物光及課后習(xí)題解答-第22講-物理光學(xué)4.5衍射

物理光學(xué)：Optical

Physics講解人：劉娟:

jVoice:

68913790理工大學(xué)光電學(xué)院第四章光的衍射標(biāo)量衍射理論基礎(chǔ)衍射和傅里葉變換單孔的夫瑯和費(fèi)衍射衍射光柵菲涅耳衍射衍射區(qū)的劃分P1P2P3ZS近場區(qū)

遠(yuǎn)場區(qū)Fraunhofer區(qū)嚴(yán)格矢矢量量理衍

Fresnel區(qū)

論射求區(qū)解區(qū)§4.5菲涅耳衍射菲涅耳衍射半定量的方法——菲涅爾半波帶法x

22

d2

dkd

2可直接在衍射孔徑后方有限距離上觀察，無需借助透鏡計(jì)算復(fù)雜，即使簡單孔徑也難得出解析結(jié)果

K

y

2

2k

e

xp

j

d

x

y

d

d

E

(

x

,

y

)

e

xp

jk

d

A

(

,

)

e

xp

j§4.5菲涅耳衍射§4.5菲涅耳衍射菲涅爾半波帶法菲涅爾波帶板菲涅爾積分法M獻(xiàn)量為

EN

,則

P

點(diǎn)的復(fù)振幅為:

E

p

ENN

14.5.1菲涅耳半波帶法1.原理及方法—菲涅耳子波疊加原理12原理：菲涅耳半波帶：按子波

距離

r

的大小，將未受阻擋的波面Ω劃分為一系列環(huán)帶，各環(huán)帶面積大致相等，相鄰環(huán)帶的擾動位相相反,這樣的環(huán)帶叫菲涅耳半波帶。整個半波帶對

p 點(diǎn)的合擾動,簡單地用其中一個子波源的貢獻(xiàn)量乘以半波帶面積Sm

表示。3設(shè)整個衍射孔徑對P點(diǎn)可作M個半波帶，第N個半波帶的貢SR4

3

2

1d002002

d

d3d

PORSBB

rPO

hO2.菲涅耳半波帶作圖方法球面波照明的情形求P點(diǎn)復(fù)振幅—連接SP，交波面于O點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為圓心，在未受阻擋的波面上劃分半波帶。菲涅耳半波帶作圖方法平面波照明的情形第N個半波帶的貢獻(xiàn)（

1）振幅E

N

E

N

0

ex

p

j

N

,其中：N

0NNS

Nd

NE

K

q

K

q2

d

0N

證明：因

d

d

1

N

0

222

d

0NS

hN

h

2

dN

1N

d

2

d

1

N

N

10

NNN

0將

d

和

S

代入，得：

E

K

S

NNNd

Nq

K

q當(dāng)

N

不太大時，

q

變化很小。

E

與

N

無關(guān)，近似為常數(shù)。N N

0傾斜因子（2）相位以中心環(huán)帶作為（N=1）半波帶,設(shè)0

＝0.并以此作為N的位相參考值。于是，奇數(shù)帶的位相均為2π，偶數(shù)帶的位相皆為π。于是有:N

(N

1)j

(

N

1)N

1NNE

K

q

e

(1)K

qN（N=1,2,3……）ME

P

ENN

1第N個半波帶的貢獻(xiàn)（3）復(fù)振幅（4）合振幅3、計(jì)算軸上點(diǎn)p的復(fù)振幅設(shè)物體是半徑ε的圓孔，對P點(diǎn)可作出M個半波帶，則2

2

2

2

1

(E

E

)1

M2例：設(shè)波長

的平面波照射半徑ε的圓孔N

1ME(

p)

EN

1

E1

1

(E1

E2

)

1

(EM

1

EM

)

1

EM02

2)

d

2

,求出半波帶數(shù):0由于:

(d

2M0M

2d

，或d0

2M

結(jié)論：M為偶數(shù)，p為暗點(diǎn)；M為奇數(shù)，p為亮點(diǎn)。解釋由于相鄰波帶的對應(yīng)點(diǎn)到P的光程差為半個波長，因此相鄰波帶發(fā)出的次波在P點(diǎn)的干涉是相消的。推斷：當(dāng)圓孔只包含一個波帶時，P點(diǎn)是亮點(diǎn)；當(dāng)圓孔包含第一個波帶和第二個波帶時，P點(diǎn)是暗點(diǎn)；當(dāng)波帶數(shù)不多時，N為偶數(shù)，P=0；N為奇數(shù)，P為亮點(diǎn)；N趨于無限大時，P點(diǎn)是明還是暗？整數(shù)半波帶的相輻矢量作圖根據(jù):

E

(

1)

N

1

K

qN

N細(xì)分半波帶的相輻矢量作圖將半波帶細(xì)分為l

個子波帶。每個子波帶面積為S

N

l

,其貢獻(xiàn)量可用一個相輻矢量表示，長度為

E

E

N

l

相鄰子波帶位相差為

l

，故相輻矢量輻角變化

l

。5、圓對稱物體的菲涅耳衍射菲涅爾半波帶法分析

軸上點(diǎn)利用：

M

2

d02

21．

M為奇數(shù)時，E(p)

E1

EM為亮點(diǎn),M=2N+1

22N

1N

0,1,

2,0

M亮點(diǎn)距離:

d

2

2M為偶數(shù)時，E(p)

E1

EM為暗點(diǎn),M=2N

22N

d0m暗點(diǎn)距離:

22.

E

(

p)

E1

OA

,

E

(

p)

OB7.5

軸上點(diǎn)菲涅耳衍射積分：A

circ

E

0,

0

22e

jkdjddddA

,

exp

j

0

00

1

jz2

jkzjkzjz

e

2

E

0;

z

e

A

exp

2

zj

dd

2exp

j

z

dE(z)

2zc

exp[

j(

2

)]sin(

2

)2z

2z02zL(z)

L

sin2

(

2

)5、圓對稱物體的菲涅耳衍射菲涅爾衍射積分法分析

軸上點(diǎn)5、圓對稱物體的菲涅耳衍射菲涅爾衍射積分法分析

軸上點(diǎn)22

z亮點(diǎn)條件：2

N

2亮點(diǎn)距離：z暗點(diǎn)距離：z

22

z

N

2

2

N

1

2

N

2M

z2z

M暗點(diǎn)條件：半波帶法半波帶數(shù)：像點(diǎn)距離：結(jié)論一致

2

)0L

(

z

)

L

s

in

2

(2

z結(jié)論：園孔的菲涅耳衍射圖形仍然是園對稱的分析軸外點(diǎn)P

的衍射聯(lián)結(jié)光源S和P，交物平面于O

，以O(shè)

為中心，從P向園孔作半波帶。序號較大的半波帶將被園孔切割。圓孔的菲涅耳衍射不同d0處菲涅爾衍射圖形圓屏菲涅耳衍射應(yīng)用巴比內(nèi)原理:E

(P

)

E

(P

)

E

(P

)①軸上p點(diǎn)：由于2E1E

(

p

)

1M。

E

(

p

)

12(

E

E

)1

MM

∴

E

(

P)

E

1

1

(

E

E

)

1

E2

2

2（M是從p點(diǎn)對圓屏所作的半波帶數(shù)）P

始終是亮點(diǎn)（泊松亮點(diǎn)）。M

增大，

E

M

減小，亮度減弱。②軸外點(diǎn)p

:E

(p

)不定，難于應(yīng)用巴比內(nèi)原理.但由圓對稱性，菲涅耳衍射圖形仍然是亮暗相間的圓環(huán)條紋。圓屏菲涅耳衍射另一種解釋軸上p點(diǎn)：假設(shè)遮擋了第M-1個半波帶，則第M個半波帶等效于原來第一個半波帶，

后面的半波帶互相抵消，

因此2E

(P)

1

E

（M是從p點(diǎn)對圓屏所作的半波帶數(shù)

