數(shù)值計算方法教案

(圓滿版)數(shù)值計算方法講課設計(圓滿版)數(shù)值計算方法講課設計85/85(圓滿版)數(shù)值計算方法講課設計《計算方法》講課設計課程名稱：計算方法合用專業(yè)：醫(yī)學信息技術合用年級：二年級任課教師：張利萍編寫時間：2011年8月新疆醫(yī)科大學工程學院張利萍講課設計目錄《計算方法》講課綱領4一、程的性與任4二、程的講課內容、基本要求及學分派4三、程改革與特點5四、介紹教材及參照5《計算方法》講課日歷錯誤!不決義書簽。第一章緒論6第1有效數(shù)字6第2差??????????????????????????????第二章線性方程組的直接法14第3直接法、高斯消去法14第4高斯列主元消去法26第5平方根法、追趕法32第三章插值法與最小二乘法35第6機械求、插型求公式36第7?？绿厮构?、復化求公式41第8高斯公式、數(shù)微分4691012第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分51第11歐拉公式、改的歐拉公式52第12格塔方法、當姆斯方法56第13收性與定性、方程與高方程591415第五章微分常微分方程的差分方法62第16迭代收性與迭代加快63第17牛法、弦截法67181920第六章線性方程組的迭代法70第21迭代公式的成立71222講23講第24講向量范數(shù)、迭代收斂性7425講3《計算方法》講課綱領課程名稱：計算方法/ComputerNumericalAnalysisB學時/學分：54/4先修課程：高等數(shù)學、線性代數(shù)、高級語言程序設計（如：合用專業(yè)：計算機科學與技術、信息管理與信息系統(tǒng)

Matlab

語言）開課學院（部）、系(教研室)：醫(yī)學工程技術學院、醫(yī)學信息技術專業(yè)一、課程的性質與任務計算方法是一門專業(yè)必修課。目前，因為科學技術的迅速發(fā)展和計算機的寬泛應用，學習和掌握計算機上常用的數(shù)值計算方法及有關的基礎理論知識，并能用某種高級語言（如Matlab語言）將這些常用算法編程實現(xiàn)，這對于計算機專業(yè)的學生來說是特別重要的。本課程重視介紹進行科學建設所必然掌握的一些最基本、最常用的算法，向高等院校有關專業(yè)的學生普及計算方法的知識。二、課程的講課內容、基本要求及學時分派（一）講課內容1．引論數(shù)值分析的研究對象、偏差及有關見解、數(shù)值計算中應注意的一些原則。2．線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法Gauss消去法、Gauss消去法的矩陣形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法的收斂條件及偏差預計。3．插值方法Lagrange插值、

Newton

插值、分段插值、

Hermite

插值、三次樣條插值、數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法。4．數(shù)值積分與微分機械求積、

Newton-Cotes

求積公式、復化求積、

Romberg求積算法、

Gauss求積公式、數(shù)值微分。5．常微分方程初值問題的數(shù)值解法Euler方法及其改良、龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法、線性多步法、收斂性與堅固性、一階方程組與高階方程。6．方程求根的數(shù)值方法二分法、迭代法、迭代過程的加快、Newton迭代法、Newton迭代法的幾種變形。（二）基本要求1．認識數(shù)值分析的研究對象、掌握偏差及有關見解。2．正確理解使用數(shù)值方法求方程的解的基本思想、數(shù)學原理、算法設計。3．認識插值是數(shù)值迫近的重要方法之一，正確理解每一種算法的基本思想、計算公式、算法設計、程序框圖設計和源程序。4．掌握數(shù)值積分的數(shù)學原理和程序設計方法。5．能夠使用數(shù)值方法解決一階常微分方程的初值問題。6．理解和掌握使用數(shù)值方法對線性方程組求解的算法設計。（三）學時分派本課程的理論講課時數(shù)為54學時分派以下表：講課環(huán)節(jié)講課課程內容學時引論4線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法6插值方法12數(shù)值積分與微分10常微分方程初值問題的數(shù)值解法10方程求根的數(shù)值方法10總復習2共計54（四）課程內容的要點、難點要點：Lagrange插值、Newton插值、分段插值、Hermite插值、三次樣條插值、機械求積、Newton-Cotes求積公式、復化求積、Romberg求積算法。難點：Gauss消去法、Gauss消去法的矩陣形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法的收斂條件及偏差預計。三、課程改革與特點本課程是一門重要的專業(yè)基礎課。數(shù)值計算方法既是一門古老的學科，又是一門新興的學科。電子計算機的產生和發(fā)展極大地促使了數(shù)值計算方法的發(fā)展。只有把數(shù)值計算方法和程序設計親密聯(lián)合起來，把算法變成計算機能直接履行的程序，才能真切使計算機幫助人們解決各樣復雜的計算任務。本課程試圖將數(shù)值計算方法和程序設計方法學融為一體，這也是一種試一試。四、介紹教材及參照書介紹教材：《計算機數(shù)值方法》（第三版），主編：施吉林、劉淑珍、陳桂芝，第一版社：高等教育第一版社，第一版時間：2005年3月參照書：《數(shù)值計算方法和算法》，主編：張韻華、奚梅成、陳效群，第一版社：科學第一版社，第一版時間：2002年3月NumericalAnalysis》，主編：RichardL.Burden，第一版社：高等教育第一版社影印，出版或校訂時間：2003《數(shù)值分析》，主編：金聰、熊盛武，第一版社：武漢理工大學第一版社，第一版時間：20038月5第一章緒論一、講課目的及基本要求經過對本章的學習，使學生對認識波及工程和科學實驗中常有的數(shù)學識題，此中包含線性方程組、函數(shù)插值、失散數(shù)據(jù)的擬合、微積分、微分方程等，這些問題是其余數(shù)學識題的基礎。二、講課內容及學時分派本章主要介紹數(shù)值分析的研究對象及偏差的見解。詳細內容以下：第1-2學時講解內容：計算方法的研究內容、對象與特點；偏差的基本見解。三、講課要點難點1．講課要點：偏差、偏差種類；偏差分析：偏差與有效數(shù)字的關系。講課難點：偏差分析、偏差與有效數(shù)字的關系。四、講課中應注意的問題多媒體講堂講課為主。適合發(fā)問，加深學生對見解的理解。第1講緒論基本求解步驟實詰問題成立數(shù)學結構數(shù)值編程上機模型算法計算結果數(shù)學模型是經過科學實驗或許察看分析一系列數(shù)據(jù)后，用數(shù)學作為工具近似地描繪客觀事物的一種數(shù)學表達式。在數(shù)學模型中，常常包含了若干參量，這些物理參數(shù)平常由實驗儀器測得，依據(jù)儀器的精巧程度，物理參數(shù)確實定也會產生必然的偏差。在成立了數(shù)學模型此后，其實不可以夠馬上用計算機直接求解，還必然找尋用計算機計算這些數(shù)學模型的數(shù)值方法，馬上數(shù)學模型中的連續(xù)變量失散化，轉變成一系列相應的算法步驟，編制出正確的計算程序，再上機計算得出滿意的數(shù)值結果。算法：從給定的已知量出發(fā)，經過有限次四則運算及規(guī)定的運算次序，最后求出未知量的數(shù)值解，這樣組成的圓滿計算步驟稱為算法。例1計算多項式p(x)3x34x22x6的值。算法1：由x計算出x2,x3后再進行計算。需乘法5次，加法3次。6算法2：p(x)x[x(3x4)2]6需乘法3次，加法3次。一般地，計算n次多項式的值Pn(x)anxnan1xn1La1xa0有k次乘法運算,計算Pnx1nn1如若按akxk2Ln次乘法和n次加共需2法運算。采納：秦九韶算法(1247)有遞推公式:Pn(x)x(x(xL(x(anxan1)an2La1)a0從內往外一層一層計算，社vk表示第k層vk(...(anxan1)x...ank1)xankvkvk1xankv0an需乘法n次，加法n次，儲蓄單元n+3個。開始輸入a0a1...anvan,k1vvxankNk1kk=nY輸出v結束對算法所要考慮的問題,包含以下:計算速度比方,求解一個20階線性方程組,用消元法需3000次乘法運算；而用克萊姆法例要進行9.71020次運算,如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。7存量大型必需考算機的數(shù)據(jù)存。數(shù)定性在大批算中,舍入差是累是能控制,與算法有關。算法常常表某種無推程算法的精度控制方程根的二分法求解在[a,b]上單一連續(xù)，f(a)f(b)，依據(jù)連續(xù)函數(shù)性質，在內必然有實的零點，f(x)0f(x)[a,b]即方程在內必然有唯一實根。假定實根為x*f(x)0[a,b]x0ab2若f(x0)0，x0所求根否若f(a)f(x0)0,根在區(qū)[a,x0]，取a1a,b1x0若f(b)f(x0)0,根在區(qū)[x0,b]，取a1x0,b1b[a,b][a1,b1]...[ak,bk]...每一區(qū)前一區(qū)的一半，有根區(qū)[ak,bk]度bkak1(ba)112kx*xk(bkak)22k1(ba)§1.2知和差差的本源成立數(shù)學模型研究算方法程上機算解果。模型差:在成立數(shù)學模型程中,不可以能將全部要素均考,必然要行必需的化,就來了與的差。量差:量已知參數(shù),數(shù)據(jù)來的差。截斷差:模型的正確解與某種數(shù)方法的正確解之的差稱截斷差或方法差。舍入差:算機的字是有限的,每一步運算均需四舍五入,由此出的差稱舍入差。如：π、1／3，??取小數(shù)點8位、16位。[截斷差的例]已知ex1x1x21x3L1xnL,2!3!n!求e1的近似值，并預計偏差。解：利用張開式的前三，取n=2，e11(1)1(1)20.52由公式：Taylorf'(x0)(xx0)Lf(x)f(x0)f(n)(x0)(xx0)nf(n1)()(xx0)n1n!(n1)!8Rn(x)xn1ex,01(n1)!R2e10.511.7*1013!截斷差：0.17[舍入差的例]1.4921.0661.590472，在一臺虛假的4位數(shù)字的算機上算1.4921.0661.590，舍入差0.000472。數(shù)算方法主要截斷差和舍入差的影響,不模型差和量差。三、差的基本見解差與差限差不可以防備，以x代表數(shù)x*的近似，稱exx*是近似x的差。稱差。差是有量的,可正可。差平常是沒法算的,但能夠估出它的一個上界。即xx*稱是近似x的差限，或稱精度，即x*xx*。(2)相差與相差限ex*x差其實不可以夠圓滿反精度，稱xx近似x的相差,作er。相差是個相數(shù),是無量的,也可正可。相差的估err,稱r相差限,即x*xxx

