大學(xué)物理機(jī)械振動(dòng)課件

機(jī)械振動(dòng)天津理工大學(xué)理學(xué)院物理系康志泰印1機(jī)械振動(dòng)天津理工大學(xué)理學(xué)院物理系康志1

物體或物體的一部分，在平衡位置附近來回地作周期性運(yùn)動(dòng)，叫做機(jī)械振動(dòng)，簡稱振動(dòng)。振動(dòng)現(xiàn)象是多種多樣的，它在自然界中是廣泛存在的。機(jī)械振動(dòng)擺的運(yùn)動(dòng)、心臟的跳動(dòng)、氣缸中活塞的運(yùn)動(dòng)等簡諧振動(dòng)最簡單、最基本的振動(dòng)一切復(fù)雜的振動(dòng)都可以分解為若干個(gè)簡諧振動(dòng)2物體或物體的一部分，在平衡位置附近來回地作周用激光時(shí)間平均法得到的小提琴全息振動(dòng)模式圖3用激光時(shí)間平均法得到的小提琴全息振動(dòng)模式圖3紙錐揚(yáng)聲器的振動(dòng)模式4紙錐揚(yáng)聲器的振動(dòng)模式4mmmxo平衡位置設(shè)物體在位置零處時(shí)，沒被拉長也未被壓縮，這時(shí)物體在水平方向上不受力的作用，此位置就叫做平衡位置。ff彈簧振子一輕彈簧一端固定，另一端系一物體，放在光滑的水平桌面上。將物體稍微移動(dòng)后，物體就在彈性力的作用下來回自由振動(dòng)。平衡位置一彈簧振子的諧振動(dòng)5mmmxo平衡位置設(shè)物體在位置零處時(shí)，沒被拉以此為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平直線為x軸，并設(shè)向右為正。當(dāng)物體相對于平衡位置有一位移x時(shí)，無論是在平衡位置的左方還是右方，物體都將受到一個(gè)彈性力的作用，此時(shí)彈簧被伸長或壓縮。根據(jù)虎克定律，物體所受到的彈性力與位移成正比，且永遠(yuǎn)指向平衡位置，因此有負(fù)號表示力和位移的方向相反，即彈性力的方向永遠(yuǎn)指向坐標(biāo)原點(diǎn)。彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)6以此為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平直線為x軸，并設(shè)向右為正位移為零，受力為零，所以加速度為零，但此時(shí)速度最大。由于作諧振動(dòng)的物體所受到的彈性力永遠(yuǎn)指向平衡位置，所以它的運(yùn)動(dòng)總是一種不斷重復(fù)著的周期性運(yùn)動(dòng)。物體在左右兩個(gè)端點(diǎn)位移最大，因此所受力的數(shù)值最大，加速度亦最大(f=ma)。但由于物體靜止，其速度為零；物體在原點(diǎn)處7位移為零，受力為零，所以加速度為零，但此時(shí)速度最大。以彈簧振子為例，由于即知令則或二諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程與基本特征8以彈簧振子為例，由于即知令則或二諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程與基本特對于其它形式的簡諧振動(dòng)，例如單擺，其方程形式與此相同，只不過是變量位移x為其它物理量而已。此方程的解用余弦函數(shù)來表示為式中A和是兩個(gè)積分常數(shù)。此式和上式一樣都可稱為諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。彈簧振子所作諧振動(dòng)的微分方程式9對于其它形式的簡諧振動(dòng)，例如單擺，其方程形式物理意義設(shè)=0，上式可寫成隨著時(shí)間的推移，m的位移x在數(shù)值A(chǔ)到-A之間作往復(fù)周期性的變化，即振動(dòng)。A-AxtpP’010物理意義設(shè)=0，上式可寫成隨著時(shí)間的推移，m的位移x在數(shù)值A(chǔ)-AxTtpP’0還可看出，當(dāng)t=0時(shí)當(dāng)t=2/時(shí)（P點(diǎn)）（P’點(diǎn)）這正是作諧振動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)了一次振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移振幅A11A-AxTtpP’0還可看出，當(dāng)t=0時(shí)當(dāng)t=2A-AxTtpP’0物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間頻率振動(dòng)的圓頻率周期12A-AxTtpP’0物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間頻率振動(dòng)的圓頻諧振動(dòng)的基本特征并不是所有的振動(dòng)都是簡諧振動(dòng)，只有滿足于一定條件的振動(dòng)才是簡諧振動(dòng)。諧振動(dòng)的微分方程它是由下式得到的此方程的解

