工學第八章 不可壓縮流體的無粘流動課件

第八章不可壓縮流體的無粘流動§8.1速度環(huán)量§8.2流函數(shù)與速度勢§8.3基本平面勢流§8.4基本平面勢流的疊加§8.5平行流饒圓柱體的流動[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件1§8.1速度環(huán)量、速度環(huán)量求微元線段

與速度

在方向上的分量的乘積沿AB曲線的積分：

§8.1速度環(huán)量2

若A與B重合,便成了封閉周線。速度在封閉周線切線上的分量沿該封閉周線K的線積分稱為速度環(huán)量Γ：

速度環(huán)量的正向規(guī)定為：沿封閉周線前進時，周線所包圍的面積在速度方向的左側(cè)。因此，逆時針方向的速度環(huán)量為正。若A與B重合,便成了封閉周線。速度在封閉周線3二、斯托克斯定理（StokesLaw）

封閉周線內(nèi)有渦束時，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的漩渦強度之和。這就是斯托克斯定理。表示為：

或：二、斯托克斯定理（StokesLaw）41.微元封閉周線的斯托克斯定理

在oxy平面上取一微元矩形封閉周線，面積dA=dxdy，流體在A、B、C、D四點的速度如圖。

1.微元封閉周線的斯托克斯定理5沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為：

沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于該周線所包圍面積內(nèi)的漩渦強度。沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為：6

2．單連通域與多連通域

要保證流場中的u、v、w、p等都是x、y、z、t的單值連續(xù)函數(shù)，對流場區(qū)域要有限制條件：區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線連續(xù)地收縮成一點而不越出流體的邊界。這種區(qū)域稱為單連通區(qū)域，否則稱多連通區(qū)域。

將外周線K1、內(nèi)周線K2用AB、A’B’連接，將原區(qū)域用封閉周線ABK2B’A’K1A所包圍,則該區(qū)域即為單連通區(qū)域。2．單連通域與多連通域73.有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理

對任一微元矩形可求得速度環(huán)量dΓi=dIi，總速度環(huán)量：

另一方面,總速度環(huán)量中沿各微元矩形內(nèi)周線的相鄰切向速度線積分方向相反，剛好抵消，僅剩下沿外封閉周線K的切向速度線積分，即：

∴總速度環(huán)量：

沿有限單連通域K封閉周線的速度環(huán)量等于通過該區(qū)域漩渦強度的總和—有限單連通區(qū)域斯托克斯定理。3.有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理84.多連通區(qū)域的斯托克定理

對右圖中由多連通區(qū)域改成的單連通區(qū)域，速度環(huán)量可寫成：

∵

4.多連通區(qū)域的斯托克定理9

由Stokes定理，假如外周線內(nèi)有多個內(nèi)周線，則多連通區(qū)域的Stokes定理成為：

Stokes定理說明：

速度環(huán)量取決于所包圍區(qū)域內(nèi)的漩渦。沒有旋渦，就沒有環(huán)量。反之，環(huán)量等于零，總漩渦強度等于零；環(huán)量不等于零，必然存在漩渦。由Stokes定理，假如外周線內(nèi)有多個內(nèi)周線，則多連10

例1：試證明平行流的速度環(huán)量等于零。流體以等速度u0沿水平方向流動，求沿矩形封閉周線的速度環(huán)量：同樣可證明，沿其它周線的速度環(huán)量也等于零。

11例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。

包有間斷面的兩股平行流中矩形封閉周線的速度環(huán)量：∵有間斷面的平行流中速度環(huán)量不等于零。

實際流體中由于粘滯力的作用，使分界面上下形成速度梯度，即所以有漩渦存在。例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。12三.湯姆生定理（Thomson’sLaw）

