概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題三解析哈工大版

習(xí)題三1．?dāng)S一枚非均質(zhì)的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0p1)，若以X表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)時為止所需扔擲次數(shù)，求X的散布列。解(Xk)表示事件：前k1次出現(xiàn)正面，第k次出現(xiàn)反面，或前k1次出現(xiàn)反面，第k次出現(xiàn)正面，因此P(Xk)pk1(1p)(1p)k1p,k2,3,L.2．袋中有b個黑球a個白球，從袋中隨意拿出r個球，求r個球中黑球個數(shù)X的散布列。解從ab個球中任取r個球共有Carb種取法，r個球中有k個黑球的取法有CbkCark，因此X的散布列為P(Xk)CbkCark，kmax(0,ra),max(0,ra)1,L,min(b,r)，Carb此乃由于，假如ra，則r個球中能夠全部是白球，沒有黑球，即k0；假如ra則r個球中起碼有ra個黑球，此時k應(yīng)從ra開始。3．一實習(xí)生用一臺機(jī)器接連生產(chǎn)了三個同種部件，第i個部件是不合格品的概率pi1(i1,2,3)，以X表示三個部件中合格品的個數(shù)，求X的散布i1列。解設(shè)Ai‘第i個部件是合格品’i1,2,3。則P(X0)P(A1A2A3)1111234，24P(X1)P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)1111211136，23423423424P(X2)P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)12111312311234234234，24P(X3)P(A1A2A3)1236234.24即X的散布列為X012316116.P242424244．一汽車沿一街道行駛，需經(jīng)過三個設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其余信號燈為紅或綠互相獨立，且每一信號燈紅綠兩種信號顯示的概率均為1，以X表示該汽車初次碰到紅燈前已經(jīng)過的路口的個數(shù)，求X的概率2散布。解P(X0)1P(第一個路口即為紅燈),2111P(X1)P(第一個路口為綠燈，第二個路口為紅燈)2，24依此類推，得X的散布列為X0123P1111.24885．將一枚硬幣連擲n次，以X表示這n次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X的分布列。解X為n重貝努里試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù)，故X~B(n,1)，X的散布2列為nP(Xk)Cnk1k0,1,L,n26．一互換臺每分鐘接到的呼喊次數(shù)聽從參數(shù)為4的泊松散布，求（1）每分鐘恰有8次呼喊的概率；（2）每分鐘的呼喊次數(shù)大于10的概率。解設(shè)X為每分鐘接到的呼喊次數(shù)，則X~P(4)（1）P(X8)48e44ke44ke40.29778!k8k!kqk!（2）P(X10)4k40.00284.k11k!e7．某商鋪每個月銷售某種商品的數(shù)目聽從參數(shù)為5的泊松散布，問在月初至少庫存多少此種商品，才能保證當(dāng)月不暢銷的概率為0.99977以上。解設(shè)X為該商品的銷售量，N為庫存量，由題意0.99977P(XN)1P(XN)1P(XK)15ke5KN1KN1k!即5K50.00023eKN1k!查泊松散布表知N115，故月初要庫存14件以上，才能保證當(dāng)月不暢銷的概率在0.99977以上。8．已知失散型隨機(jī)變量X的散布列為：P(X1)0.2,P(X2)0.3，P(X3)0.5，試寫出X的散布函數(shù)。解X的散布列為X123P0.20.30.5因此X的散布函數(shù)為0,x1,F(x)0.2,1x2,0.5,2x3,1,x3.9．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)csinx,0x,0,其余.求：（1）常數(shù)C；（2）使P(Xa)P(Xa)建立的a.解（1）1f(x)dxcsinxdxccosx2c，c10；02（2）P(Xa)a1sinxdx1cosxa11cosa，2222P(Xa)a1sinxdx1cosxa11cosa,002222可見cosa0，a。210．設(shè)隨機(jī)變量X的散布函數(shù)為F(x)ABarctanx，x，求：（1）系數(shù)A與B；（2）P(1X1)；（3）X的概率密度。解（1）由散布函數(shù)的性質(zhì)0F()AB21F()AB2于是A1，B1，因此X的散布函數(shù)為211arctanxF(x)x，211(11（2）P(1X1)F(1)F(1)242（3）X的概率密度為1f(x)F(x)，x(12x)11．已知隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)1e|x|，x.2求X的散布函數(shù).解1xxeudu,2F(x)f(u)du01xx1udu,edxe2021ex,x0,211ex,x0.212．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

