初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)課件

初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)上蔡一中武明勛E-mail：scyz_91@126.com

我們的數(shù)學(xué)到底怎么了？學(xué)生為什么不喜歡數(shù)學(xué)呢？原因我想大致是以下幾個(gè)方面：

其一，過(guò)去所使用的數(shù)學(xué)教材太抽象、太枯燥，一個(gè)數(shù)學(xué)概念，不問(wèn)因何而產(chǎn)生，也不提有什么用處，上來(lái)就給出定義，接著就是定理，再就是例題。著名數(shù)學(xué)大師丘成桐說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)并不枯燥，而是我們把它教枯燥了。”

其二，盡管新編的數(shù)學(xué)教材加了不少科普內(nèi)容，與實(shí)際聯(lián)系緊密了，但仍舊不足以令學(xué)生兩眼放光。

其三，我們的數(shù)學(xué)忽視了對(duì)學(xué)生內(nèi)動(dòng)力的培養(yǎng)，忽視了對(duì)學(xué)生廣泛的數(shù)學(xué)能力和全面的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的養(yǎng)成。數(shù)學(xué)好玩了，學(xué)生才有興趣

“數(shù)學(xué)好玩”，是2002年8月，91歲的數(shù)學(xué)大師陳省身先生致中國(guó)少年數(shù)學(xué)論壇開(kāi)幕的題詞。

數(shù)學(xué)是什么？有學(xué)生說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一些居心叵測(cè)的成年人為學(xué)生挖的陷阱！”另有學(xué)生說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一些僅僅出現(xiàn)在課本和試卷上的，讓某些老師看著學(xué)生崴腳而感到竊喜的東西。”

這些學(xué)生的幽默回答卻不免讓授課的老師們感到悲哀，原來(lái)他們這些用盡心力教學(xué)的老師，在學(xué)生心目中無(wú)非是一些挖坑布雷的高手，而數(shù)學(xué)竟成為老師懲治學(xué)生的工具。

“數(shù)學(xué)好不好，其實(shí)與學(xué)習(xí)方法有關(guān)。”

——和田秀樹(shù)誰(shuí)能給數(shù)學(xué)差的孩子一條“體面”的出路？

孩子上課坐不住，老師講完沒(méi)效果，培訓(xùn)班換了好幾個(gè)，孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)還是一塌糊涂……經(jīng)常聽(tīng)到家長(zhǎng)們諸如此類的抱怨。不知從什么時(shí)候開(kāi)始，中小學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)已經(jīng)不再是新聞，數(shù)學(xué)在孩子的心目中已經(jīng)成了枯燥、乏味的代名詞，很多父母表示：面對(duì)孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問(wèn)題感到很棘手。導(dǎo)致初中學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)差的原因

1.基礎(chǔ)知識(shí)薄弱2.缺乏學(xué)習(xí)興趣3.學(xué)習(xí)方法不當(dāng)而導(dǎo)致初中學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)差的原因又是什么呢？

數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)連貫性比較強(qiáng)，相對(duì)于其它課目的難度要略大一些，正是因?yàn)槿绱?，許多學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)感到相當(dāng)?shù)睦щy和吃力，以至于對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣不高，甚至產(chǎn)生厭學(xué)、畏學(xué)的情緒。當(dāng)家長(zhǎng)們想盡一切辦法想讓孩子把數(shù)學(xué)學(xué)好時(shí)，換來(lái)的卻是孩子非常強(qiáng)烈的抵觸情緒。作為中學(xué)的主要課程，孩子卻不愿意學(xué)習(xí)，并且怎么學(xué)成績(jī)都得不到提高，究竟是什么原因呢?答案顯而易見(jiàn)，那就是學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)方法。孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者。”所以，想要孩子的數(shù)學(xué)成績(jī)得到提高，就需要想方設(shè)法培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。但需要我們注意的是，提高孩子對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和掌握學(xué)習(xí)方法不能只是一句空話，關(guān)鍵在于能夠喚起孩子的好奇心，然后加以滿足。一、初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在的主要障礙1.依賴心理

數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生普遍對(duì)教師存有依賴心理，缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)鉆研和創(chuàng)造精神．一是期望教師對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行歸納概括并分門別類地一一講述，突出重點(diǎn)難點(diǎn)和關(guān)鍵；二是期望教師提供詳盡的解題示范，習(xí)慣于一步一步地模仿硬套．事實(shí)上，我們大多數(shù)數(shù)學(xué)教師也樂(lè)于此道，課前不布置學(xué)生預(yù)習(xí)教材，上課不要求學(xué)生閱讀教材，課后也不布置學(xué)生復(fù)習(xí)教材；習(xí)慣于一塊黑板、一道例題和演算幾道練習(xí)題．長(zhǎng)此以往，學(xué)生的鉆研精神被壓抑，創(chuàng)造潛能遭扼殺，學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性逐漸喪失．在這種情況下，學(xué)生就不可能產(chǎn)生“學(xué)習(xí)的高峰體驗(yàn)”--高漲的激勵(lì)情緒，也不可能在“學(xué)習(xí)中意識(shí)和感覺(jué)到自己的智慧力量，體驗(yàn)到創(chuàng)造的樂(lè)趣”3.定勢(shì)心理

