高中含參不等式地恒成立問題

高中含參不等式地恒建立問題版高中含參不等式地恒建立問題版高中含參不等式地恒建立問題版合用標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)不等式的恒建立問題一、用一元二次方程根的鑒識式有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)或二次方程，經(jīng)過根的鑒識式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題獲取順利解決?；窘Y(jié)論總結(jié)例1關(guān)于x∈R，不等式恒建立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。例2：已知不等式(a2)x22(a2)x40關(guān)于xＲ恒建立，求參數(shù)a的取值范圍．解：要使(a2)x22(a2)x40關(guān)于xＲ恒建立，則只須滿足：a20a20（2）2(a2)0（1）2)216(a2)或4(a040解（1）得a2，解（2）a＝２2a2∴參數(shù)a的取值范圍是－２＜a２．練習(xí)1.已知函數(shù)ylg[x2(a1)xa2]的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。文檔合用標(biāo)準(zhǔn)2.若關(guān)于x∈R，不等式恒建立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。3.若不等式的解集是R，求m的范圍。4.x取一的確數(shù)時，使kx7恒有意義，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．24kxkx3例3．設(shè)f(x)x22mx2，當(dāng)x[1,)時，f(x)m恒建立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。要點(diǎn)點(diǎn)撥：為了使在恒建立，構(gòu)造一個新函數(shù)是解題的要點(diǎn)，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類談?wù)?，使問題獲取圓滿解決。若二次不等式中x的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決y問題。x解：F(x)x22mx2m，則當(dāng)x[1,)時，F(xiàn)(x)0恒建立當(dāng)4(m1)(m2)0即2m1時，F(xiàn)(x)0顯然建立；-1Ox當(dāng)0時，如圖，F(xiàn)(x)0恒建立的充要條件為：0F(1)0解得3m2。綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3,1)。2m12例4。已知f(x)x2ax1，求使不等式f(x)0對任意x[1,2]恒建立的a的取值范圍。文檔合用標(biāo)準(zhǔn)解法1：數(shù)形結(jié)合結(jié)合函數(shù)f(x)的草圖可知f(x)0,x[1,2]時恒建立f(1)2a0得a5。因此a的取值范圍是(5,)。f(2)52a022解法2：轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪笛芯縡(x)(xa21a2)421.若a3即a3時,f(x)在[1,2]上的最大值f(x)maxf(2)52a0,得a5,因此5a3。22222.若a3即a時,f(x)在[1,2]上的最大值f(x)maxf(1)2a0，得a2，因此a3。2235)。綜上：a的取值范圍是(,2注：1.此處是對參a進(jìn)行分類談?wù)?，每一類中求得的a的范圍均合題意，故對每一類中所求得的a的范圍求并集。2.f(x)m,xI恒建立f(x)maxm(m為常數(shù))；f(x)m,xI恒建立f(x)minm(m為常數(shù))解法3：分別參數(shù)x2ax10,x[1,2]ax1[1,2]。設(shè)g(x)x1,x，xx注：1.運(yùn)用此法最后仍概括為求函數(shù)g(x)的最值，但由于將參數(shù)a與變量x分別，因此在求最值時防備了分類討論，使問題相對簡化。2.本題若將“x[1,2]”改為“x(1,2)”可近似上述三種方法完成。仿解法1：f(x)0,x(1,2)f(1)0得a5即a的范圍是:[5,)f(2)022讀者可仿解法2，解法3近似完成，但應(yīng)注意等號問題，即此處a5也合題。2例5.已知：f(x)x2ax1求使f(x)0對任意x[1,1]恒建立的a的取值范圍。解法1：數(shù)形結(jié)合結(jié)合f(x)的草圖可得：a240a240a24a1或a12a2即a的取值范圍是:(2,2)?；虻茫?2f(1)0f(1)0文檔合用標(biāo)準(zhǔn)解法2：轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪笛芯縡(x)(xa)21a2241.1a2a2時,f(x)min1a20得2a2，因此2a2。1即422.若a即a時,f(x)minf(1)2a0得a2,與a2矛盾。