北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明課件

第一章三角形的證明1.1等腰三角形第一章三角形的證明1第1課時(shí)第1課時(shí)21.能說出證明三角形全等的幾種方法,學(xué)會證明的基本步驟和書寫格式.2.會證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理及其推論.3.靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明.1.能說出證明三角形全等的幾種方法,學(xué)會證明的基本步驟和書寫3前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如果兩個(gè)三角形滿足條件SSS,SAS,ASA,那么這兩個(gè)三角形全等;若滿足條件AAS,SSA,AAA,這兩個(gè)三角形還會全等嗎?

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如果兩個(gè)三角形滿足條件SSS41.如圖,點(diǎn)A,D,C在同一直線上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC.求證:BC=DE.1.如圖,點(diǎn)A,D,C在同一直線上,AB∥EC,AC=CE,52.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=40°，且AD=AE,求∠CDE的度數(shù).解:∵AB=AC,BD=CD,∴AD平分∠BAC,AD⊥BC.∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=70°.∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=20°.2.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=61.全等三角形的判定方法共有四種,分別是_______,_______,_______,________.

2.全等三角形的性質(zhì):全等三角形的對應(yīng)邊_____,對應(yīng)角_____.

3.等腰三角形的性質(zhì):(1)等邊對等角;(2)“三線合一”.SSS

SAS

ASA

AAS

相等相等1.全等三角形的判定方法共有四種,分別是_______,SS7第2課時(shí)第2課時(shí)81.會證明等腰三角形中有關(guān)角平分線、中線、高線的特征.2.掌握等邊三角形的性質(zhì)定理.1.會證明等腰三角形中有關(guān)角平分線、中線、高線的特征.9在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等),你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?能證明你的結(jié)論嗎?

在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高101.如圖,在△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,∠ADC=60°,求∠C的度數(shù).解:設(shè)∠BAD=x°.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=x°,∠BAC=2∠BAD=2x°.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC=2x°.∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°,1.如圖,在△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,∠AD11∴2x+x=60,∴x=20.∴∠B=∠BAC=40°.在△ABC中,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=100°.∴2x+x=60,122.如圖,△ABC是等邊三角形,△ADE是等腰三角形,AD=AE,∠DAE=80°,當(dāng)DE⊥AC時(shí),求∠BAD和∠EDC的度數(shù).解:當(dāng)DE⊥AC時(shí),∵AD=AE,∠DAE=80°,∴∠ADE=∠E=50°,∠DAF=∠EAF=40°.∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°.2.如圖,△ABC是等邊三角形,△ADE是等腰三角形,AD=13∴∠BAD=60°-40°=20°.∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,∴60°+20°=50°+∠EDC,∴∠EDC=30°.∴∠BAD=60°-40°=20°.141.等腰三角形兩腰上的高、兩腰上的中線、兩底角的平分線分別_______.

2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角______,并且每個(gè)角都等于______.

相等相等60°

1.等腰三角形兩腰上的高、兩腰上的中線、兩底角的平分線分別_15第3課時(shí)第3課時(shí)161.學(xué)會證明等腰三角形的判定定理,并能運(yùn)用它來判定一個(gè)三角形為等腰三角形.2.知道反證法的含義,能說出反證法的一般步驟,并能運(yùn)用反證法進(jìn)行簡單的證明.1.學(xué)會證明等腰三角形的判定定理,并能運(yùn)用它來判定一個(gè)三角形17等腰三角形的兩個(gè)底角相等.反過來,有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?

等腰三角形的兩個(gè)底角相等.反過來,有兩個(gè)角相等181.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠MAC和∠ABC的平分線AD,BD相交于點(diǎn)D,試說明△ABD是等腰三角形.解:∵AD平分∠MAC,∴∠MAD=∠CAD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠MAC=∠ABC+∠C,即∠MAD+∠CAD=∠ABC+∠C,1.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠MAC和∠ABC的19∴∠CAD=∠C.∴AD∥BC.∴∠CBD=∠D.∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.∴∠ABD=∠D.∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形.∴∠CAD=∠C.202.用反證法證明:“在一個(gè)三角形中,外角最多有一個(gè)銳角”.證明:假設(shè)三角形中的外角有兩個(gè)角是銳角.