物體所受的力或物體的加速度與位移成正比而方向相反是諧振動(dòng)的基本特征。任何一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)只要具有這個(gè)特征即滿足于上述方程，則必遵循x=Acos(t+)這一運(yùn)動(dòng)方程而作簡諧振動(dòng)。13諧振動(dòng)的基本特征并不是所有的振動(dòng)都是簡諧振動(dòng)由三角學(xué)知令則有此時(shí)有此式與等效上述兩式都是微分方程的解，也就都可以作為簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。為了初學(xué)的便利，一般采用余弦形式。14由三角學(xué)知令則有此時(shí)有此式與等效上述兩式都是諧振動(dòng)的速度和加速度已知簡諧振動(dòng)的位移則物體的運(yùn)動(dòng)速度加速度物體作簡諧振動(dòng)時(shí)，不但它的位移隨時(shí)間作周期性變化，它的速度和加速度也隨時(shí)間作周期性變化。15諧振動(dòng)的速度和加速度已知簡諧振動(dòng)的位移則物體的運(yùn)動(dòng)速度加速度設(shè)有一長度等于A的矢量三參考圓（旋轉(zhuǎn)矢量）諧振動(dòng)的位相在圖示平面內(nèi)繞原點(diǎn)以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（與圓頻率等值）。矢徑端點(diǎn)M在空間的軌跡是一圓。M在0x軸上的投影P點(diǎn)就在0x軸上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。M點(diǎn)t=0時(shí)刻在位置M0矢徑A與0x軸的夾角是pM0Mxyox16設(shè)有一長度等于A的矢量三參考圓（旋轉(zhuǎn)矢量）諧振動(dòng)的位相在以后任一時(shí)刻t，M點(diǎn)的位置矢徑與0x軸的夾角為（t+）?？疾霱點(diǎn)在0x軸上的投影點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，易看出在任一時(shí)刻t，A在0x軸上的投影是：pM0Mxyox17在以后任一時(shí)刻t，M點(diǎn)的位置矢徑與0x軸的夾此結(jié)果正說明P點(diǎn)在0x軸上作諧振動(dòng)。反過來說，任何一個(gè)諧振動(dòng)都可以想象為某一相應(yīng)參考圓上M點(diǎn)的投影，M點(diǎn)就叫參考點(diǎn)。諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程18此結(jié)果正說明P點(diǎn)在0x軸上作諧振動(dòng)。反過來說數(shù)值上等于它所對應(yīng)的參考圓的半徑當(dāng)然振動(dòng)中并不存在角速度問題，但聯(lián)系參考圓來理解是很方便的。振幅矢量A諧振動(dòng)的周期M點(diǎn)繞圓周運(yùn)動(dòng)一周所需的時(shí)間（即P點(diǎn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間）圓頻率M點(diǎn)的角速度pM0Mxyox19數(shù)值上等于它所對應(yīng)的參考圓的半徑當(dāng)然振動(dòng)中并現(xiàn)在已知運(yùn)動(dòng)方程速度加速度都包含有（t+）項(xiàng)，括號中的整體具有角度量綱（弧度）稱為相位或周相。在振動(dòng)過程中，相位（t+）隨時(shí)間變化，當(dāng)相位變化2時(shí)，作振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)就完成一次全振動(dòng)。當(dāng)振幅A為已知時(shí)，任一時(shí)刻的相位可完全決定這一時(shí)刻的位置和速度。初相t=0時(shí)的相位它決定開始計(jì)時(shí)時(shí)的位置和速度20現(xiàn)在已知運(yùn)動(dòng)方程速度加速度都包含有（t+pM0Mxyox相位與初相位21pM0Mxyox相位與初相位21當(dāng)位移為零時(shí)，加速度也為零，但速度的數(shù)值最大；而當(dāng)加速度的數(shù)值最大時(shí)，位移的數(shù)值也最大，但加速度與位移的方向相反，此時(shí)速度等于零。Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A諧振動(dòng)的x、v、a與t的關(guān)系圖三者的周期相同，但在同一時(shí)刻三者的相位不同。22當(dāng)位移為零時(shí)，加速度也為零，但速度的數(shù)值最大前面曾令周期頻率T與稱為固有周期和固有頻率。其它振動(dòng)系統(tǒng)例如單擺，振動(dòng)周期與頻率也是由振動(dòng)系統(tǒng)本身力學(xué)性質(zhì)決定，與振幅及初相無關(guān)。振子的周期（頻率）是由振動(dòng)系統(tǒng)本身力學(xué)性質(zhì)決定，而與振幅及初相位無關(guān)。四彈簧振子的周期、振幅及初位相的確定xA023前面曾令周期頻率T與稱為固有周期和固有頻率。振幅及初相的確定已知A和可由振動(dòng)初始條件來確定將兩式平方，有相加得到若t=0，x=x0，v=v0，則24振幅及初相的確定已知A和可由振動(dòng)初始條件來確定將兩式平方，將兩式平方，有相加得到即及上述結(jié)果表明，如果已知初位移x0和初速度v0，就能由上式求出諧振動(dòng)的振幅和初位相。25將兩式平方，有相加得到即及上述結(jié)果表明，如果①起始時(shí)，小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)，即t=0時(shí)，x=A，則cos=1=0。小球從正的最大位移開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，初相=0，運(yùn)動(dòng)方程的形式為

