第八章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(數(shù)字信號(hào)處理)課件

第八章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第八章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)1

8.1數(shù)字濾波器的基本概念

例：有信號(hào)要求用數(shù)字方法濾去50Hz的成分解：用T=0.004秒對信號(hào)x(t)進(jìn)行采樣（fs=250Hz）則

8.1數(shù)字濾波器的基本概念

例：有信號(hào)2

輸出為五個(gè)信號(hào)采樣值的平均值。輸出為五個(gè)信號(hào)采樣值的平均值。3

討論：（1）可以用數(shù)字方法實(shí)現(xiàn)濾波（2）在數(shù)字濾波中，可以實(shí)現(xiàn)“非因果”的處理（3）若本例中改為50Hz和500Hz組成的信號(hào)，采樣頻率為2500Hz，數(shù)字濾波的結(jié)果是一樣的。因此數(shù)字濾波時(shí)，濾波參數(shù)和信號(hào)采樣頻率的相對值有關(guān)。非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)討論：非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)4

8.1數(shù)字濾波器的基本概念

1.數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：(8.1.1)(8.1.2)

8.1數(shù)字濾波器的基本概念

1.數(shù)字濾波器的分52數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：圖8.1.2低通濾波器的技術(shù)要求2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求圖8.1.26通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，αp和αs分別定義為：(8.1.3)(8.1.4)如將|H(ej0)|歸一化為1，(8.1.3)和(8.1.4)式則表示成：(8.1.5)(8.1.6)通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)73.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計(jì)方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。3.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述88.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。8.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器9圖8.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系圖8.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系10設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(8.3.1)式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：(8.3.2)設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),11式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：(8.3.3)對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：(8.3.4)設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用ha(t)表示，式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(12對進(jìn)行拉氏變換，得到:式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(8.3.5)對進(jìn)行拉氏變換，得到:13上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足(1.5.5)式，重寫如下：(8.3.6)上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序14將s=jΩ代入上式，得由(8.3.5)式和(8.3.8)式得到:(8.3.7)(8.3.8)(8.3.9)將s=jΩ代入上式，得由(8.3.5)式和(8.3.8)式得15上式表明將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(8.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(8.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(8.3.6)式，得到:因此得到:(8.3.10)上式表明將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變16那么σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫成為任意整數(shù)那么為任意整數(shù)17圖8.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系圖8.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系18圖8.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象圖8.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象19假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足按照(8.3.9)式，并將關(guān)系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令假設(shè)20一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在(8.3.1)式中將一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(8.3.11)可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為(8.3.12)一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，21如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(8.3.13)(8.3.14)如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(8.22優(yōu)點(diǎn)：頻率坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換是線性的缺點(diǎn)：1）非一一對應(yīng)的映射，（2）內(nèi)為一一對應(yīng)2）存在混疊現(xiàn)象。由于相應(yīng)的模擬濾波器不是一個(gè)帶限系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)一定存在混疊適用（1）衰減特性好的低通帶通濾波器（2）系統(tǒng)函數(shù)可用極點(diǎn)部分分式表示時(shí)優(yōu)點(diǎn)：頻率坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換是線性的23在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用修正措施：因?yàn)榱藴p少混疊效應(yīng)，一般選用較高采樣頻率，取T很小，這樣會(huì)造成增益過高，故采取措施

在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用修正措施：24例8.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)為那么H(z)的極點(diǎn)為例8.3.1已知模擬濾波器的傳輸25按照(8.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(8.3.13),(8.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(8.3.13)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=σ1±jΩ1,則按照(8.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到轉(zhuǎn)換時(shí)26再按照(8.3.14)式，H(z)為再按照(8.3.14)式，H(z)為27圖8.3.3例8.3.1的幅度特性圖8.3.3例8.3.1的幅度特性28

8.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

為了克服脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊，建立S平面與Z平面之間的一一對應(yīng)關(guān)系，可以采取以下措施：1）將整個(gè)S平面壓縮到S1平面的一個(gè)橫向條帶內(nèi)2）將S1平面的一個(gè)橫向條帶變換到整個(gè)Z平面S平面1S1平面Z平面

