.11設(shè)φ1(t)、φ2(t)是與二階線性方程(例3.12求解微分方程的通解.

解令y=ux，化簡原方程得解得即例3.12求解微分方程的通解.解得即例3.13解微分方程解對應(yīng)齊次方程的通解為用y=Ax+Bex代入方程可待定出方程的一個特解：所以方程的通解為例3.13解微分方程解對應(yīng)齊次方程的通解為用y=A

2.邊值問題和周期解

因為高階線性方程可以化成等價的一階線性方程組，所以關(guān)于一階線性方程組的邊值問題和周期解的結(jié)論都可以通過這種等價關(guān)系轉(zhuǎn)移到高階線性方程.下面我們將針對二階線性方程(3.49)進一步討論它的邊值問題和周期解以及其他相關(guān)的問題，這里a1(t)、a2(t)、f(t)都是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).相應(yīng)的齊次方程為(3.50)我們只考慮邊值條件其中,a、b∈I,a<b.2.邊值問題和周期解

因為高階線性方程可以化成等價的定理3.11若a2(t)≤0，則齊次方程的邊值問題式(3.50)和(3.51)只有平凡解x=0，而非齊次方程的邊值問題式(3.49)和(3.51)則對任何f(t)恒有解.

證明假如邊值問題式(3.50)和(3.51)有解x(t)≡0，則必有x′(a)≠0；否則，就有x(a)=0,x′(a)=0.根據(jù)初值問題解的唯一性推出x(t)≡0.為確定計，設(shè)x′(a)>0.于是，由于x(b)=0，必存在ξ∈(a,b］，使得(3.52)定理3.11若a2(t)≤0，則齊次方程的邊值問題式(而由x(a)=x(ξ)=0進而可知，存在c∈(a,ξ)，使得x′(c)=0.將式(3.50)的兩端同乘以從a到c積分，注意到x′(c)=0,即有但由x′(a)>0,a2(t)≤0和式(3.52)可知，上式左端為負數(shù).這一矛盾表明：齊次方程的邊值問題式(3.50)和(3.51)不可能有非平凡解存在.而由x(a)=x(ξ)=0進而可知，存在c∈(a,ξ)，使得

為證明定理的第二部分，注意方程(3.49)與方程組(3.53)等價，而邊值條件式(3.51)可寫成(3.54)既然邊值問題式(3.50)和(3.51)只有平凡解，易見齊次方程組(3.53)也只有平凡解滿足邊值條件式(3.54)，故由定理3.5知，邊值問題式(3.53)和(3.54)對任何f(t)恒有解,從而邊值問題式(3.49)和(3.51)對任何f(t)恒有解.定理證完.為證明定理的第二部分，注意方程(3.49)與方程組(3(3.55)(3.55)(常微分方程)第3章線性方程課件(常微分方程)第3章線性方程課件為證第二部分，首先注意：求方程(3.49)的周期解的問題等價于求方程組(3.53)滿足邊值條件(3.56)的解，這是因為，若x(t)是方程(3.49)的ω周期解，則x(t)、y(t)=x′(t)是邊值問題式(3.53)和(3.56)的解；反之，若x(t)、y(t)是邊值問題式(3.53)和(3.56)的解，則x(t)、y(t)可延拓成R1上的ω周期函數(shù)（仍記為x(t)、y(t)），其中的x(t)便是方程(3.49)的周期解.由此可見，方程(3.49)有ω周期解，當(dāng)且僅當(dāng)邊值問題式(3.53)和(3.56)有解.由于齊次方程(3.50)只有恒為零的ω周期解，因此與式(3.53)相應(yīng)的齊次方程組就只有平凡解滿足邊值條件式(3.56).故由定理3.5可知，邊值問題式(3.53)和(3.56)恒有解，從而方程(3.49)恒有ω周期解，定理證完.為證第二部分，首先注意：求方程(3.49)的周期解的問

下面討論二階線性方程解的零點.為此我們首先通過變換x=vu將方程(3.50)簡化，這里u=u(t)是新的未知函數(shù)，v=v(t)待定.將其代入方程(3.50)得到我們希望2v′+a1(t)v=0，即只需取這樣一來，方程(3.50)就化成下面的形式：(3.57)下面討論二階線性方程解的零點.為此我們首先通過變換x=v由于上述的v=v(t)恒為正，因此在討論解的零點時，可以代替方程(3.50)而考慮形如式(3.57)的方程.我們將通過與另一方程(3.58)的解進行比較來考察方程(3.57)的解的零點的分布.總假設(shè)函數(shù)P(t)、Q(t)在區(qū)間I上連續(xù).由于上述的v=v(t)恒為正，因此在討論解的零點時，可以代替(常微分方程)第3章線性方程課件由式(3.57)和式(3.58),我們有從t1到ξ積分上式，得到(3.59)由式(3.57)和式(3.58),我們有從t1到ξ積分上式(常微分方程)第3章線性方程課件(常微分方程)第3章線性方程課件(常微分方程)第3章線性方程課件則對任何連續(xù)的2π周期函數(shù)f(t)恒存在2π周期解.

證明只需證明第一部分，因為第二部分實際上在定理3.12中已經(jīng)證明過.假設(shè)方程(3.57)有2π周期解x(t).將x(t)與方程(3.60)的任何解進行比較，根據(jù)定理3.13，首先可斷言x(t)有零點，記為t0.因為x(t)，必有x′(t0)≠0.不妨設(shè)x′(t0)>0.則對任何連續(xù)的2π周期函數(shù)f(t)恒存在2π周期解.(3.6然而由x(t)的2π周期性，應(yīng)有然而由x(t)的2π周期性，應(yīng)有(常微分方程)第3章線性方程課件 3.7線性微分方程的一些求解方法

1.適當(dāng)?shù)淖儞Q

最自然的一種想法是，通過自變量或未知函數(shù)的適當(dāng)?shù)淖儞Q，將方程化簡為可以求解或易于求解的形式.下面舉例說明如何靈活地作變換以達到這樣的目的.

假設(shè)給了下面的方程:(3.61)如果方程的階數(shù)n=1，則其通解可以毫無困難地求得.一般說來，方程的階越高，求解就越困難.自然會想到：通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，比如通過形如(3.62) 3.7線性微分方程的一些求解方法

1.適當(dāng)?shù)淖儞Q

的變換，將方程的階降低，這里φ(t)是待定的函數(shù).將式(3.62)代入式(3.61),得到(3.63)其中(3.64)的變換，將方程的階降低，這里φ(t)是待定的函數(shù).將式(3.其中

綜上所述，假如已經(jīng)求得方程(3.61)對應(yīng)的齊次方程的一個非平凡解，則通過變換方程(3.62)可將解方程(3.61)的問題歸結(jié)為解低一階的方程(3.64).這種方法就稱為降階法.其中綜上所述，假如已經(jīng)求得方程(3.61)對應(yīng)的齊次方程

以二階線性方程(3.65)為例，假如已知對應(yīng)的齊次方程的一個非平凡解φ(t)，則經(jīng)過變換方程(3.62)后，得到(3.66)即（在使φ(t)≠0的任何區(qū)間上）以二階線性方程(3.65)為例，假如已知對應(yīng)的齊次方是一個一階線性方程，容易求出它的通解為再積分一次就得到原方程的通解.是一個一階線性方程，容易求出它的通解為再積分一次就得到原方例3.14解方程解容易看出，它有特解x=t.于是作變換x=ty將方程化成解之得例3.14解方程解容易看出，它有特解x=t.于