定勢(shì)心理即人們分析問(wèn)題、思考問(wèn)題的思維定勢(shì)．在教師習(xí)慣性教學(xué)程序影響下，學(xué)生形成一個(gè)比較穩(wěn)固的習(xí)慣性思考和解答數(shù)學(xué)問(wèn)題程序化、意向化、規(guī)律化的個(gè)性思維策略的連續(xù)系統(tǒng)—-解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所遵循的某種思維格式和慣性.它一方面有利于學(xué)生按照一定的程序思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，比較順利地求得一般同類數(shù)學(xué)問(wèn)題的最終答案；另一方面這種定勢(shì)思維的單一深化和習(xí)慣性增長(zhǎng)又帶來(lái)許多負(fù)面影響，如使學(xué)生的思維向固定模式方面發(fā)展，解題適應(yīng)能力提高緩慢，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力得不到應(yīng)有的提高等．4.偏重結(jié)論

偏重?cái)?shù)學(xué)結(jié)論而忽視數(shù)學(xué)過(guò)程，這是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中長(zhǎng)期存在的問(wèn)題．從學(xué)生方面來(lái)講，同學(xué)間的相互交流也僅是對(duì)答案、比分?jǐn)?shù)，很少見(jiàn)同學(xué)間有對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程的深層次討論和對(duì)解題方法的創(chuàng)造性研究．至于思維變式、問(wèn)題變式更難見(jiàn)有涉及．從教師方面來(lái)講，也存在自覺(jué)不自覺(jué)地忽視數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程，忽視結(jié)論的形成過(guò)程，忽視解題方法的探索，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)也一般只看“結(jié)論”評(píng)分，很少顧及“數(shù)學(xué)過(guò)程”．從家長(zhǎng)方面來(lái)講，更是注重結(jié)論和分?jǐn)?shù)，從不過(guò)問(wèn)“過(guò)程”．教師、家長(zhǎng)的這些做法無(wú)疑助長(zhǎng)了中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的偏重結(jié)論心理．發(fā)展下去的結(jié)果是，學(xué)生對(duì)定義、公式、定理、法則的來(lái)龍去脈不清楚，知識(shí)理解不透徹，不能從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)法形成正確的概念，難以深刻領(lǐng)會(huì)結(jié)論，致使其智慧得不到啟迪，思維的方法和習(xí)慣得不到訓(xùn)練和養(yǎng)成，觀察、分析、綜合等能力得不到提高．

此外，還有自卑心理、迷惘心理、厭學(xué)心理、封閉心理等等．這些心理障礙都不同程度地影響、制約、阻礙著中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性．4.家庭的功利化教育

學(xué)校不單單是應(yīng)試教育的“重災(zāi)區(qū)”，家庭也是功利化教育不可忽視的主陣地。望子成龍的文化心理，“不能輸在起跑線上”的現(xiàn)實(shí)焦慮，使家庭教育一開(kāi)始就帶有很強(qiáng)的功利色彩。

在教育發(fā)達(dá)國(guó)家，父母基本認(rèn)同的事實(shí)是：各個(gè)年齡段的孩子中，特別優(yōu)秀的只有5%到10%，自己的孩子是特別優(yōu)秀還是比較普通，父母會(huì)有比較理性的認(rèn)識(shí)；而中國(guó)家長(zhǎng)則不然，絕大多數(shù)家長(zhǎng)都希望孩子成為名列前茅的優(yōu)秀分子，并嚴(yán)格按照這樣的標(biāo)準(zhǔn)培養(yǎng)孩子。楊東平：家庭教育被綁架家長(zhǎng)成為應(yīng)試教育幫兇二、如何指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)1.指導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)是學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。教育家葉圣陶曾說(shuō)過(guò)：“要養(yǎng)成學(xué)生的閱讀書籍的習(xí)慣，就非教給他們預(yù)習(xí)不可。”預(yù)習(xí)是上課前對(duì)即將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行閱讀，了解其梗概，做到心中有數(shù)，以便于掌握聽(tīng)課的主動(dòng)權(quán)。預(yù)習(xí)是獨(dú)立學(xué)習(xí)的嘗試，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容是否正確理解，能否把握其重點(diǎn)、關(guān)鍵，洞察到隱含的思想方法等，都能及時(shí)在聽(tīng)課中得到檢驗(yàn)、加強(qiáng)或矯正，有利于提高學(xué)習(xí)能力和養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，所以它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要一環(huán)。教師指導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)不是讓他們單一地看書做題，而是給他們一些基本模式，不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容預(yù)習(xí)的模式也不能相同。東廬的經(jīng)驗(yàn)

東廬中學(xué)制定和使用講學(xué)稿，首先由教師集體備課，制定出講學(xué)稿，提前發(fā)給學(xué)生，上課時(shí)，師生共同使用，完成講學(xué)稿，做到課前、課后兩次收閱，以講學(xué)稿為載體，成為教學(xué)過(guò)程中的突出特點(diǎn)，達(dá)到了國(guó)家課程校本化。在東廬中學(xué)，班班使用講學(xué)稿，人人使用講學(xué)稿。講學(xué)稿指的是教案、學(xué)案、作業(yè)、測(cè)試和復(fù)習(xí)資料于一體的師生共用的教學(xué)文本，是教師集體備課（包括備課標(biāo)、備教材、備學(xué)生、備練習(xí)、備考試）的結(jié)晶。實(shí)行教師超前備課，同備課組進(jìn)行捆綁式考核，實(shí)行“考教合一”的做法。導(dǎo)學(xué)案