8.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

29

正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：(8.4.1)式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從π/T經(jīng)過0變化到π/T時(shí)，Ω則由∞經(jīng)過0變化到+∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有(8.4.2)

正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：(8.4.1)30再通過轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：(8.4.3)(8.4.4)再通過轉(zhuǎn)換到31下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。圖8.4.1雙線性變換法的映射關(guān)系下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。圖8.32令s=jΩ,z=ejω，并代入(8.4.3)式中，有(8.4.5)圖8.4.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系令s=jΩ,z=ejω，并代入(8.4.3)33圖8.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射圖8.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射34設(shè)設(shè)35表8.4.1系數(shù)關(guān)系表表8.4.1系數(shù)關(guān)系表36第八章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(數(shù)字信號(hào)處理)課件37例8.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖8.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解首先按照圖8.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為例8.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法38利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖8.4.5(a),(b)所示。圖8.4.5例8.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)H1(z);(b)H2(z)利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器39下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)40圖8.4.6例8.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性圖8.4.6例8.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H41(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。例8.4.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)42解(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB解43③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N44取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(8.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。根據(jù)階數(shù)N=6，查表8.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s),取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,45④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(8.3.11)式、(8.3.12)式，或者(8.3.13)式和(8.3.14)式，得到：④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z46圖8.4.7例8.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性圖8.4.7例8.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字47(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波48③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(8.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過。③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下49根據(jù)N=6，查表8.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)，④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：根據(jù)N=6，查表8.2.1得到的歸50圖8.4.8例8.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性圖8.4.8例8.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低51

8.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計(jì)步驟如下：(1)確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。(2)將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為

8.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

52(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章8.2節(jié))。(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。(6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)53例8.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB例8.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波54(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：令T=1，則有(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：55將Ωp和Ωs對3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc=Ωp,(4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下：將Ωp和Ωs對3dB截止頻率Ωc歸一化，56查表8.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式得到：(5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：查表8.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為57(6)用雙線性變換法將模擬高通H

(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實(shí)際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即(6)用雙線性變換法將模擬高通H58例8.5.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3πrad到0.4πrad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。解(1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為通帶上截止頻率ωu=0.4πrad通帶下截止頻率ωl=0.3πrad例8.5.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器59阻帶上截止頻率ωs2=0.5πrad阻帶下截止頻率ωs1=0.2πrad通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減αs=18dB。阻帶上截止頻率60(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下：設(shè)T=1，則有(通帶中心頻率)(帶寬)(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下：(通帶61將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)：歸一化阻帶截止頻率歸一化通帶截止頻率λp=1αp=3dB,αs=18dB將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到歸一化通帶截62(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表8.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表8.2.163(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通：(6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計(jì)算：(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶64將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得將上面的p等式代入G(p)中，得將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得將上面的p65例8.5.3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率ωl=0.19π,阻帶下截止頻率ωs1=0.198π，阻帶上截止頻率ωs2=0.202π，通帶上限頻率ωu=0.21π，阻帶最小衰減αs=13dB，ωl和ωu處衰減αp=3dB。采用巴特沃斯型。解(1)數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)：ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB例8.5.3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波66(2)模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)：設(shè)T=1，則有阻帶中心頻率平方為Ω20=ΩlΩu=0.421阻帶帶寬為