湯姆生定理：正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力的作用下，沿任何由流體質(zhì)點組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時間變化。1.證明：沿封閉周線的速度環(huán)量：速度環(huán)量隨時間的變化率：三.湯姆生定理（Thomson’sLaw）13從矢量四邊形ABB′A′可以得到：在三個坐標軸上的分量為：代入（a）式右邊第一部分得：從矢量四邊形ABB′A′可以得到：14理想流體歐拉運動微分方程：代入（a）式右邊第二項得：∴(a)式成為理想流體歐拉運動微分方程：152.討論

理想流體中的速度環(huán)量和漩渦都不能自行產(chǎn)生、自行消滅。流場中原來有渦的則永遠有渦；原來沒有渦的就永遠沒有。[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件16四、海姆霍茲定理（Helmholez’sLaw）

海姆霍茲的三個漩渦定理是研究理想流體有旋流動的基本定理，它說明了漩渦的基本性質(zhì)（通過環(huán)量證明Stokes定理）。1．海姆霍茲第一定理：在同一瞬間渦管各截面上的漩渦強度都相同。證明：四、海姆霍茲定理（Helmholez’sLaw）17

即沿包圍渦管任一封閉周線的速度環(huán)量都相等。也就是在渦管各截面上的漩渦強度都相等。即可見，渦管在流體中既不能開始，也不能終止，只能是

自成封閉的管圈，或在邊界

上開始、終止，如圖。[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件182.海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）

正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下，渦管永遠保持為由相同流體質(zhì)點組成的渦管。證明：在渦管表面上取封閉周線K沿周線K的速度環(huán)量等于零速度環(huán)量不隨時間變化，沿周線K的速度環(huán)量永遠是零?！鄿u管永遠保持為由相同質(zhì)點組成的渦管。2.海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）193．海姆霍茲第三定理：

在有勢質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的漩渦強度不隨時間變化，保持定值。證明：

根據(jù)湯姆生定理，沿封閉周線的速度環(huán)量不隨時間變化，環(huán)量等于渦管的漩渦強度，故渦管的漩渦強度也不隨時間變化。3．海姆霍茲第三定理：20§8.2,速度勢與流函數(shù)一.有勢流動無旋流動滿足：令：得：則

§8.2,速度勢與流函數(shù)21同理，可得按矢量分析：∴無旋流動必可表示成某一函數(shù)的梯度，函數(shù)稱為速度的勢函數(shù)。無旋流動也稱有勢流動。二、速度勢的特點１.有勢流動中沿ＡＢ曲線的切向速度線積分等于終點Ｂ和起點Ａ的速度勢之差，與曲線形狀無關(guān)。同理，可得22證：

２.在有勢流動中，沿任一封閉周線Ｋ的速度環(huán)量等于零。證：

證：23３．不可壓縮流體的有勢流動，速度勢滿足拉普拉斯方程。證：不可壓流體的連續(xù)方程：將代入得

滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，速度勢函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù)。求解不可壓縮流體有勢流動，歸結(jié)為根據(jù)起始條件和邊界條件求解Laplace方程得到速度勢進而求得速度場，再根據(jù)伯努里方程求得壓力分布。３．不可壓縮流體的有勢流動，速度勢滿足拉普拉斯方程。24三、流函數(shù)1．流函數(shù)的導出不可壓縮流體的連續(xù)性方程：平面流動的流線微分方程：

全微分∴三、流函數(shù)25

函數(shù)ψ永遠滿足連續(xù)性方程。

在流線上，dψ=

-vdx+udy=0，即ψ=

常數(shù)。函數(shù)ψ(x,y)稱流函數(shù)。

26

2．流函數(shù)的物理意義

流函數(shù)的物理意義：平面流動中兩條流線間通過的流體流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。證明：通過AB上流函數(shù)為ψ1的流線和流函數(shù)為ψ2的流線間的體積流量為：2．流函數(shù)的物理意義273．討論（1）只要是不可壓縮流體的平面運動，就存在流函數(shù)，而不論其是理想流體還是粘性流體，是無旋流動還是有旋流動。（2）不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。證明：無旋ωz=0,∵