2123.若a即時則f(x)minf(1)2a0得a2,與a2矛盾。綜上：a的取值范圍是(2,2)。21a2,解法3：分別參數(shù)1.x0時，不等式顯然建立，即此時a可為任意實(shí)數(shù)；2.x[1,0)時，x2ax10ax1。由于g(x)x1在[1,0)上單調(diào)遞減，因此xxag(x)maxg(1)2；3.x(0,1]時，x2ax10ax1。由于g(x)x1x在（0，1）上單調(diào)遞減，因此xag(x)ming(1)2。綜上：a的范圍是：(2,2)。注：本題中由于x的取值可正可負(fù)，不便對參數(shù)a直接分別，故采用了先對x分類，再分別參數(shù)a，最后對各樣中求得a的范圍求交集，這與例1方法三中對各樣中求得的a的范圍求并集是不同樣的，應(yīng)引起注意！例6.已知：f(x)x2ax1，求使f(x)0對任意a[3,3]恒建立的x的取值范圍。即x2ax10習(xí)慣上視x為主元而a為輔元，但本題中是a在[3,3]上任意變化時不等式恒建立，解：f(x)0故可將a視為主元。改正主元法：設(shè)g(a)xax21，則g(a)的圖像為素來線，則g(a)0,a[3,3]時恒建立g(3)x23x10即x的范圍是：(,35)(35,)g(3)x23x1022總之，辦理不等式恒建立問題第一應(yīng)分清誰是主元（哪一個變量在給定區(qū)間上任意變化，則該變量即為主元相當(dāng)于函數(shù)自變量），爾后可數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪笛芯?。若易于將參變量分其余可先分別參變量再求最值，若需分類談?wù)搫t應(yīng)注意分類標(biāo)準(zhǔn)和最后的小結(jié)（分清是求交集，還是求并集）。二、利用函數(shù)的最值（或值域）文檔合用標(biāo)準(zhǔn)（1）對任意x都建立（2）對任意x都建立。簡單計作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例1．已知函數(shù)f(x)x22xa,x[1,)，若對任意x[1,)，f(x)0恒建立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。x解：若對任意x[1,)，f(x)0恒建立，即對x[1,x22xa)，f(x)x0恒建立，考慮到不等式的分母x[1,)，只要x22xa0在x[1,)時恒建立而得而拋物線g(x)x22xa在x[1,)的最小值gmin(x)g(1)3a0得a3例2已知f(x)x2ax3a，若x[2,2],f(x)2恒建立，求a的取值范圍.解析本題能夠化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要關(guān)于任意x[2,2],f(x)min2.若a2x[2,2],f(x)2恒建立x[2,2],f(x)min22f(x)minf(2)73a22a2a22，即a的取值范圍為[或a2或25,222].a)f(x)minf(3a2f(x)minf(2)7a224談?wù)撽P(guān)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,能夠求函數(shù)最值的方法,只要利用f(x)m恒建立f(x)minm；f(x)m恒建立f(x)maxm.本題也能夠用零點(diǎn)分布策略求解.設(shè)函數(shù)是定義在(,)上的增函數(shù)，若是不等式f(1axx2)f(2a)關(guān)于任意x[0,1]恒建立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問題轉(zhuǎn)變?yōu)?axx22a關(guān)于任意x[0,1]恒建立，從而轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)區(qū)間最值求解。解：Qf(x)是增函數(shù)f(1axx2)f(2a)關(guān)于任意x[0,1]恒建立1axx22a關(guān)于任意x[0,1]恒建立x2ax1a0關(guān)于任意x[0,1]恒建立，令g(x)x2ax1a，x[0,1]，因此原問題g(x)min0，g(0),a01a,a0又g(x)mina),2a0即g(x)mina2a1,2a0易求得a1。g(422,a22,a2文檔合用標(biāo)準(zhǔn)三、改正主元法在解含參不等式時，有時若能換一個角度，變參數(shù)為主元，能夠獲喜悅想不到的收效，使問題能更迅速地獲取解決。一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù).用一次函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于一次函數(shù)有：例題1：已知不等式對任意的都建立，求的取值范圍.解：我們能夠用改變主元的方法，將m視為主變元，原不等式可化為令是關(guān)于m的一次函數(shù)。由題意知解得∴x的取值范圍是要點(diǎn)點(diǎn)撥：利用函數(shù)思想，變換主元，經(jīng)過直線方程的性質(zhì)求解。