對(duì)數(shù)及其運(yùn)算講義

授課內(nèi)容：（一）對(duì)數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果“％=N（a>0，a豐1），那么數(shù)》叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：1=logaN（a—底數(shù)，N—真數(shù)，lOgaN—對(duì)數(shù)式）說明：①注意底數(shù)的限制a>0，且a豐1;②ax=NologN=x；logN⑶注意對(duì)數(shù)的書寫格式.a兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：①常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)lgN;②自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e=271828?為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)1nN.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化ab=NologN=bTOC\o"1-5"\h\z(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)a如果a>0，且a豐1,M>0,N>0，那么：①log(M.N)=logM?logN.aaa；M=⑦logaNlogM」ogN.aa；白logMn=nlogM(neR)3aa．注意：換底公式logblogb=c-alogca(a>0，且a豐1；c>0，且c豐1；b>0).利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論1logbn=一logblogb=(1)amma；(2)alogba.(四)例題例1、設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c,那么()A、'=+B、=+C、=+D、二十

解：由a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c=M,則a=log3M,b=logj,c=log6M例2、若a>1,b>1,p='"’,則ap等于()A、1B、bC、logbaD、alogbaIogl(logha)解：由對(duì)數(shù)的換底公式可以得出p二二loga(hgba),因此，ap等于logba.例3、設(shè)x例3、設(shè)x二，則x屬于區(qū)間（）/.2<x<3.TOC\o"1-5"\h\z二函數(shù)丫二八不二在定義域上是減函數(shù)，且；：<]<[,,占f工V/.2<x<3.例4、若32x+9=103x,那么X2+1的值為（）A、1B、2C、5D、1或5分析：由題意可令3x=t,（t>0）,原方程轉(zhuǎn)化為二次方程，解出在代入乂2+1中求值即可.選D例5、已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,則的值為().yA、1B、4C、、D、或4M：V2lg(x-2y)=lg(x-2y)2=lg(xy),Z.x2+4y2-4xy=xy/.(x-y)(x-4y)=0，x=y(舍)或x=4y/.'=4y例6、方程log2(x+4)=2x的根的情況是()A、僅有一根專題：數(shù)形結(jié)合。A、僅有一根專題：數(shù)形結(jié)合。B、有兩個(gè)正根C、有一正根和一個(gè)負(fù)根D、有兩個(gè)負(fù)根例7例7、如果方程lg2x+(Ig7+lg5)lgx+lg7?lg5=0的兩根為&、8,則a?B的值是()A、lg7?lg5B、lg35C、35D、二35分析：由題意知，lga,lgB是一元二次方程X2+(lg7+lg5)x+lg7?lg5=0的兩根，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得lga+lgB=-(Ig7+lg5),再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得a?B的值.a?B的值是：,..3d例8、10g(.^^d(3+2^)=-2;log89?log2732=__；(lg5)2+lg2?lg50=1．_=-2；kg-D3+2^2-log_=-2；…”占如32_21g351g2_Og89Og273七"「，-一，二「；；...(lg5)2+lg2?lg50=(lg5)2+lgJ_?lg5X10=(lg5)2+(1-lg5)?(1+lg5)=15故答案為：-2；；,；1例9、方程(4x+4-x)-2(2x+2-x)+2=0的解集是{0}解：令t=2x+2-x>0,則4x+4-x=t2-2原方程可以變?yōu)閠2-2t=0,故t=2,或者t=0(舍)故有2x+2-x=2即(2x)2-2X2x+1=0/.(2x-1)2=0/.2x=1即x=0例10、若a、B是方程lg2x-lgx2-2=0的兩根，求logB+log^a的值.分析：利用對(duì)數(shù)的原式法則化簡(jiǎn)方程；將方程看成關(guān)于lgx的二次方程，利用根與系數(shù)