r。有效數(shù)字110n定:假如近似x的差限是2(某一數(shù)位的半個位),稱x正確到小數(shù)點后n,并從第一個非零的數(shù)字到一位的全部數(shù)字均有效數(shù)字。如：π＝3.1415926535,3.14有三位有效數(shù)字,差限ε=0.005;3.1416有五位有效數(shù)字,差限0.00005。有效數(shù)字與差限的關系：x有n位有效數(shù)字，準形式x10m0.a1a2...an此中ai(i=1,2,?)是0~9之的整數(shù),且a10,假如差xx*110ml,1ln，稱xx*的擁有l(wèi)位有效數(shù)的2近似.有效數(shù)字與相差的關系：9標準形式為x*10m0.a1a2...an，則：a)若*有位有效數(shù)字，則|xx*|11nxn|x*|2a101證：|xx*|110mn110mn1221n|x*|x*a110m12a110若|xx*|11)101nb)|x*|2(a1*有n位有效數(shù)字，則x證：xx*1101nx*1101n(a11)10m1110mn2(a11)2(a11)2例，已知3.14159265...，試問其近似值x13.1,x23.14,x33.1415,x33.1416各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的偏差限和相對偏差限。e1x10.041101，十分位從前都是有效數(shù)字，有兩位有效數(shù)字2e1rx11121101x121063e2x20.0021102有三位有效數(shù)字2e2rx21131102x221063e3x30.000091103，有四位有效數(shù)字2e3rx31141103x321063e4x40.000011104，有五位有效數(shù)字2e4rx41151104x421063例：為使π*的相對偏差小于0.001%,最少應取幾位有效數(shù)字？解：εr*110n10.001%2a1n6log6,即n6,取n6，則π*=3.1415910§1.3數(shù)值計算的若干原則防備兩周邊數(shù)相減當x較大時，計算x1x，可先轉變成x1x1x1xf(x)x在x2得導數(shù)值f‘(2)2＋h2h,精準值f‘(2)0.3535532h令h=0.1得f‘(2)2＋h2h1.44911.37840.353502h0.2令h=0.0001得f‘(2)2＋h2h1.41421.414202h0.0002計算1cosx,x1。，分子出現(xiàn)周邊數(shù)相減，可變換為sinx1cosx＝sinx，再計算sinx1cosx防備絕對值太小的數(shù)做除數(shù)分母湊近零的數(shù)會產生溢犯錯誤,因此產生大的偏差,此時能夠用數(shù)學公式化簡后再做.y11000100110011000要防備大數(shù)“吃掉”小數(shù)計算機在進行算術計算時,第一要把參加運算的數(shù)對階，即把兩數(shù)都寫成絕對值小于1,而階碼相同的數(shù)。如：x1091必然改寫成:x0.110100.00000000011010假如計算機只好表示8位小數(shù)，則算出x0.11010,大數(shù)吃掉了小數(shù)。這種情況是要盡量避免的。簡化計算步驟，提升計算效率簡化計算步驟是提升程序履行速度的要點，它不只好夠節(jié)儉時間，還可以夠減少舍入偏差。例4：設A、B、C、D分別是1020、2050、501、1100的矩陣，試按不一樣樣的算法求矩陣乘積E=ABCD.解：由矩陣乘法的聯(lián)合律，可有以下算法1.E=((AB)C)D.計算量N=11500flop2.E=A(B(CD)).計算量N=125000flop3.E=(A(BC))D.計算量N=2200flop要使用數(shù)值堅固的算法我們已經知道，所謂算法的堅固性，是指偏差的流傳能夠獲得控制，在用計算機解決實質問題時，運算次數(shù)不計其數(shù)。假如偏差的流傳得不到控制，那么偏差的積累會使問題的解答成為荒謬的，特別是某些病態(tài)問題（如病態(tài)方程組），舍入偏差對其計算結果常常有特別嚴重的影響。因此，在選擇計算方案時，要特別慎重。察看方程組111111123x16111x213解為x11,x21,x3123412x31114734560四舍五入系數(shù)后，解為x11.09,x20.484,x31.49只管系數(shù)改動不大，但求出得解卻改動很大，這種問題稱為病態(tài)的。例：蝴蝶效應（氣象學家洛倫茲，1963）——南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，有時扇動幾下翅膀，可能在兩周后惹起美國德克薩斯惹起一場龍卷風？！1213第二章插值法一、講課目的及基本要求經過對本章的學習，使學生掌握插值法計算常有的數(shù)學識題。二、講課內容及學時分派本章主要介紹數(shù)值分析的插值法。詳細內容以下：第3-4學時講解內容：問題的提法、拉格朗日插值公式。第5-6學時講解內容：插值余項、牛頓插值公式。第7-8學時講解內容：曲線擬合。三、講課要點難點1．講課要點：插值方法的由來、拉格朗日插值公式、牛頓插值公式、曲線擬合。講課難點：拉格朗日插值公式、牛頓插值公式。四、講課中應注意的問題多媒體講堂講課為主。適合發(fā)問，加深學生對見解的理解。第2講拉格朗日插值公式盡人皆知，反應自然規(guī)律的數(shù)目關系的函數(shù)有三種表示方法：分析表達式f(x)x32x5.(開普勒(Kepler)方程)xysiny.。懸鏈線方程:ycos(x/)。B.圖象法表格法141、插法于一失散點(xi,f(xi)),(i0,1,2,...,n)，定一個便于算的函數(shù)P(x)，如多式函數(shù)，要求P(x)足P(xi)f(xi)，由此確立函數(shù)P(x)作f(x)的近似函數(shù)，此后通理P(x)得對于f(x)的果。就是插方法。2、曲合定近似函數(shù)P(x)，不要求近似函數(shù)P(x)必足P(xi)f(xi)，而只需求在某種意下（最小二乘法原理），使近似函數(shù)P(x)在些點上的偏差量最小，方法成曲合。§1.1多式插的一般提法插法的見解:假函數(shù)y=f(x)是[a,b]上的函數(shù)，x0,x1,?,xn是[a,b]上n+1個互異的點，f(x)在些點上的取分y0,y1,?,yn,求一個確立的函數(shù)P(x),使之足:Pxi)=yi(i=0,1,2,?,n(1)()x0,x1,?,xn插點，關系式(1)稱插原，函數(shù)P(x)稱函數(shù)y=f(x)的插函數(shù)，區(qū)[a,b]稱插區(qū)。泰勒插：人熟習的泰勒張開方法其就是一種插方法，泰勒多式：Pn(x)f(x0)f'(x0)(xx0)f''(x0)(xx0)2...fn(x0)(xx0)n（1）與f(x)在點x02!n!近會很好的迫近f(x)。泰勒余定理:定理1假f(x)在含有點x0的區(qū)[a,b]內有直到n+1數(shù)，當[a,b]，于式（1）出的Pn(x)，成立f(x)Pn(x)fn1()(xx0)n1(n1)!15此中介于x0與x之間，因此[a,b]。所謂泰勒插值指下述問題：問題1求作n次多項式Pn(x)，使知足Pn(k)(x0)y0(k),k0,1,2,...,n，y0(k)為一組已給數(shù)據(jù)。易看出，上述插值問題的解就是泰勒多項式（1）。例1例題分析:求作f(x)x在x0100的一次和二次泰勒多項式，利用它們計算115的近似值并預計偏差。解：f(x)x，f'(x)1x1/2，f''(x)1x3/2，f'''(x)3x5/2248f(x0)10，f'(x0)1/20，f''(x0)1/4000，f''(x0)3/8000000f(x)x在x0100的一次泰勒多項式是P1(x)f(x0)f'(x0)(xx0)50.05xx115時115f(115)P(x)10.751依據(jù)定理1可預計偏差f(x)p1(x)f''()x0)2f''(x0)20.0281250.052(x2(xx0)偏差小于十分位的一半，故十分位及前面的數(shù)字為有效數(shù)字，因此結果有三位有效數(shù)字。修正P1(x)可進一步獲得二次泰勒公式P2(x)P1(x)f''(x0)(xx0)22115f(115)P2(x)10.750.02812510.721875f(x)p2(x)f'''()x0)3f'''(x0)30.00063281250.005(x(xx0)22偏差小于百分位的一半，故百分位及前面的數(shù)字為有效數(shù)字，因此結果有四位有效數(shù)字。泰勒插值是一種有效的插值方法，對函數(shù)要求嚴格（要足夠圓滑，存在高階導數(shù)），要計算函數(shù)的高階導數(shù)，而高階導數(shù)的計算對計算機來說就很困難；其余，計算過程不可以夠形成機械重復的過程，不利于計算機程序實現(xiàn)。§1.2拉格朗日(Lagrange)插值多項式插值的存在唯一性:多項式導數(shù)易于計算，函數(shù)表達式簡單，計算機易于計算，故考慮用多項式函數(shù)作為插值函數(shù)來模擬實質函數(shù)。從以下數(shù)據(jù)表著手,并假定xixj,0ijn，x:x0x1x2?xny:y0y1y2?yn16Pn(x)。但求n次多式Pn(x)a0a1xanxn,使得：Px)=y(i=0,1,2,?,n)。(ii依據(jù)插條件，有：P(x0)a0a1x0anx0ny0P(x1)a0a1x1anx1ny1P(xn)a0a1xnanxnnyn(1)然，是一個對于a0,a1,an的n+1元性方程，其系數(shù)矩的隊列式1x0x0n1x1nVn(x0,x1,,xn)x11xnnxn注意到插點xi(i1,2,,n)Vn(x0,x1,,xn)(xixj)0兩兩相異，而0jin故方程(1)有唯一解a0,a1,an,于是足插條件的多式存在且唯一。定原由n個不一樣樣插點x0,x1,,xn能夠唯一確立一個n次多式+1Pn(x)a0a1xanxn足插條件Pn(xi)yi。從理上，由方程(1)能夠求出a0,a1,an的唯一解,從而確立從數(shù)算上看，當n大求解性方程的工作量大且不便用。解方程（1）需算n+1個n隊列式，每個n隊列式n!之和，每又是n個元素的乘，需n-1次乘法，因此求解需要(n1)n!(n1)次乘法，當n大，算量特別大。解決此，已提出了好多結構Pn(x)的奇妙法。Lagrange插的基函數(shù)結構法第一n=1的情況。已知x0,x1;y0,y1，求L1(x)a0a1x使得L1(x0)y0;L1(x1)y1然L1(x)是(x0,y0)和(x1,y1)兩點的一條直。由點斜式簡單求得17L1(x)y0y1y0(xx0)x1x0xx1yxx0y1(x)ylx00x11iix1x0i0此中，li(x),(i0,1)擁有以下特點：l0(x0)1;l0(x1)0l1(x0)0;l1(x1)1稱其為線性插值基函數(shù)。L1(x)能夠經過函數(shù)li(x),(i0,1)組合得出，且組合系數(shù)恰為所給數(shù)據(jù)y0,y1。再討論n=2時的情況。明顯L2(x)是過(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)三點的一條拋物線。模擬線性插值基函數(shù)的結構方法，令l0(xx1)(xx2)(x)x1)(x0x2)(x0(xx0)(xx2)l1(x)x0)(x1x2)(x1l2(xx0)(xx1)(x)x0)(x2x1)(x2此中，li(x),(i0,1,2)擁有以下特點：l0(x0)1;l0(x1)0;l0(x2)0l1(x0)0;l1(x1)1;l1(x2)0l2(x0)0;l2(x1)0;l2(x2)1稱其為拋物線插值基函數(shù)(以以以下圖所示)。18于是，L2(x)(xx1)(xx2)y0(x0x1)(x0x2)(xx0)(xx2)y1(x1x0)(x1x2)li(x)yi(xx0)(xx1)y22(x2x0)(x2x1)i0最后一般情況。i?,n。求Lnx使得L(xi)=yi(=0,1,2,())令n次多式插基函數(shù):li(x)n(xxj)ji(xixj)j0,li(x),(i0,1,,n)擁有以下特點：li(xj)1,ij(i,j0,1,,n)ij0,ij。于是，足插條件的n次多式能夠直接寫:nn(xxj)nLn(x)i0ji(xixj)yii0li(x)yij0我稱Ln(x)Lagrange多式，li(x)其Lagrange插基函數(shù)。19開始輸入x,(xi,yi),i0,1,2...ny0,k0t1xxj*tt,j0,...,k1,k1,...,nxkxjyt*ykyk=nNk1kY輸出y結束思慮給定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下邊哪個是l2(x)的圖像？插值余項以以下圖，其截斷偏差Rn(x)=f(x)-Ln(x)，稱為Lagrange插值多項式的余項。20定理假定f(x在[a,b]上有連續(xù)的直到n+1階導數(shù)，且在不一樣樣插值節(jié)點)x0,x1,,xn取值為f(xi)yi,Ln(x)是經過插值樣點(xi,yi),(i0,1,,n)的Lagrange插值多項式，若引進記號：nn1(x)(xx0)(xx1)(xxn)(xxi)i0則當x[a,b]時，有以下的偏差預計：f(n1)()Rn(x)f(x)Ln(x)(n1)!if(n1)()(n1)!