根據(jù)三角形的外角與相鄰的內(nèi)角互補(bǔ),知與這兩個(gè)角相鄰的兩個(gè)內(nèi)角一定是鈍角,大于90°,則這兩個(gè)角的度數(shù)和一定大于180°,與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾.因而假設(shè)錯(cuò)誤.故在一個(gè)三角形中,外角最多有一個(gè)銳角.2.用反證法證明:“在一個(gè)三角形中,外角最多有一個(gè)銳角”.證211.等腰三角形的判定定理:_________________________.簡述為:_____________.

2.用反證法證明命題的步驟:(1)假設(shè)命題的結(jié)論_________;

(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā),運(yùn)用正確的推論方法,得出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件_________的結(jié)果;

(3)由____________判定假設(shè)

從而肯定命題的結(jié)論正確.

有兩個(gè)角相等的三角形是

等角對等邊不成立相矛盾矛盾的結(jié)果不成立等腰三角形1.等腰三角形的判定定理:_________________22第4課時(shí)第4課時(shí)231.會證明等邊三角形的判定定理,并會運(yùn)用這個(gè)定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明.2.會證明含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理,并會運(yùn)用這個(gè)定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明.1.會證明等邊三角形的判定定理,并會運(yùn)用這個(gè)定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)24當(dāng)一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形?等邊三角形是特殊的等腰三角形,當(dāng)一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形呢?

當(dāng)一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形?等邊三角251.如圖,EF∥BC,BE∥AC,AB∥FC,且△ABC是等邊三角形.求證:△ABE和△ACF是等邊三角形.證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠BAC=60°.∵EF∥BC,BE∥AC,∴∠BAE=∠ABC=60°,∠ABE=∠BAC=60°.∴∠E=60°.1.如圖,EF∥BC,BE∥AC,AB∥FC,且△ABC是等26∴∠BAE=∠ABE=∠E=60°.∴△ABE是等邊三角形.同理可得,△ACF是等邊三角形.∴∠BAE=∠ABE=∠E=60°.272.如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4cm.求:(1)∠DAC的度數(shù);(2)BC的長.解:(1)∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=30°.∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵AB⊥AD,∴∠DAC=120°-90°=30°.

2.如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠C=30°,AB⊥28(2)∵AD=4cm,∠B=30°,∠BAD=90°,∴BD=8cm.∵∠DAC=30°=∠C,∴DC=AD=4cm.∴BC=BD+DC=12（cm）.(2)∵AD=4cm,∠B=30°,∠BAD=90°,291.等邊三角形的判定方法:(1)_______相等的三角形是等邊三角形;

(2)_______相等的三角形是等邊三角形;

(3)

的等腰三角形是等邊三角形.

2.有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)定理:在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于____,那么它所對的_______是______的一半.

三邊三角有一個(gè)角是60°

30°

直角邊斜邊1.等邊三角形的判定方法:三邊三角有一個(gè)角是60°30第一章三角形的證明1.2直角三角形第一章三角形的證明31第1課時(shí)第1課時(shí)321.會證明直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理;并能應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明.2.能寫出一個(gè)命題的逆命題,并會判斷其真假,會識別兩個(gè)互逆命題.1.會證明直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理;并能應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)33要判定一個(gè)三角形為直角三角形,按以前學(xué)過的知識,你有幾種方法?

要判定一個(gè)三角形為直角三角形,按以前學(xué)過的知識341.如圖,在△ABC中,CD是AB邊上的高，AC=4,BC=3,DB=.(1)求AD的長.(2)△ABC是直角三角形嗎?為什么?1.如圖,在△ABC中,CD是AB邊上的高，AC=4,BC=35北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明課件36北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明課件372.寫出下列命題的逆命題,并判斷逆命題的真假.(1)如果實(shí)數(shù)a=b,那么

;(2)直角都相等.2.寫出下列命題的逆命題,并判斷逆命題的真假.381.直角三角形的判定:(1)有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.(2)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.直角三角形的性質(zhì):(1)兩個(gè)銳角互余;1.直角三角形的判定:39(2)勾股定理;(3)在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.3.如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題.(2)勾股定理;40第2課時(shí)第2課時(shí)411.會證明直角三角形的判定定理“HL”.2.能靈活運(yùn)用直角三角形的判定定理進(jìn)行說理證明.1.會證明直角三角形的判定定理“HL”.42有兩條邊和一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形全等嗎?如果這個(gè)角是直角,結(jié)論會有什么變化?

