信號與系統(tǒng) 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析課件

*1第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析*1第2章1*2

LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸納為建立并求解線性微分方程。由于在分析過程中涉及的函數(shù)變量均為時間t，故又稱為時域分析法。這種方法直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。兩種時域分析方法：輸入輸出法是解一元n階微分方程，狀態(tài)變量法是解n元一階微分方程?！?.1引言*2LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸納為2*3系統(tǒng)時域分析的過程

一般根據(jù)系統(tǒng)特性列寫方程，主要根據(jù)元件的約束和網(wǎng)絡拓撲約束。解方程的方法主要是數(shù)學中所學的方法——經(jīng)典法、雙零法和變換域方法。零輸入響應可以用經(jīng)典法求，因為它是解齊次方程，而零狀態(tài)響應可以用卷積積分法求解。*3系統(tǒng)時域分析的過程3*4本章重點和難點線性系統(tǒng)完全響應的求解沖激響應的求法卷積的性質(zhì)零狀態(tài)響應等于激勵與沖激響應的卷積*4本章重點和難點線性系統(tǒng)完全響應的求解4*5

一、微分方程的建立

微分方程的列寫即物理模型的建立。描述系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型是線性常系數(shù)微分方程。對于電系統(tǒng)，列寫數(shù)學模型的基本依據(jù)有如下兩方面：

1.元件特性約束VAR

在電流、電壓取關聯(lián)參考方向條件下：

(1)電阻R，uR(t)=R·iR(t)；

§2.2微分方程式的建立與求解*5一、微分方程的建立§2.2微分方程式的建立與求解5*6

(2)電感L，

(3)電容C，

(4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關系等。2.拓撲結構約束指KCL與KVL

*66*7解：由KVL，列出電壓方程：對上式求導，考慮到

例：輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)為響應的方程式。

C得，*7例：輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)為7*8根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))整理上式后，可得：*8根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，整理上8*9

二、微分方程的經(jīng)典解描述LTI系統(tǒng)的激勵e(t)與響應r(t)之間關系的是n階常系數(shù)線性微分方程：

r(n)(t)+an-1r(n-1)(t)+…+a1r(1)(t)+a0r(t)=bme(m)(t)+bm-1e(m-1)(t)+…+b1e(1)(t)+b0e(t)

式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解，用rh(t)表示，非齊次方程的特解用rp(t)表示，則

r(t)(完全解)=rh(t)(齊次解)+rp(t)(特解)*9二、微分方程的經(jīng)典解9*10

1.齊次解齊次解滿足齊次微分方程

r(n)(t)+an-1r(n-1)(t)+…+a1r(1)(t)+a0r(t)=0

由高等數(shù)學經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為：

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0*101.齊次解10*11

(1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解：

(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)個根λγ+1，λγ+2，…，λn都是單根，則微分方程的齊次解：*11(1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相11*12

(3)特征根有一對單復根。即λ1,2=a±jb，則微分方程的齊次解：

rh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt(4)特征根有一對m重復根。即共有m重λ1,2=a±jb的復根，則微分方程的齊次解：*12(3)特征根有一對單復根。即λ1,2=a±jb，則微12*13

例：求微分方程

y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=e(t)的齊次解。解：由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1、λ2=-2。因此該方程的齊次解：

yh(t)=c1e-t+c2e-2t

例：求方程y’’(t)+2y‘(t)+y(t)=e(t)的齊次解。

解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根

λ1=λ2=-1，因此該方程的齊次解:yh(t)=c1e-t+c2te-t

*13例：求微分方程13*14

2.特解

特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關。教材P46表2-2列出了幾種類型的激勵函數(shù)e(t)及其所對應的特征解yp(t)。選定特解后，將它代入原微分方程，求出其待定系數(shù)Pi，就可得出特解。

*142.特解14*15

例：若輸入激勵e(t)=e-t，試求微分方程y″(t)+3y’(t)+2y(t)=e(t)的特解。解：查教材表2-2及注3，因為e(t)=e-t，α=-1與一個特征根λ1=-1相同，該方程的特解：將特解yp(t)代入微分方程，有：P0＝？P1＝？*15例：若輸入激勵e(t)=e-t，試求微分方程y″(15*16例：已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程