導(dǎo)學(xué)案是用于幫助和引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作展示梳理探究的學(xué)習(xí)方案，導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計(jì)應(yīng)充分體現(xiàn)新課改理念，必須以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自主發(fā)展，做學(xué)習(xí)的主人。我們的導(dǎo)學(xué)案安排了以下環(huán)節(jié)：“學(xué)習(xí)目標(biāo)——自學(xué)指導(dǎo)——隨堂檢測(cè)——例題精講——達(dá)標(biāo)測(cè)試——知識(shí)鏈接——總結(jié)反思”，其中自學(xué)指導(dǎo)就是對(duì)學(xué)生的預(yù)習(xí)提出指導(dǎo)性的建議。導(dǎo)學(xué)案的目的就是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，其編制要有利于對(duì)學(xué)生的“導(dǎo)”，即“導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)思、導(dǎo)練、導(dǎo)講”。

當(dāng)學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)學(xué)生自然會(huì)再加一個(gè)橫格，把二次函數(shù)納入這一知識(shí)結(jié)構(gòu)之中。宜興實(shí)驗(yàn)中學(xué)的經(jīng)驗(yàn)----結(jié)構(gòu)嘗試教學(xué)法

宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)提出建構(gòu)知識(shí)樹(shù)，也就是對(duì)章節(jié)都進(jìn)行了知識(shí)梳理，以網(wǎng)絡(luò)狀圖表的形式展現(xiàn)，成為課堂教學(xué)特色。

運(yùn)用“結(jié)構(gòu)—嘗試”教學(xué)思想，以“小組合作學(xué)習(xí)”為主要形式，開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐結(jié)構(gòu)嘗試教學(xué)法的教學(xué)設(shè)計(jì)⒈合理設(shè)置并有效陳述教學(xué)目標(biāo)。

（我們把學(xué)生帶到哪里）⒉優(yōu)化設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程和教學(xué)方法。

（怎樣把學(xué)生帶到那里）⒊有效組織教學(xué)效果的檢測(cè)和評(píng)價(jià)。（學(xué)生是否已到那里）乘方(意義)科學(xué)計(jì)數(shù)法冪單項(xiàng)式×單項(xiàng)式單項(xiàng)式×多項(xiàng)式多項(xiàng)式×多項(xiàng)式因式分解整式乘法開(kāi)方n代數(shù)案例（概括化、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)內(nèi)容）式數(shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)無(wú)理數(shù)分類運(yùn)算分式整式二次根式整式概念整式加減整式乘除因式分解數(shù)與式加減乘除乘方方程的運(yùn)算邏輯線索和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)合并同類項(xiàng)字母不變，系數(shù)相加減有理數(shù)的加減法正數(shù)和負(fù)數(shù)有理數(shù)乘方乘法近似數(shù)有理數(shù)的乘除法有理數(shù)的乘方加法減法科學(xué)技術(shù)法除法有理數(shù)數(shù)軸絕對(duì)值相反數(shù)概念和分類分類思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想（利用相反數(shù)）運(yùn)算法則運(yùn)算律轉(zhuǎn)化思想（利用倒數(shù)）運(yùn)算法則運(yùn)算律有理數(shù)大小比較邏輯線索和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)3、把“雙基”的培養(yǎng)真正落到實(shí)處后六中學(xué)的經(jīng)驗(yàn)

后六中學(xué)，提出"常規(guī)+細(xì)節(jié)+過(guò)程=奇跡"，就是要把常規(guī)做好，把細(xì)節(jié)抓緊，把過(guò)程抓實(shí)。作業(yè)的管理很嚴(yán)格，特別是老師布置的作業(yè)必須及時(shí)批閱，自己來(lái)不及批閱的作業(yè)堅(jiān)決不允許布置。向45分鐘要效益，評(píng)價(jià)一節(jié)課，絕不是教師在45分鐘里教給學(xué)生多少，而應(yīng)該是教會(huì)了學(xué)生多少，學(xué)生已掌握了多少。洋思的經(jīng)驗(yàn)