利用旋轉(zhuǎn)矢量法，據(jù)起始條件可立即看出矢徑A在0A位置，即矢徑與X軸之間的夾角為零，所以初位相為零。初相位也可用參考圓法確定假定彈簧下掛一小球作諧振動(dòng)，其方程為xA00A=026①起始時(shí)，小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)，即t=0時(shí)，x=A，則用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的圖27用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的圖27②起始時(shí)，小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)當(dāng)t=0時(shí)，x=－A，此時(shí)v=00Ax0x=-A28②起始時(shí)，小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)當(dāng)t=0時(shí)，x=－③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=0，此時(shí)小球沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，所以v<0，則取方程x00x29③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=0，用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的圖30用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的圖30④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=0，此時(shí)小球沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，所以v>0，則取或x00xA31④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=0，⑤起始時(shí)過x=A/2向x正方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=A/2，此時(shí)小球沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，所以v>0，則取或方程x0A/20xAA/232⑤起始時(shí)過x=A/2向x正方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=振動(dòng)曲線①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)tx0AA/20A=033振動(dòng)曲線①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)tx0AA/20Atx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)振動(dòng)曲線0x=A34tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在tx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)振動(dòng)曲線0x35tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在tx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)振動(dòng)曲線0xA36tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在tx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)⑤起始時(shí)過x=A/2向x正方向運(yùn)動(dòng)（紅虛線）振動(dòng)曲線0xAA/237tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在tx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)⑤起始時(shí)過x=A/2向x正方向運(yùn)動(dòng)（紅虛線）(6)起始時(shí)過x=A/2向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（黑虛線）振動(dòng)曲線38tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在k為彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，負(fù)號表示力和位移的方向相反，即彈性力的方向永遠(yuǎn)指向原點(diǎn)。物體在左右兩個(gè)端點(diǎn)位移最大，因此所受力的數(shù)值最大，加速度亦最大。但由于物體靜止，其速度為零；但在其原點(diǎn)處，位移為零，受力為零，所以加速度為零，但此時(shí)速度最大?；⒖硕蒻mmxo平衡位置ff39k為彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，負(fù)號表示力和位移的方向相反，即彈性力的方運(yùn)動(dòng)方程mmmxo平衡位置ff40運(yùn)動(dòng)方程mmmxo平衡位置ff40設(shè)=0圖像如下A-AxTtpP’0此圖像表明，隨著時(shí)間的推移，m的位移x在數(shù)值A(chǔ)到-A之間作往復(fù)周期性的變化，即振動(dòng)。A振幅：振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移周期：作諧振動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間T41設(shè)=0圖像如下A-AxTtpP’0此圖像表明，隨著時(shí)間的推A-AxTtpP’0頻率圓頻率42A-AxTtpP’0頻率圓頻率42諧振動(dòng)的速度和加速度已知簡諧振動(dòng)的位移則物體的運(yùn)動(dòng)速度加速度Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A43諧振動(dòng)的速度和加速度已知簡諧振動(dòng)的位移則物體的運(yùn)動(dòng)速度加速度pM0Mxyox在任一時(shí)刻t，A在0x軸上的投影是參考圓（旋轉(zhuǎn)矢量）諧振動(dòng)的位相諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程44pM0Mxyox在任一時(shí)刻t，A在0x軸上的投影是參考圓（旋上述結(jié)果表明，如果已知初位移x0和初速度v0，就能由上式求出諧振動(dòng)的振幅和初位相。彈簧振子的周期、振幅及初位相的確定則彈簧振子的周期頻率初位相也可以用參考圓法來確定45上述結(jié)果表明，如果已知初位移x0和初速度v02.如圖所示，以向右為正方向，用向左的力壓縮一彈簧，然后松手任其振動(dòng)。若從松手時(shí)開始計(jì)時(shí)，則該彈簧振子的初相應(yīng)為mF0[]D0x=A起始時(shí)物體在X軸負(fù)方向的端點(diǎn)462.如圖所示，以向右為正方向，用向左的力壓縮一彈簧，然后松手5一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)由平衡位置運(yùn)動(dòng)到二分之一最大位移處所需要的最短時(shí)間為t0，則該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期T應(yīng)為（A）4t0（B）12t0（C）6t0（D）8t0

A/2x平衡位置開始，=-/2，二分之一最大位移處取[]B方程為475一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)由平衡位置運(yùn)動(dòng)到二分之一7.一簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示，設(shè)圖中圓的半徑為R，則該簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為0xt/4t=tt=0[]A487.一簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示，設(shè)圖中圓的半徑為R，則該8.已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，位移的單位為米，時(shí)間單位為秒，則此簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為x(m)t(s)010–54[]C-A/2-2/3x498.已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，位移的單位為米，時(shí)間單3.已知簡諧振動(dòng)x=Acos(t+0)的周期為T，在t=T/2時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為____________;加速度為____________。503.已知簡諧振動(dòng)x=Acos(t+0)的周期為T，在t=5.一簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，則由圖可得其振幅為__________，其初相位_________，其周期為________，其振動(dòng)方程為______________.x(cm)t(s)0–5–10102-A/22/3v>0，取=-/2或=3/2515.一簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，則由圖可得其振幅為____由于五簡諧振動(dòng)的能量以彈簧振子為例，當(dāng)物體處于位移為x的某點(diǎn)時(shí)，其速度為v，具有動(dòng)能彈性勢能m0xx52由于五簡諧振動(dòng)的能量以彈簧振子為例，當(dāng)物彈簧振子作簡諧振動(dòng)時(shí)的總機(jī)械能為振動(dòng)過程中，振幅A是一恒量，所以諧振動(dòng)的機(jī)械能為一恒量，即機(jī)械能守恒。53彈簧振子作簡諧振動(dòng)時(shí)的總機(jī)械能為振動(dòng)過程中，0EEkEpt能量變化與時(shí)間的關(guān)系曲線盡管作諧振動(dòng)的物體的動(dòng)能和勢能分別隨時(shí)間作周期性變化，但諧振動(dòng)的總能量保持恒定不隨時(shí)間變化。在運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢能相互轉(zhuǎn)化，而總和保持不變，即符合機(jī)械能守恒與轉(zhuǎn)化定律。對于作諧振動(dòng)的一定的振動(dòng)系統(tǒng)，振動(dòng)的總能量與振幅的平方成正比，這個(gè)規(guī)律具有普遍意義。對其它形式的振動(dòng)及波動(dòng)也適用。540EEkEpt能量變化與時(shí)間的關(guān)系曲線盡管作考慮兩簡諧振動(dòng)，其頻率相同，但相位不同。其振動(dòng)方程為顯然在同一時(shí)刻t，它們的相位不同，因此它們在同一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)亦不同，即一個(gè)比一個(gè)超前或落后一些。這種差異就可以用它們之間的相位差來描述。即在同頻率的條件下，它們的相位差等于它們的初相差。七相位差55考慮兩簡諧振動(dòng)，其頻率相同，但相位不同。其振0PQN(2)M(1)12x假定兩振動(dòng)的振幅相同，我們用OM和ON分別代表這兩個(gè)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量，它們的長度相等，初角位置分別是1和2，并設(shè)2>1

