2015年全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽E題

2015年全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽E題數(shù)控加工刀具運(yùn)動(dòng)的優(yōu)化控制數(shù)控加工技術(shù)正朝著高速高效高精度方向發(fā)展，高速加工要求機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸都能夠在極短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到高速運(yùn)行狀態(tài)并實(shí)現(xiàn)高速準(zhǔn)停，研究開發(fā)數(shù)控加工刀具運(yùn)動(dòng)滿足高速、高精度要求的、有效柔性加減速控制方法，已成為現(xiàn)代高性能數(shù)控系統(tǒng)研究的重點(diǎn)。基于計(jì)算機(jī)的數(shù)控系統(tǒng)的工作原理是：首先通過計(jì)算機(jī)組成的數(shù)控編程系統(tǒng)對(duì)讀入的零件信息進(jìn)行存儲(chǔ)和譯碼等處理后通過輸入裝置將它們傳輸給加工控制系統(tǒng)，然后由數(shù)控系統(tǒng)對(duì)輸入的指令進(jìn)行信息處理和軌跡插補(bǔ)計(jì)算出數(shù)控機(jī)床各坐標(biāo)軸方向上刀具運(yùn)動(dòng)的控制信息（這個(gè)環(huán)節(jié)就是題目要求完成的任務(wù)具實(shí)際加工軌跡和速度控制，加工出所需的工件。上述環(huán)節(jié)的難點(diǎn)在于數(shù)控機(jī)床對(duì)加工刀具在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的運(yùn)動(dòng)（本題調(diào)；加工刀具行走的路線一定是一系列首尾相接的直線段，因此加工刀具的運(yùn)動(dòng)軌跡一般與工件幾何形狀之間肯定存在誤差；每一機(jī)床都有對(duì)應(yīng)的分辨率，上述任一直線段對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)增量記為xyzxyz辨率的整數(shù)倍，故加工刀具的運(yùn)動(dòng)方向受限制，并影響到加工刀具在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的速度、加速度；要求機(jī)床運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，速度光滑、加速度連續(xù)等。加工刀具運(yùn)動(dòng)的優(yōu)化控制則是在數(shù)控機(jī)床所提供的精度、速度、加速度等限制條件下，尋求對(duì)機(jī)床刀具在各坐標(biāo)軸方向上的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行合理控制，進(jìn)而優(yōu)化其加工效率。類似方程式賽車，有經(jīng)驗(yàn)的車手可根據(jù)賽道特點(diǎn)及賽車的性能（如速度、加速度等）對(duì)賽車的行進(jìn)路線及過程進(jìn)行優(yōu)化。而對(duì)于一般曲線加工，加工控制算法就是在滿足誤差要求的條件下，通過插補(bǔ)的方法，找出若干目前，數(shù)控加工對(duì)單個(gè)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)的控制方法有多種，其中較有代表性的是S7個(gè)階段（每一段對(duì)應(yīng)的加加速度為常量PAGEPAGE6段、勻減速段、減減速段，從而漸變地控制各段的加速度使機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度按S型曲線形式平滑變化，以保證速度光順，加速度連續(xù)，在一定程度上增強(qiáng)機(jī)床運(yùn)行的平穩(wěn)性。S型加減速控制曲線如圖1所示。加加速勻加速減加速勻速加減速勻減速減減速TTTTTTTVmax0amax0-amaxJ0-J1圖1S型2減速控曲線的速度、3Vmax0amax0-amaxJ0-J在基于S型曲線的運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)于速度和加速度都有一定的限制性要求，速度V不大于機(jī)床最大速度Vmax