1)；42.0,0,x,0x1,f(x)2x,1x2,0,其余.求X的散布函數(shù).解f(x)的圖形為X的散布函數(shù)為xF(x)f(u)du0,x0,x0x1,f(x)udu,01xu)du,1x2,(1，1)xdx(2011,x2.0,x0,x20x1,012x,2x21,1x2,2x21,x2.1313．設(shè)電子管壽命X的概率密度為100,x100,f(x)x20,x100.若一架收音機(jī)上裝有三個這類管子，求（1）使用的最先150小時，起碼有兩個電了管被燒壞的概率；（2）在使用的最先150小時燒壞的電子管數(shù)Y的散布列；（3）Y的散布函數(shù)。解Y為在使用的最先150小時燒壞的電子管數(shù)，Y~B(3,p)，此中pP(X150)150100dx1x2，100323（1）所求概率為P(Y2)P(Y2)P(Y3)C321213337；27k23k（2）的散布列為k1，k0,1,2,3,YP(Yk)C333即Y0123P81261.27272727（3）Y的散布函數(shù)為0,x0,8,0x127F(x)20,1x2,2726,2x3,271,x3.14．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)2x,0x1,0,其余.現(xiàn)對X進(jìn)行n次獨立重復(fù)觀察，以Vn表示觀察值不大于0.1的觀察次數(shù)，試求隨機(jī)變量Vn的概率散布。解Vn~B(n,p)，此中pP(X0.1)0.10.01，02xdx因此Vn的概率散布列為P(Vnk)Cnk(0.01)k(0.99)nk,k0,1,L,n.15．設(shè)隨機(jī)變量X~U[1,6]，求方程x2Xx10有實根的概率.解設(shè)A‘方程有實根’，則A發(fā)生X240即|X|2，因X~U[1,6]，因此A發(fā)生X2,因此P(A)P(X6242)10.8.6516．設(shè)隨機(jī)變量X~U[2,5]，現(xiàn)對X進(jìn)行3次獨立觀察，試求起碼有兩次觀察值大于3的概率.解設(shè)Y為三次觀察中，觀察值大于3的觀察次數(shù)，則Y~B(3,p)，此中pP(X3)532，523所求概率為22123P(Y2)P(Y2)P(Y3)220C333327.17．設(shè)顧客在某銀行窗口等候服務(wù)的時間X（單位：分），聽從參數(shù)為1的5指數(shù)散布。若等候時間超出10分鐘，則他就走開。設(shè)他一個月要來銀行5次，以Y表示一個月他沒有等到服務(wù)而走開窗口的次數(shù)，求Y的散布列及P(Y1)。解由題意Y~B(5,p)，此中xxpP(X10)1e5dxe5e2，10510于是Y的散布為C5k(e2)k(1e2)5kP(Yk)k0,1,2,3,4,5,P(Y1)1P(Y0)1(1e2)50.5167.18．一大型設(shè)施在任何長為t的時間發(fā)生故障的次數(shù)N(t)聽從參數(shù)為t的泊松散布。（1）求接踵兩次故障之間時間間隔T的概率散布；（2）求在設(shè)施已經(jīng)無故障工作了8小時的狀況下，再無故障運轉(zhuǎn)8小時的概率。解（1）設(shè)T的散布函數(shù)為FT(t)，則FT(t)P(Tt)1P(Tt)事件(Tt)表示兩次故障的間隔時間超出障，故N(t)0，于是FT(t)1P(Tt)1P(N(t)0)1可見，T的散布函數(shù)為1et,t0,FT(t)0,t0.