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s(2)模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)：阻帶67將以上邊界頻率對B歸一化：ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：按照(8.2.48)式，有λp=1,αp=3dB將以上邊界頻率對B歸一化：68(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：(5)將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha(s)：(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：(5)69(6)將Ha(s)通過雙線性變換，得到數(shù)字阻帶濾波器H(z)。(6)將Ha(s)通過雙線性變換708.6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法1.零極點(diǎn)累試法稱為零極點(diǎn)累試法。在確定零極點(diǎn)位置時(shí)要注意：(1)極點(diǎn)必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；(2)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的。8.6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法71圖8.8.1例8.8.1圖(a)零極點(diǎn)分布；(b)幅度特性圖8.8.1例8.8.1圖722.在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)IIR濾波器由K個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用H(z)表示，(8.8.1)式中，A是常數(shù)；ai,bi,ci,di是待求的系數(shù)；Hd(ejω)是希望設(shè)計(jì)的濾波器頻響。如果在(0，π)區(qū)間取N點(diǎn)數(shù)字頻率ωi,i=1,2,:,N，在這N點(diǎn)頻率上，比較|Hd(ejω)|和|H(ejω)|，寫出兩者的幅度平方誤差E為(8.8.2)2.在頻域利用幅度平方誤差最小法直接73而在(8.8.1)式中共有(4K+1)個(gè)待定的系數(shù)，求它們的原則是使E最小。下面我們研究采用(8.8.1)式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如何求出(4K+1)系數(shù)。按照(8.8.2)式，E是(4K+1)個(gè)未知數(shù)的函數(shù)，用下式表示：上式θ表示4K個(gè)系數(shù)組成的系數(shù)向量。為推導(dǎo)公式方便，令(8.8.3)而在(8.8.1)式中共有(4K+174為選擇A使E最小，令(8.8.4)設(shè)θk是θ的第k個(gè)分量(ak或bk或ck或dk)，(8.8.5)因?yàn)?式中H*i表示對Hi函數(shù)共軛。(8.8.6)為選擇A使E最小，令(8.8.4)設(shè)75將上式具體寫成對ak,bk,ck,dk的偏導(dǎo)，得到：(8.8.7)式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。同理求得(8.8.8)(8.8.9)(8.8.10)將上式具體寫成對ak,bk,ck,dk的偏導(dǎo)，76由于系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù)，極、零點(diǎn)均以共軛成對的形式存在，對于極點(diǎn)z1,一定有下面關(guān)系：(8.8.11)由于系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù)，極、零點(diǎn)77圖8.8.2例8.8.2圖(a)要求的幅度特性；(b)k=1，2時(shí)的幅度特性例8.8.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，其幅度特性如圖8.8.2(a)所示。截止頻率ωs=0.1πrad。圖8.8.2例878解考慮到通帶和過渡帶的重要，在0~0.2π區(qū)間，每隔0.01π取一點(diǎn)ωi值，在0.2π~π區(qū)間每隔0.1π取一點(diǎn)ωi值，并增加一點(diǎn)過渡帶，在ω=0.1π處|Hd(ejω)|=0.5。1.0,ω=0,0.01π,0.02π,:,0.09π0.5,ω=0.1π0.0,ω=0.11π,0.12π,:,0.19π0.0,ω=0.2π,0.3π,:,πN=29，取k=1，系統(tǒng)函數(shù)為解考慮到通帶和過渡帶的重要，在079待求的參數(shù)是A，a1,b1,c1,d1。設(shè)初始值θ=(0000.25)T經(jīng)過90次迭代，求得E=1.2611，系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)位置為零點(diǎn)0.67834430±j0.73474418;極點(diǎn)0.75677793±j1.3213916為使濾波器因果穩(wěn)定，將極點(diǎn)按其倒數(shù)搬入單位圓內(nèi)，再進(jìn)行62次優(yōu)化迭代，求得結(jié)果為

零點(diǎn)0.82191163±j0.56961501;極點(diǎn)0.89176390±j0.19181084;Ag=0.11733978,E=0.56731待求的參數(shù)是A，a1,b1,c1,d80誤差函數(shù)用下式表示：(8.8.12)3.在時(shí)域直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)我們希望設(shè)計(jì)的IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)單位脈沖響應(yīng)h(n)充分逼近hd(n)。下面我們介紹這種設(shè)計(jì)方法。設(shè)濾波器是因果性的，系統(tǒng)函數(shù)為(8.8.13)誤差函數(shù)用下式表示：(8.8.12)81式中a0=1，未知系數(shù)ai和bi共有N+M+1個(gè)，取h(n)的一段，0≤n≤p-1，使其充分逼近hd(n)，用此原則求解M+N+1個(gè)系數(shù)。將(8.8.13)式改寫為令p=M+N+1,則(8.8.14)式中a0=1，未知系數(shù)ai和bi共有82令上面等式兩邊z的同冪次項(xiàng)的系數(shù)相等，可得到N+M+1個(gè)方程：h(0)=b0

