線性代數(shù)課件-第二章 矩陣及其運算

第二章矩陣及其

運算1第二章矩陣及其

運§1矩陣線性方程組與矩陣的對應(yīng)關(guān)系2§1矩陣線性方程組與矩陣的對應(yīng)關(guān)系233簡記為其中數(shù)稱為的第i行第j列的元素,的(i,j)

元素。4簡記為其中數(shù)稱為的第i行第j列的元素,的(i,同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等。矩陣相等：5同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等。矩陣相等：5一些特殊的矩陣零矩陣(ZeroMatrix):注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.6一些特殊的矩陣零矩陣(ZeroMatrix):注意：不同階行矩陣(RowMatrix):列矩陣(ColumnMatrix):只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量)7行矩陣(RowMatrix):列矩陣(ColumnMa方陣(SquareMatrix):是3階方陣.行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣，稱為n階方陣(或n階矩陣),記作An8方陣(SquareMatrix):是3階方陣.行數(shù)與列對角陣(DiagonalMatrix):主對角線以外的元素都為零的方陣。9對角陣(DiagonalMatrix):主對角線以外的元素數(shù)量矩陣(ScalarMatrix):主對角元素全為非零常數(shù)k，其余元素全為零的方陣。10數(shù)量矩陣(ScalarMatrix):主對角元素全為非零單位矩陣(IdentityMatrix):主對角元素全為1，其余元素都為零的方陣。記作:11單位矩陣(IdentityMatrix):主對角元素全為1例3：從變量到變量的線性變換.其中為常數(shù).12例3：從變量到變量的線性變換.其中為常數(shù).12線性變換與矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系.恒等變換單位陣13線性變換與矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系.恒等變換單位陣13§2矩陣的基本運算一、矩陣的加法設(shè)有兩個矩陣那末矩陣A與B的和記作A+B，規(guī)定為定義214§2矩陣的基本運算一、矩陣的加法設(shè)有兩個注意：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運算.15注意：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，15負(fù)矩陣：稱為矩陣A的負(fù)矩陣。16負(fù)矩陣：稱為矩陣A的負(fù)矩陣。16矩陣加法滿足的運算規(guī)律:17矩陣加法滿足的運算規(guī)律:17二、數(shù)與矩陣相乘定義318二、數(shù)與矩陣相乘定義3181919數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)律：矩陣相加與數(shù)乘矩陣運算合起來,又稱為矩陣的線性運算.設(shè)

A,B為m×n矩陣，l,m為數(shù)20數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)律：矩陣相加與數(shù)乘矩陣運算合起來,又稱為定義4并把此乘積記作C=

AB三、矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個

m×s矩陣，是一個

s×n矩陣，那末規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n矩陣，其中ss21定義4并把此乘積記作C=AB三、矩陣與矩陣相乘設(shè)2222例：23例：23242425251.矩陣乘法不滿足交換律注意：設(shè)A左乘BB右乘A261.矩陣乘法不滿足交換律注意：設(shè)A左乘BB右乘A2.矩陣乘法不滿足消去律設(shè)但注意：272.矩陣乘法不滿足消去律設(shè)但注意：272828矩陣乘法滿足的運算規(guī)律：29矩陣乘法滿足的運算規(guī)律：29若A是n階方陣，則為A的次冪，即方陣的冪：并且30若A是n階方陣，則為A的次冪，方陣的多項式：31方陣的多項式：31例.

設(shè)求32例.設(shè)求323333四.矩陣的轉(zhuǎn)置定義:把矩陣

A

的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做

A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例:34四.矩陣的轉(zhuǎn)置定義:把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運算規(guī)律：35轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運算規(guī)律：35例5：已知36例5：已知36解1：37解1：37解2：38解2：38對稱陣的元素以主對角線為對稱軸。對稱陣:設(shè)A為n階方陣，如果滿足，即那末A稱為對稱陣.39對稱陣的元素以主對角線為對稱軸。對稱陣:設(shè)A為n階方反對稱陣:設(shè)A為n階方陣，若滿足，即則稱A為反對稱陣.顯然,反對稱陣的主對角元都是零。40反對稱陣:設(shè)A為n階方陣，若滿足例注：對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣41例注：對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣41五、方陣的行列式定義：由

n階方陣

A的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或

detA42五、方陣的行列式定義：由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列運算規(guī)律：注：雖然