M）P始終是亮點(diǎn)（泊松亮點(diǎn)）。M增大，EM

減小，亮度減弱。泊松亮點(diǎn)1818年,巴黎

舉行了一次解釋衍射的有獎競賽,評委中許多著名科學(xué)家,如畢奧,拉

斯,泊松等,都是光的微粒學(xué)說的忠實(shí)擁護(hù)者。

年輕的菲涅耳報告了“應(yīng)用子波疊加原理解釋衍射現(xiàn)象”的

。會后，泊松仔細(xì)審閱了菲涅耳的

，導(dǎo)出了“園屏衍射中心會出現(xiàn)一個亮點(diǎn)”這一看似離奇的結(jié)論，使菲涅耳原理又

新的考驗(yàn)。

，阿喇果在實(shí)驗(yàn)中果然觀察到了這一驚人現(xiàn)象（又稱為阿喇果亮斑）。這一發(fā)現(xiàn)對光的波動學(xué)說提供了有力的支持。The

Spot

of

AragoThis

irradiance

can

be

quite

high

and

can

do

some

damage!x0x1StopBeam

aftersome

distanceInput

beamwith

hole圓屏菲涅耳衍射圓孔的菲涅爾衍射圓屏的菲涅爾衍射§4.5菲涅耳衍射菲涅爾半波帶法菲涅爾波帶板菲涅爾積分法4.5.2菲涅耳波帶板Fresnel

Zone

Plate-FZP(a)擋住偶數(shù)半波帶的園環(huán)FZP(b)擋住奇數(shù)半波帶的園環(huán)FZP條形FZP矩形FZP菲涅耳波帶板Fresnel

Zone

Plate-FZP圓孔的菲涅爾衍射中，奇數(shù)個半波帶和偶數(shù)個半波帶對軸上點(diǎn)復(fù)振幅的貢獻(xiàn)量位相相反，因此軸上點(diǎn)P的輻照度小于第一個半波帶的復(fù)振幅貢獻(xiàn)量設(shè)想：將圓孔內(nèi)奇數(shù)（或偶數(shù)）半波帶擋住，其余半波帶復(fù)振幅貢獻(xiàn)量同相相加E1

E

3

E

5

E

9

9

9

500

E1

1000

E

21E1M1

E

E

(

p

)121E

(

p

)

E2菲涅爾波帶板工作原理工作原理：擋住偶數(shù)(或奇數(shù))半波帶，剩余半波帶同位相相加。當(dāng)用平面波照明時，P點(diǎn)成為一個明亮的點(diǎn)。d0

稱為FZP的焦距。如何設(shè)計(jì)菲涅爾波帶板222

2000

02

4

d

0

N

d

N

h0

1NNN

N

(

d

)

d

N

d

1

h

d

d

1

h

200

d1d

h

FZP的成像性質(zhì)-無限遠(yuǎn)物點(diǎn)F

Z

Pd

0Ph

2

1

0d

FZP的成像性質(zhì)-有限遠(yuǎn)物點(diǎn)用S發(fā)出的球面波照明FZP,P點(diǎn)不再成為亮點(diǎn)。但是,當(dāng)距離l

和l

滿足：

SQ

Q

S

S

S

N

(N

為整數(shù)時)，

S

點(diǎn)成為亮點(diǎn)。2

N

2

表示第N個半波帶的衍射光波與中心θ點(diǎn)

N

0

的衍射光之間光程差。即第N半波帶衍射光與第1半波帶衍射光之間光程差

N

1

2

，或位相差

N

1

（對任意N成立）。(

1

)

當(dāng)N

為偶數(shù)：

N

1

表示所有偶數(shù)帶與第一帶反相；(

2

)