先學(xué)后教，當(dāng)堂訓(xùn)練，實(shí)行“日日清，周周清，月月清”。做的實(shí)在、到位、有效。

4、處理好“看”、“聽(tīng)”、“思”、“記”的關(guān)系（1）“看”就是上課要注意觀察，觀察教師的板書的過(guò)程、內(nèi)容、理解老師所講的內(nèi)容．（2）“聽(tīng)”是學(xué)生直接用感官接受知識(shí)，應(yīng)讓學(xué)生在聽(tīng)的過(guò)程中明確：a:聽(tīng)每節(jié)課的學(xué)習(xí)目的和學(xué)習(xí)要求．b:聽(tīng)新知識(shí)的引入及知識(shí)的形成過(guò)程．c:理解教師對(duì)新課的重點(diǎn)、難點(diǎn)的剖析（尤其是預(yù)習(xí)中的疑問(wèn)）．d:聽(tīng)例題解法的思路和數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)．（3）“思”是指學(xué)生思考問(wèn)題．沒(méi)有思考，就發(fā)揮不了學(xué)生的主體作用．古人說(shuō)的好“學(xué)而不思則罔.”學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，在課堂上對(duì)于老師的講解，學(xué)生不僅僅只是會(huì)做，而且要經(jīng)常思考;在思考方法指導(dǎo)時(shí)，應(yīng)使學(xué)生明確：a:多思、勤思，隨聽(tīng)隨思．b:深思，即追根溯源地思考，要善于大膽提出問(wèn)題，如：本節(jié)課教師為什么要這樣講？這道題為什么要這樣做？等等．c:善思，由聽(tīng)和觀察去聯(lián)想、猜想、歸納．d:樹(shù)立辯證意識(shí)，學(xué)會(huì)反思。可以說(shuō)“聽(tīng)”是“思”的基礎(chǔ)，“思”是“聽(tīng)”的深層次掌握，是學(xué)習(xí)方法的核心和本質(zhì)的內(nèi)容，會(huì)思考才會(huì)學(xué)習(xí)．（4）“記”是指學(xué)生記課堂筆記．初一學(xué)生一般不會(huì)合理記筆記，通常是教師黑板上寫什么學(xué)生就抄什么，往往是用“記”代替“聽(tīng)”和“思”．有的筆記雖然記得很全，但收效甚微．因此在指導(dǎo)學(xué)生作筆記時(shí)應(yīng)要求學(xué)生：記要點(diǎn)、記疑問(wèn)、記易錯(cuò)點(diǎn)、記解題思路和方法、記老師所補(bǔ)充的內(nèi)容5.培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣教師可以在課上先結(jié)合習(xí)題給以指導(dǎo)，給時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行反思，并對(duì)反思的結(jié)果進(jìn)行交流，互相學(xué)習(xí)，不斷提高學(xué)習(xí)反思的能力和自覺(jué)性．逐漸地，學(xué)生上完課后能夠會(huì)反思了，也有了主動(dòng)性．高考狀元的經(jīng)驗(yàn)清華大學(xué)侯華偉：1、近乎癡迷的興趣；2、持之以恒、百折不撓的毅力；3、事半功倍的方法.“數(shù)學(xué)好的人都聰明”這句話的逆命題“聰明人數(shù)學(xué)一定好”，這兩個(gè)命題都有些問(wèn)題。因?yàn)樵谖覀兩磉?，就有許許多多的聰明人的數(shù)學(xué)并不好；而好多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的學(xué)生不見(jiàn)得有多聰明，那么他們?yōu)槭裁茨軌蛉〉美硐氲臄?shù)學(xué)成績(jī)呢？原因是他們掌握了比較好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法北京大學(xué)段楠：

我能學(xué)好數(shù)學(xué)是背例題背出來(lái)。我不喜歡題海戰(zhàn)術(shù)，喜歡從每種類型的題中找出一兩道典型題“背”過(guò)一兩次，理解之后，再看到難題就會(huì)拿著例題往里套了。日本學(xué)者和田秀書不懂的問(wèn)題，直接看解答，先背起來(lái)再說(shuō)。如此一來(lái)，一題一般只要5分鐘便背下來(lái)，從量來(lái)看，可以追趕得上成績(jī)好的同學(xué)。北京市十三中的高考狀元馮平平:教材試卷化，試卷教材化第一步:把試卷依照教材的順序清理好，并編上序號(hào)。因?yàn)樵嚲?/p>

基本都是按教材走的，清理起來(lái)并不費(fèi)勁。第二步:在試卷的開(kāi)始處寫上一段“導(dǎo)語(yǔ)”。主要內(nèi)容有：一是

此試卷考什么，二是與考試有關(guān)的知識(shí)要點(diǎn)。第三步:在試卷結(jié)尾處，寫上一段“小結(jié)”，總結(jié)自己考試情況，

寫出自己在知識(shí)上的缺陷。清華大學(xué)余林:回過(guò)來(lái)做課本上的題1.課本上的習(xí)題，是編教材的老師費(fèi)盡心思、反復(fù)考慮才挑選出來(lái)，是最具代表性的題，是最具代表性的題，是最好的題，值得去做2.一般來(lái)講，課本上的習(xí)題，尤其注意與概念、公式、定律的聯(lián)系，而數(shù)學(xué)成績(jī)不太穩(wěn)定的同學(xué)的一大通病，就是基礎(chǔ)不勞，概念、公式、定律等掌握得不是很好，為此也值得去做課本上的題3.課本上的習(xí)題，有的老師講過(guò)，有的教參書上有比較詳細(xì)的講解，比較容易做對(duì)，從而增強(qiáng)自己的信心貴州文科第二名張正偉:先求快，再求準(zhǔn)

自己計(jì)時(shí)做題，要求在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，然后自我改卷平分。先求“快”，力求做完，再求“準(zhǔn)”。北大蔡珍:專攻大題路雖遠(yuǎn),行則必至,事雖難,做到必成三、組織有效教學(xué)1、教師上課應(yīng)關(guān)注讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)確定后，我們更強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生對(duì)那些隱藏在數(shù)學(xué)后面的概念的理解，從而在口頭上和書寫中能夠運(yùn)用他們所學(xué)的東西進(jìn)行交流，而不是對(duì)數(shù)學(xué)的死記硬背。我們的目標(biāo)是培養(yǎng)孩子成為解決問(wèn)題的能手，學(xué)會(huì)思考，讓孩子把自信建立在自己的能力之上，從而去珍視數(shù)學(xué)。我們的課程是讓學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)中，通過(guò)循序漸進(jìn)、適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)去學(xué)習(xí)具體的操作計(jì)算。舉個(gè)例子，這是在我們縣舉行的公開(kāi)課上一位教師主講的《二元一次方程組——實(shí)踐與探索》教學(xué)片斷：

大屏幕展示世界杯球賽圖片，教師解說(shuō)，接著引出問(wèn)題：某球迷協(xié)會(huì)組織36名球迷擬租乘汽車去比賽場(chǎng)地，為中國(guó)國(guó)家男子足球隊(duì)吶喊助威。可租用的汽車有兩種:一種每輛可乘坐8人，另一種每輛可乘坐4人，要求租用的汽車不留空座，也不超載。你能設(shè)計(jì)出幾種不同的租車方案？師：小組討論，相互交流，給大家8分鐘時(shí)間。教師讓各小