n(xxi)0n1(x)(a,b)證明：因為Rn(xi)f(xi)Ln(xi)0(i0,1,,n)于是可假定Rn(x)擁有以下形式：nRn(x)k(x)(xx0)(xx1)(xxn)k(x)(xxi)i0將x看作(a,b)上的一個固定點，作協(xié)助函數(shù)(t)f(t)Ln(t)k(x)(tx0)(tx1)(txn)nf(t)Ln(t)k(x)(txi)簡單看出，(t)有x,x0,x1i0a上存在n,,xn共n個相異零點,且在[,b]階導數(shù)。+2+1依據(jù)羅爾,(t)在(t)的兩個零點之間最罕有一個零點，故(t)在[a,b]上最少n個零點。這樣類推,(n1)(t)在(a,b)上最罕有1個零點,使得有+1(n1)()f(n1)()L(nn1)()k(x)d(n1)n(txi)tdt(n1)i00n(txi)的首項為tn1，注意到Ln是n次多項式，L(nn1)(t)0；i0d(n1)n(txi)(n1)!故dt(n1)。由上述方程解得i0k(x)f(n1)()(a,b)(n1)!。Rn(x)f(n1)()n(xxi)(n1)!于是i0214例題例1已知函數(shù)yfx)的察看數(shù)據(jù)為=(xk－2045yk51－31試結構f(x)的拉格朗日多項式Ln(x)，并計算f(－1)。解先結構基函數(shù)22所求三次多項式為L3(x)=23＝＋24-＋＝25L3(－1)＝第3講牛頓公式§1.4差商與差分及其性質差商的見解:f[x0,x1f(x1)f(x0)]x0為函數(shù)f(x)的一階差商；稱x1f[x1,x2]f[x0,x1]f[x0,x1,x2]x2x0為函數(shù)f(x)的二階差商；稱f[x0,x1,...,xn]f[x1,...,xn]f[x0,...,xn1]xnx0為函數(shù)f(x)的n階一般地，稱差商；特別地，定義f[x0]f(x0)為函數(shù)f(x)對于xo的零階差商。由此可知，高階差商老是由比它低一階的的兩個差商組合而成。2差商性質（a）性質1:n階差商能夠表示成n+1個函數(shù)值y0,y1,L,yn的線性組合,即f(xi)kf[x0,...,xk]i0(xix0)(xix1)(xixi1)(xixi1)(xixn)26性明：k差商f[x0,x1,...,xn]算是由函數(shù)f(x0),f(x1f(xk)),?性合而。如:f[x0,x1,x2]f[x1,x0,x2]f[x2,x1,x0]；f[x0,x1]f(x1)f(x0)f(x0)f(x1)x1x0x0x1x1x0f[x0,x1,x2]f[x1,x2]f[x0,x1]x2x0f(x2)f(x1)f(x1)f(x0)x2x1x1x0f(x0)f(x1)x2x0x0x1x1x0f(x0)f(x1)f(x1)f(x2)x0x1x1x0x2x1x2x1x2x0f(x0)f(x1)f(x2)(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)性2(稱性):差商與點的序沒關。即f[x0,x1]f[x1,x0]，f[x0,x1,x2]f[x1,x0,x2]f[x0,x2,x1]一點能夠從性1看出。利用差商表算差商利用差商的推定,能夠用推來算差商。差商表：xif(xi)一差商二差商三差商x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3fx1,x2,x3fx0,x1,x2,x3如要算四差商,再增添一個點,表中要增添一行。4差分的見解定函數(shù)y=f(x)在等距點xix0ih(i0,1,,n)上的函數(shù)f(xi)=fi,此中，h常數(shù)稱作步。稱△fi=fi+1-fi27▽fi=fi-fi-1fi1f1δfi=f(xi+h/2)-f(xi-h/2)=2i2分別為f(x)在xi處以h為步長的一階向前差分，一階向后差分和一階中心差分。稱符號△、▽、δ分別為向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子。nfin-1fi1n-1finfin-1fin-1fi1nfin-1f1n-1f1i2i2在節(jié)點等距情況下，差商可用差分表示，設步長hxi1xi，有f(xi,xi1)f(xi1)f(xi)1yixi1xihf(xi,xi1,xi2)f(xi1,xi2)f(xi,xi1)12(yi1yi)122yixi2xi2h2h一般形式(數(shù)學概括法可證)f(xi,xi1,...,xik)1kyik!hk§1.5牛頓插值公式牛頓插值公式的結構Lagrange插值固然易算，但若要增添一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需從頭算過。本節(jié)介紹其余一種方法-牛頓插值法，并用它解決上邊所述問題。由線性插值N1(x)y0y1y0(xx0)，令a0y0,a1y1y0,N1(x)a0a1(xx0)x1x0x1x0二次插值能否寫成N2(x)a0a1(xx0)a2(xx0)(xx1)由條件N2(x0)y0,N2(x1)y1,N2(x2)y2得y2y0y1y0a0y0,a1y1y0,a2x2x0x1x0x1x0x2x1實行得28Nn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)(xx1)...an(xx0)...(xxn1),此中，a0,a1,,an為待定系數(shù)。怎樣求a0,a1,,an?f[x,x0]f(x)f(x0)解:xx0,因為因此f(x)f(x0)f[x,x0](xx0)(0)f[x,x0,x1]f[x,x0]f[x0,x1]xx1,有又f[x,x0]f[x0,x1]f[x,x0,x1](xx1)(1)又f[x,x0,x1]f[x0,x1,x2]f[x,x0,x1,x2]xx2f[x,x0,x1]f[x0,x1,x2]f[x,x0,x1,x2](xx2)(2)一般地,f[x,x0,x1,...,xn]f[x,x0,x1,...,xn1]f[x0,x1,...,xn]xxnf[x,x0,x1,...,xn1]f[x0,x1,...,xn]f[x,x0,x1,...,xn](xxn)(n)將式(n)代入式(n-1),...,式(2)代入式(1),式(1)代入式(0),這樣可得:f(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)Lf[x0,x1,L,xn](xx0)(xx1)L(xxn1)f[x,x0,x1,L,xn](xx0)(xx1)L(xxn)特別注意的是：最后一項中,差商部分含有x,乃是余項部分,記作Rn(x);而前面n+1項中,差商部分都不含有x,所從前面n+1項是對于x的n次多項式,記作Nn(x),這就是牛頓插值公式。算例1:當n=1時，f(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)f[x,x0,x1](xx0)(xx1),此中,N1(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)29yy0y1(xx)0x0x10。這就是牛頓一次插值多項式，也就是點斜式直線方程。n=2時,f(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)f[x,x0,x1,x2](xx0)(xx1)(xx2)N2(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)這就是牛頓二次插值多項式。明顯,N2(x0)f(x0),N2(x)f(x)f(x0)f(x1)(x1x)f(x)10x0x101N2(x2)f(x0)f(x0)f(x1)(x2x0)x0x11f(x0)f(x1)f(x1)f(x2)(x2x0)(x2x1)x0x2x0x1x1x2(x2)。N2(x)知足二次插值條件。2:已知xi1247f(xi)011512求知足以上插值條件的牛頓型插值多項式。:因為:f(x0)0f[x0,x1]1f[x0,x1,x2]4,,,f[x0,x,x,x]1.25123;則牛頓三次插值多項式為N3(x)0(x1)4(x1)(x3)1.25(x1)(x3)(x4)。拉格朗日插值與牛頓插值的比較30Pn(x)和Nn(x)均是n次多項式,且均知足插值條件:Pn(xk)Nn(xk)f(xk),k0,1,L,n。由多項式的唯一性,Pn(x)Nn(x),因此,兩個公式的余項是相等的,即f[x,x0,x1L,xn]f(n1)()n(x)n(x)(n1)!當插值多項式從n-1次增添到n次時,拉格朗日型插值必然從頭計算全部的基本插值多項式;而對于牛頓型插值,只需用表格再計算一個n階差商,然后加上一項即可。4等距牛頓插值公式插值節(jié)點為等距節(jié)點：xkx0kh，k0,1,L,n,以以以下圖：hhh...hx0x1x2x3...xn1xn牛頓插值公式設等距節(jié)點xkx0kh，yf(x),k0,1,L,n.當x[x0,xn]，令xx0th，0tn.比方（下記kk圖）x0x1x2xx3x在x2，x3的中點時，xx02.5h。將牛頓插值公式中的差商用差分代替,而xxk(x0th)(x0kh)(tk)h,從而,牛頓插值公式在等距插值節(jié)點下的形式為:Nn(x)y0ty01t(t1)2y01t(t1)(t2)3y0L1t(t1)L(tn1)ny02!3!n!余項為R(x)1f(n1)()(x)1f(n1)n1n(n1)!n(n1)!()hL(tn)t(t1)這是等距牛頓向前插值公式。例4:設yf(x)ex插值節(jié)點為x1,1.5,2,2.5,3,相應的函數(shù)值以下表,求f(2.2)。31xiyiΔyi2yi3yi4yi12.718281.763411.143960.742100.481461.54.481692.907371.886061.2235627.289064.793433.109622.512.182497.90305320.08554解：精準值f(2.2)=e2.2=9.025011。故于是此時[xk,xk+1x=2.2=1+2.4ht=2.4,],N2(2.2)y0ty01t(t1)2y08.872322!1t(t1)(t2)3y0求N3(2.2)時，在N2(2.2)后加一項：3!12.4(2.41)(2.42)0.742100.16623,6，因此N3(2.2)N2(2.2)0.166239.038551t(t1)(t2)(t3)4y0求N4(2.2)時，在N3(2.2)后再加一項：4!0.01618242.4(2.41)(2.42)(2.43)0.48146，因此1N4(2.2)N3(2.2)0.016189.02237R20.15269,R30.01354,R20.00264第4講曲線擬合§1.9曲線擬合的最小二乘法1擬合問題的數(shù)學提法經過察看、丈量或試驗獲得某一函數(shù)在x1,x2,L,xn的函數(shù)值y1,y2,L,yn。我們能夠用插值的方法對這一函數(shù)進行近似,而插值方法要求所獲得的插值多項式經過已知的這n個插值結點;在n比較大的情況下,插值多項式常常是高次多項式,這也就簡單出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象:固然在插值結點上沒有偏差,但在插值結點以外插值偏差變得很大,從“整體”上看,插值迫近見效將變得“很差”。于是,我們采納曲線擬合的方法。32所曲合是求一個的函數(shù)y(x),比方(x)是一個低次多式,兒不要求y(x)通已知的n個點,而是要求在整體上“盡量好”的迫近原函數(shù)。,在每個已知點上就會有差yk(xk),k1,2,L,n,數(shù)據(jù)合就是從整體上使差yk(xk),k1,2,L,n盡量的小一些。x1x2x3??xn-1xnnyk(xk)(xk)可正可,原來很大假如要求k1達到最小，因差ykn的差可能會正抵消,防備正抵消,能夠要求k1yk(xk)達到最小,但是因為函數(shù)不可以夠夠求，分析起來不方便,求解也很。了既能防備正抵消,又能便于我分析、求解，提出以下：n2Qyk(xk)達到最小,此即是一求一個低次多式(x),使得k1個曲合的最小二乘。直合（一次函數(shù)）a)的提法通、量或獲得某一函數(shù)在x1,x2,L,xn的函數(shù)y1,y2,L,yn，即獲得n數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn)假如些數(shù)據(jù)在直角坐系中近似地散布在一條直上，我能夠用直合的方法。:已知數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn),求一個一次多式(x)abx（上，就是求ab）,使得,nn2Q(a,b)yk2(xk)ykabxk達到最小k1k133注意到Q(a,b)中,xk,yk均是已知的，而a,b是未知量,Q(a,b)是未知量a,b的二元函數(shù),利用高等數(shù)學中求二元函數(shù)極小值(最小值)的方法，因此，上述問題轉變成求解以下方程組Q(a,b)0aQ(a,b)0b正則方程組n2Q(a,b)ykabxk由得：k1Q(a,b)n2(ykabxk)0ak1Q(a,b)n2(ykabxk)xk0bk1獲得以下的正則方程組nnnaxkbykk1k1nnnxkaxk2bxkykk1k1k1這是個對于a,b的二元一次方程組，稱其為最小二乘問題的正則方程組.解得a,b,便獲得最小二乘問題的擬合函數(shù)yabx。算例例1.已知10對數(shù)據(jù)以下表,利用最小二乘法求擬合曲線yabx。xk2444.655.25.666.67yk53.532.72.42.521.51.21.2解：先列表來計算四個：xk,x2,y,xkykkk34xkykx25443.51643164.62.721.1652.4255.22.527.045.6231.3661.5366.61.243.5671.2495025269.12