有兩條邊和一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形全等嗎?如果這431.如圖,已知∠ACB=∠BDA=90°,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,使△ACB≌△BDA.解:(1)AC=BD;(2)BC=AD;(3)∠CAB=∠DBA;(4)∠CBA=∠DAB.1.如圖,已知∠ACB=∠BDA=90°,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,使442.如圖,點(diǎn)C,E,B,F在同一條直線上,AB⊥CF于點(diǎn)B,DE⊥CF于點(diǎn)E,AC=DF,AB=DE.求證:CE=BF.證明：∵AB⊥CF,DE⊥CF,

∴∠ABC=∠DEF=90°.

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).

∴BC=EF.

∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF.

2.如圖,點(diǎn)C,E,B,F在同一條直線上,AB⊥CF于點(diǎn)B,453.如圖,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E在AB上.求證:CE=DE.證明:∵∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△ABC和Rt△ABD中,

AC=AD,AB=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).∴∠ABC=∠ABD,BC=BD.在△BEC和△BED中,

BC=BD,∠EBC=∠EBD,BE=BE,∴△BEC≌△BED(SAS).∴CE=DE.3.如圖,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E在AB上46北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明課件47第一章三角形的證明1.3線段的垂直平分線第一章三角形的證明48已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.求證：△ABC≌△DEF.ABCPDEFQ知識回顧已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且49ABCPDEFQ變式1：若把∠BAC＝∠EDF,改為BC＝EF

，△ABC與△DEF全等嗎？請說明思路.變式2：若把∠BAC＝∠EDF,改為AC=DF，△ABC與△DEF全等嗎？請說明思路.變式3：請你把例題中的∠BAC＝∠EDF改為另一個(gè)適當(dāng)條件，使△ABC與△DEF仍能全等，并給出證明.ABCPDEFQ變式1：若把∠BAC＝∠EDF,改為BC＝E50我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎?

情境引入我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分線上的點(diǎn)到這51定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.已知:如圖,直線MN⊥AB,垂足為C，且AC=BC,P是MN上任意一點(diǎn).求證:PA=PB.ACBPMN自主預(yù)習(xí)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.已知52ACBPMN證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.又∵AC=BC,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS).∴PA=PB.如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，那么結(jié)論顯然成立.ACBPMN證明：∵M(jìn)N⊥AB，如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，53幾何語言描述ACBPMN這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.如圖，∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點(diǎn)(已知),∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等).幾何語言描述ACBPMN這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的54思考：你能寫出定理“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”的逆命題嗎?

逆命題：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.它是真命題嗎?如果是,請給出證明.新知探究思考：你能寫出定理“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)55已知:如圖,PA=PB.求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.ABP已知:如圖,PA=PB.ABP56ACBP證明：（方法一）

過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C.∵PC⊥AB，∴△APC和△BPC都是直角三角形.

∵PC=PC,PA=PB，∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)，∴AC=BC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，

∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.ACBP證明：（方法一）57ACBP.（方法二）把線段AB的中點(diǎn)記為C,連接PC.∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=BC.

又∵PA=PB,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴PC⊥AB，

即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.ACBP.（方法二）58逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.幾何語言描述：如圖,∵PA=PB(已知),∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.ABP逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分59例1已知：如圖，在△ABC

中，AB=AC，O

是△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，且

OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC．證明：∵AB=AC，

∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上），同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上,∴直線AO

是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）．例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O601.如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E是AB上的一點(diǎn),如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=60°,那么∠EDC=

°.EDABC760隨堂練習(xí)1.如圖,已知AB是線段CD的EDABC760隨堂練習(xí)612.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,△BCE的周長等于50,求BC的長.BAEDC解：∵DE為AB的垂直平分線，∴AE=BE.∵△BCE的周長等于50，∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50.

∴AC+BC=50.

∵AC=27，∴BC=23.比一比：你的寫作過程完整嗎？2.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交A623.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn).