3．討論28（3）等勢線簇和流線簇構(gòu)成流網(wǎng)。∵∴即∴滿足上式的等勢線簇和流線簇互相正交，構(gòu)成正交網(wǎng)絡(luò)，簡稱流網(wǎng)(如圖)。（3）等勢線簇和流線簇構(gòu)成流網(wǎng)。29§8.3基本平面勢流一、平行流設(shè)流體作等速直線流動?！叻e分得速度勢：(a)又∵

§8.3基本平面勢流30

積分得流函數(shù)(b)

顯然（a）、(b)兩式滿足Laplace方程，而且等勢線

與流線

互相垂直。

31二、點源與點匯1.點源與點匯定義

在無限平面上流體從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，這種流動稱為點源，這個點稱為源點,如圖(a)；若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點，這種流動稱為點匯，這個點稱為匯點，如圖(b)。二、點源與點匯32

從源點流出和向匯點流入都只有徑向速度。將極坐標的原點作為源點（或匯點），則：

即

2．勢函數(shù)每秒通過半徑為的單位長度圓柱面的流量為：

得點源，點匯從源點流出和向匯點流入都只有徑向速度。將極坐標的原點33

積分得：源點（匯點）為奇點。3．流函數(shù)積分：等勢線是一系列半徑不同的同心圓，與流線正交。

同樣可證明φ和ψ都滿足Laplace方程，點源和點匯都是無旋流動。積分得344．壓力分布

平面oxy是無限水平面，根據(jù)伯努里方程：

將表達式代入上式，得：可見:圖中表示時,點匯沿半徑r的壓力分布。4．壓力分布35三、渦流和點渦1．渦束與渦流

渦束象剛體一樣以等角速度繞自身（Z軸）旋轉(zhuǎn)，由渦束誘導出的平面流，稱為渦流，是以坐標原點為圓心的同心圓。

按Stokes定理，沿圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的漩渦強度（I），即:

可見：

三、渦流和點渦36在渦束內(nèi)2．勢流旋轉(zhuǎn)區(qū)的壓力分布伯努里方程：∴在渦束邊緣由此解得渦核半徑在渦束內(nèi)373．渦核區(qū)的壓力分布

平面定常流動的Eular運動方程：

3．渦核區(qū)的壓力分布38

渦內(nèi)速度代入,再分別乘相加:

即

積分得：[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件394．壓力分布圖渦核中心壓力：渦核邊緣壓力：[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件40

故可見，渦核內(nèi)、外壓降相等，都等于以渦核邊緣的速度計算的動壓頭。故415．點渦

成為一條渦線，這樣的渦流稱為點渦。

渦點是一奇點。(1)速度勢

積分得速度勢5．點渦42（2）流函數(shù)∵積分得流函數(shù)環(huán)流逆時針,環(huán)流順時針.（2）流函數(shù)43§8.4基本平面勢流的簡單迭加一、無旋流動的特性

無旋流動重要特性：幾個無旋流動迭加后仍然是無旋流動。證：設(shè)則同樣：

§8.4基本平面勢流的簡單迭加44求對x的偏導數(shù)速度在x方向的分量：同樣，求對y的偏導數(shù)：即可見，無旋流動的速度勢及流函數(shù)的代數(shù)和等于新的無旋流動的速度勢和流函數(shù)，它的速度是這些無旋流動速度的矢量和。求對x的偏導數(shù)45二、點匯和點渦——螺旋流在旋風燃燒室、離心式噴油嘴和離心式除塵器等設(shè)備中，流體自外沿圓周切向進入，又從中央不斷流出。這樣的流動可認為是點匯和點渦的迭加。設(shè)環(huán)流方向為逆時針方向，迭加后新的組合流動速度勢為：流函數(shù)為：二、點匯和點渦——螺旋流46令=常數(shù)，得等勢線=常數(shù)，得流線兩組相互正交的對數(shù)螺旋線簇(如圖)稱螺旋流。切向速度：徑向速度：代入伯努里方程，得流場中的壓力分布令=常數(shù)，得等勢線47水泵、風機等外殼中的流動是點源和點渦迭加的例子，如圖。三、點源和點匯——偶極流1.點源與點匯將位于A(-a,0)的點源和位于B(a,0)的點匯迭加,迭加后速度勢為:

水泵、風機等外殼中的流動是點48如圖若

流函數(shù)式中為動點P與源點A和匯點B的連接線之間的夾角。由流線方程得,流線是經(jīng)過源點A和匯點B的圓線簇。如圖492．偶極流點源和點匯無限接近，即，就是偶極流。使(有限常量)，M為偶極矩。偶極流的速度勢：2．偶極流50如圖,

[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件51[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件52即流線是半徑為和圓心為且與x軸在原點相切的圓周簇，如圖中實線。等勢線是半徑為和圓心為且與y軸在原點相切的圓周簇，如圖中虛線。即流線是半徑為53§8.5平行流繞圓柱體的流動一.平行流繞圓柱體無環(huán)量的流動1.平行流和偶極流迭加而成的組合平面流動流函數(shù)

流線方程

零流線方程：即

§8.5平行流繞圓柱體的流動54

零流線是一個以坐標原點為圓心、半徑的圓周和x軸所構(gòu)成的圖形。這流線到A處分

成兩股，沿上、

下兩個半圓周流

到B點，又重新

匯合，如圖。零流線是一個以坐標原點為圓心、半徑55

2、平行流繞圓柱體無環(huán)流的平面流動

一個平行流繞半徑為

的圓柱體的平面流動，可以用這個平行流與偶極矩的偶極流迭加面成的組合流動代替。

流函數(shù)

速度勢2、平行流繞圓柱體無環(huán)流的平面流動563、繞流的速度分布任一點的速度分量

沿包圍圓柱體圓形周線的速度環(huán)量：

∴平行流繞圓柱體的平面流動沒有速度環(huán)量。3、繞流的速度分布57在圓柱面上速度按正弦曲線分布，如圖。在0°和180°(A點)處，,稱為駐點。在90°，270°處，達到最大值[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件584、繞流的壓力分布圓柱面上任一點的壓力，由伯努里方程：

4、繞流的壓力分布59工程上常用無因次的壓力系數(shù)表示作用在物體任一點的壓力，定義為：

繞流圓柱體：

由上式計算的理論無因次

壓力系數(shù)曲線如圖中實線

所示。此時

角是從前

駐點Ａ沿順時針方向增加。工程上常用無因次的壓力系數(shù)表示作用在物體任一點的壓力60前駐點Ａ(0°)：(90°):后駐點Ｂ（180°）：與Ａ點相同。可見，圓柱體所受流體壓力上下左右都對稱。因此，作用在圓柱面上的壓力在各個方向都互相平衡，合力等于零。前駐點Ａ(0°)：615、達朗伯疑題理想流體繞流圓柱體，作用在圓柱面上的合力為零(用分析法可證明)。如圖，單位柱長圓柱體，作用在微元弧段的微小總壓力，則沿x向、y向的分量為：

5、達朗伯疑題62流體作用在圓柱體上總壓力沿x向、y向的分量：

作用在圓柱體上壓力的合力為零。圓柱體受到與來流方向平行和垂直的力，又稱為流體作用在圓柱體上的阻力和升力。所以，當理想流體的平行流無環(huán)流地繞流圓柱體時，圓柱體不受阻力和升力的作用。這個結(jié)果與實驗有很大的矛盾，這就是著名的達朗伯疑題，其原因在于實際流體是有粘性的，理想流體不考慮粘性。本分析法不適用于流體粘性起作用的流動阻力分析場合。流體作用在圓柱體上總壓力沿x向、y向的分量：63二、平行流繞圓柱體有環(huán)流的平面流動1、流動特點平行流繞圓柱體有環(huán)流的平面流動，實際上就是平行流繞圓柱體無環(huán)流的平面流動和純環(huán)流的迭加。二、平行流繞圓柱體有環(huán)流的平面流動64假定速度環(huán)量順時針方向，則組合流動的流函數(shù)：速度勢：

