沙子的開采-數(shù)學(xué)建模

沙子的開采問題摘要本文主要研究的是估算某一地區(qū)的含沙量，并做出開采沙子的收益分析。針對問題一，我們根據(jù)題中表格中已有的數(shù)據(jù)，利用線性插值的方法對相鄰兩點(diǎn)作線性外推，估算出了缺少的數(shù)據(jù)。然后通過matlab畫出地表、沙層頂部以及沙層低部的等高線。為了更精確的計(jì)算出表土層與沙層的體積，用matlab對數(shù)據(jù)進(jìn)行線性插值，將50米x50米的方格精確到1米x1米的小方塊。再利用體積公式近似計(jì)算出表土層與沙層的體積，進(jìn)而得到該礦含沙量超過400萬噸，表土體積小于沙子體積19%，可以對這項(xiàng)工程進(jìn)行投資。針對問題二，構(gòu)造單位面積的利潤函數(shù)，利用matlab軟件畫出利潤等值線。由于貼現(xiàn)的緣故，施工應(yīng)按照利潤由大到小的順序進(jìn)行。所以施工順序是按照等值線的分布進(jìn)行的。在確定每個(gè)階段的施工時(shí)間后，分別計(jì)算利潤，進(jìn)而求得總利潤。關(guān)鍵詞： 沙子的開采線性插值matlab貼現(xiàn)率一.問題簡述沙子作為最重要建筑材料之一，一直有著穩(wěn)定的市場。沙子在形成之后上面覆蓋著表土，由于表土層結(jié)構(gòu)松散，沙子只能露天開采即先將表土移走再挖沙子?，F(xiàn)有一開采地，四周有幾塊沼澤地。藍(lán)色隧道公司為生產(chǎn)建筑材料委托一支地質(zhì)隊(duì)調(diào)查該開采地，在開采地上畫的網(wǎng)格點(diǎn)處用空心管垂直鉆入地下.利用進(jìn)入空心管的厚度的開采地的面積可得出表土和沙子的體積，其中每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)中最上面一項(xiàng)是地表高度，中間一項(xiàng)是沙層頂部的高度，最下面一項(xiàng)是沙層底部的高度.由于地表存在沼澤地，部分網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)據(jù)沒有采集，即所給表中的數(shù)據(jù)空白處.現(xiàn)有該公司提供的相關(guān)材料，需要解決以下工作：(1)通過計(jì)算表土和沙子體積決定是否該對這項(xiàng)工程進(jìn)行投資，并畫出地表、沙層頂部以及沙層低部的等高線。(2)如果可以投資，根據(jù)已給數(shù)據(jù)和條件設(shè)計(jì)開采方案，做出收益分析作并求出相應(yīng)的利潤。二.問題分析問題一：開采地四周的沼澤地也存在沙子，所以要補(bǔ)充完整表格中的數(shù)據(jù)，即分別把表土高度、沙層頂部高度、沙層底部高度的數(shù)據(jù)估算出來。根據(jù)網(wǎng)格中已有的相關(guān)數(shù)據(jù)，取前后或上下兩個(gè)連著的數(shù)據(jù)，利用線性插值法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，然后用Matlab編程運(yùn)算分別得出表土高度、沙層頂部高度、沙層底部高度的等高線圖。題中給出的地表高度、沙層頂部和沙層底部高度的原始數(shù)據(jù)，相臨的點(diǎn)相距50米。為了更精確地計(jì)算表層體積，對沙子的儲量作精確的估算，用matlab軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，使得相臨的點(diǎn)彼此相距1米，每個(gè)網(wǎng)格是11的小方塊，經(jīng)過插值后的數(shù)據(jù)可更精確地反映沙層厚度分布情形。我們將所有的沙土匯集在單位網(wǎng)格，網(wǎng)格點(diǎn)補(bǔ)充完整后就根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)中的數(shù)據(jù)分別算出每個(gè)小區(qū)域的表土厚度(表土高度-沙層頂部高度)和沙層厚度(沙層頂部高度-沙層底部高度)，利用體積公式累加求出沙層、土層的總體積。問題二：為解決開采沙子的收益分析，首先要構(gòu)造利潤函數(shù)。在不考慮成本中每月10萬元的地區(qū)管理費(fèi)的情況下，單位面積利潤函數(shù)（單位：元/米2）只存在沙和土的密度與厚度這倆個(gè)變量，沙的銷售單價(jià)，沙和土的開挖費(fèi)和運(yùn)輸、處理費(fèi)都為固定值。根據(jù)所得利潤函數(shù)利用matlab軟件求得函數(shù)的等值線。由于每個(gè)月交納的10萬元地區(qū)管理費(fèi),再考慮到每月最多開挖量10萬噸的限制，只作出了該函數(shù)大于等于0的范圍,我們的施工設(shè)計(jì)局限于該范圍。由于10萬噸的限制將施工區(qū)域分成幾個(gè)部分，按階段施工，分別求出各階段的利潤，求和得出總利潤。三.模型假設(shè).假設(shè)題目中所給數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的。.開采地沙層與表土層都是連續(xù)的，近幾年不會發(fā)生地質(zhì)以及自然災(zāi)害造成地質(zhì)構(gòu)造的變化。.月貼現(xiàn)只針對利潤，并不包括其他費(fèi)用。.沙子的單價(jià)，開采費(fèi)用以及其他投入價(jià)格不會發(fā)生改變。.每月利潤當(dāng)月結(jié)算，所得收入在月底統(tǒng)一貼現(xiàn)。四.符號說明m1表土的質(zhì)量噸P1表土的密度噸/立方米v1表土的體積立方米m2沙子的質(zhì)量噸P沙子的密度噸/立方米v2沙子的體積立方米f(x,y)單位面積利潤函數(shù)磅/平方米p開采單位面積沙土所獲利潤磅符號說明單位符號

