人教版高中數(shù)學(xué)必修一2.3《冪函數(shù)》教案

2.3哥函數(shù)(一)實(shí)例觀察，引入新課(1)如果張紅購買了每千克 1元的蔬菜w千克，那么她需要支付P=W元P是W的函數(shù)(y=x)(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積 S=a2S是a的函數(shù)(y=x2)(3)如果立方體的邊長為a,那么立方體的體積V=a3S是a的函數(shù)(y=x3)1(4)如果一個(gè)正方形場地的面積為S,那么正方形的邊長a二S± a是S的函數(shù)1(y=x2)⑸如果某人ts 內(nèi)騎車行進(jìn) 1km,那么他騎車的平均速度 v=t-1V是t的函數(shù)(y=x-1)TOC\o"1-5"\h\z問題一：以上問題中的函數(shù)具有什么共同特征 ？學(xué)生反應(yīng)：底數(shù)都是自變量，指數(shù)都是常數(shù) .【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從具體的實(shí)例中進(jìn)行總結(jié)，從而自然引出募函數(shù)的一般特征 ^(二)類比聯(lián)想，探究新知.募函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y=x。叫做哥函數(shù)(powerfunction) ,其中x為自變量，a為常數(shù)。注意：哥函數(shù)的解析式必須是y=xa的形式，其特征可歸納為“系數(shù)為1,只有1項(xiàng)”.(讓學(xué)生判斷y=2x2y=(x+1)2y=x2+1是否為備函數(shù))【設(shè)計(jì)意圖】加深學(xué)生對哥函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解 ^.募函數(shù)的圖像與簡單性質(zhì)同前面的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)一樣， 先畫出函數(shù)的圖像，再由圖像來研究哥函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)(定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，定點(diǎn))不妨也找出典型的函數(shù)作為代表：12 33-1y=xy=x y=x y=xy=x讓學(xué)生自主動手，在同一坐標(biāo)系中畫出這5個(gè)函數(shù)的圖像讓學(xué)生自主動手，在同一坐標(biāo)系中畫出這5個(gè)函數(shù)的圖像(-2,4)y=x3 (2,4)y=x23-3y=x (-2,4)y=x3 (2,4)y=x23-3y=x2(4,2)-1y=x14問題三：所有圖像都過第幾象限，所有圖像都不過第幾象限，為什么？學(xué)生反應(yīng)：都過第一象限4而都不過第四象限，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)所有募函數(shù)都有意義，且函數(shù)值都為正.問題四：第一象限內(nèi)函數(shù)圖像的變化趨勢與指數(shù)有什么關(guān)系 ，為什么？學(xué)生反應(yīng)：當(dāng)指數(shù)為正時(shí)是增函數(shù)，指數(shù)為負(fù)時(shí)是減函數(shù).為什么卻講不清楚.教師講解：指數(shù)為正分為正分?jǐn)?shù)和正整數(shù)， 正無理數(shù)我們高中不做研究， 當(dāng)是正整數(shù)時(shí)很顯然遞增，當(dāng)是正分?jǐn)?shù)時(shí)，可以化成根式，很顯然當(dāng)被開方數(shù)為正時(shí)，被開方數(shù)越大，整個(gè)根式值越大。而負(fù)指數(shù)可以化為正指數(shù)的倒數(shù)，分母遞增，整個(gè)函數(shù)遞減^問題五：所有圖像都過哪些點(diǎn)，為什么？學(xué)生反應(yīng)：都過點(diǎn)（1,1）,因?yàn)?的任何指數(shù)哥都為1.問題六：對于原點(diǎn)，什么樣的哥函數(shù)過，什么樣的哥函數(shù)不過，為什么？學(xué)生反應(yīng)：指數(shù)為正過，為負(fù)則不過，因?yàn)樨?fù)指數(shù)哥可以化成分?jǐn)?shù)形式，分母不能為零，所以在原點(diǎn)沒有意義.