。由于頻率相同即旋轉(zhuǎn)角速度相同，所以O(shè)N矢量的運(yùn)動(dòng)始終比OM矢量的運(yùn)動(dòng)超前一個(gè)角度2－1

，相應(yīng)地端點(diǎn)N在x軸上的投影點(diǎn)Q及端點(diǎn)M在x軸上的投影點(diǎn)P，在同一直線上作簡諧振動(dòng)，它們的振幅和頻率相同，但在步調(diào)上有先后之分。利用參考圓法可進(jìn)一步理解相位差560PQN(2)M(1)12x假定兩振動(dòng)的用兩相位來加以比較知，Q點(diǎn)比P點(diǎn)的振動(dòng)超前一恒定的相位差2－1

，在振動(dòng)的步調(diào)上Q點(diǎn)要比P點(diǎn)超前一段時(shí)間△tA-A1(P)2(Q)xt此兩振動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系曲線如下圖。如果把紅線向左方沿t軸移動(dòng)t，兩曲線重迭。這表明振動(dòng)2（Q點(diǎn)）取某一x值的時(shí)刻比振動(dòng)1（P點(diǎn)）取同一x值的時(shí)刻提前t，也就是Q點(diǎn)的振動(dòng)在時(shí)間上比P點(diǎn)超前t，在相位上就是超前t·=2－1（當(dāng)然也可以說振動(dòng)1比振動(dòng)2落后相位）。57用兩相位來加以比較知，Q點(diǎn)比P點(diǎn)的振動(dòng)超前一1122xxxxttM(1)M(1)N(2)N(2)兩振動(dòng)相位相差半周期，反向。相位差2－1可正可負(fù)，相應(yīng)地常說振動(dòng)2比振動(dòng)1超前或落后。2=1兩個(gè)振動(dòng)同相2－1=581122xxxxttM(1)M(1)N(2)N(2)兩振動(dòng)相實(shí)際問題中，常遇到一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)或幾個(gè)振動(dòng)的情況，例如兩列聲波傳到某處，該處的空氣質(zhì)點(diǎn)就同時(shí)參與這兩個(gè)振動(dòng)，這就需要討論振動(dòng)的合成問題。設(shè)有物體同時(shí)參與兩個(gè)頻率相等，沿著同一方向例如X軸的諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別是下面求合振動(dòng)的方程八兩同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成59實(shí)際問題中，常遇到一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)或幾個(gè)振xx2x1p1pp1AA2A1210用參考圓法。振幅矢量A1和A2以同樣的角速度繞原點(diǎn)0轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上的投影x1和x2分別是P1和P2點(diǎn)沿x軸作諧振動(dòng)的位移。因角速度相同，A1和A2在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中始終保持一定的夾角2－1，且它們的矢量和A始終保持一定的大小，又以同樣的角速度繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。這表明合成矢量A的端點(diǎn)在x軸上的投影點(diǎn)P也沿x軸作諧振動(dòng)，A的投影x就是P點(diǎn)作諧振動(dòng)的位移，即可知，兩同方向同頻率諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)也是一諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為60xx2x1p1pp1AA2A1210xx2x1p1pp1AA2A1210如果用三角函數(shù)的方法進(jìn)行運(yùn)算同樣可以得到上述結(jié)果。式中的初相及合成振幅A可從圖上直接得出61xx2x1p1pp1AA2A12101、應(yīng)用解析法令621、應(yīng)用解析法令620AA2A1xt從上式中可以看出，合振幅A除了與分振幅A1、A2有關(guān)外，還決定于兩個(gè)振動(dòng)的位相差。討論兩種特殊情況。①即兩分振動(dòng)的位相差為2的整數(shù)倍。這種情況叫同位相，此時(shí)上式表明，此時(shí)合振幅為最大，兩個(gè)分振動(dòng)的合成效果使振動(dòng)加強(qiáng)。630AA2A1xt從上式中可以看出，合振幅A除（1）相位差64（1）相位差64②0AA2A1xt即兩分振動(dòng)的位相差等于的奇數(shù)倍時(shí)，位相相反。這表明此種情況下合振幅最小，兩分振動(dòng)的合成效果使振動(dòng)減弱。65②0AA2A1xt即兩分振動(dòng)的位相差等于的奇數(shù)倍時(shí)，位相相（2）相位差66（2）相位差66AA2A1xt特別地，若A1=A2，則A=0，即物體處于靜止?fàn)顟B(tài)。一般地，若=2－1為上述兩種特殊情況外的任意值時(shí)，合振幅A在A1+A2和|A1－A2|之間。67AA2A1xt特別地，若A1=A2，則合振幅最大，兩分振動(dòng)的合成效果使振動(dòng)加強(qiáng)。合振幅最小，兩分振動(dòng)的合成效果使振動(dòng)減弱。請記住上述結(jié)果位相相同位相相反68合振幅最大，兩分振動(dòng)的合成效果使振動(dòng)加強(qiáng)。合振幅最小，兩分振例一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，周期為T。當(dāng)它由平衡位置向X軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，由二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間為（A）T/12（B）T/8（C）T/6（D）T/4由平衡位置開始向x軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，=–/2，方程為二分之一最大位移處取[]C69例一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，周期為T。當(dāng)它由平衡位置向X軸正方最大位移70最大位移707.一簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示，設(shè)圖中圓的半徑為R，則該簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為0xt/4t=tt=0[]A717.一簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示，設(shè)圖中圓的半徑為R，則該8.已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，位移的單位為米，時(shí)間單位為秒，則此簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為x(m)t(s)010–54[]C-A/2-2/3x728.已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，位移的單位為米，時(shí)間單11.兩同方向同頻率的簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為則它們的合振動(dòng)的振動(dòng)方程應(yīng)為/2-/2合振幅：6-2=4合振動(dòng)的初相：/2合振動(dòng)方程：[]D7311.兩同方向同頻率的簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為則它們的合振動(dòng)的振9.已知彈簧振子的彈簧的勁度系數(shù)為K，其振動(dòng)振幅為A，則當(dāng)振子移動(dòng)到正的1/2最大位移處時(shí)的動(dòng)能為__________。勢能：動(dòng)能：749.已知彈簧振子的彈簧的勁度系數(shù)為K，其振動(dòng)振幅為A，則當(dāng)振10.已知一物體同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的簡諧振動(dòng)，這兩個(gè)簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，其中A1>A2，則該物體振動(dòng)的初相位________。t0xA2A1兩振動(dòng)周期相同A2xA17510.已知一物體同時(shí)參與兩個(gè)同方向同頻率的簡諧振動(dòng)，這兩個(gè)簡機(jī)械振動(dòng)天津理工大學(xué)理學(xué)院物理系康志泰印76機(jī)械振動(dòng)天津理工大學(xué)理學(xué)院物理系康志1

