直線和平面垂直與平面和平面垂直市公開課一等獎省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎?wù)n件

直線和平面垂直與平面和平面垂直【知識梳理】1．直線與平面垂直判定類別

語言表述

應(yīng)

用

判

定

假如一條直線和一個平面內(nèi)任何一條直線都垂直,那么這條直線和這個平面垂直證直線和平面垂直

假如一條直線和一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面證直線和平面垂直

假如兩條平行直線中一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于同一個平面證直線和平面垂直

【知識梳理】2．直線與平面垂直性質(zhì)baba

類別語言表述圖示字母表示應(yīng)用性質(zhì)假如一條直線和一個平面垂直,那么這條直線和這個平面內(nèi)任何一條直線都垂直

ab證兩條直線垂直假如兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行ab證兩條直線平行【知識梳理】3．兩個平面垂直判定和性質(zhì)Ba

OAaBa

OAla類語言表述圖示字母表示應(yīng)用判定依據(jù)定義．證實(shí)兩平面所成二面角是直二面角．AOB是二面角a平面角，且AOB=90，則證兩平面垂直假如一個平面經(jīng)過另一個平面一條垂線，那么這兩個平面相互垂直．性質(zhì)假如兩個平面垂直，那么它們所成二面角平面角是直角．，AOB是二面角a平面角，則AOB=90證兩條直線垂直假如兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線直線垂直于另一個平面．a(chǎn)證直線和平面垂直【知識梳理】

4．三垂線定理和三垂線定理逆定理名稱語言表述字母表示應(yīng)用三垂線定理在平面內(nèi)一條直線,假如和這個平面一條斜線射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.①證兩直線垂直②作點(diǎn)線距③作二面角平面角三垂線定理逆定理在平面內(nèi)一條直線,假如和這個平面一條斜線垂直,那么它也和這條斜線射影垂直.同上例1已知：正方體ABCD－A1B1C1D1(如圖所表示)(1)求證：B1D⊥BC1；(2)求證：B1D⊥面ACD1；(3)若B1D與面ACD1交于O，求證：

DO∶OB1＝1∶2.考點(diǎn)一直線與直線垂直O(jiān)【思緒導(dǎo)引】

證實(shí)線線垂直，可利用線面垂直性質(zhì)，而證實(shí)線面垂直，可利用線面垂直判定．【證實(shí)】

(1)∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴DC⊥面BCC1B，∴DC⊥BC1，∵BCC1B1為正方形，∴BC1⊥B1C.又∵DC∩B1C＝C，∴BC1⊥平面B1CD，∴BC1⊥B1D.(2)(1)中證實(shí)了體對角線B1D與面對角線BC1垂直，同理可證：B1D⊥AD1，B1D⊥AC.∴B1D⊥平面ACD1.(3)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O′，則平面BB1D1D與平面ACD1交線為O′D1，則O′D1與B1D交點(diǎn)即為O，【方法探究】

證實(shí)線線垂直慣用方法有：(1)利用定義：同一平面內(nèi)相交成直角時，兩直線相互垂直，異面直線成直角時，兩條異面直線相互垂直．(2)利用線面垂直：一條直線與一平面垂直，這條直線垂直于平面內(nèi)任一直線．(3)利用向量：把證實(shí)兩直線垂直問題轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量垂直問題．2．對于四面體ABCD，給出以下四個命題①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD.其中正確是________．解析：對于命題①，取BC中點(diǎn)E.如圖(1)所表示，連結(jié)AE、DE，則BC⊥面AED，∴BC⊥AD，對于命題④，過A向平面BCD做垂線AO(如圖(2)所表示)．連結(jié)BO與CD交于E，則CD⊥BE，同理CF⊥BD.∴O為△BCD垂心，連DO，則BC⊥DO，BC⊥AO，∴BC⊥AD.答案：①④例2 如圖所表示，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，若O、Q分別為△ABC和△PBC垂心．求證：OQ⊥平面PBC.【思緒導(dǎo)引】

