全國高考理科數(shù)學試題含標準(新課標卷)

全國高考理科數(shù)學試題含標準答案(新課標卷)全國高考理科數(shù)學試題含標準答案(新課標卷)全國高考理科數(shù)學試題含標準答案(新課標卷)2011年一般高等學校招生全國一致考試理科數(shù)學第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的。(1)復數(shù)2i的共軛復數(shù)是（）12i（A）3i（B）3i（C）i（D）i55（2）以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+）單調(diào)遞加的函數(shù)是（）（A）yx3(B)yx1（C）yx21(D)y2x（3）執(zhí)行右側(cè)的程序框圖，若是輸入的N是6，那么輸出的p是（）（A）120（B）720（C）1440（D）5040（4）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為（）（A）1（）1（C）2（D）33B342（5）已知角的極點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos2=（）（A）4（B）3（C）3（D）45555（6）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如左圖所示，則相應的側(cè)視圖可以為（）2011年全國1卷數(shù)學理試題和答案第1頁共10頁（7）設直線L過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，L與C交于A,B兩點，AB為C的實軸長的2倍，則C的離心率為（）（A）2（B）3（C）2（D）3a5（8）2x1的張開式中各項系數(shù)的和為2，則該張開式中常數(shù)項為（）xxx（A）-40（B）-20（C）20（D）40（9）由曲線yx，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為（）（A）10（B）4（C）16（D）633（10）已知a與b均為單位向量，其夾角為，有以下四個命題（）P1:ab10,2P2:ab12,33P3:ab10,3P4:ab1,3其中的真命題是（）（A）P1,P4（B）P1,P3（C）P2,P3（D）P2,P4（11）設函數(shù)f()sin(x)cos(x)(0,)的最小正周期為，且f(x)f(x)，則x2（）（A）f(x)在0,單調(diào)遞減（B）f(x)在,3單調(diào)遞減244（C）f(x)在0,單調(diào)遞加（D）f(x)在,3單調(diào)遞加244(12)函數(shù)y1的圖像與函數(shù)y2sinx(2x4)的圖像所有交點的橫坐標之和等于（）1-x（A）2(B)4(C)6(D)8第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必定做答。第22題～第24題為選考題，考生依照要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每題5分。（13）若變量x,y滿足拘束條件32xy9,則zx2y的最小值為。6xy9,2011年全國1卷數(shù)學理試題和答案第2頁共10頁（14）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1,F2在x軸上，離心率為2。過F1的直2線L交C于A,B兩點，且，那么的方程為。VABF2的周長為16C（15）已知矩形ABCD的極點都在半徑為4的球O的球面上，且AB6,BC23,則棱錐OABCD的體積為。（16）在VABC中，B60o,AC3，則AB2BC的最大值為。三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且2a13a21,a329a2a6.（Ⅰ)求數(shù)列an的通項公式；（Ⅱ）設bnlog3a1log3a2......log3an,求數(shù)列1的前n項和.bn(18)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)證明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。（19）（本小題滿分12分）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表示質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)良品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，獲取下面試驗結(jié)果：（Ⅰ）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)秀品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標值t的關(guān)系式為2011年全國1卷數(shù)學理試題和答案第3頁共10頁從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學希望.（以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落入相應組的概率）（20）（本小題滿分12分）uuuruuruuuruuuruuuruur在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y=-3上，M點滿足MB//OA，MAABMBBA，M點的軌跡為曲線C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)alnxb，曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x2y30。x1x（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若是當x0，且x1時，f(x)lnxk，求k的取值范圍。x1x請考生在第22、23、24題中任選一題做答，若是多做，則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，D，E分別為ABC的邊AB，AC上的點，且不與ABC的頂點重合。已知AE的長為m、AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x214xmn0的兩個根。（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點共圓；（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圓的半徑。(23)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x2cos為參數(shù)）y（22sinuuuvuuuvC2M是C1上的動點，P點滿足OP2OM,P點的軌跡為曲線(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于32011年全國1卷數(shù)學理試題和答案第4頁共10頁極點的交點B，求AB.(24)(本小分10分)修4-5：不等式函數(shù)f(x)xa3x,其中a0。（Ⅰ）當a1，求不等式f(x)3x2的解集；（Ⅱ）若不等式f(x)0的解集x|x1，求a的。2011年一般高等學校招生全國一考理科數(shù)學卷參照答案一、（本大共12小，每小5分，共60分）（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D（7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D二、填空（本大共4小，每小5分，共20分）（13）-6（14）x2y21（15）83（16）27168三、解答（17）解：（本小分12分）（Ⅰ）數(shù)列{an}的公比q，由a329a2a6得a329a42因此q21。19由條件可知a>0,故q3分。??????????????????????31由2a13a21得2a13a2q1，因此a1。3故數(shù)列{an}的通式an=1n。????????????????????5分3（Ⅱ）bnlog3a1log3a2...log3an(12...n)n(n1)??????????????????????8分2故122(1n1)bnn(n1)n111...12((11)(11)...(11))2n??????11分b1b2bn223nn1n1因此數(shù)列{1}的前n和2n?????????????????????12分bnn12011年全國1卷數(shù)學理試題和答案第5頁共10頁(18)解：（本小分12分）（Ⅰ）因DAB60,AB2AD,由余弦定理得BD3AD從而BD2+AD2=AB2，故BDAD??????????????????????3分又PD底面ABCD，可得BDPD因此BD平面PAD.故PABD??????????????????????5分解法二：取AB中點E，接DE,因DAB60,AB2AD，故AD=AE，VADE是等腰三角形，∵AE=EB=DE,∴AEDEBDBDE2EBD600,即ADB900,故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD因此BD平面PAD.故PABD??????????????????????5分（Ⅱ）如，以D坐原點，AD的位，射DAx的正半建立空直角坐系D-xyz，A1,0,0,B0，3,0,C1,3,0,P0,0,1。uuuvuuv(0,3,uuuv1,0,0)????????????????7分AB(1,3,0),PB1),BC(nuuur0,AB平面PAB的法向量n=（x,y,z），uur0,nPB即x3y03yz0因此可取n=(3,1,3)???????????9分uurmPB0,平面PBC的法向量m，uuurmBC0,可取m=（0，-1，3）cosm,n42711分7???????????272712分故二面角A-PB-C的余弦??????????????????????7（19）解（本小分12分）（Ⅰ）由果知，用A配方生的品中的平率228，因此用A配方生的品的品率100的估。??????????????????????3分由果知，用B配方生的品中品的率3210，因此用B配方生的品的品率的100估??????????????????????6分（Ⅱ）用B配方生的100件品中，其量指落入?yún)^(qū)90,94,94,102,102,110的率分，,054,2011年全國1卷數(shù)學理試題和答案第6頁共10頁，因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,?????????8分即X的分布列X的數(shù)學希望EX=-2×0.04+2×0.54+4×??????????????????12分(20）解：（本小分12分）(Ⅰ)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).uuuruuuruuur因此MA=（-x,-1-y）,MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).????????????????3分uuuruuuruuur再由意可知（MA+MB）?AB=0,即（-x,-4-2y）?(x,-2)=0.因此曲C的方程式y(tǒng)=1x2-2.??????????????????????6分4(Ⅱ)P(x0,y0)曲C：y=1x2-2上一點，因y'=1x,因此l的斜率1x0422因此直l的方程yy01x0(xx0)，即x0x2y2y0x020。?????????9分2O點到l的距離|2y0x02|.又12，因此dx024y04x0212d2x04124)2,x02(x0442x024當x02=0取等號，因此O點到l距離的最小2.???????????????????12分（21）解：(本小分12分)(x1lnx)b（Ⅰ）f'(x)x??????????????????????3分1)2x2(x1f(1)1,由于直x2y30的斜率，且點(1,1)，故即2f'(1)1,2b1,a1b1a1,解得，6分b。???????????????222011年全國1卷數(shù)學理試題和答案第7頁共10頁（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)lnx1，因此x1xf(x)lnxk)11(2lnx(k1)(x21))(x1xx2x?？己瘮?shù)h(x)2lnx(k1)(x21)(x0)，x(k1)(x21)2xh'(x)x2。???????????????8分(I)k0，由h'(x)k(x21)(x1)21，h'(x)0。而h(1)0，故x2知，當x當x(0,1)，h(x)0，可得1h(x)0；1x21當x（1，+），h（x）<0，可得h（x）>01x2從而當x>0,且x1，f（x）-（lnx+k）>0，即f（x）>lnxx1xx1（ii）0<k<1.由于當x（1，1），（k-1）（x2+1）+2x>0,1k