h(0)a1+h(1)=b1

h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2

上式表明h(n)是系數(shù)ai,bi的非線性函數(shù)，考慮到i>M時(shí)，bi=0，一般表達(dá)式為：(8.8.15)(8.8.16)令上面等式兩邊z的同冪次項(xiàng)的系83設(shè)x(n)為給定的輸入信號(hào)，yd(n)是相應(yīng)的希望的輸出信號(hào)，x(n)和yd(n)長度分別為M和N，實(shí)際濾波器的輸出用y(n)表示，下面我們按照y(n)和yd(n)的最小均方誤差求解濾波器的最佳解，設(shè)均方誤差用E表示：(8.8.17)(8.8.18)上式中x(n),0≤n≤M1；yd(n)，0≤n≤N-1為選擇h(n)使E最小，令設(shè)x(n)為給定的輸入信號(hào)，yd(n84由(8.8.18)式得到(8.8.20)由(8.8.18)式得到(8.8.20)85例8.8.2設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，要求在給定輸入x(n)=3,1的情況下，輸出yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。解設(shè)h(n)長度為p=4，按照(8.8.20)式，得列出方程：10h(0)+3h(1)=3.253h(0)+10h(1)+3h(2)=0.853h(1)+10h(2)+3h(3)=0.313h(2)+9h(3)=0.03例8.8.2設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，要求在86解聯(lián)立方程，得h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109

將h(n)以及M=1,N=2代入(8.8.15),(8.8.16)式中，得a1=0.1824,a2=0.1126b0=0.3333,b1=0.0330濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解聯(lián)立方程，得87相應(yīng)的差分方程為y(n)=0.3333x(n)+0.0330x(n1)0.1824y(n1)+0.1126y(n2)

當(dāng)x(n)=3,1時(shí)，輸出y(n)為y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012:

將y(n)與給定yd(n)比較，y(n)的前五項(xiàng)與yd(n)的前五項(xiàng)很相近，y(n)在五項(xiàng)以后幅度值很小。相應(yīng)的差分方程為88第八章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第八章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)89

8.1數(shù)字濾波器的基本概念

例：有信號(hào)要求用數(shù)字方法濾去50Hz的成分解：用T=0.004秒對信號(hào)x(t)進(jìn)行采樣（fs=250Hz）則

8.1數(shù)字濾波器的基本概念

例：有信號(hào)90

輸出為五個(gè)信號(hào)采樣值的平均值。輸出為五個(gè)信號(hào)采樣值的平均值。91

討論：（1）可以用數(shù)字方法實(shí)現(xiàn)濾波（2）在數(shù)字濾波中，可以實(shí)現(xiàn)“非因果”的處理（3）若本例中改為50Hz和500Hz組成的信號(hào)，采樣頻率為2500Hz，數(shù)字濾波的結(jié)果是一樣的。因此數(shù)字濾波時(shí)，濾波參數(shù)和信號(hào)采樣頻率的相對值有關(guān)。非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)討論：非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)92

8.1數(shù)字濾波器的基本概念

1.數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：(8.1.1)(8.1.2)

