2023屆甘肅省武威市重點(diǎn)中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．2．如圖，圓是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．3．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出屬于（）A． B． C． D．5．設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．6．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A． B．1 C． D．i7．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．8．設(shè)集合，，若，則（）A． B． C． D．9．已知向量，是單位向量，若，則（）A． B． C． D．10．已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則的值是()A．29 B．30 C．31 D．3211．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A． B． C． D．12．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個(gè)D．去年同期浙江省的GDP總量超過(guò)了4500億元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量的分布列如表所示，則______，______．-10114．已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，且在第一象限，若，則直線(xiàn)的斜率是_________．15．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為_(kāi)_________．16．設(shè)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)，有下列三個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)；②若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，則；③對(duì)，，函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)可以組成等差數(shù)列．其中，正確命題的序號(hào)是_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，是棱中點(diǎn).（1）已知點(diǎn)在棱上，且平面平面，試確定點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.18．（12分）百年大計(jì)，教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號(hào)召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長(zhǎng)班進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.（其中表示通過(guò)自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)，表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù)）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）（2）若已知該校2019年通過(guò)自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人，預(yù)測(cè)2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；（3）若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳，在選取的5個(gè)人中再選取2人進(jìn)行演講，求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，19．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為．（1）求直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；（2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求的面積．20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).求證：（1）直線(xiàn)平面EFG；（2）直線(xiàn)平面SDB.21．（12分）某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘）將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”．（1）請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表：并通過(guò)計(jì)算判斷，是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流．（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會(huì)交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63522．（10分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，若，在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使，求證：點(diǎn)在定直線(xiàn)上.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【答案解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象，即可排除；對(duì)B滿(mǎn)足函數(shù)定義，故符合；對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒(méi)有原象，故可否定．故選B．2．C【答案解析】

建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.【題目詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，AD所在直線(xiàn)為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【答案點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法.3．A【答案解析】

將整理成的形式，得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn)，從而可選出所在象限.【題目詳解】解：，所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.4．B【答案解析】

由題意，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，求解即得解.【題目詳解】由題意可知，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，當(dāng)；當(dāng)綜上：.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查了條件分支的程序框圖，考查了學(xué)生邏輯推理，分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．A【答案解析】

根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng)，即得的值.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6．A【答案解析】

由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得，則答案可求.【題目詳解】解：∵，∴，，則化為，∴z的虛部為.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.7．A【答案解析】

由及得到、，進(jìn)一步得到，再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，，所?故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.8．A【答案解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【題目詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.9．C【答案解析】

設(shè)，根據(jù)題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【題目詳解】設(shè)，，是單位向量，,，，聯(lián)立方程解得：或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查向量的模、夾角計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意的兩種情況.10．B【答案解析】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．【題目詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，a4與a7的等差中項(xiàng)為，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（負(fù)值舍去），則有S5===1．故選C．【答案點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．C【答案解析】

根據(jù)程序框圖寫(xiě)出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時(shí).【題目詳解】第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時(shí)，滿(mǎn)足輸出的值為8.故選：C【答案點(diǎn)睛】此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫(xiě)出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.12．D【答案解析】

根據(jù)折線(xiàn)圖、柱形圖的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【題目詳解】由折線(xiàn)圖可知A、B項(xiàng)均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個(gè).故C項(xiàng)正確；.故D項(xiàng)不正確.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查折線(xiàn)圖、柱形圖的識(shí)別，考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值，最后求得的值，由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【題目詳解】由題意可知，解得（舍去）或.則，則，由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì)，均值的計(jì)算公式，方差的計(jì)算公式，方差的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14．【答案解析】

作出準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，利用拋物線(xiàn)的定義把拋物線(xiàn)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用平面幾何知識(shí)計(jì)算出直線(xiàn)的斜率．【題目詳解】設(shè)是準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線(xiàn)斜率為．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用拋物線(xiàn)的定義，把拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，用平面幾何方法求解．15．1【答案解析】試題分析：，即虛部為1，故填：1.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算16．①②③【答案解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)又因?yàn)闉榕己瘮?shù)可畫(huà)出的圖象，如下所示：可知當(dāng)時(shí)有5個(gè)不同的零點(diǎn)；故①正確；若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，即，與的交點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，時(shí)恒成立又當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象，如下所示：直線(xiàn)與圖象的公共點(diǎn)不超過(guò)個(gè)，則，故②正確；對(duì)，偶函數(shù)的圖象，如下所示：，使得直線(xiàn)與恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）為中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角最大，最大角的正弦值.【答案解析】

(1)為中點(diǎn),可利用中位線(xiàn)與平行四邊形性質(zhì)證明，，從而證明平面平面；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.【題目詳解】（1）為中點(diǎn)，證明如下：分別為中點(diǎn)，又平面平面平面又，且四邊形為平行四邊形，同理，平面，又平面平面（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則取平面的法向量為則令，則所以當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角最大，最大角的正弦值.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了平面與平面的平行，直線(xiàn)與平面所成角的求解，考查了學(xué)生的直觀想象與運(yùn)算求解能力.18．（1）；（2）117人；（3）分布列見(jiàn)解析，【答案解析】

（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（2）根據(jù)回歸直線(xiàn)方程計(jì)算公式，計(jì)算可得人數(shù)；（3）和被選中的人數(shù)分別為2和3，利用超幾何分布分布列的計(jì)算公式，計(jì)算出的分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）由題，所以線(xiàn)性回歸方程為（若第一問(wèn)求出.）（2）當(dāng)時(shí)，所以預(yù)測(cè)2019年高考該?？既朊５娜藬?shù)約為117人（3）由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3，進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的所有可能取值為0，1，2，，的分布列為012【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)有關(guān)計(jì)算，考查回歸直線(xiàn)方程的計(jì)算，考查期望的計(jì)算，考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.19．（1）（2）【答案解析】

（1）先消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，再利用求解.（2）直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程聯(lián)立，得，求得弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再求的面積.【題目詳解】（1）由已知消去得，則，所以，所以直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（2）由，得，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極分別為，，則，，所以，又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離所以【答案點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20．（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【答案解析】

(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【題目詳解】（1）連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),H為OC的中點(diǎn),由E、F為DC、BC的中點(diǎn),再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線(xiàn)平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因?yàn)閭?cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以,因?yàn)?所以平面SDB.【答案點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