k.????????9分x故h'(x）>0,而1h（1）=0，故當x（1，1k

1），h（x）>0，可得1x2h（x）<0,與矛盾。?????10分（iii）k1.此h'（x）>0,而h（1）=0，故當x（1，+），h（x）>0，可得1h（x）<0,與矛1x2盾。??????????????????????11分合得，k的取范（-，0]??????????????????????12分22）（本小分10分）解：I）接DE，依照意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC,2分即ADAEACAB

.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB因此C,B,D,E四點共。????????????5分（Ⅱ）m=4,n=6，方程x2-14x+mn=0的兩根x1=2,x2=12.故AD=2，AB=12.??????????????????????8分取CE的中點G,DB的中點F，分G，F(xiàn)作AC，AB的垂，兩垂訂交于H點，接DH，因C，B，D，E四點共，因此C，B，D，E四點所在的心H，半徑DH.2011年全國1卷數(shù)學理試題和答案第8頁共10頁由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.從而HF=AG=5，DF=1(12-2)=5.2故C,B,D,E四點所在的半徑52??????????????????????10分（23）（本小分10分）解：（I）P(x,y),由條件知M(x,y).由于M點在C1上，因此22x2cosa,x4cosa2y即4???????3分2sinay4sina22從而C2的參數(shù)方程x4cos參數(shù)）??????????????????5分y（44sin（Ⅱ）曲C1的極坐方程4sin，曲C2的極坐方程8sin。射與C1的交點A的極徑13射與C2的交點B的極徑23

4sin，??????????????????7分38sin。????