下實數(shù)輔導講義終極版

第六章實數(shù) 輔導講義【知識要點】1、平方根1）定義：一般地,如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。即：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“ a”（a稱為被開方數(shù)）。2）平方根的性質：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)；②0只有一個平方根，它就是0本身；③負數(shù)沒有平方根.3）開平方:求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.（4）算術平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做 a的算術平方根，記作“ a”。（5）a本身為非負數(shù)，即a≥0；a有意義的條件是a≥0。（6）公式：(2a)=a（a≥0）；2、立方根（1）定義：一般地，如果一個數(shù)的立方等于 a，這個數(shù)就叫做 a的立方根(也叫做三次方根)。即：如果 x3=a,把x叫做a的立方根。數(shù) a的立方根用符號“ 3a”表示，讀作“三次根號 a”。（2）立方根的性質：正數(shù)有一個正的立方根； 0的立方根是0；負數(shù)有一個負的立方根。（3）開立方：求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。 求一個數(shù)的立方根可以通過立方運算來求 .3、平方根與立方根與區(qū)別：只有正數(shù)和 0有平方根，負數(shù)沒有平方根，正數(shù)的平方根有 2個，并且互為相反數(shù)，0的平方根只有一個且為 0. 一個數(shù)只有一個立方根， 并且符號與這個數(shù)一致；4、.識記常用平方表：（自行完成）5、實數(shù)的分類（1）按實數(shù)的定義分類：（2）按實數(shù)的正負分類：（3）實數(shù)與數(shù)軸的關系每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示；反之，數(shù)軸上每一個點都表示一個實數(shù)，即數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應關系．（4）、絕對值①一個正數(shù)的絕對值是它本身，aa0a0a0②一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，aa0③零的絕對值是零。一個數(shù)的絕對值表示這個數(shù)的點離開原點的距離。注意：aa0a2a0a0題型規(guī)律總結：aa01、平方根是其本身的數(shù)是0；算術平方根是其本身的數(shù)是0和1；立方根是其本身的數(shù)是0和±1。2、每一個正數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個是算術平方根；任何一個數(shù)都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數(shù)相同。3、

a本身為非負數(shù)，有非負性，即

a≥0；

a有意義的條件是

a≥0。4、公式：⑴(

a)2=a（a≥0）；⑵

3

a=

3

a（a取任何數(shù)）。5、區(qū)分(

a)2=a（a≥0），與

a2

=

a6.非負數(shù)的重要性質：若幾個非負數(shù)之和等于

0，則每一個非負數(shù)都為

0（此性質應用很廣，務必掌握）。一般來說，被開放數(shù)擴大（或縮?。﹏倍，算術平方根擴大（或縮?。﹏倍，例如 25 5, 2500 508、.識記常用平方表：（自行完成）222229.易混淆的三個數(shù)（自行分析它們）：（1）1=6=11=16=21=22=2222a2（2）(a)2（3）3a37=12=17=22=2222210、識記下列各式的值，結果保留4個3=8=13=18=23=42=92=142=192=242=有效數(shù)字：52=102=152=202=252=【典型例題】題型一、平方根定義的運用例1、一個正數(shù)的平方根為3a和2a3，求這個數(shù)？變式1、已知2a1和a2是m的平方根，求m的值？變式

2、已知某個數(shù)的平方根分別為

a 3和2a

15，求

a和這個數(shù)？例2、（1）下列各數(shù)是否有平方根， 請說明理由

①（-3）2

②

0

2

③2（2）下列說法對不對？為什么？① 4有一個平方根③ 任何數(shù)都有平方根

②④

只有正數(shù)有平方根若a＞0，a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)例3、求下列各數(shù)的平方根：161(1)94(3)9(2)(4)變式3、.下列語句中，正確的是（）A．一個實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù) B ．負數(shù)沒有立方根C．一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負數(shù) D ．立方根是這個數(shù)本身的數(shù)共有三個變式4.下列說法正確的是（）A．-2是（-2）2的算術平方根B．3是-9的算術平方根C．16的平方根是±4D．27的立方根是±3題型三、化簡求值例1、已知0x3，化簡：(21)2x5變式1、若xx1x10,化簡：（12x）例2已知a,b,c實數(shù)在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡a2abca(bc)2變式2、實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡:a1(a2)2=變式3如圖所示,數(shù)軸上A、B兩點分別表示實數(shù)1，5，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的實數(shù)為（）A.5－2B.2－5C.5－3－5例3、當a<0時，化簡 的結果是( )A0 B-1 C 1 D?例4、化簡下列各式：(1)|

|(2)

|

π

|

(3)||

-【變式1】化簡：題型四、利用非負數(shù)的性質求代數(shù)式a2 0 a 0 a 0(a 0)三種常見的非負數(shù)：注意：(1)

任何非負數(shù)的和仍是非負數(shù)；(2) 若幾個非負數(shù)的和是

0，那么這幾個非負數(shù)均為

0.例1、已知實數(shù)

x，y

滿足

x 2+(y+1)