五.模型的建立與求解4.1問題一：要解決表土和沙子的體積就要填充網(wǎng)格中所空白數(shù)據(jù)，首先對網(wǎng)格中的所給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用二維線性插值法較精確地估算出表格中因沼澤地原因無法測得的數(shù)據(jù)。二維線性插值法方法如下:首先在X方向進(jìn)行線性插值，得到:—_x1-f(Q)wherex—x212 1x—x—xf(R)x,—f(Q2x-x2 1'J+x-x Jf(Q)wherex—x222 1然后在Y然后在Y方向進(jìn)行線性插值得到:這樣就得到所要的結(jié)果:f(x,y)x叫)(x-x)(y-y)(x-x)(y—y)+2f(Q) 12—MJ(x(x-x)(y-y)(「1)(y2-丁J(x-x)(y—y)+2f(Q) □□—(「1)(y2-丁J(x-x1)(y-y1)即得到如下數(shù)據(jù)表格:ABCDEFGHIJKLMNO22.322.0421.922.022.423.223.423.222.822.523.023.223.222.621.9019.119.019.319.520.020.620.419.919.3518.417.818.019.019.018.816.414.212.18.75.84.12.11.10.50.40.40.60.20.23.622.422.422.522.623.023.123.223.423.524.024.024.023.823.022.2120.419.519.619.719.920.020.019.819.920.019.819.619.519.319.113.710.68.46.06.03.21.61.01.11.00.80.90.80.36.022.322.622.722.823.123.323.423.423.524.224.124.124.023.022.5221.120.219.619.819.819.719.820.020.120.320.420.520.019.619.6118.24.32.12.21.40.60.50.3-0.2-0.10.00.70.45.022.122.622.923.023.123.523.623.423.623.824.024.224.023.022.5321.020.420.020.120.019.519.519.820.220.420.620.720.820.019.87.46.13.61.81.81.40.70.60.40.10.10.10.91.36.02222.823.023.123.223.423.824.024.024.023.923.823.723.422.6420.520.320.020.220.520.620.620.420.420.520.620.820.720.520.64.94.23.01.61.41.21.00.80.80.30.50.61.45.06.222.223.023.223.323.423.623.823.923.924.024.124.224.023.022.4519.820.020.120.320.420.720.921.020.920.820.820.720.320.320.93.63.53.02.01.51.11.00.90.60.60.97.18.38.97.9523.02423.323.123.523.423.323.223.123.022.922.822.722.522.2619.319.520.220.320.620.821.020.820.620.420.220.019.619.420.22.82.62.01.51.41.21.21.10.80.71.24.18.010.211.122.824.524.023.023.022.422.322.222.122.122.222.222.322.222.3718.819.020.220.320.720.921.020.620.420.019.419.219.018.718.91.00.80.70.71.21.21.52.32.43.07.010.214.014.714.724.325.024.023.022.321.521.020.922.022.221.922.122.022.022.1818.619.520.120.220.621.021.220.919.819.218.618.918.818.317.70.10.90.91.21.31.31.52.74.76.07.38.59.911.412.9再根據(jù)上述所給的表格，利用matalab軟件分別作出地表高度、沙層頂部高度、沙層底部高度的等高線圖（matlab數(shù)據(jù)程序見附錄）插值后的地表高度結(jié)果見圖5-1：圖5-1地表等高線插值后的沙層頂部高度結(jié)果見圖5-2：圖5-2頂部等高線插值后的沙層底部高度結(jié)果見圖5-3：圖5-3底部等高線對沙子體積的計(jì)算采用最基本的體積計(jì)算公式:體積二底面積X高度題中給出的地表高度、沙層頂部和沙層底部高度的原始數(shù)據(jù)，相臨的點(diǎn)彼此相距50米。為了更精確地反映地質(zhì)結(jié)構(gòu)，對沙子的儲量作精確的估算，用數(shù)學(xué)軟件包MATALAB對沙層厚度進(jìn)行插值，使得相臨的點(diǎn)彼此相距1米，每個(gè)網(wǎng)格是1X1（米）的小方塊,經(jīng)過插值后的數(shù)據(jù)可更精確地反映沙層厚度分布情形。