評注：此類問題常因思想定勢，學(xué)生易把它看作關(guān)于的不等式談?wù)?，從而因計算繁瑣出錯也許中途夭折；若變換一下思路，把待求的x為參數(shù)，以為變量，令則問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笠淮魏瘮?shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在內(nèi)恒為負(fù)的問題，再來求解參數(shù)應(yīng)滿足的條件這樣問題就十拿九穩(wěn)的獲取解決了例2．對任意a[1,1]，不等式x2(a4)x42a0恒建立，求x的取值范圍。解析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但若把a(bǔ)看作主元，則問題可轉(zhuǎn)變?yōu)橐淮尾坏仁?x2)ax24x40在a[1,1]上恒建立的問題。解：令f(a)(x2)ax24x4，則原問題轉(zhuǎn)變?yōu)閒(a)0恒建立（a[1,1]）。當(dāng)x2時，可得f(a)f(1)01或x3。0，不合題意。當(dāng)x2時，應(yīng)有解之得xf(1)0故x的取值范圍為(,1)(3,)。例3已知關(guān)于任意的a∈[-1,1]，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0恒建立，求x的取值范圍.解析本題按老例思路是分a=0時f(x)是一次函數(shù)，a≠0時是二次函數(shù)兩種情況談?wù)?，不簡單求x的取值范圍。文檔合用標(biāo)準(zhǔn)因此，我們不能夠總是把x看作是變量，把a(bǔ)看作常參數(shù)，我們能夠經(jīng)過變量變換，把a(bǔ)看作變量，x看作常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)變一次函數(shù)問題，問題就變得簡單求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a∈[-1,1]時，g(a)>0恒建立，則g(1)0，得313x313.g(1)0談?wù)撽P(guān)于含有兩個參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，能夠經(jīng)過變量變換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。例4關(guān)于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒建立的x的取值范圍。解析：在不等式中出現(xiàn)了兩個變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應(yīng)范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思想把p看作自變量，x看作參變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)變?yōu)樵赱-2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒建立求參變量x的范圍的問題。解：原不等式可化為(x-1)p+x2-2x+1>0,令yyf(p)=(x-1)p+x2-2x+1,則原問題等價于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒建立，故有：-22x-2o2xx10或x10∴x<-1或方法一：0f(2)f(2)0x>3.f(2)0x24x30或∴x<-1或x>3.方法二：即2解得：f(2)0x10或1x1x例5已知f(x)x2ax3a，若x[2,2],f(x)0恒建立，求a的取值范圍.解析本題能夠考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類談?wù)?，分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情00a2或a2，即a的取值范圍為[-7況，即Δ≤0或22，2].f(2)0f(2)0f(2)0f(2)0談?wù)撽P(guān)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題,能夠考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況,要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.設(shè)f(x)ax2bxc(a0)文檔合用標(biāo)準(zhǔn)bbb（1）當(dāng)a0時，f(x)0在x[,]上恒建立2a或2a或2a，f()00f()0f(x)0在x[,]上恒建立f()0f()0（2）當(dāng)a0時，f(x)0在x[,]上恒建立f()0f()0bbbf(x)0在x[,]上恒建立2a或2a或2af()00f( )0例6若x2,2時，不等式x2ax3a恒建立，求a的取值范圍。