求證：PB=PC.PBDCA證明：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上.∵BD=CD，∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，∴AD所在的直線是線段BC的垂直平分線.∵P是AD上一點(diǎn)，∴PB=PC.3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn).求633.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn)求證：PB=PC.深入探索：你還有其他的證明方法嗎？

PBDCA3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn)求證641.線段垂直平分線的定理及證明2.線段垂直平分線的逆定理及證明3.兩個(gè)定理之間的區(qū)別與聯(lián)系知識梳理1.線段垂直平分線的定理及證明知識梳理65第一章三角形的證明1.4角平分線第一章三角形的證明66第1課時(shí)第1課時(shí)671.會證明角平分線的性質(zhì)定理和判定定理.2.能運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理解決問題.1.會證明角平分線的性質(zhì)定理和判定定理.68如圖,107國道OA和320國道OB在某市相交于點(diǎn)O,在∠AOB的內(nèi)部有工廠C和D.現(xiàn)要修建一個(gè)貨站P,使P到國道OA和OB的距離相等,且到工廠C,D的距離也相等.如果你是設(shè)計(jì)師,你會怎樣解決這個(gè)問題呢?如圖,107國道OA和320國道OB在某市相交691.如圖,在△ABC中,∠C=90°，AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上,BD=DF.求證:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.證明：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）.∴CF=EB.1.如圖,在△ABC中,∠C=90°，AD是∠BAC的平分線70北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明課件712.如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F,BE=CF.求證:AD是△ABC的角平分線.證明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴△BDE和△CDF是直角三角形.∵BD=DC,BE=CF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE=DF.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是△ABC的角平分線.2.如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥A721.角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的

相等.

2.角平分線的判定定理:在一個(gè)角的內(nèi)部,且

的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.

兩邊的距離到角的兩邊距離相等1.角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的73第2課時(shí)第2課時(shí)741.會證明三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì)定理.2.會運(yùn)用三角形三條內(nèi)角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.1.會證明三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì)定理.75某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地(如圖),現(xiàn)準(zhǔn)備在其中建一個(gè)亭子供人們休憩,要使亭子中心到三條馬路的距離相等.你能確定亭子中心的位置嗎?某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地(如圖),761.如圖,在△ABC中,E是∠BAC,∠CBD的平分線的交點(diǎn).求證:點(diǎn)E在外角∠BCF的平分線上.證明:過點(diǎn)E作EG⊥AB，EH⊥BC，EP⊥AC，垂足分別為G,H,P.

∵AE平分∠BAC,

EG⊥AB,EP⊥AC,∴EG=EP.

∵BE平分∠CBG,EG⊥AB,EH⊥BC,1.如圖,在△ABC中,E是∠BAC,∠CBD的平分線的交點(diǎn)77∴EG=EH.∴EH=EP,又∵EP⊥AC,EH⊥BC,∴點(diǎn)E在∠BCF的平分線上.∴EG=EH.782.在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于點(diǎn)E.(1)求證:BD+DE=AC;(2)已知AB=15cm,求△DBE的周長;(3)已知AC=4cm,求CD的長.2.在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC79(2)解:∵CD=DE,AD=AD,∠C=∠AED=90°,

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）,∴AC=AE.

∵AC=BD+DE,∴BD+DE=AE.

∴△BDE的周長=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15(cm).(1)證明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∵BC=BD+CD,∴BC=BD+DE.∵AC=BC,∴AC=BD+DE.(2)解:∵CD=DE,AD=AD,∠C=∠AED=90°80(3)解:∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=90°=45°.∴∠BDE=90°-45°=45°.

∴BE=DE.在△ABC中，AB=.∵AC=AE,∴BE=.∵CD=DE,BE=DE,

∴CD=(cm).(3)解:∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.811.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到________的距離相等.

2.三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)只有一個(gè),實(shí)際作圖時(shí),只需作出兩個(gè)角的平分線,第三個(gè)角的平分線必過這兩條角平分線的交點(diǎn).3.利用面積法求距離的方法:三角形角平分線的交點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)的連線,把原三角形分割成了三個(gè)小三角形,利用小三角形的面積之和等于原三角形的面積,是求角平分線交點(diǎn)到三邊距離的常用方法.三條邊1.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理:三角形的三條角平分線相交于82第一章三角形的證明1.1等腰三角形第一章三角形的證明83第1課時(shí)第1課時(shí)841.能說出證明三角形全等的幾種方法,學(xué)會證明的基本步驟和書寫格式.2.會證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理及其推論.3.靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明.1.能說出證明三角形全等的幾種方法,學(xué)會證明的基本步驟和書寫85前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如果兩個(gè)三角形滿足條件SSS,SAS,ASA,那么這兩個(gè)三角形全等;若滿足條件AAS,SSA,AAA,這兩個(gè)三角形還會全等嗎?