2xkykk10141212.46121311.297.928.4109.94形成正則方程組10a50b2550a269.12b109.94解得a6.4383，b0.7877于是，最小二乘擬合一次函數(shù)為y6.43830.7877x。第三章數(shù)值積分一、講課目的及基本要求經過對本章的學習，使學生掌握積分的數(shù)值解法。二、講課內容及學時分派本章主要介紹積分的數(shù)值解法。詳細內容以下：第9-10學時講解內容：機械求積、插值型求積公式。第11-12學時講解內容：牛頓柯特斯公式、復化求積公式。第13-14學時講解內容：高斯公式、數(shù)值微分。三、講課要點難點1．講課要點：機械求積、牛頓柯特斯公式；復化求積公式；高斯公式。講課難點：復化求積公式；高斯公式。四、講課中應注意的問題多媒體講堂講課為主。適合發(fā)問，加深學生對見解的理解。35第5講機械求積、插值型求積公式2.0前言定積分的計算可用有名的牛頓-萊布尼茲公式來計算:bf(x)dxF(b)F(a)a此中F(x)是f(x)的原函數(shù)之一，可用不定積分求得。但是在實詰問題中，常常遇到以下問題：1）被積函數(shù)f(x)是用函數(shù)表格供給的；2）被積函數(shù)表達式極為復雜，求不出原函數(shù)，或求出原函數(shù)后，因為形式復雜不利于計算；3）大批函數(shù)的原函數(shù)不簡單或根本沒法求出，比方1dx1sinxdxex2，正弦型積分概率積分00x，等根本沒法用初等函數(shù)來表示其原函數(shù)，因此也就沒法精準計算其定積分，只好運用數(shù)值積分。所謂數(shù)值積分就是求積分近似值的方法?！?.1機械求積公式數(shù)值積分的基本思想基本思想：定積分的幾何意義：曲線yf(x)，直線xa,xb與x軸所圍成得曲邊梯形得面積，不論被積函數(shù)是什么形式，只需近似計算曲邊梯形面積，即可求定積分的值，這就是數(shù)值求積的基本思想。bf(x)dx(ba)f()，點詳細值未知，只需對均勻高度積分中值定理af()供給一種數(shù)值算法，相應就求得一種數(shù)值求積方法。（）用fx的零次多項式y(tǒng)L0(x)f(x0)來近似代替f(x),于是，1()x1f(x)dxx1x0f(x0)dxx0f(x0)(x1x0)（為左矩公式）x1x1f(x1)dxf(x)dxx0x0f(x1)(x1x0)（為右矩公式）f(x)dxf(x0x1)dxx1x1x0x02x0x1)(x1x0)f(2（為中矩公式）（2）用f(x)的一次多項式36L1(x)xx1f(x0)xx0f(x1)x0x1x1x0來近似代替f(x),于是，x1x1f(x)dxL1(x)dxx0x0x1xx1f(x0)xx0f(x1)dxx0x0x1x1x01(x1x0)f(x0)f(x1)2（為梯形公式）（）用fx的二次插值多項式,此中x0xx13()L2(x)(xx)(xx1)f(x0)(xx0)(xx1)f(x)(x0x)(x0x1)(xx0)(xx1)(xx0)(xx)f(x1)(x1x0)(x1x)來近似代替f(x),于是，x1f(x)dxx1x0L2(x)dxx0x1(x0x1)特別地：當(x12時，有f(x)dxx0)f(x0)4f(x0x1)f(x1)x1x062

