2022版新人教版必修2第6章5平面向量數(shù)量積坐標表示

第六章

§6.3平面向量基本定理及坐標表示掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會進行平面向量數(shù)量積的坐標運算.能夠用兩個向量的坐標來解決與向量的模、夾角、垂直有關的問題.學習目標導語，前面

學習了平面向量數(shù)量積及其性質(zhì)， 也學會了用“坐標語言”去描述向量的加法、減法、數(shù)乘運算，那么，能否用坐標去表示兩向量的數(shù)量積呢？隨堂演練

對點練一、平面向量數(shù)量積的坐標表示二、平面向量的模三、平面向量的夾角、垂直問題內(nèi)容索引一、平面向量數(shù)量積的坐標表示問題在平面直角坐標系中，設i，j分別是與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量，你能計算出i·i，j·j，i·j的值嗎？若設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能給出a·b的值嗎？提示

ii·

＝1，jj·

＝1，ij·

＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴ab·

＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵ii·

＝1，jj·

＝1，ij·

＝ji·

＝0，∴ab·

＝x1x2＋y1y2.設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab·

＝

.x1x2＋y1y2知識梳理例1

(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)等于A.10

√B.－10C.3

D.－3解析

a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x等于A.6

B.5√C.4D.3解析

由題意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.感悟

進行數(shù)量積運算時，要正確使用公式ab·

＝x1x2＋y1y2，并能靈活運用以下幾個關系(1)|a|2＝a·a.(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.訓練

1

已知正方形

ABCD

的邊長為

2，E

為

CD

的中點，點

F

在→

→ →

→解析

建立平面直角坐標系

，則A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)，2AD

上，AF＝2FD，則BE·CF＝

3

.→

→

4

3

因為AF＝2FD，所以

F

，2.→

→4

3

23所以BE＝(2,1)，CF＝

，2－(2,0)＝－

，2，→

→23

2

323所以BE·CF＝(2,1)·－，2＝2×－

＋1×2＝

.二、平面向量的模x2＋y2

.1.若a＝(x，y)，則|a|2＝

x2＋y2

或|a|＝2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝.知識梳理x2－x12＋y2－y12例2

設平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于√A.5B.6C.17D.26解析

∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，從而

3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝

5.感悟

求向量a＝(x，y)的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模時，勿忘記開方.(2)a·a＝a2＝|a|2

或|a|＝

a2＝

x2＋y2，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.訓練

2

已知向量

a＝(2,1)，ab·

＝10，|a＋b|＝52，則|b|等于A.

5

B.

10解析

∵a＝(2,1)，∴a2＝5，√C.5D.25又|a＋b|＝5

2，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.三、平面向量的夾角、垂直問題設a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.|a||b|1.cos

θ＝

ab·

＝.x1x2＋y1y2＝0

.知識梳理x1x2＋y1y2x2＋y2

x2＋y21

1

2

22.a⊥b?：兩向量垂直與兩向量平行的坐標表示易

.兩向量夾角的余弦值大于0的夾角不一定是銳角.例3

已知a＝(4,3)，b＝(－1,2).(1)求a與b夾角的余弦值；5，設a

與b

的夾角為θ，解

因為a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝

42＋32＝5，|b|＝

－12＋22＝5

5|a||b|

25所以

cos

θ＝

a·b

＝

2

＝

.2

5(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實數(shù)λ的值.52所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝

9

.解

因為a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，感悟

解決向量夾角問題的方法及注意事項|a||b|x1x2＋y1y2x2＋y2

x2＋y21

1

2

2(1)求解方法：由

cosθ＝

a·b

＝ 直接求出

cos

θ.(2)注意事項：利用三角函數(shù)值cos

θ求θ的值時，應注意角θ的取值范圍情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；cos

θ>0時，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.是0°≤θ≤180°.利用cos

θ＝

判a·b斷θ的值時，要注意cos

θ<0時，有兩種|a||b|訓練3

(1)已知向量

a＝(1，3)，b＝(3，m).若向量a，b

的夾角為π，則實數(shù)m

等于6A.2

3√B.解析

因為

a＝(1，D.－

33

C.03)，b＝(3，m).所以|a|＝2，|b|＝

9＋m2，a·b＝3＋

3m，又

a，b

的夾角為π，所以

a·b

＝cos

π，6

|a||b|

62

9＋m223＋

3m

3即

＝ ，所以

3＋m＝

9＋m2，解得

m＝

3.(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，1).若向量a＋b與a垂直，則m＝

7

.解析

∵a＝(－1,2)，b＝(m，1)，∴a＋b＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1,3).又a＋b與a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.1.知識

：(1)平面向量數(shù)量積的坐標表示.(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0(a，b為非零向量).x1x2＋y1y2課堂小結x2＋y2

x

＋y2

21

1

2

2(3)cos

θ＝

(θ

為非零向量

a，b

的夾角).方法歸納：化歸與轉(zhuǎn)化.常見誤區(qū)：兩向量夾角的余弦公式易記錯.隨堂演練1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1,3)，ab·

＝3，則x等于A.3

B.－3

C.53D.－53√1234解析

ab·

＝－x＋6＝3，故x＝3.2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，則a與b夾角的余弦值為A.63C.65135√B.

65D.

13解析

|a|＝

32＋42＝5，|b|＝52＋122＝13.ab·

＝3×5＋4×12＝63.設a

與b

的夾角為θ，所以cos

θ＝5×1363

63＝65.12343.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于B.

2D.4A.1√C.2解析

∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|＝

12＋n2＝2.1234AB·AC|BC|4.已知點

A(0,1)，B(1，－2).向量→

＝(4，－1)，則→

→

＝

7

，→

＝ 13

.AC→解析

AB＝(1，－3)，∴→

→AB·AC＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，→

→

→BC＝AC－AB＝(4，－1)－(1，－3)＝(3,2)，∴

→|BC|＝32＋22＝

13.1234對點練1.(多選)設向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則下列結論中正確的是√A

|a|＝b2C.a∥bB.a·b＝0√D.(a－b)⊥b解析

|a|＝b2＝2，故A正確，B，C顯然錯誤，a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.故D正確.基礎鞏固12345678910

11

12

13

14

15

162.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|等于D.10√B.

10A.

5C.2

5解析

由題意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a＋b|＝

10.12345678910

11

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13

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15

1612345678910

11

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13

14

15

163.已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，則△ABC的形狀是B.銳角三角形

D.等邊三角形√A.直角三角形C.鈍角三角形解析

由題設知→＝(8，－4)，

→

＝(2,4)，

→

＝(－6,8)，AB

AC

BC所以→

→

→

→AB·AC＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB⊥AC.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形.4.平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|等于3

C.4

D.12√B.2A.

3解析

a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos

60°＝1.∴|a＋2b|＝

a2＋4a·b＋4b2＝2

3.12345678910

11

12

13

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15

16OA

OC5.設點A(4,2)，B(a，8)，C(2，a)，O

為坐標原點，若四邊形OABC

是平行四邊形，則向量→與→的夾角為A.π3B.π4C.π

D.π6

2√12345678910

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15

16解析

∵四邊形OABC是平行四邊形，∴

→

→OA＝CB，即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)，∴a＝6，∵

→

＝(4,2)，

→

＝(2,6)，OA

OC設向量→與→的夾角為

θ，OA

OC→

→→

→|OA||OC|∴cos

θ＝

OA·OC

＝4×2＋2×642＋22×

22＋62＝22，OA

OC4又θ∈(0，π)，∴→與→的夾角為π.12345678910

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15

166.若平面向量a＝(1，－2)與b的夾角是180°，且|b|＝B.(3，－6)D.(－6,3)√A

(－3,6)C.(6，－3)35，則b等于解析

由題意，設b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，則|b|＝

λ2＋－2λ2＝

5|λ|＝3

5，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).12345678910

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1612345678910

11

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167.已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，則a·(

a＋2b)＝

4

.解析

∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(

a＋2b)＝4.8.設向量a＝(1,0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，則m＝_－1

.解析

由題意得ma－b＝(m＋1，－m)，根據(jù)向量垂直的充要條件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.12345678910