初始條件y(0)=1,y’(0)=2,輸入信號f(t)=e-tu(t)，求系統(tǒng)的完全響應y(t)。

特征根為齊次解yh(t)解：(1)求齊次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t)=0的齊次解yh(t)特征方程為*16例：已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程

初始16*172)求非齊次方程的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6由輸入f(t)的形式，設方程的特解為yp(t)=Ce-t將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3。3)求方程的全解*172)求非齊次方程的特解yp(t)解得A=5/2，B17*18

齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激勵的函數(shù)形式無關，稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應。

特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為系統(tǒng)的強迫響應。*18齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激18*19

若輸入是在t=0時刻接入系統(tǒng)，則確定齊次解中的待定系數(shù)時用t=0+時刻的初始條件，即從到狀態(tài)的轉(zhuǎn)換

包含激勵的作用，不便于描述系統(tǒng)歷史信息。

在時激勵尚未接入，該時刻的值反應了系統(tǒng)的歷史情況，而與激勵無關，稱這些值為系統(tǒng)的起始狀態(tài)或狀態(tài)?！?.3起始點的跳變

通常對于具體的系統(tǒng)，起始狀態(tài)一般容易求得。所以為了求解微分方程，就需要從已知的起始狀態(tài)設法求得初始條件。*19若輸入是在t=0時刻接入系統(tǒng)，則確定齊次解中的待19*20【例】如圖所示，t<0開關S處于1的位置而且已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)；當t=0時,S由1轉(zhuǎn)向2。建立電流i(t)的微分方程并求解i(t)在t0+時的變化。＋－R1＝1L＝1/4HC＝1Fe(t)=4ve(t)=2ViL(t)＋－R2＝3/2ic(t)i(t)S21*20【例】如圖所示，t<0開關S處于1的位置而且已經(jīng)達到穩(wěn)20*21【解】（1）列出電路的微分方程

回路方程：結點方程：(1)(2)(3)*21【解】（1）列出電路的微分方程回路方程：結點方程21*22

消去變量Vc(t):

最后帶入電路參數(shù)得：

消去變量iL(t)并整理:*22消去變量Vc(t):最后帶入電路參數(shù)得：消22*23(2)求系統(tǒng)的完全響應完全解＝齊次解＋特解齊次解：特征方程為：特征根為：齊次解為：*23(2)求系統(tǒng)的完全響應完全解＝齊次解＋特解齊次解：特23*24特解：由于t0+時,e(t)=4V

右端自由項為4X4，令特解為ip(t)＝B即10B＝4X4，B＝8/5則完全響應為：*24特解：由于t0+時,e(t)=4V右端自由項為424*25(3)確定換路后的I(0+)和di(0+)/dt換路前：*25(3)確定換路后的I(0+)和di(0+)/dt換路前25*26換路后的I(0+)和di(0+)/dt

換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變！*26換路后的I(0+)和di(0+)/dt換路期間電26*27(4)求解I(t)在t0+時的完全響應由解得*27(4)求解I(t)在t0+時的完全響應由解得27*28要求的完全響應為：*28要求的完全響應為：28*29

當系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從0－到0＋狀態(tài)有無跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項是否包含沖激函數(shù)及其各階導數(shù)。

沖激函數(shù)匹配法：系統(tǒng)在t=0時刻，微分方程左右兩端的沖激函數(shù)及其各階導數(shù)應該平衡相等?！禂?shù)匹配法*29當系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從0－到0＋29*30

線性時不變系統(tǒng)的完全響應也可分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應。零輸入響應是激勵為零時僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}所引起的響應；零狀態(tài)響應是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲能為零)時，僅由輸入信號所引起的響應。這樣，線性時不變系統(tǒng)的全響應將是零輸入響應和零狀態(tài)響應之和?！?.4零輸入響應和零狀態(tài)響應*30線性時不變系統(tǒng)的完全響應也可分解為零輸入響30*31

