空間向量的應用講義-高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

PAGE11數(shù)學學生講義學生姓名：年級：高二年級科目：數(shù)學學科教師：課題空間向量的應用授課類型基礎知識經典例題鞏固提升教學目標學會建立空間直角坐標系分析問題；熟記法向量、線面角、二面角的求法、面面角的求法。教學重難點空間直角坐標系的建立授課日期及時段教學內容空間向量的應用考點一：線面位置關系證明空間向量的應用1直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量若A、B是直線l上的任意兩點，則AB為直線l的一個方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.(2)平面的法向量若向量n所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作n⊥α，向量n叫做平面α(3)平面的法向量的求法(待定系數(shù)法)①建立適當?shù)淖鴺讼?；②設平面α的法向量為n③求出平面內兩個不共線向量的坐標

a=(④根據(jù)法向量定義建立方程組n?⑤解方程組，取其中一組解，即得平面α的法向量.2判定空間中的平行關系(1)線線平行設直線l1,l2的方向向量分別是a,b(2)線面平行設直線l的方向向量是a，平面α的法向量是n，則要證明只需證明a⊥n(3)面面平行若平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2,要證α||β，只需證3判定空間的垂直關系(1)線線垂直:設直線l1,l2的方向向量分別是a,b，則要證明(2)線面垂直①(法一)設直線l的方向向量是a,平面α的法向量是n，則要證明l⊥α，只需證明a②(法二)設直線l的方向向量是a，平面α內的兩個相交向量分別為m,若a(3)面面垂直若平面α的法向量為n1，平面β的法向量為只需證n1⊥n【題型一】線面、面面位置關系的證明【典題1】若平面α與β的法向量分別是a=(2,4,?3)，b=(?1,2,2)，則平面α與β的位置關系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直 D．無法確定【典題2】如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1=(1)求證:直線A1F∥平面(2)若?ABC是正三角形,E為C1C中點，能否在線段B1B上找一點N，使得【典題3】如圖，四棱錐S－ABCD中．ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=3．(1)求證：AE⊥平面SBD；(2)M、N分別在線段SB、CD上的點，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，確定M、N的位置；若不存在，說明理由．變式練習：1、如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1(1)證明：A1B∥平面ADC1；(2)證明：平面2、如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE(1)求證：A1C⊥平面(2)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面考點二：空間向量所成的角1求異面直線a,b所成的角已知a,b為兩異面直線，A,C與B,D分別是a,b上的任意兩點，a,b所成的角為θ，則cosθ=|cos<PS①向量AC,BD所成角<AC,BD>的范圍是②<AC,BD故cosθ=|cos<AC2求直線l和平面α所成的角設直線l方向向量為a，平面α法向量為n，直線與平面所成的角為θ，a與n的夾角為α則θ為α的余角或α的補角的余角，即有sinθ=|cosα|=aPS當θ=π2?α時，sinθ=cosα；當θ=α?不管哪種情況，都有sinθ=|cosα|.3求平面α與平面β的夾角(1)二面角的平面角是指在二面角α?l?β的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線AO⊥l，BO⊥l，則∠AOB為二面角α?l?β的平面角，二面角的取值范圍是[0,π].如圖：(2)平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角不大于90o的二面角稱為平面α與平面β(3)空間向量求平面α與平面β的夾角求法：設平面α與平面β的法向量分別為m,再設m,n的夾角為φ，平面α與平面β的平面角為θ，則θ為φ或π?φ，則cosθ=|cosφ|=|m【題型一】求異面直線所成的角【典題1】如圖，S是三角形ABC所在平面外的一點，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=π2，M、N分別是AB和SC【典題2】已知正四棱錐V?ABCD底面中心為O，E，F(xiàn)分別為VA,VC的中點，底面邊長為2，高為4，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求異面直線BE與DF所成角的正切值．【題型二】求線面角【典題1】如圖示，三棱錐P?ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，且PA=PB=AB=2，PC=3，則PC與面PAB變式練習：1、四棱柱ABCD－A1B1C1D(1)求證：平面A1BD⊥平面(2)求BD1與平面【題型三】求二面角【典題1】在底面為銳角三角形的直三棱柱ABC?A1B1C1中，D是棱BC的中點，記直線B1D與直線AC所成角為θ1，直線B1DA．θ2<θ1C．θ2<θ【典題2】如圖，四棱錐P?ABCD中，側面PAB⊥底面ABCD，CD∥AB，AD⊥AB，AD=AB=2，CF=13CD=12，PA=PB=5，E，(1)求證：CN∥平面PEF；(2)求二面角N－CD－A的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點Q，使NQ與平面PEF所成角的正弦值為1414，若存在求出BQ【典題3】如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，ND⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點．(1)求證：NA∥平面MEC；(2)求直線MB與平面MEC所成角的正弦值；(3)設P為線段AM上的動點，二面角P－EC－D的平面角的大小為30°，求線段AP的長．考點三：空間向量的距離問題利用空間向量法求距離問題(1)點A、B間的距離AB=AB(2)點Q到直線l距離若Q為直線l外的一點，P在直線上，a為直線l的方向向量，b則點Q到直線l距離為d=PS公式推導如圖，d=b(3)點Q到平面α的距離若點Q為平面α外一點，點M為平面α內任一點，平面α的法向量為n，則Q到平面α的距離就等于MQ在法向量n方向上的投影的絕對值，即d=PS公式推導如圖，d=MQ(4)直線a平面α之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等.由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離.(5)利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離.【題型一】點到點的距離【典題1】正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，動點M在線段CC(1)當點M與點C重合時，線段AP的長度為；(2)線段AP長度的最小值為．【題型二】點到線的距離【典題1】P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB=3，AD=4，PA=1，則點P到BD的距離為．【題型三】點到面的距離【典題1】如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=233，E為BC中點，F(xiàn)在棱PD上，AF⊥PD，點B【典題2】已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點，EF交AC于P，GC垂直于AB