以上所述降階法是選取φ(t)為原方程的齊次方程的解，使得經(jīng)變換式(3.62)后的方程中新的未知函數(shù)項y(t)的系數(shù)bn(t)為零，這樣就達到了降階的目的.我們也可以選取φ(t)，使得經(jīng)變換式(3.62)后的方程中其他某項的系數(shù)為零，以期將方程化簡為便于求解的形式.當(dāng)原方程的齊次方程的非平凡特解不易求得時，可以采取這種方法.以二階方程(3.65)為例，假如φ(t)不是它對應(yīng)的齊次方程的解，則經(jīng)變換式(3.62)后的方程以上所述降階法是選取φ(t)為原方程的齊次方程的解，使得中y的系數(shù)就不是零.這時我們可選取φ(t)，使得的系數(shù)為零，即(3.67)中y的系數(shù)就不是零.這時我們可選取φ(t)，使得的系數(shù)為例3.15解方程解不容易找到它的非平凡解，故無法用降階法.試選取則方程簡化成式(3.67)的形狀，其中的 恰好是常數(shù)1，而常系數(shù)線性方程的通解很容易求出（見第4章）.例3.15解方程解不容易找到它的非平凡解，故無例3.16已知一曲線的曲率恒為(R為常數(shù))，試求此曲線的方程.

解由題意知：令y′=u，則y″=u′代入得

下面再考慮一種線性方程:例3.16已知一曲線的曲率恒為(R為常數(shù))，試求此(3.68)這樣的方程直接求解是很困難的，但是經(jīng)過自變量的變換(3.69)(3.68)這樣的方程直接求解是很困難的，但是經(jīng)過自變量(3.70)(3.70)例3.17解方程解由于我們限于求t>0時方程的解，因此，作自變量的變換于是利用公式(3.70)得到即它的通解很容易求出（見第4章）.例3.17解方程解由于我們限于求t>0時方程的2.冪級數(shù)解法

冪級數(shù)解法適用于廣泛的一類方程.下面以二階線性方程:(3.71)為例來介紹這種方法.假設(shè)a(t)和b(t)都在t=t0附近是解析的，即在t=t0附近可展成t-t0的冪級數(shù)：(3.72)可以證明：對任意的x0、x0′，方程(3.71)都在t=t0附近有滿足初值條件:(3.73)2.冪級數(shù)解法

冪級數(shù)解法適用于廣泛的一類方程.下面的解析解，即存在函數(shù)x=x(t)，它滿足初值條件式(3.73)，并且在t=t0附近可展成冪級數(shù)：(3.74)

證明的方法是：設(shè)想初值問題式(3.71)和(3.73)的解x(t)在t=t0附近可展成式(3.74).將a(t)、b(t)和x(t)的展式代入方程(3.71)的左端，形式地逐項取微商，經(jīng)整理，便得到一個冪級數(shù).然后讓它每一項的系數(shù)都等于零，便得到一系列聯(lián)系著ck(k=0,1,…)和ak、bk(k=0,1,…)的代數(shù)關(guān)系式.利用這些關(guān)系式和初值條件式(3.73)，我們可依次將ck(k=0,1,…)通過x0、x0′和ak、bk(k=0,1,…)加以確定.確定了系數(shù)ck(k=0,1,…)，也就確定了冪級數(shù)式(3.74).可以證明：這樣確定出的冪級數(shù)式(3.74)在t=t0附近是收斂的.的解析解，即存在函數(shù)x=x(t)，它滿足初值條件式(3.73這一點一經(jīng)證明，我們就可以斷定：由這一冪級數(shù)式(3.74)表示的解析函數(shù)x=x(t)在t=t0附近一定是初值問題式(3.71)和(3.73)的解.這是因為，冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)可以逐項取微商任意多次，由系數(shù)ck(k=0,1,…)的確定方式可知，將x=x(t)的表達式（連同a(t)、b(t)的表達式(3.72))代入方程(3.71)的左端后必恒等于零.對于滿足初值問題式(3.73)，根據(jù)系數(shù)c0、c1的取法也是明顯的.在這里，我們不準備對一般的方程(3.71)來證明按上述方式確定的冪級數(shù)式(3.74)在t=t0附近的收斂性，因為在后面，我們將對更一般的方程給出這一論斷的證明.這一點一經(jīng)證明，我們就可以斷定：由這一冪級數(shù)式(3.74)表例3.18在t=0附近求解勒讓德(Legendre,1752-1833)方程:(3.75)其中α是常數(shù).解顯然在t=0附近，方程的系數(shù)都是解析的.將代入(3.75),得例3.18在t=0附近求解勒讓德(Legendre,1把左端的同冪項合在一起，并令各項的系數(shù)為零，得到下列關(guān)系式:由此得把左端的同冪項合在一起，并令各項的系數(shù)為零，得到下列關(guān)系式:于是當(dāng)m=1,2,…時于是當(dāng)m=1,2,…時取c0=1,c1=0和c0=0，c1=1,分別得到(3.76)利用達朗貝爾(D′Alembert,1717-1783)判別法容易證明，這兩個冪級數(shù)的收斂半徑為1.因此，由它們定義的兩個函數(shù)在|t|<1上都是方程(3.75)的解.由c0、c1的取法知，x1(0)=1,x1′(0)=0,x2(0)=0，x2′(0)=1,所以x1(t)與x2（t)線性無關(guān)，因而方程(3.75)的通解為取c0=1,c1=0和c0=0，c1=1,分別得到(3.7