8.1數(shù)字濾波器的基本概念

1.數(shù)字濾波器的分932數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：圖8.1.2低通濾波器的技術(shù)要求2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求圖8.1.294通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，αp和αs分別定義為：(8.1.3)(8.1.4)如將|H(ej0)|歸一化為1，(8.1.3)和(8.1.4)式則表示成：(8.1.5)(8.1.6)通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)953.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計(jì)方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。3.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述968.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。8.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器97圖8.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系圖8.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系98設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(8.3.1)式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：(8.3.2)設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),99式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：(8.3.3)對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：(8.3.4)設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用ha(t)表示，式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(100對進(jìn)行拉氏變換，得到:式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(8.3.5)對進(jìn)行拉氏變換，得到:101上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足(1.5.5)式，重寫如下：(8.3.6)上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序102將s=jΩ代入上式，得由(8.3.5)式和(8.3.8)式得到:(8.3.7)(8.3.8)(8.3.9)將s=jΩ代入上式，得由(8.3.5)式和(8.3.8)式得103上式表明將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(8.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(8.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(8.3.6)式，得到:因此得到:(8.3.10)上式表明將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變104那么σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫成為任意整數(shù)那么為任意整數(shù)105圖8.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系圖8.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系106圖8.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象圖8.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象107假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足按照(8.3.9)式，并將關(guān)系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令假設(shè)108一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在(8.3.1)式中將一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(8.3.11)可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為(8.3.12)一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，109如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(8.3.13)(8.3.14)如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(8.110優(yōu)點(diǎn)：頻率坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換是線性的缺點(diǎn)：1）非一一對應(yīng)的映射，（2）內(nèi)為一一對應(yīng)2）存在混疊現(xiàn)象。由于相應(yīng)的模擬濾波器不是一個(gè)帶限系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)一定存在混疊適用（1）衰減特性好的低通帶通濾波器（2）系統(tǒng)函數(shù)可用極點(diǎn)部分分式表示時(shí)優(yōu)點(diǎn)：頻率坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換是線性的111在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用修正措施：因?yàn)榱藴p少混疊效應(yīng)，一般選用較高采樣頻率，取T很小，這樣會(huì)造成增益過高，故采取措施

在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用修正措施：112例8.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)為那么H(z)的極點(diǎn)為例8.3.1已知模擬濾波器的傳輸113按照(8.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(8.3.13),(8.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(8.3.13)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=σ1±jΩ1,則按照(8.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到轉(zhuǎn)換時(shí)114再按照(8.3.14)式，H(z)為再按照(8.3.14)式，H(z)為115圖8.3.3例8.3.1的幅度特性圖8.3.3例8.3.1的幅度特性116

8.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

為了克服脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊，建立S平面與Z平面之間的一一對應(yīng)關(guān)系，可以采取以下措施：1）將整個(gè)S平面壓縮到S1平面的一個(gè)橫向條帶內(nèi)2）將S1平面的一個(gè)橫向條帶變換到整個(gè)Z平面S平面1S1平面Z平面

8.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

117

正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：(8.4.1)式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從π/T經(jīng)過0變化到π/T時(shí)，Ω則由∞經(jīng)過0變化到+∞，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有(8.4.2)

正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：(8.4.1)118再通過轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：(8.4.3)(8.4.4)再通過轉(zhuǎn)換到119下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。圖8.4.1雙線性變換法的映射關(guān)系下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。圖8.120令s=jΩ,z=ejω，并代入(8.4.3)式中，有(8.4.5)圖8.4.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系令s=jΩ,z=ejω，并代入(8.4.3)121圖8.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射圖8.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射122設(shè)設(shè)123表8.4.1系數(shù)關(guān)系表表8.4.1系數(shù)關(guān)系表124第八章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(數(shù)字信號(hào)處理)課件125例8.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖8.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解首先按照圖8.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為例8.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法126利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖8.4.5(a),(b)所示。圖8.4.5例8.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)H1(z);(b)H2(z)利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器127下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)128圖8.4.6例8.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性圖8.4.6例8.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H129(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。例8.4.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)130解(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB解131③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N132取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(8.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。根據(jù)階數(shù)N=6，查表8.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s),取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,133④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(8.3.11)式、(8.3.12)式，或者(8.3.13)式和(8.3.14)式，得到：④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z134圖8.4.7例8.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性圖8.4.7例8.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字135(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波136③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(8.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過。③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下137根據(jù)N=6，查表8.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)，④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：根據(jù)N=6，查表8.2.1得到的歸138圖8.4.8例8.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性圖8.4.8例8.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低139

