新課標(biāo)2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6章立體幾何第4節(jié)直線平面垂直的判定與性質(zhì)教師用書

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考試要求：1．能以立體幾何中的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形中垂直關(guān)系的簡單命題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α．直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．“任意一條直線”與“所有直線”是同義的，但與“無數(shù)條直線”不同，定義的實(shí)質(zhì)是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b線面垂直的判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須是相交的．2．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)．我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可．3．線面角與二面角(1)直線與平面所成的角(線面角)①平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．②特例：若一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°．若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°．③直線與平面所成的角θ的取值范圍是：0°≤θ≤90°．(2)二面角①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．③二面角的平面角的范圍：0≤θ≤π．4．常用結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α． (×)(2)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直． (√)(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b． (√)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α． (×)(5)a⊥α，a?β?α⊥β． (√)2．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，則下列說法正確的是()A．若l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β，則l∥mA解析：因?yàn)閘⊥β，l?α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)．3．(多選題)如圖，圓柱的軸截面是四邊形ABCD，E是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCEABD解析：由AB是底面圓的直徑，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．因?yàn)閳A柱的軸截面是四邊形ABCD,BC⊥底面AEB，所以BC⊥AE．又EB∩BC＝B，BC，BE?平面BCE，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥CE，故A正確．同理可得，BE⊥DE，故B正確．若DE⊥平面CEB，則DE⊥BC．因?yàn)锽C∥AD，所以DE⊥AD．在△ADE中AD⊥AE，所以DE⊥AD不成立，所以DE⊥平面CEB不成立，故C錯(cuò)誤．由A的證明可知AE⊥平面BCE．因?yàn)锳E?平面ADE，所以平面BCE⊥平面ADE，故D正確．故選ABD．4．“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面α垂直”的________條件．必要不充分解析：根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面α垂直”，反之則可以，所以應(yīng)是必要不充分條件．5．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．4解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．故圖中共有4個(gè)直角三角形．考點(diǎn)1垂直關(guān)系的基本問題——基礎(chǔ)性1．已知平面α和直線a，b，若a∥α，則“b⊥a”是“b⊥α”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B解析：根據(jù)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，由a∥α，b⊥α，可得b⊥a．反之不成立，可能b與α相交或平行．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件．2．(多選題)已知a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是()A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，則a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，則b∥βD．若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥βABD解析：對于A，若a⊥α，α∥β，則a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正確；對于B，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，所以存在直線m?α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β．故B正確；對于C，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，又α∥β，所以b?β或b∥β，故C錯(cuò)誤；對于D，若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥β，故D正確．3．在三棱錐SABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜邊AB＝a的等腰直角三角形，則以下結(jié)論：①異面直線SB與AC所成的角為90°；②直線SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④點(diǎn)C到平面SAB的距離是eq\f(1,2)a．其中正確的是________．(填序號)①②③④解析：由題意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正確；再根據(jù)SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正確；取AB的中點(diǎn)E，連接CE(圖略)，可證得CE⊥平面SAB，故CE的長度即為點(diǎn)C到平面SAB的距離，為eq\f(1,2)a，故④正確．在判斷垂直關(guān)系問題時(shí)，需明確各類垂直關(guān)系及其內(nèi)在聯(lián)系，可借助幾何圖形來判斷，也可列舉反例進(jìn)行判斷，同時(shí)要注意判斷滿足定理的條件．考點(diǎn)2空間角及其應(yīng)用——應(yīng)用性(1)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A．8 B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)C解析：如圖，連接AC1，BC1，AC．因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B＝30°．又AB＝BC＝2，所以在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－(22＋22))＝2eq\r(2)，所以V長方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．(2)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1BDC的大小為__________．30°解析：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接C1O．因?yàn)镃1D＝C1B，O為BD的中點(diǎn)，所以C1O⊥BD．因?yàn)锳C⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角．在Rt△C1CO中，C1C＝eq\r(2)，CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(6)，則C1O＝2eq\r(2)，所以sin∠C1OC＝eq\f(C1C,C1O)＝eq\f(1,2)．由圖可知，二面角C1-BD-C為銳二面角，所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小為30°．求線面角、二面角的常用方法(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線、找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量．平面角的作法常見的有定義法和垂面法．注意利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)．在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長為eq\r(5)的等腰三角形，則二面角V-AB-C的大小為________．60°解析：如圖，作VO⊥平面ABCD，垂足為O，則VO⊥AB．取AB的中點(diǎn)H，連接VH，OH，則VH⊥AB．因?yàn)閂H∩VO＝V，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO為二面角V-AB-C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2．而OH＝eq\f(1,2)BC＝1，所以∠VHO＝60°．故二面角V-AB-C的大小是60°．考點(diǎn)3線面、面面垂直的判定與性質(zhì)——綜合性考向1線面垂直的判定與性質(zhì)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝eq\f(5,4)，EF交BD于點(diǎn)H．將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝eq\r(10)．求證：D′H⊥平面ABCD．證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD．又由AE＝CF得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF，因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H．由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4．由EF∥AC得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4)，所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3．于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH．又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF?平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD．證明線面垂直的4種方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α．(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β．(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α，②α∥β，a⊥β?a⊥α．(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ．(客觀題可用)考向2面面垂直的判定與性質(zhì)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN．證明：(1)(方法一)取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH．因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EH∥AB且EH＝eq\f(1,2)AB．又CD∥AB且CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD且EH＝CD．所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH．又DH?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD．(方法二)連接CF．因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF＝eq\f(1,2)AB．又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD．又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，因此CF∥AD．又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA．又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD．因?yàn)镃F∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA．又因?yàn)锳B⊥PA，所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG．又因?yàn)镋F∩FG＝F，EF，F(xiàn)G?平面EFG，所以AB⊥平面EFG．又因?yàn)镸，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG．又因?yàn)镸N?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN．1．證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義．(2)面面垂直的判定定理．2．已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥B