高三數(shù)學(xué)經(jīng)典教案--高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(全套)

數(shù)學(xué)教案

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、

極值、最值(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則有

在區(qū)間[a,b]上恒成立.

(3)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,則有

在區(qū)間[a,b]上恒成立.

(4)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào),則y=f'(x)在該區(qū)間內(nèi)

.

-3-知識(shí)梳理雙基自測2311.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)已知函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),①如果f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)

;

②如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)

;

③若f'(x)=0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是

.

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

常數(shù)函數(shù)

f'(x)≥0

f'(x)≤0

不變號(hào)

-4-知識(shí)梳理雙基自測2312.函數(shù)的極值(1)判斷f(x0)是極值的方法一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)且f'(x0)=0,①如果在x0附近的左側(cè)

,右側(cè)

,那么f(x0)是極大值;

②如果在x0附近的左側(cè)

,右側(cè)

,那么f(x0)是極小值.

(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟①確定函數(shù)的定義域,并求f'(x);②求方程

的根;

f'(x)>0

f'(x)<0f'(x)<0f'(x)>0f'(x)=0-5-知識(shí)梳理雙基自測231③檢查方程

的根是否在定義域內(nèi),若在,則看根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào).如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得

;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得

.

f'(x)=0極大值

極小值

3.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則

為函數(shù)的最小值,

為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,則

為函數(shù)的最大值,

為函數(shù)的最小值.

(3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值的步驟.①求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的

;

②將f(x)的各極值與

進(jìn)行比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.

-6-知識(shí)梳理雙基自測231f(a)f(b)

f(a)f(b)極值

f(a),f(b)2-7-知識(shí)梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則一定有f'(x)>0.(

)(2)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的.(

)(3)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).(

)(4)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.(

)(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值.(

)答案答案關(guān)閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√

6-8-知識(shí)梳理雙基自測234152.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(

)答案解析解析關(guān)閉設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的三個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.所以在區(qū)間(-∞,x1)和(x2,x3)內(nèi),f'(x)<0,f(x)是減函數(shù),在區(qū)間(x1,x2)和(x3,+∞)內(nèi),f'(x)>0,f(x)是增函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象可能為D,故選D.答案解析關(guān)閉D6-9-知識(shí)梳理雙基自測2341563.函數(shù)f(x)=x2-2lnx的單調(diào)減區(qū)間是(

)A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-10-知識(shí)梳理雙基自測2341564.函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是(

)A.-2 B.0 C.2 D.4答案解析解析關(guān)閉∵f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.∴f(x)在[-1,0)上是增函數(shù),在(0,1]上是減函數(shù).∴f(x)max=f(0)=2.答案解析關(guān)閉C-11-知識(shí)梳理雙基自測2341565.(2016山西朔州模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x在定義域上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

答案解析解析關(guān)閉∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x在定義域上是增函數(shù),∴f'(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立,∴Δ=4a2-36≤0,解得-3≤a≤3.答案解析關(guān)閉[-3,3]

-12-知識(shí)梳理雙基自測234156答案解析解析關(guān)閉由題意知,只在x=-1處f'(-1)=0,且其左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正.答案解析關(guān)閉16.(教材習(xí)題改編P32T4)如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象,則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

.

-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向一

討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間例1(2018全國Ⅰ,理21)已知函數(shù)f(x)=-x+alnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性;思考如何利用導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間?-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)證明：由(1)知,f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨設(shè)x1<x2,則x2>1.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向二

已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

思考已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路是什么?-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的方法(1)方法一:①確定函數(shù)y=f(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x);③解不等式f'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;④解不等式f'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.(2)方法二:①確定函數(shù)y=f(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定義域內(nèi)的一切實(shí)根;③把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間;-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3④確定f'(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào),根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.要特別注意的是,涉及含參數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的問題,一定要弄清參數(shù)對(duì)導(dǎo)數(shù)f'(x)在某一區(qū)間內(nèi)的符號(hào)是否有影響.若有影響,則必須分類討論.-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)32.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題方法(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增(或遞減)求參數(shù)范圍問題,可轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0(或f'(x)≤0)對(duì)x∈D恒成立問題,再參變分離,轉(zhuǎn)化為求最值問題,要注意“=”是否取到.(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間,實(shí)際上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在該區(qū)間上存在解集,這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式問題.(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性,區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí),可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集,從而可求出參數(shù)的取值范圍.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3①若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;②若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x,討論f(x)的單調(diào)性;-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,則f(x)=e2x,在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.②若a>0,則由f'(x)=0得x=ln

a.當(dāng)x∈(-∞,ln

a)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(ln

a,+∞)時(shí),f'(x)>0.故f(x)在(-∞,ln

a)上單調(diào)遞減,在(ln

a,+∞)上單調(diào)遞增.-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)①若a=1,則f(x)=3x-2x2+ln

x的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,即函數(shù)f(x)=3x-2x2+ln

x單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,即函數(shù)f(x)=3x-2x2+ln

x單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例3已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R).(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.思考函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值有怎樣的關(guān)系?-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-aln

a,無極大值.綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln

a,無極大值.-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f'(x0)=0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f'(x)的符號(hào)不同.2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,則函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),即若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間上一定沒有極值.3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的一般流程:-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為(

)A.-1 B.-2e-3 C.5e-3

D.1A-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:由題意可得,f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因?yàn)閤=-2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),所以f'(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f'(x)=(x2+x-2)ex-1.令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極小值,并且極小值為f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故選A.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)已知函數(shù)f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)為偶函數(shù),且曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線的斜率為4-c.①確定a,b的值;②若c=3,判斷f(x)的單調(diào)性;③若f(x)有極值,求c的取值范圍.解:①對(duì)f(x)求導(dǎo),得f'(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f'(x)為偶函數(shù),知f'(-x)=f'(x)恒成立,即2(a-b)(e2x-e-2x)=0,所以a=b.又f'(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.②當(dāng)c=3時(shí),f(x)=e2x-e-2x-3x,則故f(x)在R上為增函數(shù).-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3③由(1)知f'(x)=2e2x+2e-2x-c,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.下面分三種情況進(jìn)行討論:當(dāng)c<4時(shí),對(duì)任意x∈R,f'(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此時(shí)f(x)無極值;當(dāng)c=4時(shí),對(duì)任意x≠0,f'(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此時(shí)f(x)無極值;當(dāng)c>4時(shí),令e2x=t,當(dāng)x<x1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x1<x<x2時(shí),f'(x)<0;-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3當(dāng)x>x2時(shí),f'(x)>0,從而f(x)在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值.綜上,若f(x)有極值,則c的取值范圍為(4,+∞).-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解

(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(-2,+∞).當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),f'(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.因此當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)>f(0)=-1.所以(x-2)ex>-(x+2),即(x-2)ex+x+2>0.由(1)知,f(x)+a在定義域上單調(diào)遞增.對(duì)任意a∈[0,1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0.因此,存在唯一xa∈(0,2],使得f(xa)+a=0,即g'(xa)=0.-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-36-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的方法:(1)若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增或遞減,則f(a)與f(b)一個(gè)為最大值,一個(gè)為最小值.(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)有極值,要先求出[a,b]上的極值,與f(a),f(b)比較,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn),這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn),此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.-37-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)若函數(shù)f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0≤x≤1)在x=1處取得最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-38-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.①求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;解：①因?yàn)閒(x)=excos

x-x,所以f'(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,f'(0)=0.又因?yàn)閒(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=1.②設(shè)h(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,則h'(x)=ex(cos

x-sin

x-sin

x-cos

x)=-2exsin

x.3.3

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用-40-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例1設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c-1)x>cx.思考利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本思路是什么?(1)解：(導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性)由題設(shè),f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=-1,令f'(x)=0解得x=1.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.-41-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)證明：由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當(dāng)x≠1時(shí),ln

x<x-1.(3)證明：由題設(shè)c>1,(構(gòu)造函數(shù))設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g'(x)=c-1-cxln

c,-42-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí),可移項(xiàng)使不等式一邊化為0的形式,再構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值問題,即利用求導(dǎo)方法求單調(diào)區(qū)間,比較函數(shù)值與0的關(guān)系.如證明不等式f(x)<g(x),可構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),證明h(x)min<0即可,也可證明f(x)max<g(x)min.-43-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(1)證明:f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;(2)若0<a<x<1,證明:g(x)>1.所以當(dāng)0<x<1時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.又h(1)=0,所以當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)<0,即f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.-44-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3令t(x)=ax-xln

a-1,0<a<x<1,則t'(x)=axln

a-ln

a=(ax-1)ln

a>0,所以t(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,即t(x)>t(0)=0,所以ax>xln

a+1.所以g(x)=ax+xa>xa+xln

a+1=x(xa-1+ln

a)+1>x(1+ln

a)+1>1.綜上,g(x)>1.-45-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2設(shè)f(x)=xex,g(x)=x2+x.(1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值;(2)若任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1>x2,有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.思考利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的基本思路是什么?解:(1)∵F(x)=f(x)+g(x)=xex+x2+x,∴F'(x)=(x+1)(ex+1),令F'(x)>0,解得x>-1,令F'(x)<0,解得x<-1,∴F(x)在(-∞,-1)內(nèi)遞減,在(-1,+∞)內(nèi)遞增.-46-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)∵任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1>x2,有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立,∴mf(x1)-g(x1)>mf(x2)-g(x2)恒成立.解題心得利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,然后求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,最后求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.-47-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax的下方,求a的取值范圍.-48-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-49-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-50-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例3已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.思考如何利用導(dǎo)數(shù)求與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍?解:(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).(ⅰ)若a≤0,則f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.(ⅱ)若a>0,則由f'(x)=0得x=-ln

a.當(dāng)x∈(-∞,-ln

a)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(-ln

a,+∞)時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-ln

a)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-ln

a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.-51-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(ⅱ)若a>0,由(1)知,當(dāng)x=-ln

a時(shí),f(x)取得最小值,又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(-∞,-ln

a)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).-52-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖象,討論其圖象與x軸的位置關(guān)系(或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題),進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍.-53-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.解:

f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(ⅰ)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).(ⅱ)設(shè)a>0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.-54-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3故當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1時(shí),f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).故當(dāng)x∈(1,ln(-2a))時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(ln(-2a),+∞)時(shí),f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1時(shí)f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上,a的取值范圍為(0,+∞).(ⅲ)設(shè)a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).-55-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)證明:不妨設(shè)x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減,所以x1+x2<2等價(jià)于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g'(x)=(x-1)(e2-x-ex).所以當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<0,而g(1)=0,故當(dāng)x>1時(shí),g(x)<0.從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.3.4

定積分與微積分基本定理-57-知識(shí)梳理雙基自測2314-58-知識(shí)梳理雙基自測23142.定積分的幾何意義(1)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且恒有f(x)≥0時(shí),定積分

的幾何意義是由直線x=a,x=b,y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖①中陰影部分).圖①

圖②(2)一般情況下,定積分

的幾何意義是介于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(圖②中陰影部分),其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值,在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù).-59-知識(shí)梳理雙基自測2314-60-知識(shí)梳理雙基自測2314F(b)-F(a)

2-61-知識(shí)梳理雙基自測341答案答案關(guān)閉(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√-62-知識(shí)梳理雙基自測2341答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-63-知識(shí)梳理雙基自測2341A.-1 B.1C.2 D.4答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-64-知識(shí)梳理雙基自測23414.一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度v(t)=(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位:m)為

m.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-65-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-66-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-67-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得計(jì)算定積分的解題步驟:(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差.(2)把定積分變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分.(3)分別用求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù).(4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值,然后求其代數(shù)和.-68-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-69-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-70-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-71-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)曲線y=x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為

.

思考用定積分求平面圖形的面積的步驟有哪些?-72-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-73-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟:(1)畫出圖形;(2)確定被積函數(shù);(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo),并確定積分的上、下限;(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分,求出平面圖形的面積.-74-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)直線l過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-75-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,M是AB的中點(diǎn),則過C,M,D三點(diǎn)的拋物線與CD圍成的陰影部分的面積是

(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-76-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例3(1)從空中自由下落的一個(gè)物體,在第一秒末恰好經(jīng)過電視塔頂,在第二秒末物體落地.已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度為v=gt(g為常數(shù)),則電視塔高為(

)(2)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上,使M沿x軸正向從x=1運(yùn)動(dòng)到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x軸正向相同,則變力F(x)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功為

J(x的單位:m;力的單位:N).

思考利用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問題和變力做功問題的關(guān)鍵是什么?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-77-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得利用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問題和變力做功問題時(shí),關(guān)鍵是求出物體做變速運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系,確定好積分區(qū)間,得到積分表達(dá)式,再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求.-78-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-79-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)33.1

導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算-81-知識(shí)梳理雙基自測234156-82-知識(shí)梳理雙基自測23415(2)幾何意義:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)

處的

,切線方程為

.

(x0,f(x0))切線的斜率

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)6-83-知識(shí)梳理雙基自測234153.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)一般地,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)為f(x)的

,通常也簡稱為導(dǎo)數(shù).

導(dǎo)函數(shù)

6-84-知識(shí)梳理雙基自測234154.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

αxα-1

cosx-sinxaxlna(a>0,且a≠1)ex6-85-知識(shí)梳理雙基自測234155.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]'=

;

(2)[f(x)·g(x)]'=

;

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)6-86-知識(shí)梳理雙基自測2341566.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=

,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于

的導(dǎo)數(shù)與

的導(dǎo)數(shù)的乘積.

y'u·u'x

y對(duì)uu對(duì)x2-87-知識(shí)梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.(

)(2)求f'(x0)時(shí),可先求f(x0),再求f'(x0).(

)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(

)(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.(

)(5)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與過點(diǎn)P(x0,y0)的切線相同.(

)答案答案關(guān)閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

-88-知識(shí)梳理雙基自測234152.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),如果由始點(diǎn)起經(jīng)過ts后的位移為那么速度為零的時(shí)刻是(

)A.0s B.1s末C.2s末 D.1s末和2s末答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-89-知識(shí)梳理雙基自測23415答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-90-知識(shí)梳理雙基自測23415答案解析解析關(guān)閉f(x)=xex,∴f(1)=e,f'(x)=ex+xex,∴f'(1)=2e,∴f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f