但43運算規(guī)律：注：雖然但43定義：行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣.44定義：行列式的各個元素的代數(shù)余子式所稱為矩陣A4545性質(zhì)：46性質(zhì)：46§3逆矩陣定義：設(shè)

A是

n階矩陣，若存在n階矩陣B使AB=BA=E則稱

A是可逆的，并稱B是A的逆矩陣，47§3逆矩陣定義：設(shè)A是n階矩陣，若存在n階矩若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。記A的逆矩陣為48若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。記A的逆矩陣為4定理1:證明：n階方陣A可逆充要條件是|A|≠

0,且當(dāng)

A可逆時,

A可逆,存在B,使得

AB=

E

于是|A||B|

=

|E|=1,即|A|≠049定理1:證明：n階方陣A可逆充要條件是|A|≠0,若|A|＝0,則稱A為奇異矩陣(退化矩陣)

若|A|≠0,則稱A為非奇異矩陣(非退化矩陣)

|A|≠0,50若|A|＝0,則稱A為奇異矩陣(退化矩陣)若|A|推論：證明：5111/17/2022推論：證明：5111/11/2022方陣A的逆矩陣的求法:52方陣A的逆矩陣的求法:52例如,53例如,53例54例54例55例555656可逆矩陣的運算規(guī)律:57可逆矩陣的運算規(guī)律:57注：58注：585959例：60例：60解61解616262于是63于是63例：解方程64例：解方程64解：方程兩端左乘矩陣65解：方程兩端左乘矩陣65方程兩端右乘矩陣66方程兩端右乘矩陣66例：設(shè)解方程解：67例：設(shè)解方程解：676868例：所以A可逆，且證：69例：所以A可逆，且證：69所以可逆，70所以可逆，70例：設(shè)Ax=b,A是n階可逆陣,71例：設(shè)Ax=b,A是n階可逆陣,71§4矩陣的分塊法矩陣的分塊法是討論矩陣時一種有效的手段。具體做法是：將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為A的一個子塊，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.72§4矩陣的分塊法矩陣的分塊法是討論矩陣時一種有效例：73例：737474分塊矩陣的運算規(guī)則75分塊矩陣的運算規(guī)則75767677777878797980808181(一)分塊對角矩陣的行列式具有下述性質(zhì):82(一)分塊對角矩陣的行列式具有下述性質(zhì):82(三)83(三)83例：設(shè)84例：設(shè)84解:85解:85則86則86又87又87于是88于是88例：設(shè)解：89例：設(shè)解：899090(1)加法:(2)數(shù)乘:(3)乘法:分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質(zhì)類似。91(1)加法:(2)數(shù)乘:(3)乘法:分塊矩92929393第二章矩陣及其

運算94第二章矩陣及其

運§1矩陣線性方程組與矩陣的對應(yīng)關(guān)系95§1矩陣線性方程組與矩陣的對應(yīng)關(guān)系2963簡記為其中數(shù)稱為的第i行第j列的元素,的(i,j)

元素。97簡記為其中數(shù)稱為的第i行第j列的元素,的(i,同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等。矩陣相等：98同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等。矩陣相等：5一些特殊的矩陣零矩陣(ZeroMatrix):注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.99一些特殊的矩陣零矩陣(ZeroMatrix):注意：不同階行矩陣(RowMatrix):列矩陣(ColumnMatrix):只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量)100行矩陣(RowMatrix):列矩陣(ColumnMa方陣(SquareMatrix):是3階方陣.行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣，稱為n階方陣(或n階矩陣),記作An101方陣(SquareMatrix):是3階方陣.行數(shù)與列對角陣(DiagonalMatrix):主對角線以外的元素都為零的方陣。102對角陣(DiagonalMatrix):主對角線以外的元素數(shù)量矩陣(ScalarMatrix):主對角元素全為非零常數(shù)k，其余元素全為零的方陣。103數(shù)量矩陣(ScalarMatrix):主對角元素全為非零單位矩陣(IdentityMatrix):主對角元素全為1，其余元素都為零的方陣。記作:104單位矩陣(IdentityMatrix):主對角元素全為1例3：從變量到變量的線性變換.其中為常數(shù).105例3：從變量到變量的線性變換.其中為常數(shù).12線性變換與矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系.恒等變換單位陣106線性變換與矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系.恒等變換單位陣13§2矩陣的基本運算一、矩陣的加法設(shè)有兩個矩陣那末矩陣A與B的和記作A+B，規(guī)定為定義2107§2矩陣的基本運算一、矩陣的加法設(shè)有兩個注意：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運算.108注意：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，15負(fù)矩陣：稱為矩陣A的負(fù)矩陣。109負(fù)矩陣：稱為矩陣A的負(fù)矩陣。16矩陣加法滿足的運算規(guī)律:110矩陣加法滿足的運算規(guī)律:17二、數(shù)與矩陣相乘定義3111二、數(shù)與矩陣相乘定義31811219數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)律：矩陣相加與數(shù)乘矩陣運算合起來,又稱為矩陣的線性運算.設(shè)