零輸入響應和零狀態(tài)響應也可以分別用經(jīng)典法求解。

注意：對于t=0時刻接入激勵f(t)的系統(tǒng)，其初始值的計算對于零輸入響應，由于激勵為零，故有對于零狀態(tài)響應，在0-時刻激勵尚未接入，故*31零輸入響應和零狀態(tài)響應也可以分別用經(jīng)典法求31*32【例】如圖所示電路中，電容兩端有起始電壓，激勵源為，求t>0時系統(tǒng)響應。+－+－Rvc(0)e(t)vc(t)+－兩端乘以：兩端求積分：得微分方程僅與激勵有關——零狀態(tài)響應僅與起始儲能有關——零輸入響應*32【例】如圖所示電路中，電容兩端有起始電壓32*33完全響應＝自由響應＋強迫響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應＝通解＋特解＝暫態(tài)響應＋穩(wěn)態(tài)響應教材例2-8*33完全響應＝自由響應＋強迫響應教材例2-833*34

一、沖激響應

由單位沖激信號δ(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，用h(t)表示?！?.5沖激響應和階躍響應

二、階躍響應

由單位沖激信號u(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，用g(t)表示。*34一、沖激響應§2.5沖激響應和階躍響應二34*35::*35::35*36*3636*37uuu*37uuu37*38

教材例2-9、2-10

系統(tǒng)的沖激響應h(t)反映的是系統(tǒng)的特性，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結構和元件參數(shù)有關，而與系統(tǒng)的外部激勵無關。但系統(tǒng)的沖激響應h(t)可以由沖激信號δ(t)作用于系統(tǒng)而求得。*38教材例2-9、2-1038*39

在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要將信號分解為基本信號的形式。這樣，對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治觯瑥亩鴮碗s問題簡單化，且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰。信號分解為沖激信號序列就是其中的一個實例。

§2.6卷積*39在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要39*40

設f1(t)和f2(t)是定義在(-∞，∞)區(qū)間上的兩個連續(xù)時間信號，我們將積分

定義為f1(t)和f2(t)的卷積(Convolution)，簡記為

積分的結果為另一個新的時間信號。一、卷積的定義*40設f1(t)和f2(t)是定義在(-∞，40*41二、卷積積分法求解零狀態(tài)響應

在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)時，將任意信號f(t)分解為沖激函數(shù)序列，然后令每一沖激函數(shù)單獨作用于系統(tǒng)并求其沖激響應，最后利用LTI系統(tǒng)特性，將這些響應疊加即可解得系統(tǒng)對激勵f(t)的零狀態(tài)響應yf(t)。這個疊加的過程表現(xiàn)為求卷積積分。*41二、卷積積分法求解零狀態(tài)響應41*42

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)為輸入激勵f(t)與系統(tǒng)的沖激響應h(t)的卷積積分:*42系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)為輸入激42*43

對于一些較簡單的函數(shù)符號，如方波、三角波等，可以利用圖解方式來計算。而且，熟練掌握圖解卷積的方法，對理解卷積的運算過程是有幫助的。

三、卷積圖解法*43對于一些較簡單的函數(shù)符號，如方波、三43*44

1.卷積積分的代數(shù)性質(zhì)

卷積積分是一種線性運算，它具有以下基本特征。

1)交換律四、卷積積分的性質(zhì)*441.卷積積分的代數(shù)性質(zhì)四、卷積積分的性質(zhì)44*45系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律*45系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律45*462)分配律

(f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)

兩個信號f1(t)與f2(t)疊加后通過某系統(tǒng)h(t)將等于兩個信號分別通過此系統(tǒng)h(t)后再疊加。

*462)分配律46*47卷積分配律示意圖*47卷積分配律示意圖47*48

3)結合律

u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t)*483)結合律48*492.奇異信號的卷積特性信號f(t)與沖激信號δ(t)的卷積等于f(t)本身，即：

或*492.奇異信號的卷積特性或49*50(2)信號f(t)與沖激偶δ’(t)的卷積等于f(t)的導函數(shù)證：即沖激偶δ’(t)是微分器！*50(2)信號f(t)與沖激偶δ’(t)的卷積等于f(t50*51(3)信號f(t)與階躍信號u(t)的卷積等于信號f(t)的積分證：即u(t)是積分器！*51(3)信號f(t)與階躍信號u(t)的卷積等于信號f51*523.卷積積分的微分和積分注意:(3)式使用的條件是被求導的函數(shù)在處為零值，或者被積分的函數(shù)在區(qū)間上的積分值為零。3.卷積的微分積分特性*523.卷積積分的微分和積分注意:(3)式使用的52*53uuuuuu(t)u(t)u(t)u*53uuuuuu(t)u(t)u(t)u53*544.卷積的時移*544.卷積的時移54*55由卷積時移性質(zhì)還可進一步得到如下推論：若f1(t)*f2(t)=y(t)，則