組派代表匯報(bào)情況。生1：我們?cè)O(shè)計(jì)出了四種方案。方案一：9輛小車。方案二：1輛大車，7輛小車。方案三：2輛大車，5輛小車。方案四：3輛大車，3輛小車。師（認(rèn)真地聽(tīng)）：很合理的方案！我們?cè)賮?lái)看看其他組有沒(méi)有

不同的想法？生2：我們組還要補(bǔ)充一種方案——4輛大車，1輛小車。師：大家說(shuō)對(duì)嗎？（學(xué)生表示同意。）還有沒(méi)有別的方案了？

（學(xué)生表示沒(méi)有了。）好，我請(qǐng)一個(gè)小組說(shuō)出你們的解題思

路及辦法。生：我們是逐個(gè)驗(yàn)證的。師：怎么去驗(yàn)證呢？生：根據(jù)題中的條件，不留空座也不超載，那就說(shuō)明座位數(shù)等

于人數(shù)。36能被4整除，所以我們可以只選小車，最多選

9輛，然后逐個(gè)增加大車數(shù)量而減少小車的數(shù)量。師：想法非常好！師：哪個(gè)小組還有不同的辦法？生：我們用直觀的數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)，讓所有人都能一目了然！

（這個(gè)小組非常自豪。）設(shè)大車為x輛，小車為y輛，則

4x+8y=36。師：太棒了！大家同意他的觀點(diǎn)嗎？（學(xué)生表示同意。）師：的確，他們組以簡(jiǎn)潔直觀的式子表示出了要討論的內(nèi)容，

省去了大段的文字?jǐn)⑹?，這就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美！

4x+8y=36這其實(shí)就是一個(gè)二元一次方程，我們知道它的

解有無(wú)數(shù)多個(gè)，為什么你們只選了5個(gè)呢？生：因?yàn)閤和y分別表示車輛的個(gè)數(shù)，它只能取整數(shù)，而且

必須是正整數(shù)。師：我有一個(gè)小小的不同的意見(jiàn)，0是正整數(shù)嗎？按照你的

說(shuō)法我們的第一種方案就不合理了！生：我說(shuō)錯(cuò)了，x=0也行，x,y應(yīng)該是非負(fù)整數(shù)。師：你說(shuō)得太好了！大家再考慮這道題歸根結(jié)底我們是要找

什么？生：二元一次方程組的非負(fù)整數(shù)解。師：我們?cè)賮?lái)觀察一下我們找到的這個(gè)方程4x+8y=36……

（老師未來(lái)得及說(shuō)完。）生：我發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方程的兩邊可以同時(shí)除以4，得到x+2y=9師：你太厲害了。你給大家找到了一個(gè)解決這類問(wèn)題的捷徑，

我們化簡(jiǎn)這個(gè)方程之后求解應(yīng)該更方便些?！景咐u(píng)析】此情形中，教師成功地扮演了一個(gè)傾聽(tīng)者，加強(qiáng)了課堂討論的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在討論中獲得知識(shí)，學(xué)會(huì)與學(xué)生交流合作；同時(shí)，在小組匯報(bào)的過(guò)程中每次提問(wèn)都給學(xué)生自由的空間，通過(guò)不同學(xué)生的思維成果展示和比較，優(yōu)化學(xué)生解決問(wèn)題的思維模式。教師作為引導(dǎo)者，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤并吸取其中的合理成分，走向成功；當(dāng)學(xué)生陷入困境時(shí)，積極引導(dǎo)并鼓勵(lì)其重新點(diǎn)燃思維的火花，使他們樹(shù)立探索發(fā)現(xiàn)的信心。整個(gè)教學(xué)過(guò)程，學(xué)生是在愉悅和諧的氣氛中度過(guò)的，他們自始至終處于主體地位，他們的興趣與動(dòng)機(jī)、意志與自信、情感與態(tài)度在“聽(tīng)”和“說(shuō)”的過(guò)程中都得到了發(fā)展。這節(jié)課上，教師不但做了一個(gè)傾聽(tīng)者，而且和學(xué)生的對(duì)話適時(shí)適度，恰到好處。再舉個(gè)例子，我們教材中關(guān)于《雞兔同籠》的計(jì)算：

籠中有若干只雞和兔，它們共有5個(gè)頭和14只腳，問(wèn)雞兔各有多少只？

《二元一次方程組的應(yīng)用問(wèn)題》教學(xué)片段大屏幕展示：一個(gè)籠子里有若干只雞和兔子，它們共有50個(gè)

頭和140條腿，問(wèn)籠中雞和兔子各有多少只？師：我請(qǐng)同學(xué)說(shuō)說(shuō)解題思路及方法。生1：設(shè)雞的只數(shù)為x只，兔的只數(shù)為y只。由題意可得以下方程組：