假如a(t)、b(t)在t=t0的鄰域內(nèi)不是解析的，比如其中p(t)、q(t)都是t=t0的某鄰域內(nèi)的解析函數(shù)，則我們可試求方程(3.71)的如下形狀的級數(shù)解:其中,α和ck(k=0,1,…)都是待定常數(shù)，c0≠0.假如a(t)、b(t)在t=t0的鄰域內(nèi)不是解析的，比如例3.19在t=0附近解貝塞爾(Bessel,1784-1846)方程:(3.77)其中為非負實數(shù).

解令(3.78)把它代入方程(3.77),得例3.19在t=0附近解貝塞爾(Bessel,1784合并同冪項，并令各項系數(shù)為零，就給出因為c0≠0，所以由第一個方程(稱為指標方程)可求出α的兩個值：α=n,α＝-n.

先考慮α=n的情形.這時有合并同冪項，并令各項系數(shù)為零，就給出因為c0≠0，所以于是當(dāng)m=1,2,…時，c2m-1=0，且代入式(3.78)，得于是當(dāng)m=1,2,…時，c2m-1=0，且代入式(3.78利用達朗貝爾判別法容易驗證，它在整個t軸上有定義.利用Γ函數(shù)的性質(zhì):并取常數(shù)，進一步可得到它稱為n階貝塞爾函數(shù).利用達朗貝爾判別法容易驗證，它在整個t軸上有定義.利用Γ函數(shù)

對于α=-n的情形，如果2n不等于任何整數(shù)，或2n等于某個奇數(shù)，我們可以類似地求得與x1(t)線性無關(guān)的另一解：稱為-n階貝塞爾函數(shù).當(dāng)2n等于某個非零偶數(shù)時，不可能從上述遞推公式得出與α=-n對應(yīng)的級數(shù)解.因此在這種情形，以及在n=0的情形中，需要另想辦法.例如應(yīng)用前述降階法可得出方程(3.77)的通解：對于α=-n的情形，如果2n不等于任何整數(shù)，或2n等于某例3.20試用冪級數(shù)方法解方程:并求出冪級數(shù)解的收斂半徑及函數(shù).例3.20試用冪級數(shù)方法解方程:并求出冪級數(shù)解的收斂故故由知f(x)在(-∞,+∞)上收斂，和函數(shù)為sinx.故故由知f(x)在(-∞,+∞)上收斂，和函數(shù)為sinx 3.8線性方程的復(fù)值解

為了定義并研究復(fù)值解，我們先引進有關(guān)實變量復(fù)值函數(shù)的一些簡單概念.如果對任何t∈I，都有一確定的復(fù)值u(t)+iv(t)與之對應(yīng)，這里u(t)、v(t)都是實數(shù)，就說在區(qū)間I上給出了一個實變量的復(fù)值函數(shù)，記為z=u(t)+iv(t)，或簡記為z=φ(t).