由合理假設(shè)，該區(qū)域沒有復(fù)雜的地質(zhì)構(gòu)造?？梢哉J(rèn)為經(jīng)過插值后的在1X1（米）網(wǎng)格點(diǎn)處的函數(shù)值，是以此點(diǎn)為中心的單位方塊內(nèi)沙層厚度的平均值。計(jì)算出表土的體積是匕=867480立方米，沙子的體積是v2=4754900立方米。（代碼見附錄）再利用質(zhì)量最基本的計(jì)算公式：質(zhì)量二密度X體積計(jì)算沙子的質(zhì)量。由上述計(jì)算出的體積以及密度的值得:表土的質(zhì)量：m1=p1x匕=1350千克/立方米X867480立方米=1171098噸沙子的質(zhì)量：m2==p2xv2=1620千克/立方米義4754900立方米=7702938噸因?yàn)樯匙拥馁|(zhì)量為7702938噸＞400萬噸，沙子的體積是4754900立方米，4754900x19%=903431立方米。表土的體積是867480立方米＜903431立方米，所以該項(xiàng)目值得投資。5.2問題二：構(gòu)造利潤函數(shù)來解決開采沙子的收益分析，在不考慮成本中每月10萬磅的地區(qū)管理費(fèi)的情況下，單位面積利潤函數(shù)(單位:磅/平方米)其中的xi和yi分別是沙和土的密度與厚度,m是沙的銷售單價(jià)，ai和bi分別是沙和土的開挖費(fèi)和運(yùn)輸、處理費(fèi)(i=1,2)。f(x,y)=xlxylx(m-a1-b1)-x2xy2x(a2+b2)單位面積利潤函數(shù)f(x,y)只存在沙和土的密度與厚度這兩個(gè)變量，沙的銷售單價(jià)，沙和土的開挖費(fèi)和運(yùn)輸、處理費(fèi)都為固定值。根據(jù)所得利潤函數(shù)利用Matlab軟件求得函數(shù)的等值線。由于每個(gè)月交納的10萬元地區(qū)管理費(fèi),再考慮到每月最多開挖量10萬噸的限制，該函數(shù)的等值線圖如圖5-4所示。

圖5-4利潤等值線圖2只作出了該函數(shù)大于0的范圍，我們的施工設(shè)計(jì)也局限于該范圍。由于等值線將施工區(qū)域分成幾個(gè)部分，計(jì)劃按階段施工，各階段數(shù)據(jù)如表1所示。表1工程階段（月）1-19月20-4950-6162-6667-7071-7273-74757677開采區(qū)域f>6055<f<6050<f<5545<f<5040<f<4535<f<4030<f<3525<f<3020<f<255<f<20沙子的體積v212195001825200733550352130218220134090109560649424269054400利潤（經(jīng)貼3332127.53998373.51288242.8491397.0375607.3181450.8176001.086525.784451.275402.9現(xiàn)）月均利潤（經(jīng)貼現(xiàn)）175375.1133279.2107353.598279.493901.890725.488000.586525.784451.275402.9在計(jì)算貼現(xiàn)后的利潤時(shí)，要用到月貼現(xiàn)率，在進(jìn)行工程預(yù)算時(shí)，對每個(gè)月的利潤經(jīng)過現(xiàn)金貼現(xiàn)得到純現(xiàn)值，再相加得總利潤。在計(jì)算工程開始后第n個(gè)月利潤的純現(xiàn)值%,則用公式Pn=苦了，其中i是月貼現(xiàn)率，P是這個(gè)月的利潤值。根據(jù)各階段的利潤，求和得出總利潤為10189579.723磅。六.模型的評價(jià)與改進(jìn)模型的優(yōu)點(diǎn)本題選擇的模型簡單易懂，計(jì)算簡便，同時(shí)也結(jié)合了實(shí)際生產(chǎn)情況，對沙子的開挖過程具有一定的指導(dǎo)意義。問題一通過Matlab軟件對沙層厚度進(jìn)行線性插值，使得相鄰的點(diǎn)彼此距離為1m的，插值后的數(shù)據(jù)可更精確的地反映沙層厚度分布情況。問題二巧妙地結(jié)合的問題一求等高線的要求，求解得到了實(shí)際開挖中每階段可挖采的范圍。模型的缺點(diǎn)為計(jì)算方便，我們認(rèn)為開挖方式是一次挖到沙層的底部，可認(rèn)為是垂直開采，不考慮力學(xué)上的要求，故最終計(jì)算的利潤會存在一定誤差。為結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)情況，我們選擇相鄰階段的施工區(qū)域相鄰，而不是優(yōu)先選擇利潤最大的位置，這會導(dǎo)致所求利潤不是理論上的最大值。參考文獻(xiàn)【1】姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第三版）.高等教育出版社,2003.810附錄附錄一等高線繪制程序%用matlab讀入儲存在excel中的數(shù)據(jù)附錄1.1繪制地表等高線dibiao=data(1:3:27,:);[x,y]=meshgrid([1:15],[1:9]);contour(dibiao);[C,h]=contour(dibiao);clabel(C,h);title('地表等高線')附錄1.2繪制頂部等高線dingbu=data(2:3:27,:);[x,y]=meshgrid([1:15],[1:9