a

max

，加加速Jconst如附錄所示。

圖１中各個(gè)階段的速度、加速度、加加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律00 S0a，即認(rèn)為加速0aa000 深入研究數(shù)控加工優(yōu)化控制的基礎(chǔ)上，完成以下工作：1、設(shè)加工型線為折線，在指定加工誤差（指在加工型線的法線方向上加工型線與刀具實(shí)際軌跡的差值的最大值）的條件下，建立實(shí)時(shí)加工優(yōu)化控制算90135坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度的變化；2、設(shè)加工型線是由直線段和圓弧段（相切或不相切）組成的連續(xù)曲線，在指定加工誤差的條件下，不考慮瞬時(shí)啟動(dòng)加速度及瞬時(shí)啟動(dòng)速度，建立實(shí)時(shí)加工優(yōu)化控制算法，討論圓弧半徑的變化對(duì)算法效率的影響；并應(yīng)用所建立的模型對(duì)下面的加工路徑示例進(jìn)行檢驗(yàn)；3、在第2問基礎(chǔ)上，考慮瞬時(shí)啟動(dòng)加速度及瞬時(shí)啟動(dòng)速度，建立相對(duì)應(yīng)的實(shí)時(shí)加工優(yōu)化控制算法；并應(yīng)用所建立的模型對(duì)下面的加工路徑示例進(jìn)行檢驗(yàn)；43S度要求的條件下，建立能提高機(jī)床運(yùn)行平穩(wěn)性的優(yōu)化控制運(yùn)動(dòng)模型（如刀具在各坐標(biāo)軸方向上的運(yùn)動(dòng)滿足加加速度連續(xù)變化等。加工路徑示例：1) 20.51/4圓弧。矩形外圍大小是：41×41（單位：cm2。20.520.5Y20.5OX圖2圓角矩形切割路徑2)在實(shí)際加工過程中，從坐標(biāo)為(-20.500，-20.000，0.000)1位置0.13120.000)0.192出發(fā)，順時(shí)針加工，回到該點(diǎn)(-20.50，-17.708，0.000（1，期間1.26110.13。表1給出加工過程中對(duì)最大速度的要求。表1圓角矩形切割路徑加工中速度要求路徑節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(X、Y、Z)用戶設(shè)定的F最大頻率F轉(zhuǎn)換后對(duì)應(yīng)的速度1(-20.500,-20.000,0.000)27730.132(-20.500,-17.708,0.000)40290.193(-20.500,20.000,0.000)268651.264(-20.000,20.500,0.000)268651.265(20.000,20.500,0.000)268651.266(20.500,20.000,0.000)268651.267(20.500,-20.000,0.000)268651.268(20.000,-20.500,0.000)268651.269(-20.000,-20.500,0.000)268651.2610(-20.500,-20.000,0.000)268651.2611(-20.500,-17.708,0.000)27730.13m/min運(yùn)動(dòng)過程中，機(jī)床對(duì)于速度、加速度、加加速度等的限制條件如下：進(jìn)給速度V范圍[Vmin,Vmax]： [0.13,6]單位m/min加速度a范圍[Amin,[0.02,0.6]單位m/s2Jcont

300單位mm/s3瞬時(shí)啟動(dòng)速度V： V0 0

=0.13單位m/min瞬時(shí)啟動(dòng)加速度a： a0 0

=0.02單位m/s2誤差1m分辨率：1 mm1280附錄：圖１中各個(gè)階段速度、加速度、加加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律如下面所示：加加速段JJa

constJt 1Jt2 t(0,T] 其中T1

amax

Jconst

1，這個(gè)過程中加速度達(dá)到最大a

，加速度和速度都在增加。max勻加速段J0aamax1VJ

T2+a

(tT) t(T,T

T] 2 const1

max 1

1 1 2其中T2

(Vmax

Jconst

T2)/1

max

，這個(gè)過程中加速度不變，速度在增加。減加速段JJaa

JtTT ( ) max 1 21 1J T2+a T+a (tTT)J(t

T)2 t(T

T,

T] 2 const1

max2

max

1 2 2 1 2

1 2 1 2這個(gè)過程中加速度在減小，速度在增加，一直增加到Vmax

t1

T時(shí)，2VV 。max勻速段J0a0V t(2TT,TT]max 1 2 1 2 3這個(gè)過程中加速度為0，速度保持Vmax

T3

的長(zhǎng)短由路徑長(zhǎng)度決定。加減速段JJaconst J(tTT) 11 2 3V J(t

T)2 t(2T

T,3T

T] max 2

1 2 3

1 2 3 1 2 3這個(gè)過程中加速度在增加，速度在減小，這段其實(shí)與減加速段是對(duì)稱的。勻減速段J0aa max 1V 2J T2a

(t3TTT) max const1

max

1 2 3t(3TT1

T,3T3 2

T]3這個(gè)過程中加速度保持amax不變，速度在減小，這段其實(shí)與勻加速段是對(duì)稱的。減減速段JJaconst