2=0，則

x-y

等于【變式

1】已知a、b是有理數(shù)，且滿足（

a－2）2+b

3=0，則

ab的值為【變式

2】已知

那么

a+b-c

的值為___________【變式 3】已知(x-6)2+ +|y+2z|=0 ，求(x-y)3-z3的值。求被開方數(shù)中的未知數(shù)的值例2若y=x5+5x+2017，則x+y=變式1、若x11x(xy)2，則x－y的值為（）A．－1B．1C．2D．3變式2、若x、y都是實數(shù)，且y=2x332x4，求xy的值變式3、已知b43a2223a2,求11的值？ab題型五、解方程(1)(x2)240(2)(x3)3270(3)27x31250(4)(2x1)225題型六、整數(shù)部分和小數(shù)部分的探討例1、已知x是10的整數(shù)部分，y是10的小數(shù)部分，求（yx1的平方）10根。變式1設m是7 13的小數(shù)部分，n為7 13的小數(shù)部分，求 (m n)2017的值？題型六關于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1）81；（2）16；（3）9；（4）(4)225解（1）因為9281，所以±81=±9.例2（1）64的立方根是??????（2）下列說法中：①

3都是

27的立方根，②

3 y3

y，③

64的立方根是

2，④3

8

2

4。正確的有

（

）A 、1

個

B 、2個

C 、3

個

D 、4

個題型八、探索找規(guī)律1 （鹽城市）現(xiàn)規(guī)定一種新的運算“※”：

a※b=ab，如

3※2=32=9，則

1

※3＝2）(資陽市)若“！”是一種數(shù)學運算符號，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4?。?×3×2×1，?，則100!的值為()A．50B．99!98!49C．9900D．2！3．如果有理數(shù)a,b滿足∣ab－2∣+∣1－b∣=0，試求111)(a1+?+1的值．ab(a1)(b2)(b2)(a2016)(b2016)4.觀察思考下列計算過程：∵112=121，∴121=11；同樣：∵1112=12321，∴12321=111；?由此猜想：12345678987654321=題型八實數(shù)比較大小的方法1、方法一：差值比較法差值比較法的基本思路是設 a，b為任意兩個實數(shù)，先求出 a與b的差，再根據(jù)當a-b﹥0時，得到a﹥b。當a-b﹤0時，得到a﹤b。當a-b＝0，得到a=b。例1、比較

1-

2與

1-

3的大小。3、方法二：商值比較法商值比較法的基本思路是設 a，b為任意兩個正實數(shù)，先求出 a與b得商。當a＜1時，a＜b；當a＞1時，a＞b；當ab b b

=1時，a=b。來比較a與b的大小。例2、比較133與1的大小。884、方法三：平方法平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方， 再根據(jù)a＞0，b＞0時，可由a2＞b2得到a＞b來比較大小，這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。例3、比較2 7與3 3的大小5、方法四：估算法估算法的基本是思路是設 a，b為任意兩個正實數(shù)，先估算出 a，b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進行比較。例4、比較 13 3 與1的大小。8 8綜合演練一、填空題1、（）2的平方根是 2 、若a2=25,b=3,則a+b=3、已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是 2a﹣2和a﹣4，則a的值是4、3 4 ＝____________5、若m、n互為相反數(shù)，則 m 5 n＝_________6、若 a2 a，則a______07、若 3x 7有意義，則 x的取值范圍是8、16的平方根是±4”用數(shù)學式子表示為9、大于- 2，小于 10的整數(shù)有______個。10、一個正數(shù) x的兩個平方根分別是 a+2和a-4，則a=_____，x=_____。11、當x_______時，x3有意義。12、當x_______時，2x3有意義。113、當x_______時，1x有意義。x114、當x________時，式子x2有意義。15、若4a1有意義，則a能取的最小整數(shù)為二、選擇題1．9的算術平方根是（）A．-3B．3C．±3D．812．下列計算正確的是（）A．4=±2B．(9)281=9C.366D.9293．下列說法中正確的是（）A．9的平方根是3B．16的算術平方根是±2C.16的算術平方根是4D.16的平方根是±24．64的平方根是（）A．±8B．±4C．±2D．±25．4的平方的倒數(shù)的算術平方根是（）A．4B．1C．-1D．18446．下列結論正確的是（）A(6)26B(3)29C(16)216D

216 1625 257．以下語句及寫成式子正確的是（）A、7是49的算術平方根，即497B、7是(7)2的平方根，即(7)27C、7是49的平方根，即497D、7是49的平方根，即±4978．下列語句中正確的是（ ）A、9的平方根是3B、9的平方根是3C、9的算術平方根是3D、9的算術平方根是39．下列說法：(1)3是9的平方根；(2)9的平方根是3；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正確的有（）A．3個B．2個C．1個D．4個10．下列語句中正確的是（）A、任意算術平方根是