式中，t1和t2為實常數(shù)。

特別地，即是延時器！*55由卷積時移性質(zhì)還可進一步得到如下推論：若f1(t)*55*56

例：已知某線性非時變(LTI)系統(tǒng)如圖所示。圖中h1(t)=u(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，試求該系統(tǒng)的沖激響應h(t)。

解：當多個子系統(tǒng)通過級聯(lián)，并聯(lián)組成一個大系統(tǒng)時，大系統(tǒng)的沖激響應h(t)可以直接通過各子系統(tǒng)的沖激響應計算得到。*56例：已知某線性非時變(LTI)系統(tǒng)如圖所示。圖中h56*57h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)=h(t)*δ(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)

從圖可見，子系統(tǒng)h1(t)與h2(t)是級聯(lián)關系，而h3(t)支路與h1(t)及h2(t)組成的支路是并聯(lián)關系，因此*57h(t)=h1(t)57*58例：已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e-5tu(t)，試計算兩信號的卷積f1(t)*f2(t)。

解：上下限錯誤！缺少u(t)！*58例：已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e58*59

例：已知信號f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)與

f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，試計算f1(t)*f2(t)。

解:根據(jù)卷積積分的定義，可得

*59例：已知信號f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)59*60規(guī)定1：

p稱為微分算子，

的含義是。規(guī)定2：

如：微分算子與微分方程*60規(guī)定1：微分算子與微分方程60*61規(guī)定3：

稱為積分算子，

的含義是。*61規(guī)定3：61*62規(guī)定4：設為常數(shù)，則的含義是：*62規(guī)定4：設62*63規(guī)定5：設和是的正冪多項式，則方程所代表的方程是

算子方程：含微分算子的方程。*63規(guī)定5：設和是63*64

若稱為對的傳輸算子。它代表系統(tǒng)對輸入的傳輸作用，或系統(tǒng)將輸入轉(zhuǎn)移為輸出的作用，又稱為系統(tǒng)的傳輸算子。*64若64*65舉例1：對應的方程為或

*65舉例1：65*66性質(zhì)1：以的正冪多項式出現(xiàn)的算子式可以像代數(shù)多項式一樣進行相乘和因式分解。如：又如：

微分算子的性質(zhì)*66性質(zhì)1：以的正冪多項式出現(xiàn)的算子式可以像代數(shù)66*67性質(zhì)2：設和都是的正冪多項式，則：*67性質(zhì)2：設和都67*68性質(zhì)3：算子方程兩邊的公共因子不能隨便消去。如若則不一定成立！*68性質(zhì)3：算子方程兩邊的公共因子不能隨便68*69

電路系統(tǒng)中微分方程的建立元件名稱電路符號

關系運算模型電阻電容電感Ri(t)u(t)+-C+--i(t)u(t)L+i(t)u(t)-﹏*69電路系統(tǒng)中微分方程的建立元件名稱電路符號69*70建立系統(tǒng)微分算子方程的方法：

把R、PL、1/PC看成阻抗，用正弦穩(wěn)電路分析法中所采用的網(wǎng)孔分析法、節(jié)點分析法、阻抗分析法、戴維南定理等建立系統(tǒng)微分算子方程。*70建立系統(tǒng)微分算子方程的方法：70*71性質(zhì)4：設、、都是的正冪多項式，則：但是舉例：但*71性質(zhì)4：設、、71*72沖激響應為：當，時，沖激響應為：根據(jù)傳輸算子求沖激響應一階系統(tǒng)的沖激響應一階系統(tǒng)方程如下：其沖激響應應滿足：*72沖激響應為：當，72*73結論：

在求沖激響應時，算子式完全可以像普通代數(shù)式那樣進行運算，如消去公因子等。注意：

算子與相乘，表示系統(tǒng)對的傳輸，而不是使乘上一個數(shù)值系數(shù)。*73結論：73*74例:系統(tǒng)的傳輸算子如下，求出其沖激響應。解：例:某系統(tǒng)的沖激響應滿足算子微分方程式：傳輸算子為：*74例:系統(tǒng)的傳輸算子如下，求出其沖激響應。例:某系統(tǒng)的沖74*75因此系統(tǒng)的沖激響應為：*75因此系統(tǒng)的沖激響應為：75*76第二章作業(yè)2—6(1)2—9(1)2—13(1)(2)(4)2—20

