工學(xué)第八章 不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件

第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)§8.1速度環(huán)量§8.2流函數(shù)與速度勢(shì)§8.3基本平面勢(shì)流§8.4基本平面勢(shì)流的疊加§8.5平行流饒圓柱體的流動(dòng)[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件1§8.1速度環(huán)量、速度環(huán)量求微元線段

與速度

在方向上的分量的乘積沿AB曲線的積分：

§8.1速度環(huán)量2

若A與B重合,便成了封閉周線。速度在封閉周線切線上的分量沿該封閉周線K的線積分稱為速度環(huán)量Γ：

速度環(huán)量的正向規(guī)定為：沿封閉周線前進(jìn)時(shí)，周線所包圍的面積在速度方向的左側(cè)。因此，逆時(shí)針?lè)较虻乃俣拳h(huán)量為正。若A與B重合,便成了封閉周線。速度在封閉周線3二、斯托克斯定理（StokesLaw）

封閉周線內(nèi)有渦束時(shí)，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的漩渦強(qiáng)度之和。這就是斯托克斯定理。表示為：

或：二、斯托克斯定理（StokesLaw）41.微元封閉周線的斯托克斯定理

在oxy平面上取一微元矩形封閉周線，面積dA=dxdy，流體在A、B、C、D四點(diǎn)的速度如圖。

1.微元封閉周線的斯托克斯定理5沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為：

沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于該周線所包圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為：6

2．單連通域與多連通域

要保證流場(chǎng)中的u、v、w、p等都是x、y、z、t的單值連續(xù)函數(shù)，對(duì)流場(chǎng)區(qū)域要有限制條件：區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線連續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊界。這種區(qū)域稱為單連通區(qū)域，否則稱多連通區(qū)域。

將外周線K1、內(nèi)周線K2用AB、A’B’連接，將原區(qū)域用封閉周線ABK2B’A’K1A所包圍,則該區(qū)域即為單連通區(qū)域。2．單連通域與多連通域73.有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理

對(duì)任一微元矩形可求得速度環(huán)量dΓi=dIi，總速度環(huán)量：

另一方面,總速度環(huán)量中沿各微元矩形內(nèi)周線的相鄰切向速度線積分方向相反，剛好抵消，僅剩下沿外封閉周線K的切向速度線積分，即：

∴總速度環(huán)量：

沿有限單連通域K封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該區(qū)域漩渦強(qiáng)度的總和—有限單連通區(qū)域斯托克斯定理。3.有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理84.多連通區(qū)域的斯托克定理

對(duì)右圖中由多連通區(qū)域改成的單連通區(qū)域，速度環(huán)量可寫(xiě)成：

∵

4.多連通區(qū)域的斯托克定理9

由Stokes定理，假如外周線內(nèi)有多個(gè)內(nèi)周線，則多連通區(qū)域的Stokes定理成為：

Stokes定理說(shuō)明：

速度環(huán)量取決于所包圍區(qū)域內(nèi)的漩渦。沒(méi)有旋渦，就沒(méi)有環(huán)量。反之，環(huán)量等于零，總漩渦強(qiáng)度等于零；環(huán)量不等于零，必然存在漩渦。由Stokes定理，假如外周線內(nèi)有多個(gè)內(nèi)周線，則多連10

例1：試證明平行流的速度環(huán)量等于零。流體以等速度u0沿水平方向流動(dòng)，求沿矩形封閉周線的速度環(huán)量：同樣可證明，沿其它周線的速度環(huán)量也等于零。

11例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。

包有間斷面的兩股平行流中矩形封閉周線的速度環(huán)量：∵有間斷面的平行流中速度環(huán)量不等于零。

實(shí)際流體中由于粘滯力的作用，使分界面上下形成速度梯度，即所以有漩渦存在。例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。12三.湯姆生定理（Thomson’sLaw）

湯姆生定理：正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力的作用下，沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化。1.證明：沿封閉周線的速度環(huán)量：速度環(huán)量隨時(shí)間的變化率：三.湯姆生定理（Thomson’sLaw）13從矢量四邊形ABB′A′可以得到：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為：代入（a）式右邊第一部分得：從矢量四邊形ABB′A′可以得到：14理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程：代入（a）式右邊第二項(xiàng)得：∴(a)式成為理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程：152.討論

