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本文格式為Word版,下載可任意編輯——運(yùn)用待定系數(shù)法求數(shù)列通項公式的步驟
房靜
待定系數(shù)法是解答高中數(shù)學(xué)問題的重要方法.有些遞推式較為繁雜,直接利用等差、等比數(shù)列的通項公式很難求得數(shù)列的通項公式,此時可奇妙利用待定系數(shù)法,根據(jù)遞推式構(gòu)造出一個輔助數(shù)列,通過求輔助數(shù)列的通項公式求得問題的答案.而運(yùn)用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式的步驟是:
1.引入待定系數(shù),將遞推式表示成另一種含有待定系數(shù)的式子;
2.利用恒等式的性質(zhì)建立關(guān)于系數(shù)的方程或方程組;
3.解方程或方程組求得待定系數(shù)的值,構(gòu)造出輔助數(shù)列;
4.求得輔助數(shù)列的通項公式;
5.由輔助數(shù)列的通項公式得到數(shù)列的通項公式.利用待定系數(shù)構(gòu)造的輔助數(shù)列可以是差數(shù)列、等
比數(shù)列、常數(shù)列,或形如an+1-an=fn、=fn
的數(shù)列,這樣便可根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式、累
加法、累乘法求得輔助數(shù)列的通項公式.
例1.已知數(shù)列an中a1=1,an+1=3an+1,求數(shù)列an的通項公式.
解:由an+1=3an+1可設(shè)an+1+x=3an+x,即an+1=3an+2x,
則2x=1,即x=
,
所以an+1+
=3è(?)an+?(?),等比數(shù)列,
得an+
=è(?)a1+
?(?)?3n-1,
則數(shù)列an的通項公式為an=
.
運(yùn)用待定系數(shù)法由形如an+1=Aan+B的遞推公式求數(shù)列的通項公式,可首先根據(jù)遞推式引入待定系數(shù)x,設(shè)an+1+x=Aan+x,將其與遞推式中an+1、an的系數(shù)相對比,得A-1x=B,求得x的值,便可構(gòu)造輔助數(shù)列an+x,求得該數(shù)列的通項公式,即可得到數(shù)列an的通項公式.
例2.已知數(shù)列an中,a1=-1,an+1=3an-2n+3,求數(shù)列an的通項公式.
解:設(shè)an+1+An+1+B=3an+An+B,∴an+1=3an+2An+2B-A,
將其與an+1=3an-2n+3比較,
∴數(shù)列an-n+1是首項為-2、公比為3的等比數(shù)列,
可得:an-n+1=-3n-1,
∴an=-3n-1+n-1.
對于形如an+1=pan+qn+C的遞推式,在用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式時,可引入待定系數(shù)A、B,將遞推式設(shè)為an+1+An+1+B=pan+An+B,再將其變形,通過比較n的系數(shù)與常數(shù)項,建立關(guān)于A、B的方程組,求得A、B的值,構(gòu)造輔助數(shù)列an-An+B,即可求得數(shù)列的通項公式.
例3.已知數(shù)列an中,a1=-1,且an+1=2an+4×3n-1,求數(shù)列an的通項公式.
解:設(shè)an+1+α?3n+1=2an+α?3n,
∴an+1=2an-α?3n,
∵an+1=2an+4×3n-1,
∴α=-
∴數(shù)列an-?3n是首項為-5、公比為2的等比數(shù)列,
∴an-?3n=-5?2n-1,
即an=4?3n-1-5?2n-1.
運(yùn)用待定系數(shù)法由形如an+1=Aan+Bqn-1的遞推式求數(shù)列的通項公式,需引入待定系數(shù)x,設(shè)遞推式為an+1+x?qn+1=Aan+xqn-1,根據(jù)恒等式的性質(zhì),建立關(guān)于x的方程,求得x的值,即可構(gòu)造輔助數(shù)列an+xqn-1.
可見,對于形如an+1=Aan+B、an+1=pan+qn+C、an+1=Aan+Bqn-1的遞推式,采用待定系數(shù)法來求數(shù)列的通項公式十分有效,能將繁雜的數(shù)列通項公式問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的,易于求解的數(shù)列通項
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