*76第二章作業(yè)2—6(1)76*77第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析*1第2章77*78

LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸納為建立并求解線性微分方程。由于在分析過程中涉及的函數(shù)變量均為時間t，故又稱為時域分析法。這種方法直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。兩種時域分析方法：輸入輸出法是解一元n階微分方程，狀態(tài)變量法是解n元一階微分方程?！?.1引言*2LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸納為78*79系統(tǒng)時域分析的過程

一般根據(jù)系統(tǒng)特性列寫方程，主要根據(jù)元件的約束和網(wǎng)絡拓撲約束。解方程的方法主要是數(shù)學中所學的方法——經(jīng)典法、雙零法和變換域方法。零輸入響應可以用經(jīng)典法求，因為它是解齊次方程，而零狀態(tài)響應可以用卷積積分法求解。*3系統(tǒng)時域分析的過程79*80本章重點和難點線性系統(tǒng)完全響應的求解沖激響應的求法卷積的性質(zhì)零狀態(tài)響應等于激勵與沖激響應的卷積*4本章重點和難點線性系統(tǒng)完全響應的求解80*81

一、微分方程的建立

微分方程的列寫即物理模型的建立。描述系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型是線性常系數(shù)微分方程。對于電系統(tǒng)，列寫數(shù)學模型的基本依據(jù)有如下兩方面：

1.元件特性約束VAR

在電流、電壓取關聯(lián)參考方向條件下：

(1)電阻R，uR(t)=R·iR(t)；

§2.2微分方程式的建立與求解*5一、微分方程的建立§2.2微分方程式的建立與求解81*82

(2)電感L，

(3)電容C，

(4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關系等。2.拓撲結構約束指KCL與KVL

*682*83解：由KVL，列出電壓方程：對上式求導，考慮到

例：輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)為響應的方程式。

C得，*7例：輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)為83*84根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))整理上式后，可得：*8根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，整理上84*85

二、微分方程的經(jīng)典解描述LTI系統(tǒng)的激勵e(t)與響應r(t)之間關系的是n階常系數(shù)線性微分方程：

r(n)(t)+an-1r(n-1)(t)+…+a1r(1)(t)+a0r(t)=bme(m)(t)+bm-1e(m-1)(t)+…+b1e(1)(t)+b0e(t)

式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解，用rh(t)表示，非齊次方程的特解用rp(t)表示，則

r(t)(完全解)=rh(t)(齊次解)+rp(t)(特解)*9二、微分方程的經(jīng)典解85*86

1.齊次解齊次解滿足齊次微分方程

r(n)(t)+an-1r(n-1)(t)+…+a1r(1)(t)+a0r(t)=0

由高等數(shù)學經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為：

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0*101.齊次解86*87

(1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解：

(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)個根λγ+1，λγ+2，…，λn都是單根，則微分方程的齊次解：*11(1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相87*88

(3)特征根有一對單復根。即λ1,2=a±jb，則微分方程的齊次解：

rh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt(4)特征根有一對m重復根。即共有m重λ1,2=a±jb的復根，則微分方程的齊次解：*12(3)特征根有一對單復根。即λ1,2=a±jb，則微88*89

例：求微分方程

y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=e(t)的齊次解。解：由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1、λ2=-2。因此該方程的齊次解：

yh(t)=c1e-t+c2e-2t

例：求方程y’’(t)+2y‘(t)+y(t)=e(t)的齊次解。

解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根

λ1=λ2=-1，因此該方程的齊次解:yh(t)=c1e-t+c2te-t

*13例：求微分方程89*90

2.特解

特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關。教材P46表2-2列出了幾種類型的激勵函數(shù)e(t)及其所對應的特征解yp(t)。選定特解后，將它代入原微分方程，求出其待定系數(shù)Pi，就可得出特解。