（生2舉手示意有不同的方法。)師：很好，答案正確！我們看下一題。（老師不予理會(huì)生2，

沒(méi)有去聽(tīng)舉手的同學(xué)想說(shuō)什么。）【案例評(píng)析】此情形中，教師的做法是不可取的。我曾經(jīng)私下問(wèn)過(guò)這位教師，是沒(méi)看見(jiàn)生2舉手，還是別的什么原因。這位教師說(shuō)，生1已經(jīng)回答正確了，再聽(tīng)生2的，怕耽誤時(shí)間，完不成教學(xué)進(jìn)度。我想這位教師不僅剝奪了一個(gè)學(xué)生表達(dá)自我的機(jī)會(huì)，還反映出教師本身不具備傾聽(tīng)學(xué)生之言和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)傾聽(tīng)的意識(shí)。只有讓學(xué)生在課堂上學(xué)會(huì)傾聽(tīng)教師的講解，傾聽(tīng)同學(xué)的發(fā)言，在聽(tīng)的過(guò)程中培養(yǎng)獨(dú)立思考的能力，獲取知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，才能使學(xué)生獲得情感體驗(yàn)。第1個(gè)老師的成功之處，就是充分激發(fā)了學(xué)生回答的積極性，并通過(guò)師生互動(dòng)，肯定了學(xué)生的思考，使學(xué)生把數(shù)學(xué)和生活有機(jī)、自然地聯(lián)系起來(lái)了，拉近了數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離。對(duì)話中學(xué)生的主體地位與教師的主導(dǎo)作用得到了充分的展示，這才是理想的課堂。

在許多人眼里，這完全是一個(gè)計(jì)算問(wèn)題。設(shè)兔為x，雞為y，x+y=5；4x+2y=14

到底我們?cè)摪阉醋魉阈g(shù)教學(xué)，還是數(shù)學(xué)教學(xué)？讓我們來(lái)看美國(guó)的數(shù)學(xué)教師是怎樣處理類似問(wèn)題的：

某個(gè)住在湖邊的老人養(yǎng)有狗和鴨子。某天，老人看到5個(gè)頭和14只腳。老人看到的是多少條狗？多少只鴨？（以下是課堂實(shí)錄）老師：能不能找到解決問(wèn)題的方法？學(xué)生們紛紛要求回答問(wèn)題。學(xué)生A：要找到答案并不難，只要兩個(gè)公式：一個(gè)解決腳的問(wèn)題，

另一個(gè)解決頭的問(wèn)題……老師制止學(xué)生A繼續(xù)往下講，說(shuō)道：“很好！誰(shuí)來(lái)設(shè)計(jì)這兩個(gè)公式？”學(xué)生B：設(shè)狗為x，設(shè)鴨為y；4x+2y=14學(xué)生C寫道：x+y=5老師：這兩個(gè)公式對(duì)不對(duì)？學(xué)生七嘴八舌：“對(duì)啦！”

老師：現(xiàn)在我們不要去計(jì)算答案。我們按照這兩個(gè)公式來(lái)推理，

看看答案是否合理……

大家你望我，我望你。不讓計(jì)算，卻去猜答案。老師葫蘆里賣的什么藥？老師：犯愁了？不錯(cuò)！我們現(xiàn)在不打算去計(jì)算準(zhǔn)確的答案，我

們只是去猜測(cè)大致的答案。學(xué)生仍然丈二和尚摸不著頭腦……老師:既然你們不回答，那我就來(lái)問(wèn)你們，5條狗和4只鴨，對(duì)

不對(duì)？學(xué)生哄然：不對(duì)！5條狗和4只鴨，一共是9個(gè)頭，老人只看到

5個(gè)頭。老師：那么，誰(shuí)能告訴我，狗腳和鴨腳的數(shù)目？學(xué)生們又是你望我，我望你，不知所措……老師：如果我告訴你們，狗不少于4條。你們認(rèn)為怎么樣？學(xué)生B：不對(duì)，請(qǐng)看看我設(shè)計(jì)的公式：腳的總數(shù)是14，而4條狗

就有16條腿。除非老人喝醉了，把自己的腳也數(shù)進(jìn)去了！哄堂大笑！老師：非常好！那能不能是3條狗呢？學(xué)生們陷入思考……學(xué)生C：那也不對(duì)！老師很感興趣地問(wèn)：“為什么？”學(xué)生C：除非有1只鴨子，少了兩條腿。您看我設(shè)計(jì)的公式，總

共有5個(gè)頭。3條狗有12只腳。要符合5個(gè)頭，14只腳的條件，

就只剩兩個(gè)鴨頭，兩只鴨腳。因此，除非有1只鴨沒(méi)有腳……又是一陣哄堂大笑！老師：好吧，讓我們假設(shè)所有的狗和鴨子都是進(jìn)化完整的，沒(méi)

有缺胳膊少腿的。那么，該有多少只鴨子呢？學(xué)生再?zèng)]有像前面那樣沉默，而是議論紛紛學(xué)生D：不管怎么說(shuō)，前提是不能超過(guò)5個(gè)頭，14只腳。老師：如果狗少于3只，我們能在鴨子的數(shù)量上做什么文章呢？學(xué)生E：這就是說(shuō)，鴨子必須是3只以上。因?yàn)?，頭的總數(shù)是5個(gè)，

狗少于3只，鴨子沒(méi)有3只以上湊不夠5只。老師：有道理。狗只能少于3只，鴨不能少于3只。那么，我們應(yīng)

該尋找的下一個(gè)線索是什么呢？學(xué)生思索……老師：如果是3只鴨子，鴨腳應(yīng)該是……學(xué)生們：6只鴨腳。老師：對(duì)！如果是3只鴨子，6只鴨腳，狗的數(shù)目又該怎么算呢？學(xué)生A：如果狗腳不能多于12只，這就是說(shuō)，狗不能多于3條，鴨