物體或物體的一部分，在平衡位置附近來回地作周期性運(yùn)動(dòng)，叫做機(jī)械振動(dòng)，簡稱振動(dòng)。振動(dòng)現(xiàn)象是多種多樣的，它在自然界中是廣泛存在的。機(jī)械振動(dòng)擺的運(yùn)動(dòng)、心臟的跳動(dòng)、氣缸中活塞的運(yùn)動(dòng)等簡諧振動(dòng)最簡單、最基本的振動(dòng)一切復(fù)雜的振動(dòng)都可以分解為若干個(gè)簡諧振動(dòng)77物體或物體的一部分，在平衡位置附近來回地作周用激光時(shí)間平均法得到的小提琴全息振動(dòng)模式圖78用激光時(shí)間平均法得到的小提琴全息振動(dòng)模式圖3紙錐揚(yáng)聲器的振動(dòng)模式79紙錐揚(yáng)聲器的振動(dòng)模式4mmmxo平衡位置設(shè)物體在位置零處時(shí)，沒被拉長也未被壓縮，這時(shí)物體在水平方向上不受力的作用，此位置就叫做平衡位置。ff彈簧振子一輕彈簧一端固定，另一端系一物體，放在光滑的水平桌面上。將物體稍微移動(dòng)后，物體就在彈性力的作用下來回自由振動(dòng)。平衡位置一彈簧振子的諧振動(dòng)80mmmxo平衡位置設(shè)物體在位置零處時(shí)，沒被拉以此為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平直線為x軸，并設(shè)向右為正。當(dāng)物體相對于平衡位置有一位移x時(shí)，無論是在平衡位置的左方還是右方，物體都將受到一個(gè)彈性力的作用，此時(shí)彈簧被伸長或壓縮。根據(jù)虎克定律，物體所受到的彈性力與位移成正比，且永遠(yuǎn)指向平衡位置，因此有負(fù)號表示力和位移的方向相反，即彈性力的方向永遠(yuǎn)指向坐標(biāo)原點(diǎn)。彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)81以此為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平直線為x軸，并設(shè)向右為正位移為零，受力為零，所以加速度為零，但此時(shí)速度最大。由于作諧振動(dòng)的物體所受到的彈性力永遠(yuǎn)指向平衡位置，所以它的運(yùn)動(dòng)總是一種不斷重復(fù)著的周期性運(yùn)動(dòng)。物體在左右兩個(gè)端點(diǎn)位移最大，因此所受力的數(shù)值最大，加速度亦最大(f=ma)。但由于物體靜止，其速度為零；物體在原點(diǎn)處82位移為零，受力為零，所以加速度為零，但此時(shí)速度最大。以彈簧振子為例，由于即知令則或二諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程與基本特征83以彈簧振子為例，由于即知令則或二諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程與基本特對于其它形式的簡諧振動(dòng)，例如單擺，其方程形式與此相同，只不過是變量位移x為其它物理量而已。此方程的解用余弦函數(shù)來表示為式中A和是兩個(gè)積分常數(shù)。此式和上式一樣都可稱為諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。彈簧振子所作諧振動(dòng)的微分方程式84對于其它形式的簡諧振動(dòng)，例如單擺，其方程形式物理意義設(shè)=0，上式可寫成隨著時(shí)間的推移，m的位移x在數(shù)值A(chǔ)到-A之間作往復(fù)周期性的變化，即振動(dòng)。A-AxtpP’085物理意義設(shè)=0，上式可寫成隨著時(shí)間的推移，m的位移x在數(shù)值A(chǔ)-AxTtpP’0還可看出，當(dāng)t=0時(shí)當(dāng)t=2/時(shí)（P點(diǎn)）（P’點(diǎn)）這正是作諧振動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)了一次振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移振幅A86A-AxTtpP’0還可看出，當(dāng)t=0時(shí)當(dāng)t=2A-AxTtpP’0物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間頻率振動(dòng)的圓頻率周期87A-AxTtpP’0物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間頻率振動(dòng)的圓頻諧振動(dòng)的基本特征并不是所有的振動(dòng)都是簡諧振動(dòng)，只有滿足于一定條件的振動(dòng)才是簡諧振動(dòng)。諧振動(dòng)的微分方程它是由下式得到的此方程的解