∴滿足用r=r0

的圓柱體的周線代替這條流線的邊界條件。假定速度環(huán)量順時針方向，652、駐點位置駐點Ａ和Ｂ離開x軸，向下移動,在圓柱面上的速度分量：

對駐點，vθ=0，得駐點的位置：

2、駐點位置66兩駐點在圓柱面上,左右對稱位于第三、第四象限內(nèi)。Γ增加，兩駐點向下移動，互相靠攏。如圖（a）Γ=4πr0V∞,sinθ=-1，兩駐點重合成一點，位于圓柱面最下端，如圖（b）Γ>4πr0V∞,|sinθ|>1駐點脫離圓柱面。如圖（c）[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件67

全流場由經(jīng)過駐點Ａ的閉合流線分為內(nèi)、外兩個區(qū)域。外部：平行流繞圓柱體有環(huán)流的流動。內(nèi)部：自成閉合的非圓形環(huán)流?？梢婑v點位置由決定。全流場由經(jīng)過駐點Ａ的閉合683、庫塔——儒可夫斯基公式（Kutta-Joukowski’sequation）圓柱面上的壓力分布

3、庫塔——儒可夫斯基公式（Kutta-Joukowski’69流體作用的單位長度圓柱上的阻力：[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件70庫塔——儒可夫斯基公式，簡稱升力公式。表明：在理想流體平行流繞流圓柱體有環(huán)流的流動中，在垂直于來流方向上，流體作用于單位長度圓柱體上的升力等于流體密度、來流速度和速度環(huán)量三者的乘積。矢量形式：可見升力的方向由來流速度矢量沿反速度環(huán)流的方向旋轉(zhuǎn)

90°確定。如圖。[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件71第八章不可壓縮流體的無粘流動§8.1速度環(huán)量§8.2流函數(shù)與速度勢§8.3基本平面勢流§8.4基本平面勢流的疊加§8.5平行流饒圓柱體的流動[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件72§8.1速度環(huán)量、速度環(huán)量求微元線段

與速度

在方向上的分量的乘積沿AB曲線的積分：

§8.1速度環(huán)量73

若A與B重合,便成了封閉周線。速度在封閉周線切線上的分量沿該封閉周線K的線積分稱為速度環(huán)量Γ：

速度環(huán)量的正向規(guī)定為：沿封閉周線前進時，周線所包圍的面積在速度方向的左側(cè)。因此，逆時針方向的速度環(huán)量為正。若A與B重合,便成了封閉周線。速度在封閉周線74二、斯托克斯定理（StokesLaw）

封閉周線內(nèi)有渦束時，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的漩渦強度之和。這就是斯托克斯定理。表示為：

或：二、斯托克斯定理（StokesLaw）751.微元封閉周線的斯托克斯定理

在oxy平面上取一微元矩形封閉周線，面積dA=dxdy，流體在A、B、C、D四點的速度如圖。

1.微元封閉周線的斯托克斯定理76沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為：

沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于該周線所包圍面積內(nèi)的漩渦強度。沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為：77

2．單連通域與多連通域

要保證流場中的u、v、w、p等都是x、y、z、t的單值連續(xù)函數(shù)，對流場區(qū)域要有限制條件：區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線連續(xù)地收縮成一點而不越出流體的邊界。這種區(qū)域稱為單連通區(qū)域，否則稱多連通區(qū)域。

將外周線K1、內(nèi)周線K2用AB、A’B’連接，將原區(qū)域用封閉周線ABK2B’A’K1A所包圍,則該區(qū)域即為單連通區(qū)域。2．單連通域與多連通域783.有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理