的關(guān)系得lga+lgB=2,lga?lgB=-2;利用換底公式將待求的式子用以10為底的對(duì)數(shù)表示，將得到的等式代入求出值．解：原方程等價(jià)于lg解：原方程等價(jià)于lg2x-2lgx-2=0：a,B是方程的兩個(gè)根所以i74所以lga+lgB=2,lga?lgB=—2所以i74(IgefIgB3'-jgmfg5_4+2-2即logB+logpa=-3例11、解關(guān)于x的方程.（1）log（x+a）2x=2．（2）log4（3-x）+（3+x）=log4（1-x）+（2x+1）；（3）…O+=6；（4）lg（ax-1）-lg（x-3）=1．（1）要注意對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化關(guān)系；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形；（3）注意到兩項(xiàng)的聯(lián)系，利用整體思想先求出整體，進(jìn)一步求出方程的根；（4）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化與變形是解決本題的關(guān)鍵．注意對(duì)字母的討論．解：（1）該方程可變形為2x=（x+a）2,即x=1-a±/-],；,，'（當(dāng)aW:時(shí)），當(dāng)x=1-a-——1時(shí)，x+a=1-<0,故舍去.因此該方程的根為x=1-a+（當(dāng)aW’時(shí)），當(dāng)a>時(shí)，原方程無根.-9-Y（2）該方程可變形為log4/亍hg4，即，整理得x2-7x=0,解出x=0或者x=7（不滿足真數(shù)大于0,舍去）.故該方程的根為x=0.（3）該方程變形為」（.,丁.?/；-「■1'],」一[廣一=6，即_「；—「“令，則可得出t+：解得t二3±2.-=：,_J±/）-，因此x二±2.該方程的根為±2.

（4）原方程等價(jià)于ax-（4）原方程等價(jià)于ax-1>Cx-3>6,x-3—76由,—"得出axT=10x-30,該方程當(dāng)a=10jc-O,-PQ時(shí)沒有根，當(dāng)a/10時(shí)，x=,3~100.解出ae(',10).因此當(dāng)a￡a要使得是原方程的根，需滿足ax-1>0,且x-3>要使得是原方程的根，需滿足ax-1>0,且x-3>（,10）時(shí)，原方程的根為x二，當(dāng)a￡（-8,分析：應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)10gX2=l0gx,將方程變形，轉(zhuǎn)化為求函數(shù).Y十3a二.，:的~的上匚狼二,值域，通過二的取值范圍確定a的取值范圍.M：V3<x<4,方程即:log2(x+3)-log2x=a,log士=a<1,/.0<1-<分析：應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)10gX2=l0gx,將方程變形，轉(zhuǎn)化為求函數(shù).Y十3a二.，:的~的上匚狼二,值域，通過二的取值范圍確定a的取值范圍.M：V3<x<4,方程即:log2(x+3)-log2x=a,log士=a<1,/.0<1-<8<a<-2例13、已知a>0,a=1,試求使方程/cy-一in二二-J）有解的k的取值范圍.解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，原方程的解x應(yīng)滿足I(x-ak)2=x-ax-ak>0^/-(1)(2)(3)當(dāng)（1），（2）同時(shí)成立時(shí)（3）顯然成立，因此只需解(X-ak)12="孔(1)片-ak>0^(2)由(1)得2kx=a(1+k2)(4)當(dāng)k=0時(shí)，由a>0知（4）無解，因而原方程無解.當(dāng)k/0時(shí)，（4）的解是::\；把（5）代入（2）,得■’:「；在2k-'"解得：-8<卜<一1或0<k<1.綜合得，當(dāng)k在集合（-8,一1）口（0,1）內(nèi)取值時(shí)，原方程有解.三、學(xué)生對(duì)于本次課的評(píng)價(jià)：O特別滿意O滿意O一般O差學(xué)生簽字：四、教師評(píng)定：1、學(xué)生上次作業(yè)評(píng)價(jià)：O好O較好O一般O差2、學(xué)生本次上課情況評(píng)價(jià)：O好O較好O一般O差教師簽字:教研組簽字：教務(wù)處簽字：教研組簽字：教務(wù)處蓋章