解：設(shè)fxx2ax3a，則問題轉(zhuǎn)變?yōu)楫?dāng)x2,2時，fx的最小值非負(fù)。a2即：a4時，fxminf273a07又a4因此a不存在；（1）當(dāng)2a3（2）當(dāng)2a2即：4a4時，fxminfa3aa206a2又4a42244a2（3）當(dāng)a2即：a4時，fxminf27a0a7又a47a42綜上所得：7a2四、分別參數(shù)法此類問題可把要求的參變量分別出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看作新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)變?yōu)樾潞瘮?shù)的最值問題：若關(guān)于取值范圍內(nèi)的任一個數(shù)都有恒建立，則；若關(guān)于取值范圍內(nèi)的任一個數(shù)都有恒建立，則.例1．已知函數(shù)f(x)x22xa[1,)，若對任意x[1,)，f(x)0恒建立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。x,xx22xa0在x[1,)時恒建立，只要ax22x在x[1,)時恒建立。而易求得二次函數(shù)h(x)x22x在[1,)上的最大值為3，因此a3。例2．已知函數(shù)f(x)ax4xx2,x(0,4]時f(x)0恒建立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：將問題轉(zhuǎn)變?yōu)閍4xx2對x(0,4]恒建立，令g(x)4xx2，則ag(x)minxx文檔合用標(biāo)準(zhǔn)由g(x)4xx241可知g(x)在(0,4]上為減函數(shù)，故g(x)ming(4)0xx∴a0即a的取值范圍為(,0)。注：分別參數(shù)后，方向明確，思路清楚能使問題順利獲取解決。例3已知函數(shù)f(x)|x24x5|，若在區(qū)間[1,5]上，ykx3k的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.解析本題等價于一個不等式恒建立問題,即關(guān)于x[1,5],kx3kx24x5恒建立,式子中有兩個變量,能夠通過變量分別化歸為求函數(shù)的最值問題.關(guān)于x[1,5],kx3kx24x5恒建立x24x5k3關(guān)于xx[1,5]恒建立,令yx24x5,x[1,5],設(shè)x3t,t[2,8],則y(t16)10,t[2,8],當(dāng)t4,即x=1時x3tymax2,k的取值范圍是k>2.變式若本題中將ykx3k改為yk(x3)2，其余條件不變，則也能夠用變量分別法解.由題意得，關(guān)于x[1,5],k(x3)2x24x5恒建立kx24x5關(guān)于x[1,5]恒建立,令(x3)2yx24x53t,t[2,8],則y16101(45)29,t[2,8]，(x3)2,x[1,5],設(shè)xt2tt416當(dāng)45,即x1時,ymax9,k的取值范圍是k>9.t451616談?wù)摫绢}經(jīng)過變量分別，將不等式恒建立問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值問題，本題構(gòu)造的函數(shù)求最值對學(xué)生來說有些難度，但經(jīng)過換元后巧妙地轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩春瘮?shù)”，從而求得最值.變式題中構(gòu)造的函數(shù)經(jīng)過換元后轉(zhuǎn)變?yōu)椤岸魏瘮?shù)型”，從而求得最值.本題也能夠用零點(diǎn)分布策略和函數(shù)最值策略求解.五、數(shù)形結(jié)合法若是不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對應(yīng)的圖象、圖形較易畫出時，可經(jīng)過圖象、圖形的地址關(guān)系建立不等式求得參數(shù)范圍.例1已知函數(shù)若不等式恒建立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解：在同一個平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)及的圖象，由于不等式恒建立，因此函數(shù)的圖象應(yīng)總在函數(shù)的圖象下方，因此，當(dāng)時，因此故的取值范圍是文檔合用標(biāo)準(zhǔn)y1=(x-1)2yy2=logax1o2x例2當(dāng)x(1,2)時，不等式(x-1)2<logax恒建立，求a的取值范圍。解析：若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù)，則左側(cè)為二次函數(shù)，右側(cè)為對數(shù)函數(shù)，故能夠采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系經(jīng)過特指求解a的取值范圍。解：設(shè)T1:f(x)=(x1)2,T2:g(x)