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如果兩個(gè)三角形滿足條件SSS861.如圖,點(diǎn)A,D,C在同一直線上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC.求證:BC=DE.1.如圖,點(diǎn)A,D,C在同一直線上,AB∥EC,AC=CE,872.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=40°，且AD=AE,求∠CDE的度數(shù).解:∵AB=AC,BD=CD,∴AD平分∠BAC,AD⊥BC.∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=70°.∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=20°.2.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=881.全等三角形的判定方法共有四種,分別是_______,_______,_______,________.

2.全等三角形的性質(zhì):全等三角形的對應(yīng)邊_____,對應(yīng)角_____.

3.等腰三角形的性質(zhì):(1)等邊對等角;(2)“三線合一”.SSS

SAS

ASA

AAS

相等相等1.全等三角形的判定方法共有四種,分別是_______,SS89第2課時(shí)第2課時(shí)901.會證明等腰三角形中有關(guān)角平分線、中線、高線的特征.2.掌握等邊三角形的性質(zhì)定理.1.會證明等腰三角形中有關(guān)角平分線、中線、高線的特征.91在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等),你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?能證明你的結(jié)論嗎?

在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高921.如圖,在△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,∠ADC=60°,求∠C的度數(shù).解:設(shè)∠BAD=x°.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=x°,∠BAC=2∠BAD=2x°.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC=2x°.∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°,1.如圖,在△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,∠AD93∴2x+x=60,∴x=20.∴∠B=∠BAC=40°.在△ABC中,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=100°.∴2x+x=60,942.如圖,△ABC是等邊三角形,△ADE是等腰三角形,AD=AE,∠DAE=80°,當(dāng)DE⊥AC時(shí),求∠BAD和∠EDC的度數(shù).解:當(dāng)DE⊥AC時(shí),∵AD=AE,∠DAE=80°,∴∠ADE=∠E=50°,∠DAF=∠EAF=40°.∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°.2.如圖,△ABC是等邊三角形,△ADE是等腰三角形,AD=95∴∠BAD=60°-40°=20°.∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,∴60°+20°=50°+∠EDC,∴∠EDC=30°.∴∠BAD=60°-40°=20°.961.等腰三角形兩腰上的高、兩腰上的中線、兩底角的平分線分別_______.

2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角______,并且每個(gè)角都等于______.

相等相等60°

1.等腰三角形兩腰上的高、兩腰上的中線、兩底角的平分線分別_97第3課時(shí)第3課時(shí)981.學(xué)會證明等腰三角形的判定定理,并能運(yùn)用它來判定一個(gè)三角形為等腰三角形.2.知道反證法的含義,能說出反證法的一般步驟,并能運(yùn)用反證法進(jìn)行簡單的證明.1.學(xué)會證明等腰三角形的判定定理,并能運(yùn)用它來判定一個(gè)三角形99等腰三角形的兩個(gè)底角相等.反過來,有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?

等腰三角形的兩個(gè)底角相等.反過來,有兩個(gè)角相等1001.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠MAC和∠ABC的平分線AD,BD相交于點(diǎn)D,試說明△ABD是等腰三角形.解:∵AD平分∠MAC,∴∠MAD=∠CAD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠MAC=∠ABC+∠C,即∠MAD+∠CAD=∠ABC+∠C,1.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠MAC和∠ABC的101∴∠CAD=∠C.∴AD∥BC.∴∠CBD=∠D.∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.∴∠ABD=∠D.∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形.∴∠CAD=∠C.1022.用反證法證明:“在一個(gè)三角形中,外角最多有一個(gè)銳角”.證明:假設(shè)三角形中的外角有兩個(gè)角是銳角.

根據(jù)三角形的外角與相鄰的內(nèi)角互補(bǔ),知與這兩個(gè)角相鄰的兩個(gè)內(nèi)角一定是鈍角,大于90°,則這兩個(gè)角的度數(shù)和一定大于180°,與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾.因而假設(shè)錯(cuò)誤.故在一個(gè)三角形中,外角最多有一個(gè)銳角.2.用反證法證明:“在一個(gè)三角形中,外角最多有一個(gè)銳角”.證1031.等腰三角形的判定定理:_________________________.簡述為:_____________.

2.用反證法證明命題的步驟:(1)假設(shè)命題的結(jié)論_________;

(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā),運(yùn)用正確的推論方法,得出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件_________的結(jié)果;

(3)由____________判定假設(shè)

從而肯定命題的結(jié)論正確.

