2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題含答案解析

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（天津卷）2022．06．一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再根據(jù)交集的定義可求.【詳解】，故，故選：A.2.“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（）A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分不必要條件的定義去判定“為整數(shù)”與“為整數(shù)”的邏輯關(guān)系即可.【詳解】由題意，若為整數(shù)，則為整數(shù)，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，整數(shù)，但不為整數(shù)，故必要性不成立；所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的圖像為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.4.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A.8 B.12 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出第三組的總?cè)藬?shù)，從而可以求得結(jié)果.【詳解】志愿者的總?cè)藬?shù)為＝50，所以第三組人數(shù)為50×0.36＝18，有療效的人數(shù)為18－6＝12．故選：B.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：C.6.化簡(jiǎn)的值為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.詳解】原式，故選：B7.已知拋物線(xiàn)分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)交于點(diǎn)A，若，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得出的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則，則、，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)榍?，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.8.如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A.23 B.24 C.26 D.27【答案】D【解析】【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為則則該幾何體的體積為.故選：D.9.已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：①最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說(shuō)法的真假．【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因?yàn)?，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，④不正確．故選：A．

第II卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10.已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則即可解出．【詳解】．故答案為：．11.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理可得的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，代入即可得解.【詳解】由題意的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令即，則，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.若直線(xiàn)與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則_____．【答案】【解析】【分析】計(jì)算出圓心到直線(xiàn)的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，由勾股定理可得，因?yàn)椋獾?故答案為：.13.52張撲克牌，沒(méi)有大小王，無(wú)放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為_(kāi)___________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為_(kāi)___________【答案】①.②.【解析】【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.【詳解】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則.故答案為：；.14.在中，，D是AC中點(diǎn)，，試用表示為_(kāi)__________，若，則的最大值為_(kāi)___________【答案】①.②.【解析】【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時(shí)，最大，即求出．【詳解】方法一：

，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：

，，，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時(shí)，最大，此時(shí)．故答案為：；．15.設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或.①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，即，而，代入得，解得：．【小?wèn)2詳解】由（1）可求出，而，所以，又，所以．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，故，又，所以，，而，所以，故?7.直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得直線(xiàn)與平面夾角的正弦值；（3）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，平面，故平面.【小問(wèn)2詳解】解：，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線(xiàn)與平面夾角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】解：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.18.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；（3）求．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.19.橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿(mǎn)足．（1）求橢圓的離心率；（2）直線(xiàn)l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；（2）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，由可得出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得的值，即可得出橢圓的方程.【小問(wèn)1詳解】解：，離心率為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知橢圓的方程為，易知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．20.已知，函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）若和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出可求切線(xiàn)方程；（2）（i）當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)和有公共點(diǎn)即為在上有零點(diǎn)，求導(dǎo)后分類(lèi)討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求.（ii）曲線(xiàn)和有公共點(diǎn)即，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.【小問(wèn)1詳解】，故，而，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為即.【小問(wèn)2詳解】（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍€(xiàn)和有公共點(diǎn)，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點(diǎn)，而，若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)，；時(shí)，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因?yàn)榍€(xiàn)和有公共點(diǎn)，所以有解，