物體所受的力或物體的加速度與位移成正比而方向相反是諧振動(dòng)的基本特征。任何一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)只要具有這個(gè)特征即滿足于上述方程，則必遵循x=Acos(t+)這一運(yùn)動(dòng)方程而作簡諧振動(dòng)。88諧振動(dòng)的基本特征并不是所有的振動(dòng)都是簡諧振動(dòng)由三角學(xué)知令則有此時(shí)有此式與等效上述兩式都是微分方程的解，也就都可以作為簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。為了初學(xué)的便利，一般采用余弦形式。89由三角學(xué)知令則有此時(shí)有此式與等效上述兩式都是諧振動(dòng)的速度和加速度已知簡諧振動(dòng)的位移則物體的運(yùn)動(dòng)速度加速度物體作簡諧振動(dòng)時(shí)，不但它的位移隨時(shí)間作周期性變化，它的速度和加速度也隨時(shí)間作周期性變化。90諧振動(dòng)的速度和加速度已知簡諧振動(dòng)的位移則物體的運(yùn)動(dòng)速度加速度設(shè)有一長度等于A的矢量三參考圓（旋轉(zhuǎn)矢量）諧振動(dòng)的位相在圖示平面內(nèi)繞原點(diǎn)以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（與圓頻率等值）。矢徑端點(diǎn)M在空間的軌跡是一圓。M在0x軸上的投影P點(diǎn)就在0x軸上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。M點(diǎn)t=0時(shí)刻在位置M0矢徑A與0x軸的夾角是pM0Mxyox91設(shè)有一長度等于A的矢量三參考圓（旋轉(zhuǎn)矢量）諧振動(dòng)的位相在以后任一時(shí)刻t，M點(diǎn)的位置矢徑與0x軸的夾角為（t+）?？疾霱點(diǎn)在0x軸上的投影點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，易看出在任一時(shí)刻t，A在0x軸上的投影是：pM0Mxyox92在以后任一時(shí)刻t，M點(diǎn)的位置矢徑與0x軸的夾此結(jié)果正說明P點(diǎn)在0x軸上作諧振動(dòng)。反過來說，任何一個(gè)諧振動(dòng)都可以想象為某一相應(yīng)參考圓上M點(diǎn)的投影，M點(diǎn)就叫參考點(diǎn)。諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程93此結(jié)果正說明P點(diǎn)在0x軸上作諧振動(dòng)。反過來說數(shù)值上等于它所對應(yīng)的參考圓的半徑當(dāng)然振動(dòng)中并不存在角速度問題，但聯(lián)系參考圓來理解是很方便的。振幅矢量A諧振動(dòng)的周期M點(diǎn)繞圓周運(yùn)動(dòng)一周所需的時(shí)間（即P點(diǎn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間）圓頻率M點(diǎn)的角速度pM0Mxyox94數(shù)值上等于它所對應(yīng)的參考圓的半徑當(dāng)然振動(dòng)中并現(xiàn)在已知運(yùn)動(dòng)方程速度加速度都包含有（t+）項(xiàng)，括號中的整體具有角度量綱（弧度）稱為相位或周相。在振動(dòng)過程中，相位（t+）隨時(shí)間變化，當(dāng)相位變化2時(shí)，作振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)就完成一次全振動(dòng)。當(dāng)振幅A為已知時(shí)，任一時(shí)刻的相位可完全決定這一時(shí)刻的位置和速度。初相t=0時(shí)的相位它決定開始計(jì)時(shí)時(shí)的位置和速度95現(xiàn)在已知運(yùn)動(dòng)方程速度加速度都包含有（t+pM0Mxyox相位與初相位96pM0Mxyox相位與初相位21當(dāng)位移為零時(shí)，加速度也為零，但速度的數(shù)值最大；而當(dāng)加速度的數(shù)值最大時(shí)，位移的數(shù)值也最大，但加速度與位移的方向相反，此時(shí)速度等于零。Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A諧振動(dòng)的x、v、a與t的關(guān)系圖三者的周期相同，但在同一時(shí)刻三者的相位不同。97當(dāng)位移為零時(shí)，加速度也為零，但速度的數(shù)值最大前面曾令周期頻率T與稱為固有周期和固有頻率。其它振動(dòng)系統(tǒng)例如單擺，振動(dòng)周期與頻率也是由振動(dòng)系統(tǒng)本身力學(xué)性質(zhì)決定，與振幅及初相無關(guān)。振子的周期（頻率）是由振動(dòng)系統(tǒng)本身力學(xué)性質(zhì)決定，而與振幅及初相位無關(guān)。四彈簧振子的周期、振幅及初位相的確定xA098前面曾令周期頻率T與稱為固有周期和固有頻率。振幅及初相的確定已知A和可由振動(dòng)初始條件來確定將兩式平方，有相加得到若t=0，x=x0，v=v0，則99振幅及初相的確定已知A和可由振動(dòng)初始條件來確定將兩式平方，將兩式平方，有相加得到即及上述結(jié)果表明，如果已知初位移x0和初速度v0，就能由上式求出諧振動(dòng)的振幅和初位相。100將兩式平方，有相加得到即及上述結(jié)果表明，如果①起始時(shí)，小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)，即t=0時(shí)，x=A，則cos=1=0。小球從正的最大位移開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，初相=0，運(yùn)動(dòng)方程的形式為