理想流體中的速度環(huán)量和漩渦都不能自行產(chǎn)生、自行消滅。流場(chǎng)中原來(lái)有渦的則永遠(yuǎn)有渦；原來(lái)沒(méi)有渦的就永遠(yuǎn)沒(méi)有。[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件16四、海姆霍茲定理（Helmholez’sLaw）

海姆霍茲的三個(gè)漩渦定理是研究理想流體有旋流動(dòng)的基本定理，它說(shuō)明了漩渦的基本性質(zhì)（通過(guò)環(huán)量證明Stokes定理）。1．海姆霍茲第一定理：在同一瞬間渦管各截面上的漩渦強(qiáng)度都相同。證明：四、海姆霍茲定理（Helmholez’sLaw）17

即沿包圍渦管任一封閉周線的速度環(huán)量都相等。也就是在渦管各截面上的漩渦強(qiáng)度都相等。即可見(jiàn)，渦管在流體中既不能開(kāi)始，也不能終止，只能是

自成封閉的管圈，或在邊界

上開(kāi)始、終止，如圖。[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件182.海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）

正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。證明：在渦管表面上取封閉周線K沿周線K的速度環(huán)量等于零速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，沿周線K的速度環(huán)量永遠(yuǎn)是零?！鄿u管永遠(yuǎn)保持為由相同質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。2.海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）193．海姆霍茲第三定理：

在有勢(shì)質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的漩渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化，保持定值。證明：

根據(jù)湯姆生定理，沿封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，環(huán)量等于渦管的漩渦強(qiáng)度，故渦管的漩渦強(qiáng)度也不隨時(shí)間變化。3．海姆霍茲第三定理：20§8.2,速度勢(shì)與流函數(shù)一.有勢(shì)流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)滿足：令：得：則

§8.2,速度勢(shì)與流函數(shù)21同理，可得按矢量分析：∴無(wú)旋流動(dòng)必可表示成某一函數(shù)的梯度，函數(shù)稱為速度的勢(shì)函數(shù)。無(wú)旋流動(dòng)也稱有勢(shì)流動(dòng)。二、速度勢(shì)的特點(diǎn)１.有勢(shì)流動(dòng)中沿ＡＢ曲線的切向速度線積分等于終點(diǎn)Ｂ和起點(diǎn)Ａ的速度勢(shì)之差，與曲線形狀無(wú)關(guān)。同理，可得22證：

２.在有勢(shì)流動(dòng)中，沿任一封閉周線Ｋ的速度環(huán)量等于零。證：

證：23３．不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)，速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。證：不可壓流體的連續(xù)方程：將代入得

滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。求解不可壓縮流體有勢(shì)流動(dòng)，歸結(jié)為根據(jù)起始條件和邊界條件求解Laplace方程得到速度勢(shì)進(jìn)而求得速度場(chǎng)，再根據(jù)伯努里方程求得壓力分布。３．不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)，速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。24三、流函數(shù)1．流函數(shù)的導(dǎo)出不可壓縮流體的連續(xù)性方程：平面流動(dòng)的流線微分方程：

全微分∴三、流函數(shù)25

函數(shù)ψ永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。

在流線上，dψ=

-vdx+udy=0，即ψ=

常數(shù)。函數(shù)ψ(x,y)稱流函數(shù)。

26

2．流函數(shù)的物理意義

流函數(shù)的物理意義：平面流動(dòng)中兩條流線間通過(guò)的流體流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。證明：通過(guò)AB上流函數(shù)為ψ1的流線和流函數(shù)為ψ2的流線間的體積流量為：2．流函數(shù)的物理意義273．討論（1）只要是不可壓縮流體的平面運(yùn)動(dòng)，就存在流函數(shù)，而不論其是理想流體還是粘性流體，是無(wú)旋流動(dòng)還是有旋流動(dòng)。（2）不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。證明：無(wú)旋ωz=0,∵

3．討論28（3）等勢(shì)線簇和流線簇構(gòu)成流網(wǎng)?！摺嗉础酀M足上式的等勢(shì)線簇和流線簇互相正交，構(gòu)成正交網(wǎng)絡(luò)，簡(jiǎn)稱流網(wǎng)(如圖)。（3）等勢(shì)線簇和流線簇構(gòu)成流網(wǎng)。29§8.3基本平面勢(shì)流一、平行流設(shè)流體作等速直線流動(dòng)?！叻e分得速度勢(shì)：(a)又∵

§8.3基本平面勢(shì)流30

積分得流函數(shù)(b)