我們說當(dāng)t→t0時，函數(shù)φ(t)=u(t)+iv(t)的極限為A=α+iβ，記為 3.8線性方程的復(fù)值解

為了定義并研究復(fù)值解，當(dāng)t→t0時，它的實部u(t)和虛部v(t)分別以α和β為極限.函數(shù)φ(t)在t=t0處連續(xù)(或可微)，是指它的實部u(t)和虛部v(t)都在t=t0處連續(xù)(或可微).φ(t)在t=t0處的微商定義為在這樣的定義下，可直接驗證，熟知的關(guān)于兩個函數(shù)之和、積、商的微商公式，對于實變量的復(fù)值函數(shù)仍然成立.

函數(shù)φ(t)在(t1,t2)上可積，是指它的實部u(t)和虛部v(t)都在(t1,t2)上可積；φ(t)在(t1,t2)上的積分定義為當(dāng)t→t0時，它的實部u(t)和虛部v(t)分別以α和β為極

以后我們用的最多的實變量復(fù)值初等函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，即行如eα+iβ的函數(shù)，這里α和β是實數(shù).我們按照下述方式來定義這種函數(shù).

大家知道，對實數(shù)τ，有實際上，右端的冪級數(shù)可以作為eτ的定義.現(xiàn)以純虛數(shù)iβ替代上式中的τ，并將實部和虛部分開，即以后我們用的最多的實變量復(fù)值初等函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，即行如e其實部和虛部恰好是cosβ和sinβ的展開式.因此我們定義

由于對任何實數(shù)τ1、τ2，有因此我們定義

在這樣的定義下，容易驗證：對任何復(fù)數(shù)λ1、λ2，有其實部和虛部恰好是cosβ和sinβ的展開式.因此我們定義同樣容易驗證如下的微分公式:其中λ為復(fù)常數(shù)，t為實變量.

有了以上的準備，我們就可以討論線性方程的復(fù)值解了.盡管我們可以針對方程的系數(shù)和非齊次項都是實變量復(fù)值函數(shù)的情形來進行，但為簡單計，我們?nèi)约僭O(shè)方程的系數(shù)和非齊次項都是區(qū)間I的實值函數(shù)，并且是連續(xù)的.

和實值解一樣，如果一個實變量的復(fù)值向量函數(shù)φ(t)恒滿足線性方程組（NH)且在I上φ′(t)存在，則稱φ(t)為線性方程組(NH)在區(qū)間I上的解.同樣容易驗證如下的微分公式:其中λ為復(fù)常數(shù)，t為實變量.由于aij(t)、f(t)都是實值函數(shù)，顯而易見，一個復(fù)值向量函數(shù)φ(t)=u(t)+iv(t)是線性方程組(NH)的解的充要條件是，它的實部u(t)是線性方程組(NH)的解，而虛部v(t)則是齊次線性方程組(LH)的解.特別是，一個復(fù)值向量函數(shù)φ(t)=u(t)+iv(t)是齊次線性方程組(LH)的解的充要條件是，它的實部u(t)和虛部v(t)都是齊次線性方程組(LH)的解.

根據(jù)這一事實和前面已經(jīng)得到的結(jié)果，容易看出：關(guān)于線性方程組(NH)的初值問題的存在與唯一性定理以及關(guān)于齊次線性方程組(LH)和線性方程組(NH)通解結(jié)構(gòu)的定理等，對于復(fù)值解仍然成立.只不過在存在與唯一性定理中，初值ξ可取為n維復(fù)向量，在通解的表達式中，c1,c2,…,cn是復(fù)常數(shù).由于aij(t)、f(t)都是實值函數(shù)，顯而易見，一個復(fù)第3章線性方程3.1引言3.2解的存在性與唯一性3.3齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)3.4非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)3.5邊值問題和周期解3.6高階線性方程3.7線性微分方程的一些求解方法3.8線性方程的復(fù)值解第3章線性方程3.1引言 3.1引言