1、1、的值是（A、B、1C、D、2TOC\o"1-5"\h\z2、設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6j那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+3、若32x+9=10?3x，那么x2+1的值為（）A、1B、2C、5D、1或54、已知2lg（x-2y）=lgx+lgy,則的值為（）yA、1B、4C、；D、或45、方程1。殳（x+4）=2x的根的情況是（）A、僅有一根B、有兩個(gè)正根C、有一正根和一個(gè)負(fù)根D、有兩個(gè)負(fù)根7、Qg-I)(3+2]Z)=；log"log2732=；(lg5)2+lg2^lg50=.AA、1B、bC、logbaD、alogba11、若方程log2（x+3）-log4x2二a的根在（3,4）內(nèi)，求a的取值范圍.2、設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c,那么（）A、，=+B、=+C、=+D、=+解：由a，b，c都是正數(shù)，且3a=4b=6c=M，則a=log3M，b=log4M，c=log6M/口￡&（lagba）3、若a>1,b>1,p=.，則ap3、若a>1,廬

/陷，30gt盧)解答：解：由對(duì)數(shù)的換底公式可以得出「=兀了一=loga(logba),因此，ap等于10gba.故選C.?..函數(shù)y="基;在定義域上是減函數(shù)，且；<[〃<：,，2<x<3.故選D.5、若32x+9=103x,那么x2+1的值為()A、1B、2C、5D、1或5分析：由題意可令3x=t,6>0),原方程轉(zhuǎn)化為二次方程，解出在代入乂2+1中求值即可.選D6、已知21g(x-2y)=1gx+1gy,則的值為()y1A、1B、4C、..D、或4解答：M：V21g(x-2y)=1g(x-2y)2=1g(xy),/.x2+4y2-4xy=xy.,.(x-y)(x-4y)=0，x二y(舍)或x=4y選C.7、方程1。%(x+4)=2x的根的情況是()D、有兩個(gè)負(fù)根A、僅有一根B、有兩個(gè)正根CD、有兩個(gè)負(fù)根專題：數(shù)形結(jié)合。選C.8選C.8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7?lg5=0的兩根為a、8,則a?8的值是（）A、lg7^lg5B、lg35C、35分析：由題意知，lga,lgB是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7?lg5=0的兩根，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得Iga+lg8=-（lg7+lg5）,再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得a?8的值.，a?8的值是注.選D.9、（29、（2n+1）2?2-2n-l+4n=2-2n/logA31-1^J2E一些分析：利用有理指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)（2m）2?2-2n-1：4n,用對(duì)數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)后兩個(gè)代數(shù)式.解答：解：（2解答：解：（2n+1）2?2-2n-1^4n=22n+2-2n-1-2n=21-2n1抽&2融=加猊=故答案為：了一一二;-10、（伊=1）（3+2、傷）=-2；log89?log2732=？；（lg5）2+lg2?lg50=1.解答：解：1y,,二」==，所以八￡二：i3—2」/1￡：-_；r「-'―/:，一二-2；1g91碗_aig351g2卜與9?hg27321二\[_丁16(lg5)2+lg2^lg50=(lg5)2+lg_?lg5X10=(lg5)2+(1-lg5)?(1+lg5)=116故答案為：-2；口；112、方程（4乂+4-）-2（2x+2-x）+2=0的解集是.{0}解答：解：令t=2x+2-x>0,則4x+4-x=t2—2原方程可以變?yōu)閠2-2t=0,故七=2,或者七=0（舍）故有2x+2-x=2即(2x)2-2X2x+1=0/.(2x-1)2=0/.2x=1即x=0故方程的解集為{0}13、方程乂儂=10的所有實(shí)數(shù)根之積是1.解答：解：方程xlgx=10的兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得lg2x=1,，lgx=±1,所以x=10或x=；10實(shí)數(shù)根之積為1．故答案為：114、不查表，求值：lg5-lgj^+lg2-3log32-1=-3.分析：根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則且lg5=1-lg2,可直接得到答案.解答：M：Vlg5-lgx,/+lg2-3log32-11=1-lg2-,lg2+lg2-2-2=0故答案為：0．15、不查表求值:U二一一-102+lg2=-190故答案為-193．16、(1)已知10gJ0=a,10g625=b，試用a,b表示10g445.(2)已知10g627=a，試用a表示10gl816.分析：(1)先用換底公式用a表示lg3,再用換底公式化簡(jiǎn)log625二b,把運(yùn)3代入求出lg2,再化簡(jiǎn)log445，把lg3、lg2的表達(dá)式代入即可用a，b表示log445.(2)先用換底公式化簡(jiǎn)log1816,由條件求出lg3,再把它代入化簡(jiǎn)后的log1816的式子._J272/-1產(chǎn)+1-~18、若a、B是方程lg2x-lgx2-2=0的兩根，求logaB+log^a的值.分析：利用對(duì)數(shù)的原式法則化簡(jiǎn)方程；將方程看成關(guān)于lgx的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得lga+lgB=2,lga-lgB=-2;利用換底公式將待求的式子用以10為底的對(duì)數(shù)表示，將得到的等式代入求出值．解答：解：原方程等價(jià)于lg2x-2lgx-2=0???a,B是方程的兩個(gè)根所以lga+lgB=2,lga?lgB=-2所以2,43K/-二：二：=即logaB+log^a=-319、解下列方程