當(dāng)N

為奇數(shù)：

N

1

表示所有奇數(shù)帶與第一帶同相。即無論擋住偶數(shù)帶還是奇數(shù)帶，剩余帶對S

點(diǎn)貢獻(xiàn)量都是同相相加。實(shí)際上，滿足上述條件時，從S

向孔徑平面和球面波陣面作的兩套波帶板完全重迭。FZP的成像性質(zhì)-有限遠(yuǎn)物點(diǎn)─證明利用l

hNl

hN

及hN

d0

N12

2SQ

l

h

Nh2

由2

l

1

N

2l2

S

l12

2

2NQS

l2

h

hl

1N2l2

S

l

代入：SQ

QS

S

S

2N導(dǎo)出：1

1

1l

l

d0FZP的成像性質(zhì)-有限遠(yuǎn)物點(diǎn)FZP用于成像的限制.h

2

1d

0

菲涅爾波帶板菲涅爾波帶板的多焦點(diǎn)現(xiàn)象h

N

hN

1h

2

1

0d

對于d0之外的任意軸上d點(diǎn)，其復(fù)振幅和輻照度可看作波帶板中心孔和周圍環(huán)帶的衍射中心孔對d點(diǎn)包含的半波帶數(shù)

h

d

1

02M

d

d

d0第N個環(huán)帶對d點(diǎn)包含的半波帶數(shù)h

2

h

2(

N

1)

h

2

N

h

2

d N

1

N

1

1

0

d

d

d

dM

'

菲涅爾波帶板菲涅爾波帶板的多焦點(diǎn)現(xiàn)象中心孔和各環(huán)帶對d點(diǎn)包含的半波帶數(shù)dMM

'

0

dd

0

dd0/d=奇數(shù)時，半波帶數(shù)為奇數(shù)，d點(diǎn)為亮點(diǎn)因此，在d0/3，d0/5，…處會出現(xiàn)多焦點(diǎn)d0/d比值越大，包含的半波帶數(shù)目越多，強(qiáng)度越弱由于具有相同的波帶數(shù)，存在與多實(shí)焦點(diǎn)位臵對稱的一系列虛焦點(diǎn)菲涅爾透鏡的成像特點(diǎn)菲涅爾透鏡除主焦點(diǎn)P0外，還存在光強(qiáng)較小的次焦點(diǎn)P1

P2

P3…，它們距波帶片的距離分別為d/3、d/5、d/7

…還存在一系列與實(shí)焦點(diǎn)對稱的虛焦點(diǎn)P’0

P’1

P’2

P’3…菲涅爾透鏡的焦距與波長成反比。采用二元光學(xué)方法補(bǔ)償波帶相位，且增大臺階數(shù)可以獲得高衍射效率、高光強(qiáng)的主焦點(diǎn)。FZP用于成像的優(yōu)勢和限制優(yōu)勢輕型化、小型化；適用波長的范圍較寬。限制由于焦距f與波長有關(guān)，因此有嚴(yán)重的色散效應(yīng)；多焦點(diǎn)性質(zhì)：虛焦點(diǎn)（等半波帶）、次級焦點(diǎn)4.30

有一半徑為2mm

的小圓屏被強(qiáng)度為I0、波長λ=500nm的平面波垂直照明。試求與小圓屏相距2m

遠(yuǎn)的軸上點(diǎn)P0

處的光強(qiáng)大小。2E

M方法(1)

按照Babinet

原理,E

p

0

E

p

0

E

p

0

但M0

4

d

20

E

p

0

E22

0所以：

E

p

E

4

E

1因此：I

p

0

2E

2

E

I0

0方法（2）因從

p

點(diǎn)對小孔只能作

4

個半波帶（m=4），所以

E

p

00

0按照Babinet

原理（或按照能量守恒定理），E

p

0

E

p

0

E

0

所以：I

p

0

I

0例題波長為563.3納米的平行光正入射到直徑為2.6毫米的圓孔，與孔相距1米處放一屏幕，問：屏幕上正對圓孔中心的P點(diǎn)是亮點(diǎn)還是暗點(diǎn)？要使P點(diǎn)變成與（1）相反的情況，則至少要把屏幕向前移動多少距離？要使P點(diǎn)變成與（1）相反的情況，則至少要把屏幕向后移動多少距離？（3）為隨堂練習(xí)2M

z（1）半波帶數(shù)：P點(diǎn)為亮點(diǎn)M

3（2）M為