（為Simpson公式）37abbf(x)dx一般在區(qū)間[上的定積分，就是在區(qū)間[a,b]內取n+1個點ax0,x1,L,xn，利用被積函數(shù)f(x)在這n+1個點的函數(shù)值的某一種線性組合來近似作為待求定積分的值，即bnaf(x)dxAkf(xk)k0右端公式稱為左側定積分的某個數(shù)值積分公式。此中,xk稱為積分節(jié)點，Ak稱為求積系數(shù)。因此，一個數(shù)值積分公式要點在于積分節(jié)點xk的采納和積分系數(shù)Ak的決定，此中Ak與被積函數(shù)f(x)沒關，稱為機械求積公式。代數(shù)精準度bf(x)dx的數(shù)值積分公式定義：若積分a高于m次的多項式都精準成立，且存在一個稱該數(shù)值積分公式的代數(shù)精準度為m。對于代數(shù)精準度為m的求積公式，若積公式是精準成立的。

bnaf(x)dxAkf(xk)k0對于隨意一個次數(shù)不m+1次多項式使之不精準成立，則(x)是不超出m次的代數(shù)多項式，求bnaf(x)dxAkf(xk)一般地，要使k0擁有n次代數(shù)精度，只需令它對于f(x)1,x,x2,,xn都正確成立,也就是對給定n+1個互異節(jié)點xi(i0,1,,n)，相應的求積系數(shù)Ai知足：A0A1AnbaA0x0A1x1Anxnb2a22A0x0nA1x1nAnxnnbn1an1n1方程組的系數(shù)隊列式是范德蒙隊列式，當xi(i0,1,,n)互異時，其值非零，利用克萊姆法例能夠唯一的求出Ai從而能夠結構出求積公式，于是，有以下結論：對于隨意給定n+1個互異節(jié)點xi(i0,1,,n)總存在相應系數(shù)使bnaf(x)dxAkf(xk)k0

最少擁有n次代數(shù)精度。例：在以下求積公式中，求積分節(jié)點x1,x2和相應的求積系數(shù)A1,A2使其代數(shù)精確度盡可能高。1f(x)dxA1f(x1)A2f(x2)111dx2,而數(shù)值積分為A1A2；解：(1)f(x)=1,1獲得方程AA2；121AxAx(2)f(x)=x，xdx0，而數(shù)值積分為11122；38AxAx0；獲得方程112212(3)f(x)x2x2dx，13獲得方程A1x12A2x22