顯然（a）、(b)兩式滿足Laplace方程，而且等勢(shì)線

與流線

互相垂直。

31二、點(diǎn)源與點(diǎn)匯1.點(diǎn)源與點(diǎn)匯定義

在無(wú)限平面上流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn),如圖(a)；若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)，如圖(b)。二、點(diǎn)源與點(diǎn)匯32

從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度。將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)（或匯點(diǎn)），則：

即

2．勢(shì)函數(shù)每秒通過(guò)半徑為的單位長(zhǎng)度圓柱面的流量為：

得點(diǎn)源，點(diǎn)匯從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度。將極坐標(biāo)的原點(diǎn)33

積分得：源點(diǎn)（匯點(diǎn)）為奇點(diǎn)。3．流函數(shù)積分：等勢(shì)線是一系列半徑不同的同心圓，與流線正交。

同樣可證明φ和ψ都滿足Laplace方程，點(diǎn)源和點(diǎn)匯都是無(wú)旋流動(dòng)。積分得344．壓力分布

平面oxy是無(wú)限水平面，根據(jù)伯努里方程：

將表達(dá)式代入上式，得：可見(jiàn):圖中表示時(shí),點(diǎn)匯沿半徑r的壓力分布。4．壓力分布35三、渦流和點(diǎn)渦1．渦束與渦流

渦束象剛體一樣以等角速度繞自身（Z軸）旋轉(zhuǎn)，由渦束誘導(dǎo)出的平面流，稱為渦流，是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。

按Stokes定理，沿圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的漩渦強(qiáng)度（I），即:

可見(jiàn)：

三、渦流和點(diǎn)渦36在渦束內(nèi)2．勢(shì)流旋轉(zhuǎn)區(qū)的壓力分布伯努里方程：∴在渦束邊緣由此解得渦核半徑在渦束內(nèi)373．渦核區(qū)的壓力分布

平面定常流動(dòng)的Eular運(yùn)動(dòng)方程：

3．渦核區(qū)的壓力分布38

渦內(nèi)速度代入,再分別乘相加:

即

積分得：[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件394．壓力分布圖渦核中心壓力：渦核邊緣壓力：[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件40

故可見(jiàn)，渦核內(nèi)、外壓降相等，都等于以渦核邊緣的速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。故415．點(diǎn)渦

成為一條渦線，這樣的渦流稱為點(diǎn)渦。

渦點(diǎn)是一奇點(diǎn)。(1)速度勢(shì)

積分得速度勢(shì)5．點(diǎn)渦42（2）流函數(shù)∵積分得流函數(shù)環(huán)流逆時(shí)針,環(huán)流順時(shí)針.（2）流函數(shù)43§8.4基本平面勢(shì)流的簡(jiǎn)單迭加一、無(wú)旋流動(dòng)的特性

無(wú)旋流動(dòng)重要特性：幾個(gè)無(wú)旋流動(dòng)迭加后仍然是無(wú)旋流動(dòng)。證：設(shè)則同樣：

§8.4基本平面勢(shì)流的簡(jiǎn)單迭加44求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)速度在x方向的分量：同樣，求對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)：即可見(jiàn)，無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)及流函數(shù)的代數(shù)和等于新的無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)，它的速度是這些無(wú)旋流動(dòng)速度的矢量和。求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)45二、點(diǎn)匯和點(diǎn)渦——螺旋流在旋風(fēng)燃燒室、離心式噴油嘴和離心式除塵器等設(shè)備中，流體自外沿圓周切向進(jìn)入，又從中央不斷流出。這樣的流動(dòng)可認(rèn)為是點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的迭加。設(shè)環(huán)流方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，迭加后新的組合流動(dòng)速度勢(shì)為：流函數(shù)為：二、點(diǎn)匯和點(diǎn)渦——螺旋流46令=常數(shù)，得等勢(shì)線=常數(shù)，得流線兩組相互正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇(如圖)稱螺旋流。切向速度：徑向速度：代入伯努里方程，得流場(chǎng)中的壓力分布令=常數(shù)，得等勢(shì)線47水泵、風(fēng)機(jī)等外殼中的流動(dòng)是點(diǎn)源和點(diǎn)渦迭加的例子，如圖。三、點(diǎn)源和點(diǎn)匯——偶極流1.點(diǎn)源與點(diǎn)匯將位于A(-a,0)的點(diǎn)源和位于B(a,0)的點(diǎn)匯迭加,迭加后速度勢(shì)為:

水泵、風(fēng)機(jī)等外殼中的流動(dòng)是點(diǎn)48如圖若

流函數(shù)式中為動(dòng)點(diǎn)P與源點(diǎn)A和匯點(diǎn)B的連接線之間的夾角。由流線方程得,流線是經(jīng)過(guò)源點(diǎn)A和匯點(diǎn)B的圓線簇。如圖492．偶極流點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限接近，即，就是偶極流。使(有限常量)，M為偶極矩。偶極流的速度勢(shì)：2．偶極流50如圖,

[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件51[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件52即流線是半徑為和圓心為且與x軸在原點(diǎn)相切的圓周簇，如圖中實(shí)線。等勢(shì)線是半徑為和圓心為且與y軸在原點(diǎn)相切的圓周簇，如圖中虛線。即流線是半徑為53§8.5平行流繞圓柱體的流動(dòng)一.平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)量的流動(dòng)1.平行流和偶極流迭加而成的組合平面流動(dòng)流函數(shù)

流線方程

零流線方程：即

§8.5平行流繞圓柱體的流動(dòng)54

零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑的圓周和x軸所構(gòu)成的圖形。這流線到A處分

成兩股，沿上、

下兩個(gè)半圓周流

到B點(diǎn)，又重新

匯合，如圖。零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑55

2、平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)流的平面流動(dòng)

一個(gè)平行流繞半徑為

的圓柱體的平面流動(dòng)，可以用這個(gè)平行流與偶極矩的偶極流迭加面成的組合流動(dòng)代替。

流函數(shù)

速度勢(shì)2、平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)流的平面流動(dòng)563、繞流的速度分布任一點(diǎn)的速度分量

沿包圍圓柱體圓形周線的速度環(huán)量：

∴平行流繞圓柱體的平面流動(dòng)沒(méi)有速度環(huán)量。3、繞流的速度分布57在圓柱面上速度按正弦曲線分布，如圖。在0°和180°(A點(diǎn))處，,稱為駐點(diǎn)。在90°，270°處，達(dá)到最大值[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件584、繞流的壓力分布圓柱面上任一點(diǎn)的壓力，由伯努里方程：

4、繞流的壓力分布59工程上常用無(wú)因次的壓力系數(shù)表示作用在物體任一點(diǎn)的壓力，定義為：

繞流圓柱體：

由上式計(jì)算的理論無(wú)因次

壓力系數(shù)曲線如圖中實(shí)線

所示。此時(shí)

角是從前

駐點(diǎn)Ａ沿順時(shí)針?lè)较蛟黾?。工程上常用無(wú)因次的壓力系數(shù)表示作用在物體任一點(diǎn)的壓力60前駐點(diǎn)Ａ(0°)：(90°):后駐點(diǎn)Ｂ（180°）：與Ａ點(diǎn)相同?？梢?jiàn)，圓柱體所受流體壓力上下左右都對(duì)稱。因此，作用在圓柱面上的壓力在各個(gè)方向都互相平衡，合力等于零。前駐點(diǎn)Ａ(0°)：615、達(dá)朗伯疑題理想流體繞流圓柱體，作用在圓柱面上的合力為零(用分析法可證明)。如圖，單位柱長(zhǎng)圓柱體，作用在微元弧段的微小總壓力，則沿x向、y向的分量為：

5、達(dá)朗伯疑題62流體作用在圓柱體上總壓力沿x向、y向的分量：

作用在圓柱體上壓力的合力為零。圓柱體受到與來(lái)流方向平行和垂直的力，又稱為流體作用在圓柱體上的阻力和升力。所以，當(dāng)理想流體的平行流無(wú)環(huán)流地繞流圓柱體時(shí)，圓柱體不受阻力和升力的作用。這個(gè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)有很大的矛盾，這就是著名的達(dá)朗伯疑題，其原因在于實(shí)際流體是有粘性的，理想流體不考慮粘性。本分析法不適用于流體粘性起作用的流動(dòng)阻力分析場(chǎng)合。流體作用在圓柱體上總壓力沿x向、y向的分量：63二、平行流繞圓柱體有環(huán)流的平面流動(dòng)1、流動(dòng)特點(diǎn)平行流繞圓柱體有環(huán)流的平面流動(dòng)，實(shí)際上就是平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)流的平面流動(dòng)和純環(huán)流的迭加。二、平行流繞圓柱體有環(huán)流的平面流動(dòng)64假定速度環(huán)量順時(shí)針?lè)较?，則組合流動(dòng)的流函數(shù)：速度勢(shì)：