對任一微元矩形可求得速度環(huán)量dΓi=dIi，總速度環(huán)量：

另一方面,總速度環(huán)量中沿各微元矩形內(nèi)周線的相鄰切向速度線積分方向相反，剛好抵消，僅剩下沿外封閉周線K的切向速度線積分，即：

∴總速度環(huán)量：

沿有限單連通域K封閉周線的速度環(huán)量等于通過該區(qū)域漩渦強度的總和—有限單連通區(qū)域斯托克斯定理。3.有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理794.多連通區(qū)域的斯托克定理

對右圖中由多連通區(qū)域改成的單連通區(qū)域，速度環(huán)量可寫成：

∵

4.多連通區(qū)域的斯托克定理80

由Stokes定理，假如外周線內(nèi)有多個內(nèi)周線，則多連通區(qū)域的Stokes定理成為：

Stokes定理說明：

速度環(huán)量取決于所包圍區(qū)域內(nèi)的漩渦。沒有旋渦，就沒有環(huán)量。反之，環(huán)量等于零，總漩渦強度等于零；環(huán)量不等于零，必然存在漩渦。由Stokes定理，假如外周線內(nèi)有多個內(nèi)周線，則多連81

例1：試證明平行流的速度環(huán)量等于零。流體以等速度u0沿水平方向流動，求沿矩形封閉周線的速度環(huán)量：同樣可證明，沿其它周線的速度環(huán)量也等于零。

82例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。

包有間斷面的兩股平行流中矩形封閉周線的速度環(huán)量：∵有間斷面的平行流中速度環(huán)量不等于零。

實際流體中由于粘滯力的作用，使分界面上下形成速度梯度，即所以有漩渦存在。例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。83三.湯姆生定理（Thomson’sLaw）

湯姆生定理：正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力的作用下，沿任何由流體質(zhì)點組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時間變化。1.證明：沿封閉周線的速度環(huán)量：速度環(huán)量隨時間的變化率：三.湯姆生定理（Thomson’sLaw）84從矢量四邊形ABB′A′可以得到：在三個坐標軸上的分量為：代入（a）式右邊第一部分得：從矢量四邊形ABB′A′可以得到：85理想流體歐拉運動微分方程：代入（a）式右邊第二項得：∴(a)式成為理想流體歐拉運動微分方程：862.討論

理想流體中的速度環(huán)量和漩渦都不能自行產(chǎn)生、自行消滅。流場中原來有渦的則永遠有渦；原來沒有渦的就永遠沒有。[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件87四、海姆霍茲定理（Helmholez’sLaw）

海姆霍茲的三個漩渦定理是研究理想流體有旋流動的基本定理，它說明了漩渦的基本性質(zhì)（通過環(huán)量證明Stokes定理）。1．海姆霍茲第一定理：在同一瞬間渦管各截面上的漩渦強度都相同。證明：四、海姆霍茲定理（Helmholez’sLaw）88

即沿包圍渦管任一封閉周線的速度環(huán)量都相等。也就是在渦管各截面上的漩渦強度都相等。即可見，渦管在流體中既不能開始，也不能終止，只能是

自成封閉的管圈，或在邊界

上開始、終止，如圖。[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件892.海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）

正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下，渦管永遠保持為由相同流體質(zhì)點組成的渦管。證明：在渦管表面上取封閉周線K沿周線K的速度環(huán)量等于零速度環(huán)量不隨時間變化，沿周線K的速度環(huán)量永遠是零?！鄿u管永遠保持為由相同質(zhì)點組成的渦管。2.海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）903．海姆霍茲第三定理：

在有勢質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的漩渦強度不隨時間變化，保持定值。證明：

根據(jù)湯姆生定理，沿封閉周線的速度環(huán)量不隨時間變化，環(huán)量等于渦管的漩渦強度，故渦管的漩渦強度也不隨時間變化。3．海姆霍茲第三定理：91§8.2,速度勢與流函數(shù)一.有勢流動無旋流動滿足：令：得：則