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169.已知向量a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(1，－1).(1)若|c|＝3

2，且

c∥a，求向量

c

的坐標；解

設

c＝(x，y)，由|c|＝32，c∥a

可得12345678910

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162

2所以y＋x＝0，

x＝－3，x

＋y

＝18，

y＝3或x＝3，y＝－3，故c＝(－3,3)或c＝(3，－3).(2)若b是單位向量，且a⊥(a－2b)，求a與b的夾角θ.解

因為|a|＝

2，且

a⊥(a－2b)，所以

a·(

a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，故cos

θ＝

a·b

＝2，|a|·|b|

2因為θ∈[0，π]，4所以θ＝π.12345678910

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15

166因為θ∈[0，π]，所以向量

a－b

與a

的夾角為π.10.已知向量

a＝(1，3)，b＝(－2,0).(1)求a－b的坐標以及a－b與a之間的夾角；解因為向量

a＝(1，3)，b＝(－2,0)，所以a－b＝(1，3)－(－2,0)＝(3，3)，設a－b與a之間的夾角為θ，所以cos

θ＝a－b·a|a－b|·|a|＝

6

＝

3.4

3

212345678910

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14

15

16(2)當t∈[－1,1]時，求|a－tb|的取值范圍.

1

2解

|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4t＋

2＋3.易知當t∈[－1,1]時，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范圍是[

3，2

3

].12345678910

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15

1611.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ等于A.－4√B.－3C.－2

D.－1解析

由m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.綜合運用12345678910

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13

14

15

1612.(多選)在△ABC中，AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，若△ABC

是直角三角形，則k的值可能為23√A.－B.113C3±

132D.23√12345678910

11

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14

15

16√AB

AC解析

∵→＝(2,3)，

→

＝(1，k)，∴

→

→

→BC＝AC－AB＝(－1，k－3).若∠A＝90°，則→·

→＝2×1＋3×k＝0，∴kAB

AC2＝－3；若∠B＝90°，則→·

→＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴kAB

BCAC

→

＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝3±

132

.3±

13故所求

k

的值為－2

11或3或

3

2.11＝

3

；12345678910

11

12

13

14

15

1612345678910

11

12

13

14

15

1613.已知O

為坐標原點，向量→＝(2,2)，→＝(4,1)，在x

軸上有一點

P

使OA

OB得→→AP·BP有最小值，則點P

的坐標是A.(－3,0)

B.(2,0)√C.(3,0)D.(4,0)解析

設點

P

的坐標為(x，0)，則→

＝(x－2，－2)，AP→BP＝(x－4，－1).→

→AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，→

→所以當x＝3

時，AP·BP有最小值

1.此時點P的坐標為(3,0).2EC→12345678910

11

12∵AB＝

2，BC＝2，∴A(0,0)，B(

2，0)，C(

2，2)，D(0,2)，∵點E

在邊CD

上，且→＝2ECDE→

，

32

22

23→

→

∴E

，2.∴AE＝

，2，BE＝－23，2，∴→

→4

32AE·BE＝－9＋4＝

9

.解析

以A為原點，AB所在直線為x軸、AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系.12345678910

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13

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15

1615.已知A，B，C是銳角三角形ABC的三個內(nèi)角，向量p＝(sin

A，1)，q＝(1，－cos

B)，則p與q的夾角是B.鈍角

D.不確定√A

銳角C.直角探究12345678910

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15

162解析

因為△ABC

是銳角三角形，所以

A＋B>π，

π

π即2＞A＞2－B＞0，

π

2又因為函數(shù)y＝si