有兩個(gè)角相等的三角形是

等角對等邊不成立相矛盾矛盾的結(jié)果不成立等腰三角形1.等腰三角形的判定定理:_________________104第4課時(shí)第4課時(shí)1051.會證明等邊三角形的判定定理,并會運(yùn)用這個(gè)定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明.2.會證明含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理,并會運(yùn)用這個(gè)定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明.1.會證明等邊三角形的判定定理,并會運(yùn)用這個(gè)定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)106當(dāng)一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形?等邊三角形是特殊的等腰三角形,當(dāng)一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形呢?

當(dāng)一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形?等邊三角1071.如圖,EF∥BC,BE∥AC,AB∥FC,且△ABC是等邊三角形.求證:△ABE和△ACF是等邊三角形.證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠BAC=60°.∵EF∥BC,BE∥AC,∴∠BAE=∠ABC=60°,∠ABE=∠BAC=60°.∴∠E=60°.1.如圖,EF∥BC,BE∥AC,AB∥FC,且△ABC是等108∴∠BAE=∠ABE=∠E=60°.∴△ABE是等邊三角形.同理可得,△ACF是等邊三角形.∴∠BAE=∠ABE=∠E=60°.1092.如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4cm.求:(1)∠DAC的度數(shù);(2)BC的長.解:(1)∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=30°.∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵AB⊥AD,∴∠DAC=120°-90°=30°.

2.如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠C=30°,AB⊥110(2)∵AD=4cm,∠B=30°,∠BAD=90°,∴BD=8cm.∵∠DAC=30°=∠C,∴DC=AD=4cm.∴BC=BD+DC=12（cm）.(2)∵AD=4cm,∠B=30°,∠BAD=90°,1111.等邊三角形的判定方法:(1)_______相等的三角形是等邊三角形;

(2)_______相等的三角形是等邊三角形;

(3)

的等腰三角形是等邊三角形.

2.有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)定理:在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于____,那么它所對的_______是______的一半.

三邊三角有一個(gè)角是60°

30°

直角邊斜邊1.等邊三角形的判定方法:三邊三角有一個(gè)角是60°112第一章三角形的證明1.2直角三角形第一章三角形的證明113第1課時(shí)第1課時(shí)1141.會證明直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理;并能應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明.2.能寫出一個(gè)命題的逆命題,并會判斷其真假,會識別兩個(gè)互逆命題.1.會證明直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理;并能應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)115要判定一個(gè)三角形為直角三角形,按以前學(xué)過的知識,你有幾種方法?

要判定一個(gè)三角形為直角三角形,按以前學(xué)過的知識1161.如圖,在△ABC中,CD是AB邊上的高，AC=4,BC=3,DB=.(1)求AD的長.(2)△ABC是直角三角形嗎?為什么?1.如圖,在△ABC中,CD是AB邊上的高，AC=4,BC=117北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明課件118北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明課件1192.寫出下列命題的逆命題,并判斷逆命題的真假.(1)如果實(shí)數(shù)a=b,那么

;(2)直角都相等.2.寫出下列命題的逆命題,并判斷逆命題的真假.1201.直角三角形的判定:(1)有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.(2)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.直角三角形的性質(zhì):(1)兩個(gè)銳角互余;1.直角三角形的判定:121(2)勾股定理;(3)在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.3.如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題.(2)勾股定理;122第2課時(shí)第2課時(shí)1231.會證明直角三角形的判定定理“HL”.2.能靈活運(yùn)用直角三角形的判定定理進(jìn)行說理證明.1.會證明直角三角形的判定定理“HL”.124有兩條邊和一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形全等嗎?如果這個(gè)角是直角,結(jié)論會有什么變化?

有兩條邊和一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形全等嗎?如果這1251.如圖,已知∠ACB=∠BDA=90°,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,使△ACB≌△BDA.解:(1)AC=BD;(2)BC=AD;(3)∠CAB=∠DBA;(4)∠CBA=∠DAB.1.如圖,已知∠ACB=∠BDA=90°,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,使1262.如圖,點(diǎn)C,E,B,F在同一條直線上,AB⊥CF于點(diǎn)B,DE⊥CF于點(diǎn)E,AC=DF,AB=DE.求證:CE=BF.證明：∵AB⊥CF,DE⊥CF,

∴∠ABC=∠DEF=90°.

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).

∴BC=EF.

∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF.