問題七：圖像在第一象限的位置關(guān)系是什么樣子的，為什么？學(xué)生反應(yīng)：當(dāng)0<x<1時(shí)，指數(shù)小的圖像在上方，當(dāng)x>1時(shí)，指數(shù)大的圖像在上方，對于原因大部分學(xué)生不能很快反應(yīng)過來.教師活動：在0<x<1內(nèi)任取個(gè)x值，仞0口a,肯定有o<a<1,此時(shí)聯(lián)系到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有指數(shù)小的函數(shù)值越大，同樣，當(dāng)x>1時(shí)，指數(shù)大的函數(shù)值就大.【總結(jié)】哥函數(shù)不同于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)擁有共同的定義域，所以募函數(shù)的性質(zhì)不可能全部總結(jié)清楚，但我們在探索性質(zhì)的過程中知道了研究方法： 指數(shù)是分?jǐn)?shù)則化為根式，指數(shù)為負(fù)數(shù)則化為分式，這樣對于定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性都可以很容易看出來，不過要嚴(yán)格判

斷單調(diào)性和奇偶性還要用定義進(jìn)行證明 ，接下來不看圖像很快得出5個(gè)募函數(shù)的相關(guān)性質(zhì):函性、、數(shù)質(zhì),y=x2y=x3y=x1y=x?-1y=x定義域RRR[0,+°°){x|x^0}值域R[0,+°°)R[0,+°°){y1ye單調(diào)性增(-8,0)增[0,+8)減增增(-8,0)減(0+8)減奇偶性「奇1偶一奇］非奇非偶奇「公共點(diǎn)(1,1)【設(shè)計(jì)意圖】通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的思維，并在新知探究的過程中自然形成一般方法的呈現(xiàn)，使學(xué)生易于領(lǐng)悟和接受.（三）新知應(yīng)用【性質(zhì)證明】證明募函數(shù)y=JX在［0,+8）上是增函數(shù)TOC\o"1-5"\h\z任取Xi,X2[0,，且Xi X2,則f(Xi)f(X2)》(0Z,；X1.X2 Xi X2因?yàn)?XiX2,所以為X20,百JX20,所以f(X1) f(X2)即募函數(shù)f（X）\7在［0,）上的增函數(shù)教師活動：強(qiáng)調(diào)教材中此例題的地位和作用： （1）復(fù)習(xí)定義證明單調(diào)性的過程.（2）備函數(shù)的單調(diào)性很容易觀察， 強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格判斷的時(shí)候要用單調(diào)性進(jìn)行證明。 （3）備函數(shù)的單調(diào)性很容易觀察，以至于在證明中直接用到了單調(diào)性，如直接判斷【例】比較下列各組數(shù)種兩個(gè)值的大小TOC\o"1-5"\h\z0.2 0.15.2 5.20-70.9o。0.93.7 3.22.5 3.51.7 1.8解：：（1）y=5.2解：：（1）y=5.2、是增函數(shù),y=x0.1<0.2 .1.y=x0.1<0.2 .1.5.20.1<5.2 0.209在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)3.2<3.7 .1.3.20.9<3.70.9(3)1.72.5<1.82.5<1.83.5(3)1.72.5<1.82.5<1.83.52 m2m【練習(xí)】 已知一個(gè)函數(shù)f（x）（mm1）x是哥函數(shù)，且在區(qū)間（0,+8）內(nèi)是減函數(shù)，求滿足條件的實(shí)數(shù) m的集合。解：依題意 ,得m2m1 1解方程,得m=2或m=-13檢驗(yàn):當(dāng)m=2時(shí),函數(shù)為f（x）x3符合題意.當(dāng)m=-1時(shí)，不合題意 ,舍去.所以m=2【設(shè)計(jì)意圖】增強(qiáng)學(xué)生對新知的應(yīng)用能力，從而達(dá)到能力的轉(zhuǎn)型和對知