Ax2Ax2，而數(shù)值積分為1122；2；13dx0f(x)x3x33(4)，1，而數(shù)值積分為A1x1A2x2；獲得方程A1x13A2x230；綜合上述方程：A1A22L(1)A1x1A2x20L(2)Ax2Ax22L(3)11223Ax3Ax30L(4)1122解得:x1,x1A1A21。1323于是我們獲得積分公式f(1)f(x)dxf(1)1133。41x4dx2再取f(x)x，有15，14421而數(shù)值積分為339，兩式不相等，求積公式不精準成立了。因此，該積分公式的代數(shù)精準度為3。2.1.3插值型的求積公式用求線性方程組的方法結構求積公式計算量太大，此刻，用插值多項式來結構數(shù)值求積公式。設f(x)在互異節(jié)點xi(i0,1,,n)處的函數(shù)值為f(xi)，則可結構拉格朗日插值多項式：nnnxxj)f(x)L(x)l(x)f(x)(nii0xixjii0i0jji因為代數(shù)多項式Ln(x)的原函數(shù)簡單求出，可取:39bbbnnbaf(x)dxaLn(x)dxa0li(x)f(xi)dx(ali(x)dx)f(xi)ii0bnf(x)dxAif(xi)ai(1)0Ab(x)dxbnxxjdxlaiai0xixj(2)jjibnf(x)dxAif(xi)稱為插值求積我們稱求積系數(shù)由(2)式確立的求積公式ai0公式。其余項為：R[f]bf(n1)()nxi)dxa(n1)!(xj0當被積函數(shù)f(x)取次數(shù)不超出n次多項式時，因為fn1(x)0，因此余項R[f]0，這說明求積公式對全部次數(shù)不超出n次的多項式精準成立，因此對有n+1個互異節(jié)點xi(i0,1,2,,n)的插值型求積公式最少擁有n次代數(shù)精度。反之，假如求積公式最罕有n次代數(shù)精度，則它對于n次插值基函數(shù)li(x)也是bn正確成立的，即有:li(x)dxAjli(xj)Ai，因此（2）成立，這說明最少a0n次代數(shù)精度的求積公式必為插值型的。綜上所述，有以下結論：b()n()定理fAifxi是插值型求積公式的充分必需條件求積公式axdxi0是它最少擁有n次代數(shù)精度。這樣，給定求積節(jié)點xk，求積系數(shù)可經過求解線性方程組或經過插值函數(shù)計算。例1，已知x01/4,x11/2,x23/4，1）推導以這三個點為求積節(jié)點，在[0,1]上的插值型求積公式；2）求其代數(shù)精度11113f(x)dx[2f()f()2f()]03424402P80題2第6講牛頓柯特斯公式、復化求積公式2.2Newton-Cotes公式公式的推導Newton-Cotes公式是由拉格朗日插值公式推導出來的數(shù)值積分公式。hbaxkakh將區(qū)間[ab均分n等份記n,分點為,k=0,1,...,n,這,],n+1個節(jié)點上的函數(shù)值為f(xk),k0,1L,n,從而區(qū)間[ab上的拉格朗日插值,]多項式為nLn(x)f(xk)lk(x)k0bbLn(x)dxnbf(x)l(x)dxf(x)dxaakkak0nbk0alk(x)dxf(xk)nAkf(xk)k0因為插值結點是等距節(jié)點，故插值多項式能夠進一步化簡:因為xkakh，xathxkxj(kj)hxxj(tj)h故，lk(xx0)L(xxk1)(xxk1)L(xxn)(x)x0)L(xkxk1)(xkxk1)L(xkxn)(xkt(t1)L(tk1)(tk1)L(tn)k(k1)L(kk1)(kk1)L(kn)(1)nkn(tj)k!(nk)!j0,jkbdxhdtbaAkalk(x)dx，作積分變量代換xathndt因，，當x=a時，t=0；當x=b時，t=n；故41nknnAk(ba1(1)(tj)dt)k!(nk)!n0j0,jkA(ba)C(n),k0,1L,n，我們稱Ck(n)記kfxk為柯特斯（Cotes）系數(shù)，它不只與函數(shù)(沒關，并且與積分區(qū)間[ab沒關。),]比方：時梯形積分公式中的系數(shù)當n=()1(1)(1)11(t1)dt1(1)(1)010)dt1C02,C11!0!(t2;0!1!00當n=2時(拋物線積分公式中的系數(shù))22C0(2)(1)1)(t2)dt1(t0!2!206,12C1(2)(1)2(t0)(t2)dt1!1!203,02C2(2)(1)1(t0)(t1)dt當n=2!0!206;4bba7f(x)32f(x)12f(x)32f(x)7f(x)f(x)dx9001234a于是，由柯特斯（Cotes）系數(shù)Ck(n)公式出發(fā)，我們獲得n階Newton—Cotes公式：bnCk(n)f(xk)f(x)dx(ba)a。k0柯特斯公式市節(jié)點等距條件下的插值型求積公式，最少擁有n次代數(shù)精度，當n為偶數(shù)時，能達到n+1次代數(shù)精度。（能夠證明）從表中看出n=8時，出現(xiàn)負數(shù)，堅固性沒保證，因此一般采納n=4的牛頓-柯特斯求積公式。低階公式及其余項常用的Newton—Cotes公式梯形公式n=時，積分節(jié)點為x0a，x1b，則數(shù)值積分公式為：1babf(x)dxf(a)f(b)a2bf(x)dx其幾何意義是曲邊梯形的面積a近似地用梯形面積替。R1(f)(ba)3f()(a,b)其余項12b)拋物線公式（辛浦生Simpson公式）

baf(a)f(b)2來代42x1ab2，x2=b；n=2時，積分節(jié)點為x0=a，C0(2)C2(2)1,C1(2)2柯特斯系數(shù)為63；則數(shù)值積分公式為:4f(ab)f(x)dxbaf(a)f(b)ba62bf(x)dx其幾何意義是曲邊梯形的面積a近似地用由拋物線形成的曲邊梯形面積來代替。其余項R2(f)(ba)5f(4)()(a,b)2880柯特斯公式n=時，積分節(jié)點為x0a，x4bxkakh,hba,k1,2,34柯特斯系數(shù)為C0(4)C4(4)7C1(4)C3(4)32,C2(4)1290,9090；則數(shù)值積分公式為：bba7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)f(x)dxa90其余項R4(f)8(ba)7f(6)()(a,b)9454綜上所述，Newton-Cotes數(shù)值積分公式擁有以下特點：成立在等距積分節(jié)點上，是關閉型的，即兩個端點a,b也是積分節(jié)點，是由拉格朗日插值公式推導而獲得的。(n)3Cotes系數(shù)Ck的性質引理:Newton—Cotes公式

bnC(n)f(x)f(x)dx(ba)ak0kk的代數(shù)精準度最少是n。證明:假如f(x)是一個次數(shù)不超出n次的多項式，則f(n1)(x)0其拉格朗日插值公式的插值余項為：Rn(x)f(x)Ln(x)1f(n1)()n(x)0(n1)!f(x)L(x)故n，這是對全部x均相等，精準成立。bbnCk(n)f(xk)f(x)dxLn(x)dx(ba)aa0k43即，數(shù)值積分公式的值精準地等于定積分的值，故n階Newton—Cotes公式的代數(shù)精準度最少是n。性質1:歸一公式：

n(n)1,LCkn1,2,3,k0證明：因為數(shù)值積分公式的代數(shù)精準度最少為n，故對于f(x)1，數(shù)值積分公式是精準成立的：bbnCk(n)f(xk)nCk(n)(ba)(ba)(ba)f(x)dx1dxaa，而k0k0nCk(n)由上述兩式相等，獲得：1,n1,2,3,Lk0性質2:對稱性：Ck(n)Cn(nk)。定理Newton—Cotes公式中，n為奇數(shù)時，代數(shù)精度為n，n為偶數(shù)時，代數(shù)精度為n+1。(用求積公式余項來證明)復化求積法跟著n的增添能夠減少積分偏差，但高階N-C公式又會造成數(shù)值不堅固。其余，經過求積公式的余項能夠看出，截斷偏差與積分區(qū)間長度關系很大。平常將積分區(qū)間區(qū)分紅若干小區(qū)間，每個小區(qū)間采納次數(shù)不高的求積公式，再將它們加起來，這種方法稱為復化求積法。復化梯形公式將區(qū)間均分n等份,h(ba)/n,分點是xkx0kh(k=0,1,...,n),此中x0,bxn。在每個子區(qū)間[xk,xk1]上用梯形公式hxk1xk2kk1則an1hf(xk)f(xk1)f(x)dxbk02hf(x0)2f(x1)L2f(xn1)f(xn)hf(a)2nf(b)f(xk)22k1此公式就是復化梯形公式。余項：梯形公式余項為RT(ba)3f''()123n1hf''復化梯形公式ITn[(k)]k012n1''b''''由定積分定義[hf()]f()dxf()f(a)kaxbk044故ITnh2(f'(b)f'(a))bah2f''()1212復化新甫生公式在每個小區(qū)間[xk,xk1]上用辛普生公式，記[xk,xk1]的中點為xk1/2，得bf(x)dxa[f(a)6