在第2章中，我們介紹了解微分方程的一些初等積分法，利用這些方法，人們可以求得方程的通解表達式.然而，能用初等積分法解出的微分方程是很少的.這就迫使人們將注意力轉(zhuǎn)移到直接根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)以及出現(xiàn)在方程中的函數(shù)的性質(zhì)去探索解的各種性質(zhì)，建立方程的各種理論.本章至第5章所要講述的就是沿著這個方向建立的基本理論和基本方法. 3.1引言

在第2章中，我們介紹了解微分

本章研究一類具有特殊結(jié)構(gòu)的方程，即線性方程.這類方程，雖然結(jié)構(gòu)簡單，但一般不能用初等積分法求得它的通解表達式.然而，人們可直接根據(jù)方程的特點，從理論上推斷它的通解具有簡單而清晰的結(jié)構(gòu).這一重要事實不僅是線性方程理論的基石，而且在非線性方程的研究中也有著重要的應(yīng)用.本章研究一類具有特殊結(jié)構(gòu)的方程，即線性方程.這類方程，雖

由于高階微分方程式總可以化成一階微分方程組，因此本章將首先研究一階線性微分方程組，然后將一階線性微分方程組的結(jié)果應(yīng)用到高階線性微分方程式上.所謂一階線性微分方程組,是指形如(3.1)的方程組，它的右端是x1,…,xn的線性函數(shù)，這里aij、fi(i,j=1,…,n)都是區(qū)間I上的已知函數(shù).由于高階微分方程式總可以化成一階微分方程組，因此本章將首

為了書寫方便，引進向量和矩陣記號.記則方程組(3.1)可以簡寫為(3.2)其中,A(t)和f(t)分別稱為系數(shù)矩陣和非齊次項.當(dāng)非齊次項f(t)≡0時，式(3.2)變成(3.3)為了書寫方便，引進向量和矩陣記號.記則方程組(3.1)可它稱為齊次線性微分方程組.而當(dāng)非齊次項，即fi(t)(i=1,…,n)不都恒等于零時，式(3.2)稱為非齊次線性微分方程組.

初值條件也可簡記為其中為維列向量，即向量的轉(zhuǎn)置.以后凡談到向量，如無特殊說明，都是指列向量.為了便于對寫成向量和矩陣形式的微分方程組(3.2)進行討論，我們引進一些記號和概念.它稱為齊次線性微分方程組.而當(dāng)非齊次項

稱一矩陣（包括作為特殊矩陣的向量）函數(shù)是連續(xù)（或可微，或連續(xù)可微，等等）的，指的是它的每一個元素都是連續(xù)（或可微，或連續(xù)可微，等等）的；一矩陣函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或積分，或極限）,是指這樣一個矩陣函數(shù)，它的各個元素是原矩陣的相應(yīng)元素的導(dǎo)數(shù)（或積分，或極限）；稱一矩陣函數(shù)序列是收斂（或在區(qū)間Ｉ上一致收斂）的，指的是它的每一個相應(yīng)元素作成的序列是收斂（或在區(qū)間I上一致收斂）的.

如果稱一矩陣（包括作為特殊矩陣的向量）函數(shù)是連續(xù)（或可微，或則記而依次稱為向量x和矩陣A的模，也稱為范數(shù).從定義出發(fā)，容易推出如下幾個不等式：

(1)|Ax|≤|A|·|x|.(2)若B也是n×n矩陣，則|AB|≤|A|·|B|；特別對任意自然數(shù)m，有則記而依次稱為向量x和矩陣A的模，也稱為范數(shù).從定義出發(fā)，

(3)三角不等式：若y也是n維向量，則|x+y|≤|x|+|y|.

