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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,,則()A. B. C. D.2.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.3.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.34.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為()A. B. C. D.5.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個(gè)不重合的平面,則下列命題中錯(cuò)誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則6.已知拋物線:()的焦點(diǎn)為,為該拋物線上一點(diǎn),以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn),,則拋物線方程為()A. B. C. D.7.在中,為中點(diǎn),且,若,則()A. B. C. D.8.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),設(shè)其前n項(xiàng)和,若(),則()A.30 B. C. D.629.已知函數(shù),,若對任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.510.已知集合M={x|﹣1<x<2},N={x|x(x+3)≤0},則M∩N=()A.[﹣3,2) B.(﹣3,2) C.(﹣1,0] D.(﹣1,0)11.我國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”這個(gè)問題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這位女子每天分別織布多少?根據(jù)上述問題的已知條件,若該女子共織布尺,則這位女子織布的天數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.112.如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角所對的邊分別為,為的面積,若,,則的形狀為__________,的大小為__________.14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則的值為__________.15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差________,通項(xiàng)公式________.16.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在銳角三角形中,角的對邊分別為.已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列.(1)求的值;(2)若的面積為求的值.18.(12分)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,N.(1)求;(2)令,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求其前項(xiàng)和.19.(12分)△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.20.(12分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過的平面交于點(diǎn),若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.21.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的內(nèi)角的對邊分別為,且,求的面積.22.(10分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實(shí)也是和社會溝通的一個(gè)平臺.校團(tuán)委、學(xué)生會從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生,對是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說明,能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將數(shù)據(jù)和做對比,即可判斷.【詳解】由于,,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬基礎(chǔ)題.2.A【解析】
根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因?yàn)?,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.3.A【解析】
直接將兩邊同時(shí)乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時(shí)乘以,得故選:A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.4.B【解析】
由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切?,所?所以該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.5.D【解析】
根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項(xiàng)A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項(xiàng)B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項(xiàng)C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項(xiàng)D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.6.C【解析】
根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)軸、列方程,解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,由于在拋物線上,所以,由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn),根據(jù)拋物線的定義可知,、軸,且.由于,所以直線的傾斜角為,所以,解得,或(由于,故舍去).所以拋物線的方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線的斜率,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.7.B【解析】
選取向量,為基底,由向量線性運(yùn)算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組,解方程組求出首項(xiàng)和公式,最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:,因此.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9.A【解析】
根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為,對于恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),然后求出的范圍,進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】,,對任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,易得,即恒成立,,對于恒成立,設(shè),則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.,將代入得:,,且,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問題,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.10.C【解析】
先化簡N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},再根據(jù)M={x|﹣1<x<2},求兩集合的交集.【詳解】因?yàn)镹={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},又因?yàn)镸={x|﹣1<x<2},所以M∩N={x|﹣1<x≤0}.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問題.【詳解】根據(jù)實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,在等比數(shù)列中,公比,前項(xiàng)和為,,,求的值.因?yàn)?,解得,,解得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計(jì)算,對于解決實(shí)際問題很有幫助.12.D【解析】
過點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,即過點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等腰三角形【解析】∵∴根據(jù)正弦定理可得,即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴,即∵∴故答案為等腰三角形,14.【解析】
先利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化成,根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得出,從而得出函數(shù)解析式,最后求出即可.【詳解】解:,又因?yàn)槎x在上的奇函數(shù),則,則,又因?yàn)?所以,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡,三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值,考查了基本知識的應(yīng)用能力和計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.15.2【解析】
直接利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.【詳解】,,解得,,故.故答案為:2;.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16.【解析】
真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關(guān)于的不等量關(guān)系,求解即可.【詳解】,且(且)有最小值,,的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡可得,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的性質(zhì)可求得,聯(lián)立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得,再結(jié)合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解:成等差數(shù)列,可得而,即,展開化簡得,因?yàn)?故①又成等比數(shù)列,可得,即,可得聯(lián)立解得(負(fù)的舍去),可得銳角;由可得,由為銳角,解得,因?yàn)闉殇J角,故可得,由正弦定理可得,又的面積為可得,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差等比中項(xiàng)的運(yùn)用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系等.同時(shí)也考查了正弦定理與面積公式在解三角形中的運(yùn)用,屬于中檔題.18.(1);(2)證明見詳解,【解析】
(1)根據(jù),可得,然后作差,可得結(jié)果.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,用取代,得到新的式子,然后作差,可得結(jié)果,最后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)由①,則②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③則④④-③可得:則,且令,則,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列所以【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關(guān)系的應(yīng)用,考驗(yàn)觀察能力以及分析能力,屬中檔題.19.(1)(2).【解析】試題分析:(1)由三角形面積公式建立等式,再利用正弦定理將邊化成角,從而得出的值;(2)由和計(jì)算出,從而求出角,根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值,從而求出的周長為.試題解析:(1)由題設(shè)得,即.由正弦定理得.故.(2)由題設(shè)及(1)得,即.所以,故.由題設(shè)得,即.由余弦定理得,即,得.故的周長為.點(diǎn)睛:在處理解三角形問題時(shí),要注意抓住題目所給的條件,當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角,求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角,再有另外一個(gè)條件,求面積或周長的值”,這類問題的通法思路是:全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,如,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍;求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.20.(1)見證明;(2)【解析】
(1)先證明等腰梯形中,然后證明,即可得到丄平面,從而可證明平面丄平面;(2)由,可得到,列出式子可求出,然后建立如圖的空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量為,平面的法向量為,由可得到答案.【詳解】(1)證明:在等腰梯形,,易得在中,,則有,故,又平面,平面,,即平面,故平面丄平面.(2)在梯形中,設(shè),,,,而,即,.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖的空間坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面的法向量為,由得,取,得,,同理可求得平面的法向量為,設(shè)二面角的平面角為,則,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了兩平面垂直的判定,考查了利用空間向量的方
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