n1h(f(xk)4f(xk1/2)f(xk1))k06n1n14f(xk1/2)2f(xk)f(b)]i0i1此公式就是復合辛浦生公式。余項：ISn1(h)4(f'''(b)f'''(a))1802復化柯特斯公式每個小區(qū)間[xk,xk1]四均分，記為xk1/4,xk2/4,xk3/4，得bh(7f(a)32n1n1n1f(xk1/4)12f(xk2/4)32f(xk3/4)f(x)dxa90k0k0k0n114f(xk)7f(b))k1此公式就是復化柯特斯公式。余項：ICn2(h)6(f5(b)f5(a))9454算例I1sinx0dx分別利用梯形公式和Simpson公式計算積分：x。解：設xiihi0,1L,8,步長h=1/8由復合梯形公式有：I1sinxdxx0hf(0)2f(x1)L2f(x7)f(1)20.94569086由復合Simpson公式有(步長h=1/4)：hn1nS4[f(a)4f(xk1/2)2f(xk)f(b)]6k0k1451[f(0)4(f(1/8)f(3/8)f(5/8)f(7/8))242(f(1/4)f(2/4)f(3/4))f(1)]94608331積分的相對精準值為I1sinxdx0.94608309x0。第7講高斯公式、數(shù)值微分2.4Gauss公式前言牛頓—柯特斯型求積公式是關閉型的（區(qū)間[a,b]的兩頭點a,b均是求積節(jié)點）并且要求求積節(jié)點是等距的,受此限制，牛頓—柯特斯型求積公式的代數(shù)精準度只好是n(n為奇數(shù))或n+1(n為偶數(shù))。而假如對求積節(jié)點也適合的選,即在求積公式中不只Ak并且xk也加以采納,這就能夠增添自由度，從而可提升求積公式的代數(shù)精準度。2．高斯求積公式和高斯點1f(x)dxA0f(x0)A1f(x1)例:1x0,x1固定在1,1A0,A1能夠適入采納,獲得的是梯形公式,其代數(shù)精準此中,,度只有1。假如對求積節(jié)點x0,x1也進行適入采納,獲得以下公式:111f(x)dxff1331這個積分公式的代數(shù)精準度為3,這就是高斯型求積公式,上邊的求積節(jié)點3稱為高斯點。定義1：高斯型求積公式和高斯點n對于含有2n+2個參數(shù)Akxk的求積公式:1Akf(xk),適入采納這f(x)1k02n+2個參數(shù),能夠使得數(shù)值積分公式的代數(shù)精準度達到2n+1,我們稱這一類求積公式為高斯型求積公式，稱這種求積公式的積分節(jié)點為高斯點。定義2:假如n+1個求積節(jié)點的求積公式的代數(shù)精準度為2n+1,則這n+1個求積節(jié)點稱為高斯點。高斯公式求積區(qū)間為[-1，1]，對于隨意求積區(qū)間[a,b]，可經過變換：xbatab，能夠轉到區(qū)間[-1,1]上，這時：22bf(x)dxba1baabaf(t)dt2122bbanAif(abbati)求積公式寫為f(x)dxa2i022461n因為f(x)Akf(xk)式是插值型求積公式，只需節(jié)點xi確立了，求積系數(shù)Ai1k0也隨之確立，因此，解決問題的要點在于節(jié)點xi的采納，即結構高斯求積公式的要點是求高斯點。高斯點的特點1n定理:插值型求積公式f(x)Akf(xk)中，節(jié)點xi(i0,1,,n)為高斯點的1k0充分必需條件是：在區(qū)間[-1,1]上，以這些點為零點的n+1次多項式n1(x)與隨意的次數(shù)都不超出n的多項式p(x)正交，即：1n1(x)dx0p(x)1證明:(必需性)設x0,x1,L,xn為高斯點,則對于隨意次數(shù)不超出n次多項式p(x),p(x)n1(x)是次數(shù)不超出2n1次的多項式,高斯公式對p(x)n1(x)是n1(xk)0,故1n1(x)dxAkp(xk)(xk)正確成立的，且注意到p(x)n0。1k0可見以高斯點為零點的n+1次多項式n1(xk)與全部次數(shù)不超出n的多項式p(x)正交。(充分性)設對于全部次數(shù)不超出n次的多項式p(x),成立1p(x)n1(x)dx0，1又設f(x)是次數(shù)不超出2n1次的多項式,用n1(x)去除f(x),商p(x),余q(x),即f(x)p(x)n1(x)q(x),可知,p(x)和q(x)均是不超出n次的多項式,從而111f(x)dxp(x)n1(x)dxq(x)dx111111由正交條件p(x)n1(x)dx0有f(x)dxq(x)dx111又因求積公式是插值多項式的結構導出的,由A0,A1,L,An的采納,其代數(shù)精準度能夠達到n,而q(x)是次數(shù)不超出n次的多項式,因此成立1nq(x)dxAkq(xk)10k又注意到q(xk)f(xk)

1f(x)dx11f(x)dx1

nAkq(xk)0nAkf(xk)k0因為f(x)是次數(shù)不超出2n1次的多項式,因此該積分公式的代數(shù)精準度最少2n1,因此節(jié)點x0,x1,L,xn是高斯點。能夠依據(jù)正交條件直接求得高斯點，但波及解線性方程組，需要找尋新方法。4高斯—勒讓德求積公式Legendre多項式n!dnpn(x)n[(x21)n](2n)!dx47稱為勒讓德(Legendre)多項式。其擁有前面提到的正交性質,即對于隨意次數(shù)不超出n的多項式q(x)1,成立q(x)pn1(x)dx0。1P(x)因此,多項式n1的零點就是相應的高斯—勒讓德求積公式的高斯點。勒讓德多項式的前幾項以下:1d1212d222P0(x)1P1(x)2dxx1xP2(x)222!dx2(x1)2(3x1),,,1d3(x21)315x33x,P(x)1P3(x)3335x430x2323!dx248P5(x)165x570x315x,L8當取一個節(jié)點x0時，因p1(x)0，其零點為x00，以x0為節(jié)點，其公式為11f(x)dxA0f(0)，令其對f(x)1求積公式為：f(x)dx2f(0)1當取兩個節(jié)點x0,x1時，因p2(x)1為節(jié)點結構其公式為：f(x)dx1令其對f(x)1,x都精準成立，得

1精準成立，得A02，因此，高斯－勒讓德(一點高斯公式)x21其零點為x01，x11。以x0,x1333A0f(1)A1f(1)33A01,A11從而得兩點高斯－勒讓德公式：11)f(1)(兩點高斯公式)f(x)dxf(133當取三個節(jié)點012時，因p3(x)x33x其零點為x031，x,x,x55，x0x33。以x0,x1,x2為節(jié)點結構其公式為：5A0f(3)A2f(0)A3f(3)1f(x)dx155令其對f(x)1,x,x2都精準成立，得A05,A18,A25f(x)dx5f(3)8f(0)99915f(3)195995例用三個節(jié)點的高斯－勒讓德求積公式，求I1sinx0xdx1(t解：積分區(qū)間是[0,1]，先做變換：x1),把區(qū)間[0,1]化為[-1,1]上的積2分，有：1sinxsin1(t1)120dx1dtxt148sin1(0.77459671)sin1I0.555555620.888888920.7745967101sin1(0.77459671)0.555555620.94608310.7745967111次，用2049個函數(shù)值，才獲得用復合梯形求積公式計算，對積分區(qū)間二分7位有效數(shù)字，用龍貝格積分公式，對積分區(qū)間二分三次，用了9個函數(shù)值，獲得了相同的結果。本例僅用了三個函數(shù)值，獲得相同結果，這說明高斯求積公式的精度是特別高的。2.5數(shù)值微分1中點公式依據(jù)定義，導數(shù)f'(a)是差商f(ah)f(a)當h0時的極限，若要求精度不h高，則可將差商作為導數(shù)的值，這樣可得：向前差商公式：f'(a)f(ah)f(a)h向后差商公式：f'(a)f(a)f(ah)h中心差商公式：f'(a)f(ah)f(ah)G(h)2h由圖P76能夠看出，三種導數(shù)的近似值分別表示弦線AB,AC和BC的斜率，而導數(shù)值表示切線AT的斜率,此中以BC的斜率更湊近切線AT的斜率，因此，平常取中點公式來求導。為了對中點公式進行偏差分析，將f(ah)在xa處泰勒張開，有：f(ah)f(a)hf'G(h)f'(a)h3f'''3!