A,B為m×n矩陣，l,m為數(shù)113數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)律：矩陣相加與數(shù)乘矩陣運算合起來,又稱為定義4并把此乘積記作C=

AB三、矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個

m×s矩陣，是一個

s×n矩陣，那末規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n矩陣，其中ss114定義4并把此乘積記作C=AB三、矩陣與矩陣相乘設(shè)11522例：116例：2311724118251.矩陣乘法不滿足交換律注意：設(shè)A左乘BB右乘A1191.矩陣乘法不滿足交換律注意：設(shè)A左乘BB右乘A2.矩陣乘法不滿足消去律設(shè)但注意：1202.矩陣乘法不滿足消去律設(shè)但注意：2712128矩陣乘法滿足的運算規(guī)律：122矩陣乘法滿足的運算規(guī)律：29若A是n階方陣，則為A的次冪，即方陣的冪：并且123若A是n階方陣，則為A的次冪，方陣的多項式：124方陣的多項式：31例.

設(shè)求125例.設(shè)求3212633四.矩陣的轉(zhuǎn)置定義:把矩陣

A

的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做

A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例:127四.矩陣的轉(zhuǎn)置定義:把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運算規(guī)律：128轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運算規(guī)律：35例5：已知129例5：已知36解1：130解1：37解2：131解2：38對稱陣的元素以主對角線為對稱軸。對稱陣:設(shè)A為n階方陣，如果滿足，即那末A稱為對稱陣.132對稱陣的元素以主對角線為對稱軸。對稱陣:設(shè)A為n階方反對稱陣:設(shè)A為n階方陣，若滿足，即則稱A為反對稱陣.顯然,反對稱陣的主對角元都是零。133反對稱陣:設(shè)A為n階方陣，若滿足例注：對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣134例注：對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣41五、方陣的行列式定義：由

n階方陣

A的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或

detA135五、方陣的行列式定義：由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列運算規(guī)律：注：雖然

但136運算規(guī)律：注：雖然但43定義：行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣.137定義：行列式的各個元素的代數(shù)余子式所稱為矩陣A13845性質(zhì)：139性質(zhì)：46§3逆矩陣定義：設(shè)

A是

n階矩陣，若存在n階矩陣B使AB=BA=E則稱

A是可逆的，并稱B是A的逆矩陣，140§3逆矩陣定義：設(shè)A是n階矩陣，若存在n階矩若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。記A的逆矩陣為141若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。記A的逆矩陣為4定理1:證明：n階方陣A可逆充要條件是|A|≠

0,且當(dāng)

A可逆時,

A可逆,存在B,使得

AB=

E

于是|A||B|

=

|E|=1,即|A|≠0142定理1:證明：n階方陣A可逆充要條件是|A|≠0,若|A|＝0,則稱A為奇異矩陣(退化矩陣)

若|A|≠0,則稱A為非奇異矩陣(非退化矩陣)

|A|≠0,143若|A|＝0,則稱A為奇異矩陣(退化矩陣)若|A|推論：證明：14411/17/2022推論：證明：5111/11/2022方陣A的逆矩陣的求法:145方陣A的逆矩陣的求法:52例如,146例如,53例147例54例148例5514956可逆矩陣的運算規(guī)律:150可逆矩陣的運算規(guī)律:57注：151