§8.2,速度勢與流函數(shù)92同理，可得按矢量分析：∴無旋流動必可表示成某一函數(shù)的梯度，函數(shù)稱為速度的勢函數(shù)。無旋流動也稱有勢流動。二、速度勢的特點１.有勢流動中沿ＡＢ曲線的切向速度線積分等于終點Ｂ和起點Ａ的速度勢之差，與曲線形狀無關(guān)。同理，可得93證：

２.在有勢流動中，沿任一封閉周線Ｋ的速度環(huán)量等于零。證：

證：94３．不可壓縮流體的有勢流動，速度勢滿足拉普拉斯方程。證：不可壓流體的連續(xù)方程：將代入得

滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，速度勢函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù)。求解不可壓縮流體有勢流動，歸結(jié)為根據(jù)起始條件和邊界條件求解Laplace方程得到速度勢進而求得速度場，再根據(jù)伯努里方程求得壓力分布。３．不可壓縮流體的有勢流動，速度勢滿足拉普拉斯方程。95三、流函數(shù)1．流函數(shù)的導出不可壓縮流體的連續(xù)性方程：平面流動的流線微分方程：

全微分∴三、流函數(shù)96

函數(shù)ψ永遠滿足連續(xù)性方程。

在流線上，dψ=

-vdx+udy=0，即ψ=

常數(shù)。函數(shù)ψ(x,y)稱流函數(shù)。

97

2．流函數(shù)的物理意義

流函數(shù)的物理意義：平面流動中兩條流線間通過的流體流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。證明：通過AB上流函數(shù)為ψ1的流線和流函數(shù)為ψ2的流線間的體積流量為：2．流函數(shù)的物理意義983．討論（1）只要是不可壓縮流體的平面運動，就存在流函數(shù)，而不論其是理想流體還是粘性流體，是無旋流動還是有旋流動。（2）不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。證明：無旋ωz=0,∵

3．討論99（3）等勢線簇和流線簇構(gòu)成流網(wǎng)。∵∴即∴滿足上式的等勢線簇和流線簇互相正交，構(gòu)成正交網(wǎng)絡(luò)，簡稱流網(wǎng)(如圖)。（3）等勢線簇和流線簇構(gòu)成流網(wǎng)。100§8.3基本平面勢流一、平行流設(shè)流體作等速直線流動?！叻e分得速度勢：(a)又∵

§8.3基本平面勢流101

積分得流函數(shù)(b)

顯然（a）、(b)兩式滿足Laplace方程，而且等勢線

與流線

互相垂直。

102二、點源與點匯1.點源與點匯定義

在無限平面上流體從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，這種流動稱為點源，這個點稱為源點,如圖(a)；若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點，這種流動稱為點匯，這個點稱為匯點，如圖(b)。二、點源與點匯103

從源點流出和向匯點流入都只有徑向速度。將極坐標的原點作為源點（或匯點），則：

即

2．勢函數(shù)每秒通過半徑為的單位長度圓柱面的流量為：

得點源，點匯從源點流出和向匯點流入都只有徑向速度。將極坐標的原點104

積分得：源點（匯點）為奇點。3．流函數(shù)積分：等勢線是一系列半徑不同的同心圓，與流線正交。

同樣可證明φ和ψ都滿足Laplace方程，點源和點匯都是無旋流動。積分得1054．壓力分布

平面oxy是無限水平面，根據(jù)伯努里方程：

將表達式代入上式，得：可見:圖中表示時,點匯沿半徑r的壓力分布。4．壓力分布106三、渦流和點渦1．渦束與渦流

渦束象剛體一樣以等角速度繞自身（Z軸）旋轉(zhuǎn)，由渦束誘導出的平面流，稱為渦流，是以坐標原點為圓心的同心圓。

按Stokes定理，沿圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的漩渦強度（I），即:

可見：

三、渦流和點渦107在渦束內(nèi)2．勢流旋轉(zhuǎn)區(qū)的壓力分布伯努里方程：∴在渦束邊緣由此解得渦核半徑在渦束內(nèi)1083．渦核區(qū)的壓力分布