∴滿足用r=r0

的圓柱體的周線代替這條流線的邊界條件。假定速度環(huán)量順時(shí)針?lè)较颍?52、駐點(diǎn)位置駐點(diǎn)Ａ和Ｂ離開(kāi)x軸，向下移動(dòng),在圓柱面上的速度分量：

對(duì)駐點(diǎn)，vθ=0，得駐點(diǎn)的位置：

2、駐點(diǎn)位置66兩駐點(diǎn)在圓柱面上,左右對(duì)稱位于第三、第四象限內(nèi)。Γ增加，兩駐點(diǎn)向下移動(dòng)，互相靠攏。如圖（a）Γ=4πr0V∞,sinθ=-1，兩駐點(diǎn)重合成一點(diǎn)，位于圓柱面最下端，如圖（b）Γ>4πr0V∞,|sinθ|>1駐點(diǎn)脫離圓柱面。如圖（c）[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件67

全流場(chǎng)由經(jīng)過(guò)駐點(diǎn)Ａ的閉合流線分為內(nèi)、外兩個(gè)區(qū)域。外部：平行流繞圓柱體有環(huán)流的流動(dòng)。內(nèi)部：自成閉合的非圓形環(huán)流?？梢?jiàn)駐點(diǎn)位置由決定。全流場(chǎng)由經(jīng)過(guò)駐點(diǎn)Ａ的閉合683、庫(kù)塔——儒可夫斯基公式（Kutta-Joukowski’sequation）圓柱面上的壓力分布

3、庫(kù)塔——儒可夫斯基公式（Kutta-Joukowski’69流體作用的單位長(zhǎng)度圓柱上的阻力：[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件70庫(kù)塔——儒可夫斯基公式，簡(jiǎn)稱升力公式。表明：在理想流體平行流繞流圓柱體有環(huán)流的流動(dòng)中，在垂直于來(lái)流方向上，流體作用于單位長(zhǎng)度圓柱體上的升力等于流體密度、來(lái)流速度和速度環(huán)量三者的乘積。矢量形式：可見(jiàn)升力的方向由來(lái)流速度矢量沿反速度環(huán)流的方向旋轉(zhuǎn)

90°確定。如圖。[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件71第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)§8.1速度環(huán)量§8.2流函數(shù)與速度勢(shì)§8.3基本平面勢(shì)流§8.4基本平面勢(shì)流的疊加§8.5平行流饒圓柱體的流動(dòng)[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件72§8.1速度環(huán)量、速度環(huán)量求微元線段

與速度

在方向上的分量的乘積沿AB曲線的積分：

§8.1速度環(huán)量73

若A與B重合,便成了封閉周線。速度在封閉周線切線上的分量沿該封閉周線K的線積分稱為速度環(huán)量Γ：

速度環(huán)量的正向規(guī)定為：沿封閉周線前進(jìn)時(shí)，周線所包圍的面積在速度方向的左側(cè)。因此，逆時(shí)針?lè)较虻乃俣拳h(huán)量為正。若A與B重合,便成了封閉周線。速度在封閉周線74二、斯托克斯定理（StokesLaw）

封閉周線內(nèi)有渦束時(shí)，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有渦束的漩渦強(qiáng)度之和。這就是斯托克斯定理。表示為：

或：二、斯托克斯定理（StokesLaw）751.微元封閉周線的斯托克斯定理

在oxy平面上取一微元矩形封閉周線，面積dA=dxdy，流體在A、B、C、D四點(diǎn)的速度如圖。

1.微元封閉周線的斯托克斯定理76沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為：

沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于該周線所包圍面積內(nèi)的漩渦強(qiáng)度。沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為：77

2．單連通域與多連通域

要保證流場(chǎng)中的u、v、w、p等都是x、y、z、t的單值連續(xù)函數(shù)，對(duì)流場(chǎng)區(qū)域要有限制條件：區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線連續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊界。這種區(qū)域稱為單連通區(qū)域，否則稱多連通區(qū)域。

將外周線K1、內(nèi)周線K2用AB、A’B’連接，將原區(qū)域用封閉周線ABK2B’A’K1A所包圍,則該區(qū)域即為單連通區(qū)域。2．單連通域與多連通域783.有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理