子至少得有3只才能湊夠5個(gè)頭。3只鴨，鴨腳就是6只。于是，

狗只能是2條，狗腳……老師高興地大笑：“好！不要往下說(shuō)了。請(qǐng)大家用公式計(jì)算吧”到了這一步，再用公式計(jì)算，簡(jiǎn)直是吃豆腐：狗是2條，鴨是3只。學(xué)生B有些不太高興：“老師，看到您那么高興，我倒有些費(fèi)解了。這2條狗、3只鴨的答案，我們推理來(lái)推理去，花了快一節(jié)課的時(shí)間。其實(shí)，一開(kāi)始就讓我們拿公式來(lái)算，早就該做完了……”老師微笑著點(diǎn)頭：“你提出了一個(gè)非常好的問(wèn)題，甚至超過(guò)了

‘2條狗，3只鴨’的答案。請(qǐng)大家想一想，為什么我們沒(méi)有

一開(kāi)始就用公式來(lái)計(jì)算，而是花了一節(jié)課的時(shí)間來(lái)走完整

個(gè)推理的過(guò)程？”學(xué)生E：我們浪費(fèi)了不少時(shí)間去推論那些不正確的答案。學(xué)生C：我不同意“浪費(fèi)”的說(shuō)法。有時(shí)候，你不能證實(shí)一個(gè)答

案是錯(cuò)的，你就不能證實(shí)另一個(gè)答案是對(duì)的。學(xué)生F：但是，值不值得花那么多時(shí)間？學(xué)生們七嘴八舌……老師會(huì)心地笑了：“謝謝大家！數(shù)學(xué)課不是算術(shù)，更不是用一個(gè)似懂非懂的公式去計(jì)算一個(gè)只有公式才能告訴你的答案。公式告訴你做什么？怎么做？我們充其量像個(gè)計(jì)算器。要真正理解：為什么這么做是對(duì)的？為什么那么做是不對(duì)的？問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了。就像知道點(diǎn)擊電腦的什么鍵，電腦會(huì)怎么反應(yīng)一樣，那是電腦操作員的工作。只有理解：為什么點(diǎn)擊電腦的這里會(huì)產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果？為什么點(diǎn)擊那里會(huì)產(chǎn)生那個(gè)結(jié)果？那才能成為電腦程序員。我們要的是通過(guò)演繹推理和歸納推理來(lái)證實(shí)和證偽某些答案，以及在這個(gè)過(guò)程中所培養(yǎng)和鍛煉的推理能力。”

美國(guó)著名心理學(xué)家布魯納說(shuō)：“學(xué)習(xí)者不應(yīng)是信息的被動(dòng)接受者，而應(yīng)該是知識(shí)獲取過(guò)程中的主動(dòng)參與者?！苯處煈?yīng)充分信任學(xué)生，把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性得到充分發(fā)揮。我們教育培養(yǎng)的是聰明的孩子，美國(guó)教師教育培養(yǎng)的是智慧的學(xué)生。

日本的教師給他的學(xué)生講完中日“甲午戰(zhàn)爭(zhēng)”布置了這樣一道歷史試題：“日本跟中國(guó)每一百年就打一次仗，19世紀(jì)打了日清戰(zhàn)爭(zhēng)（即甲午戰(zhàn)爭(zhēng)），20世紀(jì)打了一場(chǎng)日中戰(zhàn)爭(zhēng)（即抗日戰(zhàn)爭(zhēng)），21世紀(jì)如果跟中國(guó)開(kāi)火，你認(rèn)為大概是什么時(shí)候？可能的遠(yuǎn)因和近因在哪里？如果日本贏了，是贏在什么地方？輸了又輸在什么條件上？分析之！”

其中有個(gè)日本學(xué)生是這樣分析的：“我們跟中國(guó)很可能在臺(tái)灣回到中國(guó)以后，有一場(chǎng)激戰(zhàn)。臺(tái)灣如果回到中國(guó)。中國(guó)會(huì)把基隆和高雄封鎖。臺(tái)灣海峽就會(huì)變成中國(guó)的內(nèi)海，我們的油輪就統(tǒng)統(tǒng)走右邊。這樣，會(huì)增加日本的運(yùn)油成本。我們的石油從波斯灣出來(lái)跨過(guò)印度洋，穿過(guò)馬六甲海峽，上中國(guó)的南海，跨臺(tái)灣海峽進(jìn)東海，到日本，這是石油生命線。中國(guó)如果把臺(tái)灣海峽封鎖起來(lái)，我們的貨輪一定要從那里經(jīng)過(guò)，我們的主力艦和驅(qū)逐艦就會(huì)出動(dòng)，中國(guó)海軍一看到日本出兵，馬上會(huì)上場(chǎng)，那就打！按照判斷，公元2015年至2020年之間，這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)可能爆發(fā)。所以，我們現(xiàn)在就要做好對(duì)華抗戰(zhàn)的準(zhǔn)備?！迸e一個(gè)例子：在講授“西安事變”一課時(shí)，大多數(shù)學(xué)校老師講完史實(shí)后，要求學(xué)生記時(shí)間、地點(diǎn)、人物、事件等，以“學(xué)會(huì)”為目的，滿足于考試結(jié)果?？疵绹?guó)老師是如何啟發(fā)孩子的發(fā)散性思維：如果蔣不妥協(xié)？如果張、楊不和共產(chǎn)黨合作？如果張、楊把蔣處死？如果蔣逃出西安……甚至讓學(xué)生自己設(shè)想發(fā)散性的問(wèn)題。無(wú)論哪種方式，學(xué)生都在收集材料、研究材料、組織觀點(diǎn)的過(guò)程中，培養(yǎng)了“會(huì)學(xué)”的能力。2.課堂教學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)要激發(fā)學(xué)生的探索的欲望