8.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計(jì)步驟如下：(1)確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。(2)將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為

8.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

140(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章8.2節(jié))。(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。(6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)141例8.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB例8.5.1設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波142(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：令T=1，則有(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：143將Ωp和Ωs對3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc=Ωp,(4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下：將Ωp和Ωs對3dB截止頻率Ωc歸一化，144查表8.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式得到：(5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：查表8.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為145(6)用雙線性變換法將模擬高通H

(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實(shí)際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即(6)用雙線性變換法將模擬高通H146例8.5.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3πrad到0.4πrad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。解(1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為通帶上截止頻率ωu=0.4πrad通帶下截止頻率ωl=0.3πrad例8.5.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器147阻帶上截止頻率ωs2=0.5πrad阻帶下截止頻率ωs1=0.2πrad通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減αs=18dB。阻帶上截止頻率148(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下：設(shè)T=1，則有(通帶中心頻率)(帶寬)(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下：(通帶149將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)：歸一化阻帶截止頻率歸一化通帶截止頻率λp=1αp=3dB,αs=18dB將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到歸一化通帶截150(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表8.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表8.2.1151(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通：(6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計(jì)算：(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶152將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得將上面的p等式代入G(p)中，得將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得將上面的p153例8.5.3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率ωl=0.19π,阻帶下截止頻率ωs1=0.198π，阻帶上截止頻率ωs2=0.202π，通帶上限頻率ωu=0.21π，阻帶最小衰減αs=13dB，ωl和ωu處衰減αp=3dB。采用巴特沃斯型。解(1)數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)：ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB例8.5.3設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波154(2)模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)：設(shè)T=1，則有阻帶中心頻率平方為Ω20=ΩlΩu=0.421阻帶帶寬為

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s(2)模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)：阻帶155將以上邊界頻率對B歸一化：ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：按照(8.2.48)式，有λp=1,αp=3dB將以上邊界頻率對B歸一化：156(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：(5)將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha(s)：(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：(5)157(6)將Ha(s)通過雙線性變換，得到數(shù)字阻帶濾波器H(z)。(6)將Ha(s)通過雙線性變換1588.6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法1.零極點(diǎn)累試法稱為零極點(diǎn)累試法。在確定零極點(diǎn)位置時(shí)要注意：(1)極點(diǎn)必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；(2)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的。8.6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法159圖8.8.1例8.8.1圖(a)零極點(diǎn)分布；(b)幅度特性圖8.8.1例8.8.1圖1602.在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)IIR濾波器由K個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用H(z)表示，(8.8.1)式中，A是常數(shù)；ai,bi,ci,di是待求的系數(shù)；Hd(ejω)是希望設(shè)計(jì)的濾波器頻響。如果在(0，π)區(qū)間取N點(diǎn)數(shù)字頻率ωi,i=1,2,:,N，在這N點(diǎn)頻率上，比較|Hd(ejω)|和|H(ejω)|，寫出兩者的幅度平方誤差E為(8.8.2)2.在頻域利用幅度平方誤差最小法直接161而在(8.8.1)式中共有(4K+1)個(gè)待定的系數(shù)，求它們的原則是使E最小。下面我們研究采用(8.8.1)式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如何求出(4K+1)系數(shù)。按照(8.8.2)式，E是(4K+1)個(gè)未知數(shù)的函數(shù)，用下式表示：上式θ表示4K個(gè)系數(shù)組成的系數(shù)向量。為推導(dǎo)公式方便，令(8.8.3)而在(8.8.1)式中共有(4K+1162為選擇A使E最小，令(8.8.4)設(shè)θk是θ的第k個(gè)分量(ak或bk或ck或dk)，(8.8.5)因?yàn)?式中H*i表示對Hi函數(shù)共軛。(8.8.6)為選擇A使E最小，令(8.8.4)設(shè)163將上式具體寫成對ak,bk,ck,dk的偏導(dǎo)，得到：(8.8.7)式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。