利用旋轉(zhuǎn)矢量法，據(jù)起始條件可立即看出矢徑A在0A位置，即矢徑與X軸之間的夾角為零，所以初位相為零。初相位也可用參考圓法確定假定彈簧下掛一小球作諧振動(dòng)，其方程為xA00A=0101①起始時(shí)，小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)，即t=0時(shí)，x=A，則用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的圖102用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的圖27②起始時(shí)，小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)當(dāng)t=0時(shí)，x=－A，此時(shí)v=00Ax0x=-A103②起始時(shí)，小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)當(dāng)t=0時(shí)，x=－③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=0，此時(shí)小球沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，所以v<0，則取方程x00x104③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=0，用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的圖105用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動(dòng)的圖30④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=0，此時(shí)小球沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，所以v>0，則取或x00xA106④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=0，⑤起始時(shí)過x=A/2向x正方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=A/2，此時(shí)小球沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，所以v>0，則取或方程x0A/20xAA/2107⑤起始時(shí)過x=A/2向x正方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)t=0時(shí)，x=振動(dòng)曲線①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)tx0AA/20A=0108振動(dòng)曲線①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)tx0AA/20Atx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)振動(dòng)曲線0x=A109tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在tx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)振動(dòng)曲線0x110tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在tx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)振動(dòng)曲線0xA111tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在tx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)⑤起始時(shí)過x=A/2向x正方向運(yùn)動(dòng)（紅虛線）振動(dòng)曲線0xAA/2112tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在tx0AA/2①

起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在振動(dòng)負(fù)方向的端點(diǎn)③起始時(shí)在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)④起始時(shí)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)⑤起始時(shí)過x=A/2向x正方向運(yùn)動(dòng)（紅虛線）(6)起始時(shí)過x=A/2向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（黑虛線）振動(dòng)曲線113tx0AA/2①起始時(shí)小球在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)②起始時(shí)小球在k為彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，負(fù)號表示力和位移的方向相反，即彈性力的方向永遠(yuǎn)指向原點(diǎn)。物體在左右兩個(gè)端點(diǎn)位移最大，因此所受力的數(shù)值最大，加速度亦最大。但由于物體靜止，其速度為零；但在其原點(diǎn)處，位移為零，受力為零，所以加速度為零，但此時(shí)速度最大?；⒖硕蒻mmxo平衡位置ff114k為彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，負(fù)號表示力和位移的方向相反，即彈性力的方運(yùn)動(dòng)方程mmmxo平衡位置ff115運(yùn)動(dòng)方程mmmxo平衡位置ff40設(shè)=0圖像如下A-AxTtpP’0此圖像表明，隨著時(shí)間的推移，m的位移x在數(shù)值A(chǔ)到-A之間作往復(fù)周期性的變化，即振動(dòng)。A振幅：振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移周期：作諧振動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間T116設(shè)=0圖像如下A-AxTtpP’0此圖像表明，隨著時(shí)間的推A-AxTtpP’0頻率圓頻率117A-AxTtpP’0頻率圓頻率42諧振動(dòng)的速度和加速度已知簡諧振動(dòng)的位移則物體的運(yùn)動(dòng)速度加速度Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A118諧振動(dòng)的速度和加速度已知簡諧振動(dòng)的位移則物體的運(yùn)動(dòng)速度加速度pM0Mxyox在任一時(shí)刻t，A在0x軸上的投影是參考圓（旋轉(zhuǎn)矢量）諧振動(dòng)的位相諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程119pM0Mxyox在任一時(shí)刻t，A在0x軸上的投影是參考圓（旋上述結(jié)果表明，如果已知初位移x0和初速度v0，就能由上式求出諧振動(dòng)的振幅和初位相。彈簧振子的周期、振幅及初位相的確定則彈簧振子的周期頻率初位相也可以用參考圓法來確定120上述結(jié)果表明，如果已知初位移x0和初速度v02.如圖所示，以向右為正方向，用向左的力壓縮一彈簧，然后松手任其振動(dòng)。若從松手時(shí)開始計(jì)時(shí)，則該彈簧振子的初相應(yīng)為mF0[]D0x=A起始時(shí)物體在X軸負(fù)方向的端點(diǎn)1212.如圖所示，以向右為正方向，用向左的力壓縮一彈簧，然后松手5一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)由平衡位置運(yùn)動(dòng)到二分之一最大位移處所需要的最短時(shí)間為t0，則該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期T應(yīng)為（A）4t0（B）12t0（C）6t0（D）8t0