*142.特解90*91

例：若輸入激勵e(t)=e-t，試求微分方程y″(t)+3y’(t)+2y(t)=e(t)的特解。解：查教材表2-2及注3，因為e(t)=e-t，α=-1與一個特征根λ1=-1相同，該方程的特解：將特解yp(t)代入微分方程，有：P0＝？P1＝？*15例：若輸入激勵e(t)=e-t，試求微分方程y″(91*92例：已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程

初始條件y(0)=1,y’(0)=2,輸入信號f(t)=e-tu(t)，求系統(tǒng)的完全響應y(t)。

特征根為齊次解yh(t)解：(1)求齊次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t)=0的齊次解yh(t)特征方程為*16例：已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程

初始92*932)求非齊次方程的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6由輸入f(t)的形式，設方程的特解為yp(t)=Ce-t將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3。3)求方程的全解*172)求非齊次方程的特解yp(t)解得A=5/2，B93*94

齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激勵的函數(shù)形式無關，稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應。

特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為系統(tǒng)的強迫響應。*18齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激94*95

若輸入是在t=0時刻接入系統(tǒng)，則確定齊次解中的待定系數(shù)時用t=0+時刻的初始條件，即從到狀態(tài)的轉(zhuǎn)換

包含激勵的作用，不便于描述系統(tǒng)歷史信息。

在時激勵尚未接入，該時刻的值反應了系統(tǒng)的歷史情況，而與激勵無關，稱這些值為系統(tǒng)的起始狀態(tài)或狀態(tài)?！?.3起始點的跳變

通常對于具體的系統(tǒng)，起始狀態(tài)一般容易求得。所以為了求解微分方程，就需要從已知的起始狀態(tài)設法求得初始條件。*19若輸入是在t=0時刻接入系統(tǒng)，則確定齊次解中的待95*96【例】如圖所示，t<0開關S處于1的位置而且已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)；當t=0時,S由1轉(zhuǎn)向2。建立電流i(t)的微分方程并求解i(t)在t0+時的變化。＋－R1＝1L＝1/4HC＝1Fe(t)=4ve(t)=2ViL(t)＋－R2＝3/2ic(t)i(t)S21*20【例】如圖所示，t<0開關S處于1的位置而且已經(jīng)達到穩(wěn)96*97【解】（1）列出電路的微分方程

回路方程：結點方程：(1)(2)(3)*21【解】（1）列出電路的微分方程回路方程：結點方程97*98

消去變量Vc(t):

最后帶入電路參數(shù)得：

消去變量iL(t)并整理:*22消去變量Vc(t):最后帶入電路參數(shù)得：消98*99(2)求系統(tǒng)的完全響應完全解＝齊次解＋特解齊次解：特征方程為：特征根為：齊次解為：*23(2)求系統(tǒng)的完全響應完全解＝齊次解＋特解齊次解：特99*100特解：由于t0+時,e(t)=4V

右端自由項為4X4，令特解為ip(t)＝B即10B＝4X4，B＝8/5則完全響應為：*24特解：由于t0+時,e(t)=4V右端自由項為4100*101(3)確定換路后的I(0+)和di(0+)/dt換路前：*25(3)確定換路后的I(0+)和di(0+)/dt換路前101*102換路后的I(0+)和di(0+)/dt

換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變！*26換路后的I(0+)和di(0+)/dt換路期間電102*103(4)求解I(t)在t0+時的完全響應由解得*27(4)求解I(t)在t0+時的完全響應由解得103*104要求的完全響應為：*28要求的完全響應為：104*105

當系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從0－到0＋狀態(tài)有無跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項是否包含沖激函數(shù)及其各階導數(shù)。

沖激函數(shù)匹配法：系統(tǒng)在t=0時刻，微分方程左右兩端的沖激函數(shù)及其各階導數(shù)應該平衡相等?！禂?shù)匹配法*29當系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從0－到0＋105*106

線性時不變系統(tǒng)的完全響應也可分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應。零輸入響應是激勵為零時僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}所引起的響應；零狀態(tài)響應是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲能為零)時，僅由輸入信號所引起的響應。這樣，線性時不變系統(tǒng)的全響應將是零輸入響應和零狀態(tài)響應之和?！?.4零輸入響應和零狀態(tài)響應*30線性時不變系統(tǒng)的完全響應也可分解為零輸入響106*107