此題關(guān)鍵是在平面PBC內(nèi)找出兩條相交直線與OQ垂直．考點(diǎn)二直線與平面垂直【證實(shí)】

如圖，連結(jié)AO并延長交BC于E，連結(jié)PE，∵O為△ABC垂心，∴AE⊥BC.∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，∴PA⊥BC.∵PA∩AE＝A，∴BC⊥面PAE.又BC?面PBC，∴面PBC⊥面PAE，∵PE?面PAE，∴BC⊥PE，而Q為△PBC垂心，∴Q∈PE，即OQ?面PAE，∴BC⊥OQ.連結(jié)BO并延長交AC于F，連結(jié)BQ并延長交PC于H，連FH.∵O為△ABC垂心，∴BF⊥AC.又∵PA⊥BF，AC⊥BF，PA∩AC＝A，∴BF⊥面PAC.而PC?面PAC，∴BF⊥PC，又∵BH⊥PC，BF∩BH＝B，∴PC⊥面BFH，而OQ?面BFH，∴PC⊥OQ，又∵PC⊥OQ，BC⊥OQ，PC∩BC＝C，∴OQ⊥平面PBC.【方法探究】

欲證OQ⊥平面PBC，只要證實(shí)OQ與平面PBC中兩相交直線垂直，因?yàn)镻A⊥平面ABC，又因?yàn)镺、Q均為三角形垂心，所以可得到一系列線線、線面垂直關(guān)系．而線線垂直、線面垂直關(guān)系又可相互轉(zhuǎn)化，即可由線線垂直證得線面垂直，由線面垂直又證得線線垂直．1．如圖所表示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，A1A＝，D是A1B1中點(diǎn)．(1)求證：C1D⊥平面ABB1A1；(2)在BB1上找一點(diǎn)F，使AB1⊥平面C1DF，并說明理由．(1)證實(shí)：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1.又C1D?平面A1B1C1，∴C1D⊥A1A，又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1，D是A1B1中點(diǎn)，∴C1D⊥A1B1，∴C1D⊥平面ABB1A1.(2)解析：作DE⊥AB1于E，延長DE交BB1于F，連結(jié)C1F，則AB1⊥平面C1DF，這是因?yàn)锳B1⊥DF，AB1⊥C1D，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.【練習(xí)2】如圖，四邊形ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直SC平面分別交SB、SC、SD于E、F、G，求證：AE⊥SB，AG⊥SD.【練習(xí)3】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1與截面A1B1C交于DE.（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求證：A1C⊥BC1；（3）求證：DE⊥平面BB1C1C.

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證實(shí)你結(jié)論．考點(diǎn)三平面與平面垂直(1)【證實(shí)】

如圖，取AD中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD.∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中，∠DAB＝60°，AD＝AB，∴△ABD為等邊三角形，∴BG⊥AD，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.(2)【解析】

連接CG，DE，且CG與DE相交于H點(diǎn)，在△PGC中作HF∥PG，交PC于F點(diǎn)，連接DF，∴FH⊥平面ABCD，∴平面DHF⊥平面ABCD.∵H是CG中點(diǎn)，∴F是PC中點(diǎn)，∴在PC上存在一點(diǎn)F，即為PC中點(diǎn)，使得平面DEF⊥平面ABCD.

【方法探究】

證實(shí)直線和平面垂直，關(guān)鍵是尋找面內(nèi)兩相交直線與已知直線垂直．證實(shí)兩平面垂直常轉(zhuǎn)化為線面垂直，利用判定定理來證實(shí)，也可作出二面角平面角，證實(shí)平面角為直角，利用定義來證實(shí)．如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面相互垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.【練習(xí)1】所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG.因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)連結(jié)FG.因?yàn)镋F∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四邊形CEFG為菱形．所以CF⊥EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC.(10分)又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD又BD∩EG＝G.所以CF⊥平面BDE【練習(xí)2】

以下列圖，過S引三條長度相等但不共面線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC.SBCAO練習(xí)3：如圖ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，四邊形ＡＢＣＤ是矩形，ＰＡ＝ＡＤ＝ａ，Ｍ、Ｎ分別是ＡＢ、ＰＣ中點(diǎn).１)求平面ＰＣＤ與平面ＡＢＣＤ所成二面角大?。唬?求證：平面ＭＮＤ⊥平面ＰＣＤＥＮＤＭＢＣPA【練習(xí)4】如圖,四棱錐P-ABCD底面是矩形,PA平面ABCD,E,F分別是AB,PD中點(diǎn),又二面角P-CD-B為45。1)求證:AF//平面PEC2)求證:平面PEC平面PCD3)

設(shè)AD=2,CD=,求點(diǎn)A到平面PEC距離【練習(xí)5】

已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若過面對角線AB1與另一面對角線BC1平行平面交上底面A1B1C1一邊A1C1于點(diǎn)D.（1）確定D位置，并證實(shí)你結(jié)論；（2）證實(shí)：平面AB1D⊥平面AA1D；（3）若AB∶AA1=，求平面AB1D與平面AB1A1所成角大小.【知識方法總結(jié)】

1.線面