(4)若x(t)是n維向量，且在a≤t≤b上連續(xù)，則(3)三角不等式：若y也是n維向量，則|x+y|≤|x| 3.2解的存在性與唯一性

對于一個不能用初等積分法求解的微分方程，首要問題是，它是否有解？更明確地說，是否有滿足給定初值條件的解？進而還要問：滿足給定初值條件的解是否唯一？這些問題得不到滿意的回答，就很難再談關(guān)于這一方程的其他研究.下面的定理就線性方程組的情形對上述問題給出了完滿的回答，它是線性微分方程理論的基礎(chǔ). 3.2解的存在性與唯一性

對于一個不能用初等積分

定理3.1設(shè)A(t)和f(t)均在區(qū)間I上連續(xù)，則對任一t0∈I和任意n維常向量ξ,方程組(3.2)恒有定義在整個區(qū)間I上且滿足初值條件式(3.4)的解.此外，方程組(3.2)也只能有一個解滿足初值條件式(3.4).

證明這個定理的證明分4步完成.

(1)把初值問題式(3.2)、(3.4)化成下述等價的積分方程組：(3.5)等價的意思是：如果x=φ(t)是初值問題式(3.2)、(3.4)的解，則它是積分方程組(3.5)的連續(xù)解；反之，如果x=φ（t)是積分方程組(3.5)的連續(xù)解，則它必是初值問題式(3.2)、(3.4)的解.這樣一來，我們就只需證明：積分方程組(3.5)在區(qū)間I上有連續(xù)解，且只能有一個連續(xù)解.定理3.1設(shè)A(t)和f(t)均在區(qū)間I上連續(xù)，則對任(2)用逐步逼近法構(gòu)造皮卡（Picard,1856-1941）序列，即用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，φk(t)(k=1,2,…)在區(qū)間I上有定義且連續(xù).(2)用逐步逼近法構(gòu)造皮卡（Picard,1856-19(3)證明序列{φk(t)}在區(qū)間I內(nèi)一致收斂（即在I的任意有限閉子區(qū)間上一致收斂），且其極限函數(shù)是積分方程組(3.5)在區(qū)間I上的連續(xù)解.

事實上，假設(shè)I1是I的一個任意給定的有限閉子區(qū)間，且t0∈I1.由序列與級數(shù)的關(guān)系知，只需證明無窮級數(shù)(3.7)在I1上一致收斂.以K表示|A(t)|和|A(t)ξ+f(t)|在I1上的一個公共上界.于是當(dāng)t∈I1時,有(3)證明序列{φk(t)}在區(qū)間I內(nèi)一致收斂（即在I的用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對任意自然數(shù)m，有用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對任意自然數(shù)m，有(常微分方程)第3章線性方程課件(4)證明唯一性，即證明：如果x=ψ(t)，在區(qū)間上是方程組(3.5)的連續(xù)解，且t0∈I0，則在I0上必有(3.8)(3.9)于是我們有(4)證明唯一性，即證明：如果x=ψ(t)，在區(qū)間把它代入式(3.9)右端，進而得到用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對任意自然數(shù)m，有將定理3.1應(yīng)用于方程組(3.3)特別就有把它代入式(3.9)右端，進而得到用數(shù)學(xué)歸納法容易證明，對引理3.1方程組(3.3)的解，若在區(qū)間I的某點處為零（向量），則必在區(qū)間I上恒等于零（向量）.

證明設(shè)x=x(t)是方程組(3.3)在I上的解，它在t0∈I處為零（向量）,則x=x(t)是方程組(3.3)滿足初值條件x(t0)=0的解.由于x=0也是此方程組滿足同一初值條件的解，因此根據(jù)定理3.1所指出的唯一性即知，必有引理證完.引理3.1方程組(3.3)的解，若在區(qū)間I的某點處為零注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程組(3.2)的初值問題的方法.注3.3設(shè)I=R1且A(t)和f(t)是以正數(shù)ω為周期的周期函數(shù),x=φ(t)是方程組(3.2)在R1上的解，則φ(t)是以ω為周期的周期函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)φ(0)=φ(ω).注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程組(3.2)的初例3.1半徑為R的球一半沉入水中，用手將其稍微向下按后放手，球即上下振動，求振