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題也是問(wèn)題解決的起點(diǎn)。2000年美國(guó)《中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（草案）中指出：“解決問(wèn)題不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的，也是一種主要的學(xué)習(xí)方式。當(dāng)學(xué)生運(yùn)用解決問(wèn)題的途徑去研究學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，他們可以發(fā)展新的數(shù)學(xué)理解，強(qiáng)化運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。”因此教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)要提出一些探索性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探索研究的欲望。

例如：教材中有這樣一個(gè)問(wèn)題：學(xué)校辦廠需制作一塊廣告牌，請(qǐng)來(lái)兩名工人，已知師傅單獨(dú)完成需4天，徒弟單獨(dú)完成需6天，現(xiàn)由徒弟先做1天，再兩人合作，完成后共得報(bào)酬450元，如果按個(gè)人完成的工作量計(jì)算報(bào)酬，那么該如何分配？

如果直接讓學(xué)生解答該問(wèn)題，難度較大，不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且該題探究性不強(qiáng)，抑制學(xué)生的思維空間，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。所以教學(xué)時(shí)，我對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了改編：課外活動(dòng)時(shí)李老師來(lái)教室布置作業(yè)，有一道題只寫了"學(xué)校辦廠需制作一塊廣告牌，請(qǐng)來(lái)兩名工人，已知師傅單獨(dú)完成需4天，徒弟單獨(dú)完成需6天，"就因校長(zhǎng)叫他聽(tīng)一個(gè)電話而離開(kāi)了教室，留下的題你能幫他補(bǔ)齊嗎？試試看。我給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自主探索，再以4人一小組相互交流，繼而合作探究，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣很濃，搶著發(fā)言，課堂氣氛很活躍。

現(xiàn)把學(xué)生的補(bǔ)充題歸類展示如下：①、兩人合作，需要多少天完成？②、一人先做再兩人合作，需要多少天完成？③一人先做再另一個(gè)人做，需要多少天完成？④一人先做再兩人合格，然后一個(gè)人單獨(dú)做，需要多少天完成？⑤有關(guān)報(bào)酬問(wèn)題，學(xué)生提出問(wèn)題后，我引導(dǎo)學(xué)生逐一地分析學(xué)生提出的問(wèn)題，找出已知量、未知量，找出相等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)，把這些實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程的數(shù)學(xué)模型來(lái)解答。

《分式》教學(xué)片段師：今天我們學(xué)習(xí)新課《分式》，首先我告訴大家分式的概念：形如A/B（A、B是整式，B中含有未知數(shù)且B不等于0）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。請(qǐng)同學(xué)們記住概念，下面我們來(lái)看一個(gè)例題……。【案例評(píng)析】

在該情形中，上課伊始，教師直接生硬地給學(xué)生介紹了分式的概念，學(xué)生只能被動(dòng)地接受，即把學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程歸結(jié)為教師講、學(xué)生聽(tīng)，教師寫、學(xué)生記；上課做不完，課外繼續(xù)練。因?yàn)椴皇前磳W(xué)生的知識(shí)形成過(guò)程開(kāi)展教學(xué)，所以很難有好的教學(xué)效果。教師也在教學(xué)中使用了講述與講授基本功，但使用得過(guò)于傳統(tǒng)，沒(méi)有為新知識(shí)的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，突兀的講解使學(xué)生茫然而不知所措，很難調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

例如"相似三角形的識(shí)別"一節(jié)，由于上節(jié)課已認(rèn)識(shí)了相似三角形，知道用定義識(shí)別相似三角形比較麻煩。有沒(méi)有更為簡(jiǎn)單一點(diǎn)的識(shí)別方法呢？設(shè)置懸念--引入課題，提出設(shè)問(wèn)：你是否能夠通過(guò)動(dòng)手探索得出識(shí)別相似三角形的簡(jiǎn)便方法呢？首先讓學(xué)生去猜想，教師不直接指出可行性，要求學(xué)生分組討論驗(yàn)證自己的想法。（可以對(duì)一些小組進(jìn)行提示：比如少一些角對(duì)應(yīng)相等或少一些邊對(duì)應(yīng)成比例等等，讓他們盡可能多地找出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，哪些成立呢？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由）。教師在本節(jié)課不忙于下結(jié)論。通過(guò)這樣自主探索兩個(gè)三角形的"兩對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似"這一識(shí)別方法。學(xué)生自主探索中完成對(duì)知識(shí)的理解和升華，而且達(dá)到了較好的效果。3、課堂問(wèn)題設(shè)計(jì)要給學(xué)生思考的空間

如果把一個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)的難度看成一座很難攀登的高山，那么教師引導(dǎo)學(xué)生登上這座高山的方法就是想辦法分散難點(diǎn)，即尋找一些小路，迂回上去?；蛘呤菍ふ业巧降募记?，好的登山技術(shù)。而不是教師把山的高峰鏟平，讓學(xué)生登上一座高度降低的山。因此，教師不一定要把所有的知識(shí)都講的明明白白，讓學(xué)生接受沒(méi)有難度的問(wèn)題，這樣會(huì)剝奪學(xué)生思考的權(quán)利，就談不上掌握知識(shí)