對(duì)任一微元矩形可求得速度環(huán)量dΓi=dIi，總速度環(huán)量：

另一方面,總速度環(huán)量中沿各微元矩形內(nèi)周線的相鄰切向速度線積分方向相反，剛好抵消，僅剩下沿外封閉周線K的切向速度線積分，即：

∴總速度環(huán)量：

沿有限單連通域K封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該區(qū)域漩渦強(qiáng)度的總和—有限單連通區(qū)域斯托克斯定理。3.有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理794.多連通區(qū)域的斯托克定理

對(duì)右圖中由多連通區(qū)域改成的單連通區(qū)域，速度環(huán)量可寫(xiě)成：

∵

4.多連通區(qū)域的斯托克定理80

由Stokes定理，假如外周線內(nèi)有多個(gè)內(nèi)周線，則多連通區(qū)域的Stokes定理成為：

Stokes定理說(shuō)明：

速度環(huán)量取決于所包圍區(qū)域內(nèi)的漩渦。沒(méi)有旋渦，就沒(méi)有環(huán)量。反之，環(huán)量等于零，總漩渦強(qiáng)度等于零；環(huán)量不等于零，必然存在漩渦。由Stokes定理，假如外周線內(nèi)有多個(gè)內(nèi)周線，則多連81

例1：試證明平行流的速度環(huán)量等于零。流體以等速度u0沿水平方向流動(dòng)，求沿矩形封閉周線的速度環(huán)量：同樣可證明，沿其它周線的速度環(huán)量也等于零。

82例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。

包有間斷面的兩股平行流中矩形封閉周線的速度環(huán)量：∵有間斷面的平行流中速度環(huán)量不等于零。

實(shí)際流體中由于粘滯力的作用，使分界面上下形成速度梯度，即所以有漩渦存在。例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。83三.湯姆生定理（Thomson’sLaw）

湯姆生定理：正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力的作用下，沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化。1.證明：沿封閉周線的速度環(huán)量：速度環(huán)量隨時(shí)間的變化率：三.湯姆生定理（Thomson’sLaw）84從矢量四邊形ABB′A′可以得到：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為：代入（a）式右邊第一部分得：從矢量四邊形ABB′A′可以得到：85理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程：代入（a）式右邊第二項(xiàng)得：∴(a)式成為理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程：862.討論

理想流體中的速度環(huán)量和漩渦都不能自行產(chǎn)生、自行消滅。流場(chǎng)中原來(lái)有渦的則永遠(yuǎn)有渦；原來(lái)沒(méi)有渦的就永遠(yuǎn)沒(méi)有。[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件87四、海姆霍茲定理（Helmholez’sLaw）

海姆霍茲的三個(gè)漩渦定理是研究理想流體有旋流動(dòng)的基本定理，它說(shuō)明了漩渦的基本性質(zhì)（通過(guò)環(huán)量證明Stokes定理）。1．海姆霍茲第一定理：在同一瞬間渦管各截面上的漩渦強(qiáng)度都相同。證明：四、海姆霍茲定理（Helmholez’sLaw）88

即沿包圍渦管任一封閉周線的速度環(huán)量都相等。也就是在渦管各截面上的漩渦強(qiáng)度都相等。即可見(jiàn)，渦管在流體中既不能開(kāi)始，也不能終止，只能是

自成封閉的管圈，或在邊界

上開(kāi)始、終止，如圖。[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件892.海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）

正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。證明：在渦管表面上取封閉周線K沿周線K的速度環(huán)量等于零速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，沿周線K的速度環(huán)量永遠(yuǎn)是零?！鄿u管永遠(yuǎn)保持為由相同質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。2.海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）903．海姆霍茲第三定理：

在有勢(shì)質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的漩渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化，保持定值。證明：

根據(jù)湯姆生定理，沿封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，環(huán)量等于渦管的漩渦強(qiáng)度，故渦管的漩渦強(qiáng)度也不隨時(shí)間變化。3．海姆霍茲第三定理：91§8.2,速度勢(shì)與流函數(shù)一.有勢(shì)流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)滿足：令：得：則

§8.2,速度勢(shì)與流函數(shù)92同理，可得按矢量分析：∴無(wú)旋流動(dòng)必可表示成某一函數(shù)的梯度，函數(shù)稱為速度的勢(shì)函數(shù)。無(wú)旋流動(dòng)也稱有勢(shì)流動(dòng)。二、速度勢(shì)的特點(diǎn)１.有勢(shì)流動(dòng)中沿ＡＢ曲線的切向速度線積分等于終點(diǎn)Ｂ和起點(diǎn)Ａ的速度勢(shì)之差，與曲線形狀無(wú)關(guān)。同理，可得93證：