t，也就是說在時間t沒有發(fā)生故(t)0et1et,t0，0!即T聽從參數(shù)為的指數(shù)散布。（2）所求概率為P(T16|T8)P{T16,T8}P(T16)e16e8.P(T8)P(8)e819．設(shè)隨機(jī)變量X~N(108,32)。求（1）P(101.1X117.6)；（2）常數(shù)a，使P(Xa)0.90；（3）常數(shù)a，使P(|Xa|a)0.01。解（1）P(101.1X117.6)(117.6108)(101.1108)33(32)(23)(32)(23)10.99930.989310.9886；（2）0.90P(Xa)(a108)，查表知a10831.28，因此a111.84；3（3）0.01P(|Xa|a)1P(|Xa|a)1P(0X2a)(2a108),3因此2a108( )0.99，查正態(tài)散布表知2a1082.33，3故a57.495。20．設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,2)，且P(2X4)0.3，求P(X0)。解0.3P(2X4)(42)(0)，因此(2)0.8，P(X0)(02)(2)1(2)0.2。21．某地抽樣結(jié)果表示，考生的外語成績X（百分制）近似聽從正態(tài)散布，均勻成績（即參數(shù)之值）為72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。解0.023P(X96)1(9672)1(24)(24)0.977,242,121.所求概率為P(60X84)(8472)(6072)(12)(12)2(12)120.841310.6826.22．假定丈量的隨機(jī)偏差X~N(0,102)，試求在100次重復(fù)丈量中，起碼有三次丈量偏差的絕對值大于19.6的概率，并利用泊松散布求出的近似值。解設(shè)Y為偏差的絕對值大于19.6的丈量次數(shù)，則Y~B(100,p)，此中pP(|X|19.6)1P(19.6X19.6)1(1.96)(1.96)22(1.96)220.9750.05，所求概率為100P(Y3)C100k(0.05)k(0.95)100k,k3利用泊松定理1005k50.875.ek3k!23．在電源電壓不超出200V，在200240V和超出240V三種狀況下，某種電子元件，破壞的概率分別為0.1，0.001和0.2，假定電源電壓X聽從正態(tài)散布N(220,252)，試求：（1）該電子元件破壞的概率；（2）該電子元件損壞時，電源電壓在200240V的概率。解設(shè)A‘電子元件破壞’，Bi‘電源電壓在第i檔’，i1,2,3，則（1）P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)P(X200)0.1P(200X240)0.001P(X240)0.2(200220)0.1[(240220)(200220)]0.001252525[1(240220)]0.220)25(20)20)]0.001[(1(20)]0.2(0.1[(25252525(10.7881)0.1(20.78811)0.001(10.7881)0.20.0641（2）P(B2)P(A|B2)0.005756P(B2|A)0.06410.0898.0.064124．假定隨機(jī)變量X的絕對值不大于1；P(X1)1,P(X1)1，1X1}出現(xiàn)的條件下，X在(84在事件{1,1)隨意子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比。試求：（1）X的散布函數(shù)；（2）X取負(fù)值的概率P.解1設(shè)X的散布函數(shù)為F(x)，則當(dāng)x1時，F(xiàn)(x)0，且F(1)1，8當(dāng)x1時，F(xiàn)(x)1，P(1X1)1115，848當(dāng)1x1時，由題意P{1Xx|1X1}k(x1)，而1P{1X1|1X1}2k，因此k1。于是2x1,P{1Xx|1X1}2此時F(x)P{1Xx}F(1)P{1Xx,1X11}8P{1X1}P(1X1x|1X1}5x115x7882816，故X的散布函數(shù)為0,x1,F(x)5x7,1x1,161,x1.（2）P(X0)F(0)P(X70).16解2設(shè)X的散布函數(shù)為F(x)，則當(dāng)x1時，F(xiàn)(x)01且F(1)8當(dāng)x1時，F(xiàn)(x)1，當(dāng)1x1時，設(shè)x,xx(1,1)，且x0，由題意P(xXxx|1X1)kx，即P(xXxx,1X1)P(1X1)kx,由此得P(xXxx)5kx，8兩邊同除以x得F(xx)F(x)5k,x8令x0取極限得F(x)5k,8兩邊積分得F(x)5kxC，8由F(1及l(fā)imF(x)1)8x1015kC8835kC48解之得C7,k1162

3得4故F(x)

5x7

5x7

，1x11616

16綜上所述，X的散布函數(shù)為0,x1,F(x)5x71x1,,161,x1.（2）P(X0)F(0)P(X70).1625．已知失散型隨機(jī)變量X的散布列為X21013P1111115651530求YX2的散布列.解Y的散布列為Y014917111.P30530526．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為ex,x0,fX(x)x0.0,求YeX的概率密度fY(y)解1當(dāng)x0時函數(shù)yex單一增，反函數(shù)為xh(y)lny，于是YeX的概率密度為elny1,y1,1y1,fY(y)fX(h(y))|h(y)|y2,y0,y1.0,y1.解2設(shè)Y的散布函數(shù)為FY(y)，則FY(y)P(Yy)P(eXy)0,y1,P(Xlny),y10,y1,0,y1,lnyy1,exlny,y1.exdx,000,y1,0,y1,11,y1.1elny,y1.y1y1,fY(y)FY(y)y2,0,y1.27．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)1,x2(1x)求隨機(jī)變量Y13X的概率密度fY(y)解1函數(shù)y13x嚴(yán)格單一，反函數(shù)為xh(y)(1y)3，則fY(y)fX(h(y))|h(y)|3(1y)2,y.(1(16y))解2設(shè)Y的散布函數(shù)為FY(y)，則FY(y)P(Yy)P(13Xy)P(3X1y)1P(X(1y)3)1FX{(1y)3}，因此323(1y)2。fY(y)fX((1y))3(1y)(1(1y)6),y28．設(shè)X~U(0,1)，求（1）YeX的概率密度；（2）Y2lnX的概率密度。解X的密度為1,0x1,fX(x)0,其余.（1）yex在(0,1)上單一增，反函數(shù)為h(y)lny，因此Y的密度為1,1ye,0,其余.y（2）y2lnx在(0,1)上單一減，反函數(shù)為h(y)e2，因此Y的密度為yfY(y)1e2,y0,20,y0.29．設(shè)X~N(0,1)，求Y|X|的概率密度。解1函數(shù)y|x|在(,0)上單一減，反函數(shù)為h1(y)y，在[0,)上單一增，反函數(shù)為h2(y)y，因此Y的密度為fX(h1(y))|h1(y)|fX(h2(y))|h2(y)|,y0,fY(y),y0.02ey2即fY(y)2,y0,0,y0.30．設(shè)隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為2的指數(shù)散布，試證Y1e2X在區(qū)間(0,1)上聽從均勻散布。[證]只須證明Y的散布函數(shù)為0,y0FY(y)y,0y1,1