(a)h2f''(a)h3f'''(a)h4f(4)(a)h5f(5)(a)...2!3!4!5!(a)h5f(5)(a)...5!從截斷偏差的角度來看，步長越小，計算結果越正確，但從舍入偏差的角度來看，當h很小時，因為f(ah)很湊近，直接相減會造成有效數(shù)字的嚴重損失。實質計算時，平常在變步長的過程中實現(xiàn)步長的自動選擇。例P77用變步長的中點方法求ex在x1的導數(shù)值，步長從h=0.8算起。中點方法的加快為了提升中點方法的速度，能夠利用外計算法的思想進行加快。將步長折半，G(h)f'(a)1(h2)f'''(a)1(h)4f(5)(a)23!25!2令G1(h)4h1G(h)G()332G1(h)f'(a)15!h4f(5)(a)449同理，令G216h1G1(h)，G364h1(h)G1()(h)G2()G(h)1521563263可得G3(h)f'(a)O(h8)例用加快公式求ex在x1的導數(shù)值，步長從h=0.8算起。hG(h)G1(h)G2(h)G3(h)0.83.017650.42.791352.7159170.22.736442.7181372.7182850.12.722812.7192672.7182762.718283插值型求導公式設已知f(x)在節(jié)點xi(i0,1,2,,n)上的函數(shù)值，可作n次插值多項式Ln(x)，''''并取Ln(x)的值作為f(x)的近似計算，即：f(x)Ln(x)但是，即便f(x)與Ln(x)各處相差不大，但f'(x)與Ln'(x)可能在某些點差異很大，需要特別注意偏差分析。'''(x)f(n1)()'(xn)df(n1)()Rn(x)f(x)Ln(n1)!n1(x)(n1)!dx因為是x的未知函數(shù)，對隨意給定處的點x，上式第二項沒法求出。但是，如果只求其某個節(jié)點上xi的函數(shù)值，則上式第二項因n1(x)0，有余項公式：'f''f(n1)()'Rn(xi)(xi)Ln(xi)(n1)!n1(x)設已給出三個節(jié)點x0,x1x0h,x2x02h上的函數(shù)值，可作2次拉格朗日插值多項式：L2(x)(xx1)(xx2)(xx0)(x(x0x1)(x0x2)f(x0)(x1x0)(x1R2(x)f()(xx0)(xx1)(xx2)3!L'2(xi)f(x20)(2xix1x2)f(x21)(2xix02hh

x2)(xx0)(xx1)f(x1)(x2f(x2)x2)x0)(x2x1)x2)f(x2)(2xix0x1)2h2R2'(xi)f''()[(xix0)(xix1)(xix0)(xix2)(xix1)(xix2)]3!f'(xi)分別取f'(x0)f'(x1)f'(x2)

L'2(xi)R2'(xi)0,1,2，得帶余項的三點求導式1[3f(x0)4f(x1)f(x2)]h2f'''()2h31[f(x0)f(x2)]h2'''2h6f()h21[f(x0)4f(x1)3f(x2)]f()2h350第二式，因為少用了一個函數(shù)值且精度比其余兩個高，而引人關注。但必然指出，當插值多項式Ln(x)收斂于f(x)時，不可以夠保證Ln'(x)必然收斂于f'(x)，并且當節(jié)點間的距離減小時，固然截斷偏差減小了，但舍入偏差卻可能增大，因此，減小步長不用然能提升計算結果的精準度。例已知函數(shù)f(x)ex的以下數(shù)值。x00.900.991.001.011.102f(x)ex1.0002.4602.6912.7182.7463.0047.389計算f'(1)的近似值，并比較步長。h分別取1，0.1，0.01解：（1）f'(1)1(e0e2)3.19512（2）f'(1)2(e0.90e1.10)2.7200.1（3）f'(1)1(e0.99e1.01)0.7500.01f'(1)真值為2.7182818上式的計算結果表示，當步長由1減少到0.1時，計算精度明顯提升，但是當步長由0.1減少到0.01時，精度反而有所降落，問題的本源在于實質計算時，不單有截斷偏差，并且還有舍入偏差，而數(shù)值微分恰巧對舍入特別敏感，它隨的減小而增大，這就是計算的不堅固性，因此，在計算數(shù)值微分時，必然要進行偏差分析。第四章常微分方程的差分方法一、講課目的及基本要求經過對本章的學習，使學生掌握常微分方程、常微分方程方程組的數(shù)值解法。二、講課內容及學時分派本章主要介紹常微分方程的數(shù)值解法。詳細內容以下：第15-16學時講解內容：歐拉公式、改良的歐拉公式。第17-18學時講解內容：龍格庫塔方法、亞當姆斯方法。第19-20學時講解內容：收斂性與堅固性、方程組與高階方程。三、講課要點難點1．講課要點：改良的歐拉公式、龍格庫塔方法、收斂性與堅固性。講課難點：收斂性與堅固性。四、講課中應注意的問題多媒體講堂講課為主。適合發(fā)問，加深學生對見解的理解。51第8講歐拉公式、改良的歐拉公式§3.0前言1．主要考以下的一常微分方程初的求解:y(x)f(x,y)y(x0)y0微分方程的解就是求一個函數(shù)y=y(x)，函數(shù)足微分方程并且符合初條件。比方微分方程:xy'-2y=4x；初始條件:y(1)=-3。于是可得一常微分方程的初始2y4xy(1)3。然函數(shù)y(x)=x2-4x足以上條件,因此是初始的微分方程的解。但是,只有一些特別型的微分方程能獲得用分析表達式表示的函數(shù)解，而大批的微分方程很獲得其分析解，有的甚至沒法用分析表達式來表示。因此，只好依于數(shù)方法去得微分方程的數(shù)解。4．微分方程的數(shù)解：微分方程的解y(x)的存在區(qū)是[a,b]，初始點x0=a，將[a,b]行區(qū)分得一系列點x0,x1,...,xn，此中a=x0<x1<?<xn=b。y(x)的分析表達式不簡單獲得或根本沒法獲得，我用數(shù)方法求得y(x)在每個點xk的近似y(xk)，即y≈y(xk)，y0,y1,...,yn稱微分方程的數(shù)解。假如算yn，只利用yn-1，稱種方法步法；假如在算yn不利用yn-1，并且要利用yn-2,yn-3,?,yn-r,稱種方法r步方法，也稱多步法?！?.1歐拉方法§歐拉格式方程y(xn)f(xn,yn)中，y(xn)y(xn1)y(xn)hy(xn1)y(xn)hf(xn,y(xn))yn1ynhf(xn,yn)稱解一常微分方程初的歐拉公式，也稱示歐拉公式。歐拉公式的幾何意特別明，因微分方程的解在xoy平面上表示一族分曲。用歐拉公式求數(shù)解的幾何意如：52p2p1y1y0x0x1x2簡單考證，該折線各個極點的縱坐標yn(n1,2...)就是歐拉公式算得的近似值解，因此，歐拉方法又稱為折線法。算例：P98能夠看出偏差跟著計算在積累。Euler法的特點和偏差特點：(1)單步方法；(2)顯式格式；(3)局部截斷偏差為h2。局部截斷偏差：當ynyxn時，由yxn依據(jù)歐拉方法計算來的yn1的偏差稱為局部截斷偏差。即，y(xn1)yn1是局部截斷偏差。yxn1yxnhyxn1h2y按泰勒張開2歐拉法得：yn1ynhfxn,yn因此，局部截斷偏差是h2。假如局部截斷偏差是O(hp1)，稱這種數(shù)值方法是p階的。歐拉方法明顯是一階的。一階的含義：常微分方程的解為y(x)axb時，若第n步精準，即yny(xn)前提下，歐拉公式能準確求解y(xn1)。yn1ynhf(xn,yn)y(xn)hf(xn,y(xn))y(xn)hy'(xn)axnbaha(xnh)baxn1by(xn1)§隱式歐拉格式53在對微分方程初值問題進行失散化時，假如用向后差商y(xn1)y(xn)代替方程hy(xn1)f(xn1,y(xn1))中的y(xn1),并用近似值yn1表示y(xn1),yn表示y(xn),得：yn1ynhf(xn1,yn1)稱為隱式歐拉公式，或退后的歐拉公式，它是對于yn1的一個函數(shù)方程，其計算遠比顯式公式難但堅固性好。歐拉公式y(tǒng)n1ynhf(xn,yn)是對于yn的直接計算公式，稱為顯式的。隱式歐拉公式的右端含未知數(shù)yn1，是對于yn1的方程。Tn1y(xn1)y(xn)hf(xn1,y(xn1))y(xn1)y(xn)hy'(xn1)'(xn)h2''3)y(xn)y(xn)hyy(xn)o(h2h(y'(xn)hy