log+2(4x+5)-log4+5(x2+4x+4)-1=0；32x+5=5^3x+2+2；考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。分析：(1)應(yīng)用對(duì)數(shù)換底公式，換元法，解一元二次方程，然后還原對(duì)數(shù)解答即可．(2)直接換元，解一元二次方程，然后再解指數(shù)方程即可．解答:解：(1)log+2(4x+5)-log4+5(x2+4x+4)-1=0化為log+2(4x+5)-2[log+2(4x+5)]-1-1=0令t=log+2(4x+5)上式化為：/—二—/—f—2-。禪二江-—九一二9當(dāng)10gx+2(4x+5)=-1時(shí)解得x=-1或x=—彳都不符合題意，舍去.當(dāng)logx+2(4x+5)=2時(shí)有x2=1,解得x=-1(舍去)，x=132x+5=5^3x+2+21令t=3x+2上式化為3t2-5t-2=0解得t=-(舍去)，t=2即3x+2=2x+2=log32所以x二,3:二;一二八k20、解關(guān)于x的方程.(1)log(x+a)2x=2．(2)log4(3-x)+(3+x)=log4(1-x)+(2x+1)；(2)(3)二二?「+二6;(4)(3)二二?「+二6;(4)lg(ax-1)-lg(x-3)=1．(1)要注意對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化關(guān)系；(2)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形；(3)注意到兩項(xiàng)的聯(lián)系，利用整體思想先求出整體，進(jìn)一步求出方程的根；(4)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化與變形是解決本題的關(guān)鍵．注意對(duì)字母的討論．(4)解答：解：(1)該方程可變形為2x=(x+a)2,即x=1-a±.1一二為(當(dāng)aW.時(shí))，當(dāng)x=1-a-

時(shí)，x+a=l-J?一必<。故舍去.因此該方程的根為x=l-a+(當(dāng)aw]時(shí))，當(dāng)a>時(shí)，原方程無根．311r(2)該方程可變形為log4.；>log4，即，整理得x2-7x=0,解出x=0或者乂=7(不滿足真數(shù)大于0,舍去).故該方程的根為x=0.(3)該方程變形為一,「1--J===-：-！)'、=，即1\亡「'—口，令，則可得出t+,3,解得t=3±2、」=±//-，因此x=±2.該方程的根為±2.ax-1>C",得出@*-1=10*-30,該方程當(dāng)"