2.如圖,點(diǎn)C,E,B,F在同一條直線上,AB⊥CF于點(diǎn)B,1273.如圖,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E在AB上.求證:CE=DE.證明:∵∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△ABC和Rt△ABD中,

AC=AD,AB=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).∴∠ABC=∠ABD,BC=BD.在△BEC和△BED中,

BC=BD,∠EBC=∠EBD,BE=BE,∴△BEC≌△BED(SAS).∴CE=DE.3.如圖,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E在AB上128北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明課件129第一章三角形的證明1.3線段的垂直平分線第一章三角形的證明130已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.求證：△ABC≌△DEF.ABCPDEFQ知識回顧已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且131ABCPDEFQ變式1：若把∠BAC＝∠EDF,改為BC＝EF

，△ABC與△DEF全等嗎？請說明思路.變式2：若把∠BAC＝∠EDF,改為AC=DF，△ABC與△DEF全等嗎？請說明思路.變式3：請你把例題中的∠BAC＝∠EDF改為另一個(gè)適當(dāng)條件，使△ABC與△DEF仍能全等，并給出證明.ABCPDEFQ變式1：若把∠BAC＝∠EDF,改為BC＝E132我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎?

情境引入我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分線上的點(diǎn)到這133定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.已知:如圖,直線MN⊥AB,垂足為C，且AC=BC,P是MN上任意一點(diǎn).求證:PA=PB.ACBPMN自主預(yù)習(xí)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.已知134ACBPMN證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.又∵AC=BC,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS).∴PA=PB.如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，那么結(jié)論顯然成立.ACBPMN證明：∵M(jìn)N⊥AB，如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，135幾何語言描述ACBPMN這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.如圖，∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點(diǎn)(已知),∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等).幾何語言描述ACBPMN這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的136思考：你能寫出定理“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”的逆命題嗎?

逆命題：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.它是真命題嗎?如果是,請給出證明.新知探究思考：你能寫出定理“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)137已知:如圖,PA=PB.求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.ABP已知:如圖,PA=PB.ABP138ACBP證明：（方法一）

過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C.∵PC⊥AB，∴△APC和△BPC都是直角三角形.

∵PC=PC,PA=PB，∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)，∴AC=BC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，

∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.ACBP證明：（方法一）139ACBP.（方法二）把線段AB的中點(diǎn)記為C,連接PC.∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=BC.

又∵PA=PB,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴PC⊥AB，

即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.ACBP.（方法二）140逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.幾何語言描述：如圖,∵PA=PB(已知),∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.ABP逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分141例1已知：如圖，在△ABC

中，AB=AC，O

是△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，且

OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC．證明：∵AB=AC，

∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上），同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上,∴直線AO

是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）．例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O1421.如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E是AB上的一點(diǎn),如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=60°,那么∠EDC=

°.EDABC760隨堂練習(xí)1.如圖,已知AB是線段CD的EDABC760隨堂練習(xí)1432.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,△BCE的周長等于50,求BC的長.BAEDC解：∵DE為AB的垂直平分線，∴AE=BE.∵△BCE的周長等于50，∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50.

∴AC+BC=50.

∵AC=27，∴BC=23.比一比：你的寫作過程完整嗎？2.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交A1443.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn).

求證：PB=PC.PBDCA證明：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上.∵BD=CD，∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，∴AD所在的直線是線段BC的垂直平分線.∵P是AD上一點(diǎn)，∴PB=PC.3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn).求1453.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn)求證：PB=PC.深入探索：你還有其他的證明方法嗎？

PBDCA3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn)求證1461.線段垂直平分線的定理及證明2.線段垂直平分線的逆定理及證明3.兩個(gè)定理之間的區(qū)別與聯(lián)系知識梳理1.線段垂直平分線的定理及證明知識梳理147第一章三角形的證明1.4角平分線第一章三角形的證明148第1課時(shí)第1課時(shí)1491.會證明角平分線的性質(zhì)定理和判定定理.2.能運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理解決問題.1.會證明角平分線的性質(zhì)定理和判定定理.150如圖,107國道OA和320國道OB在某市相交于點(diǎn)O,在∠AOB的內(nèi)部有工廠C和D.現(xiàn)要修建一個(gè)貨站P,使P到國道OA和OB的距離相等,且到工廠C,D的距離也相等.如果你是設(shè)計(jì)師,你會怎樣解決這個(gè)問題呢?如圖,107國道OA和320國道OB在某市相交1511.如圖,在△ABC中,∠C=90°，AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上,BD=DF.求證:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2