A/2x平衡位置開始，=-/2，二分之一最大位移處取[]B方程為1225一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)由平衡位置運(yùn)動(dòng)到二分之一7.一簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示，設(shè)圖中圓的半徑為R，則該簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為0xt/4t=tt=0[]A1237.一簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示，設(shè)圖中圓的半徑為R，則該8.已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，位移的單位為米，時(shí)間單位為秒，則此簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為x(m)t(s)010–54[]C-A/2-2/3x1248.已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，位移的單位為米，時(shí)間單3.已知簡諧振動(dòng)x=Acos(t+0)的周期為T，在t=T/2時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為____________;加速度為____________。1253.已知簡諧振動(dòng)x=Acos(t+0)的周期為T，在t=5.一簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，則由圖可得其振幅為__________，其初相位_________，其周期為________，其振動(dòng)方程為______________.x(cm)t(s)0–5–10102-A/22/3v>0，取=-/2或=3/21265.一簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，則由圖可得其振幅為____由于五簡諧振動(dòng)的能量以彈簧振子為例，當(dāng)物體處于位移為x的某點(diǎn)時(shí)，其速度為v，具有動(dòng)能彈性勢能m0xx127由于五簡諧振動(dòng)的能量以彈簧振子為例，當(dāng)物彈簧振子作簡諧振動(dòng)時(shí)的總機(jī)械能為振動(dòng)過程中，振幅A是一恒量，所以諧振動(dòng)的機(jī)械能為一恒量，即機(jī)械能守恒。128彈簧振子作簡諧振動(dòng)時(shí)的總機(jī)械能為振動(dòng)過程中，0EEkEpt能量變化與時(shí)間的關(guān)系曲線盡管作諧振動(dòng)的物體的動(dòng)能和勢能分別隨時(shí)間作周期性變化，但諧振動(dòng)的總能量保持恒定不隨時(shí)間變化。在運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢能相互轉(zhuǎn)化，而總和保持不變，即符合機(jī)械能守恒與轉(zhuǎn)化定律。對于作諧振動(dòng)的一定的振動(dòng)系統(tǒng)，振動(dòng)的總能量與振幅的平方成正比，這個(gè)規(guī)律具有普遍意義。對其它形式的振動(dòng)及波動(dòng)也適用。1290EEkEpt能量變化與時(shí)間的關(guān)系曲線盡管作考慮兩簡諧振動(dòng)，其頻率相同，但相位不同。其振動(dòng)方程為顯然在同一時(shí)刻t，它們的相位不同，因此它們在同一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)亦不同，即一個(gè)比一個(gè)超前或落后一些。這種差異就可以用它們之間的相位差來描述。即在同頻率的條件下，它們的相位差等于它們的初相差。七相位差130考慮兩簡諧振動(dòng)，其頻率相同，但相位不同。其振0PQN(2)M(1)12x假定兩振動(dòng)的振幅相同，我們用OM和ON分別代表這兩個(gè)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量，它們的長度相等，初角位置分別是1和2，并設(shè)2>1

。由于頻率相同即旋轉(zhuǎn)角速度相同，所以O(shè)N矢量的運(yùn)動(dòng)始終比OM矢量的運(yùn)動(dòng)超前一個(gè)角度2－1

，相應(yīng)地端點(diǎn)N在x軸上的投影點(diǎn)Q及端點(diǎn)M在x軸上的投影點(diǎn)P，在同一直線上作簡諧振動(dòng)，它們的振幅和頻率相同，但在步調(diào)上有先后之分。利用參考圓法可進(jìn)一步理解相位差1310PQN(2)M(1)12x假定兩振動(dòng)的用兩相位來加以比較知，Q點(diǎn)比P點(diǎn)的振動(dòng)超前一恒定的相位差2－1

，在振動(dòng)的步調(diào)上Q點(diǎn)要比P點(diǎn)超前一段時(shí)間△tA-A1(P)2(Q)xt此兩振動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系曲線如下圖。如果把紅線向左方沿t軸移動(dòng)t，兩曲線重迭。這表明振動(dòng)2（Q點(diǎn)）取某一x值的時(shí)刻比振動(dòng)1（P點(diǎn)）取同一x值的時(shí)刻提前t，也就是Q點(diǎn)的振動(dòng)在時(shí)間上比P點(diǎn)超前t，在相位上就是超前t·=2－1（當(dāng)然也可以說振動(dòng)1比振動(dòng)2落后相位）。132用兩相位來加以比較知，Q點(diǎn)比P點(diǎn)的振動(dòng)超前一1122xxxxttM(1)M(1)N(2)N(2)兩振動(dòng)相位相差半周期，反向。相位差2－1可正可負(fù)，相應(yīng)地常說振動(dòng)2比振動(dòng)1超前或落后。2=1兩個(gè)振動(dòng)同相2－1=1331122xxxxttM(1)M(1)N(2)N(2)兩振動(dòng)相實(shí)際問題中，常遇到一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)或幾個(gè)振動(dòng)的情況，例如兩列聲波傳到某處，該處的空氣質(zhì)點(diǎn)就同時(shí)參與這兩個(gè)振動(dòng)，這就需要討論振動(dòng)的合成問題。設(shè)有物體同時(shí)參與兩個(gè)頻率相等，沿著同一方向例如X軸的諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別是下面求合振