平面定常流動的Eular運動方程：

3．渦核區(qū)的壓力分布109

渦內(nèi)速度代入,再分別乘相加:

即

積分得：[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件1104．壓力分布圖渦核中心壓力：渦核邊緣壓力：[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件111

故可見，渦核內(nèi)、外壓降相等，都等于以渦核邊緣的速度計算的動壓頭。故1125．點渦

成為一條渦線，這樣的渦流稱為點渦。

渦點是一奇點。(1)速度勢

積分得速度勢5．點渦113（2）流函數(shù)∵積分得流函數(shù)環(huán)流逆時針,環(huán)流順時針.（2）流函數(shù)114§8.4基本平面勢流的簡單迭加一、無旋流動的特性

無旋流動重要特性：幾個無旋流動迭加后仍然是無旋流動。證：設(shè)則同樣：

§8.4基本平面勢流的簡單迭加115求對x的偏導數(shù)速度在x方向的分量：同樣，求對y的偏導數(shù)：即可見，無旋流動的速度勢及流函數(shù)的代數(shù)和等于新的無旋流動的速度勢和流函數(shù)，它的速度是這些無旋流動速度的矢量和。求對x的偏導數(shù)116二、點匯和點渦——螺旋流在旋風燃燒室、離心式噴油嘴和離心式除塵器等設(shè)備中，流體自外沿圓周切向進入，又從中央不斷流出。這樣的流動可認為是點匯和點渦的迭加。設(shè)環(huán)流方向為逆時針方向，迭加后新的組合流動速度勢為：流函數(shù)為：二、點匯和點渦——螺旋流117令=常數(shù)，得等勢線=常數(shù)，得流線兩組相互正交的對數(shù)螺旋線簇(如圖)稱螺旋流。切向速度：徑向速度：代入伯努里方程，得流場中的壓力分布令=常數(shù)，得等勢線118水泵、風機等外殼中的流動是點源和點渦迭加的例子，如圖。三、點源和點匯——偶極流1.點源與點匯將位于A(-a,0)的點源和位于B(a,0)的點匯迭加,迭加后速度勢為:

水泵、風機等外殼中的流動是點119如圖若

流函數(shù)式中為動點P與源點A和匯點B的連接線之間的夾角。由流線方程得,流線是經(jīng)過源點A和匯點B的圓線簇。如圖1202．偶極流點源和點匯無限接近，即，就是偶極流。使(有限常量)，M為偶極矩。偶極流的速度勢：2．偶極流121如圖,

[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件122[工學]第八章不可壓縮流體的無粘流動課件123即流線是半徑為和圓心為且與x軸在原點相切的圓周簇，如圖中實線。等勢線是半徑為和圓心為且與y軸在原點相切的圓周簇，如圖中虛線。即流線是半徑為124§8.5平行流繞圓柱體的流動一.平行流繞圓柱體無環(huán)量的流動1.平行流和偶極流迭加而成的組合平面流動流函數(shù)

流線方程

零流線方程：即

§8.5平行流繞圓柱體的流動125

零流線是一個以坐標原點為圓心、半徑的圓周和x軸所構(gòu)成的圖形。這流線到A處分

成兩股，沿上、

下兩個半圓周流

到B點，又重新

匯合，如圖。零流線是一個以坐標原點為圓心、半徑126

2、平行流繞圓柱體無環(huán)流的平面流動

一個平行流繞半徑為

的圓柱體的平面流動，可以用這個平行流與偶極矩的偶極流迭加面成的組合流動代替。

流函數(shù)

速度勢2、平行流繞圓柱體無環(huán)流的平面流動1273、繞流的速度分布任一點的速度分量

沿包圍圓柱體圓形周線的速度環(huán)量：

∴平行流繞圓柱體的平面流動沒有速度環(huán)量。3、繞流的速度分布12