２.在有勢(shì)流動(dòng)中，沿任一封閉周線Ｋ的速度環(huán)量等于零。證：

證：94３．不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)，速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。證：不可壓流體的連續(xù)方程：將代入得

滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。求解不可壓縮流體有勢(shì)流動(dòng)，歸結(jié)為根據(jù)起始條件和邊界條件求解Laplace方程得到速度勢(shì)進(jìn)而求得速度場(chǎng)，再根據(jù)伯努里方程求得壓力分布。３．不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)，速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。95三、流函數(shù)1．流函數(shù)的導(dǎo)出不可壓縮流體的連續(xù)性方程：平面流動(dòng)的流線微分方程：

全微分∴三、流函數(shù)96

函數(shù)ψ永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。

在流線上，dψ=

-vdx+udy=0，即ψ=

常數(shù)。函數(shù)ψ(x,y)稱流函數(shù)。

97

2．流函數(shù)的物理意義

流函數(shù)的物理意義：平面流動(dòng)中兩條流線間通過(guò)的流體流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。證明：通過(guò)AB上流函數(shù)為ψ1的流線和流函數(shù)為ψ2的流線間的體積流量為：2．流函數(shù)的物理意義983．討論（1）只要是不可壓縮流體的平面運(yùn)動(dòng)，就存在流函數(shù)，而不論其是理想流體還是粘性流體，是無(wú)旋流動(dòng)還是有旋流動(dòng)。（2）不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。證明：無(wú)旋ωz=0,∵

3．討論99（3）等勢(shì)線簇和流線簇構(gòu)成流網(wǎng)?！摺嗉础酀M足上式的等勢(shì)線簇和流線簇互相正交，構(gòu)成正交網(wǎng)絡(luò)，簡(jiǎn)稱流網(wǎng)(如圖)。（3）等勢(shì)線簇和流線簇構(gòu)成流網(wǎng)。100§8.3基本平面勢(shì)流一、平行流設(shè)流體作等速直線流動(dòng)?！叻e分得速度勢(shì)：(a)又∵

§8.3基本平面勢(shì)流101

積分得流函數(shù)(b)

顯然（a）、(b)兩式滿足Laplace方程，而且等勢(shì)線

與流線

互相垂直。

102二、點(diǎn)源與點(diǎn)匯1.點(diǎn)源與點(diǎn)匯定義

在無(wú)限平面上流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn),如圖(a)；若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)，如圖(b)。二、點(diǎn)源與點(diǎn)匯103

從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度。將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)（或匯點(diǎn)），則：

即

2．勢(shì)函數(shù)每秒通過(guò)半徑為的單位長(zhǎng)度圓柱面的流量為：

得點(diǎn)源，點(diǎn)匯從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度。將極坐標(biāo)的原點(diǎn)104

積分得：源點(diǎn)（匯點(diǎn)）為奇點(diǎn)。3．流函數(shù)積分：等勢(shì)線是一系列半徑不同的同心圓，與流線正交。

同樣可證明φ和ψ都滿足Laplace方程，點(diǎn)源和點(diǎn)匯都是無(wú)旋流動(dòng)。積分得1054．壓力分布

平面oxy是無(wú)限水平面，根據(jù)伯努里方程：

將表達(dá)式代入上式，得：可見(jiàn):圖中表示時(shí),點(diǎn)匯沿半徑r的壓力分布。4．壓力分布106三、渦流和點(diǎn)渦1．渦束與渦流

渦束象剛體一樣以等角速度繞自身（Z軸）旋轉(zhuǎn)，由渦束誘導(dǎo)出的平面流，稱為渦流，是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。

按Stokes定理，沿圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的漩渦強(qiáng)度（I），即:

可見(jiàn)：

三、渦流和點(diǎn)渦107在渦束內(nèi)2．勢(shì)流旋轉(zhuǎn)區(qū)的壓力分布伯努里方程：∴在渦束邊緣由此解得渦核半徑在渦束內(nèi)1083．渦核區(qū)的壓力分布

平面定常流動(dòng)的Eular運(yùn)動(dòng)方程：

3．渦核區(qū)的壓力分布109

渦內(nèi)速度代入,再分別乘相加:

即

積分得：[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件1104．壓力分布圖渦核中心壓力：渦核邊緣壓力：[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件111

故可見(jiàn)，渦核內(nèi)、外壓降相等，都等于以渦核邊緣的速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。故1125．點(diǎn)渦

成為一條渦線，這樣的渦流稱為點(diǎn)渦。

渦點(diǎn)是一奇點(diǎn)。(1)速度勢(shì)

積分得速度勢(shì)5．點(diǎn)渦113（2）流函數(shù)∵積分得流函數(shù)環(huán)流逆時(shí)針,環(huán)流順時(shí)針.（2）流函數(shù)114§8.4基本平面勢(shì)流的簡(jiǎn)單迭加一、無(wú)旋流動(dòng)的特性

無(wú)旋流動(dòng)重要特性：幾個(gè)無(wú)旋流動(dòng)迭加后仍然是無(wú)旋流動(dòng)。證：設(shè)則同樣：

§8.4基本平面勢(shì)流的簡(jiǎn)單迭加115求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)速度在x方向的分量：同樣，求對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)：即可見(jiàn)，無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)及流函數(shù)的代數(shù)和等于新的無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)，它的速度是這些無(wú)旋流動(dòng)速度的矢量和。求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)116二、點(diǎn)匯和點(diǎn)渦——螺旋流在旋風(fēng)燃燒室、離心式噴油嘴和離心式除塵器等設(shè)備中，流體自外沿圓周切向進(jìn)入，又從中央不斷流出。這樣的流動(dòng)可認(rèn)為是點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的迭加。設(shè)環(huán)流方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，迭加后新的組合流動(dòng)速度勢(shì)為：流函數(shù)為：二、點(diǎn)匯和點(diǎn)渦——螺旋流117令=常數(shù)，得等勢(shì)線=常數(shù)，得流線兩組相互正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇(如圖)稱螺旋流。切向速度：徑向速度：代入伯努里方程，得流場(chǎng)中的壓力分布令=常數(shù)，得等勢(shì)線118水泵、風(fēng)機(jī)等外殼中的流動(dòng)是點(diǎn)源和點(diǎn)渦迭加的例子，如圖。三、點(diǎn)源和點(diǎn)匯——偶極流1.點(diǎn)源與點(diǎn)匯將位于A(-a,0)的點(diǎn)源和位于B(a,0)的點(diǎn)匯迭加,迭加后速度勢(shì)為:

水泵、風(fēng)機(jī)等外殼中的流動(dòng)是點(diǎn)119如圖若

流函數(shù)式中為動(dòng)點(diǎn)P與源點(diǎn)A和匯點(diǎn)B的連接線之間的夾角。由流線方程得,流線是經(jīng)過(guò)源點(diǎn)A和匯點(diǎn)B的圓線簇。如圖1202．偶極流點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限接近，即，就是偶極流。使(有限常量)，M為偶極矩。偶極流的速度勢(shì)：2．偶極流121如圖,

[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件122[工學(xué)]第八章不可壓縮流體的無(wú)粘流動(dòng)課件123即流線是半徑為和圓心為且與x軸在原點(diǎn)相切的圓周簇，如圖中實(shí)線。等勢(shì)線是半徑為和圓心為且與y軸在原點(diǎn)相切的圓周簇，如圖中虛線。即流線是半徑為124§8.5平行流繞圓柱體的流動(dòng)一.平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)量的流動(dòng)1.平行流和偶極流迭加而成的組合平面流動(dòng)流函數(shù)

流線方程

零流線方程：即

§8.5平行流繞圓柱體的流動(dòng)125

零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑的圓周和x軸所構(gòu)成的圖形。這流線到A處分

成兩股，沿上、

下兩個(gè)半圓周流

到B點(diǎn)，又重新

匯合，如圖。零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑126

2、平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)流的平面流動(dòng)

一個(gè)平行流繞半徑為

的圓柱體的平面流動(dòng)，可以用這個(gè)平行流與偶極矩的偶極流迭加面成的組合流動(dòng)代替。

流函數(shù)

速度勢(shì)2、平行流繞圓柱體無(wú)環(huán)流的平面流動(dòng)1273、繞流的速度分布任一點(diǎn)的速度分量

沿包圍圓柱體圓形周線的速度環(huán)量：

∴平行流繞圓柱體的平面流動(dòng)沒(méi)有速度環(huán)量。3、繞流的速度分布12