零輸入響應和零狀態(tài)響應也可以分別用經(jīng)典法求解。

注意：對于t=0時刻接入激勵f(t)的系統(tǒng)，其初始值的計算對于零輸入響應，由于激勵為零，故有對于零狀態(tài)響應，在0-時刻激勵尚未接入，故*31零輸入響應和零狀態(tài)響應也可以分別用經(jīng)典法求107*108【例】如圖所示電路中，電容兩端有起始電壓，激勵源為，求t>0時系統(tǒng)響應。+－+－Rvc(0)e(t)vc(t)+－兩端乘以：兩端求積分：得微分方程僅與激勵有關——零狀態(tài)響應僅與起始儲能有關——零輸入響應*32【例】如圖所示電路中，電容兩端有起始電壓108*109完全響應＝自由響應＋強迫響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應＝通解＋特解＝暫態(tài)響應＋穩(wěn)態(tài)響應教材例2-8*33完全響應＝自由響應＋強迫響應教材例2-8109*110

一、沖激響應

由單位沖激信號δ(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，用h(t)表示?！?.5沖激響應和階躍響應

二、階躍響應

由單位沖激信號u(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，用g(t)表示。*34一、沖激響應§2.5沖激響應和階躍響應二110*111::*35::111*112*36112*113uuu*37uuu113*114

教材例2-9、2-10

系統(tǒng)的沖激響應h(t)反映的是系統(tǒng)的特性，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結構和元件參數(shù)有關，而與系統(tǒng)的外部激勵無關。但系統(tǒng)的沖激響應h(t)可以由沖激信號δ(t)作用于系統(tǒng)而求得。*38教材例2-9、2-10114*115

在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要將信號分解為基本信號的形式。這樣，對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治觯瑥亩鴮碗s問題簡單化，且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰。信號分解為沖激信號序列就是其中的一個實例。

§2.6卷積*39在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要115*116

設f1(t)和f2(t)是定義在(-∞，∞)區(qū)間上的兩個連續(xù)時間信號，我們將積分

定義為f1(t)和f2(t)的卷積(Convolution)，簡記為

積分的結果為另一個新的時間信號。一、卷積的定義*40設f1(t)和f2(t)是定義在(-∞，116*117二、卷積積分法求解零狀態(tài)響應

在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)時，將任意信號f(t)分解為沖激函數(shù)序列，然后令每一沖激函數(shù)單獨作用于系統(tǒng)并求其沖激響應，最后利用LTI系統(tǒng)特性，將這些響應疊加即可解得系統(tǒng)對激勵f(t)的零狀態(tài)響應yf(t)。這個疊加的過程表現(xiàn)為求卷積積分。*41二、卷積積分法求解零狀態(tài)響應117*118

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)為輸入激勵f(t)與系統(tǒng)的沖激響應h(t)的卷積積分:*42系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)為輸入激118*119

對于一些較簡單的函數(shù)符號，如方波、三角波等，可以利用圖解方式來計算。而且，熟練掌握圖解卷積的方法，對理解卷積的運算過程是有幫助的。

三、卷積圖解法*43對于一些較簡單的函數(shù)符號，如方波、三119*120

1.卷積積分的代數(shù)性質(zhì)

卷積積分是一種線性運算，它具有以下基本特征。

1)交換律四、卷積積分的性質(zhì)*441.卷積積分的代數(shù)性質(zhì)四、卷積積分的性質(zhì)120*121系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律*45系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律121*1222)分配律

(f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)

兩個信號f1(t)與f2(t)疊加后通過某系統(tǒng)h(t)將等于兩個信號分別通過此系統(tǒng)h(t)后再疊加。

*462)分配律122*123卷積分配律示意圖*47卷積分配律示意圖123*124

3)結合律

u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t)*483)結合律124*1252.奇異信號的卷積特性信號f(t)與沖激信號δ(t)的卷積等于f(t)本身，即：

或*492.奇異信號的卷積特性或125*126(2)信號f(t)與沖激偶δ’(t)的卷積等于f(t)的導函數(shù)證：即沖激偶δ’(t)是微分器！*50(2)信號f(t)與沖激偶δ’(t)的卷積等于f(t126*127(3)信號f(t)與階躍信號u(t)的卷積等于信號f(t)的積分證：即u(t)是積分器！*51(3)信號f(t)與階躍信號u(t)的卷積等于信號f127*1283.卷積積分的微分和積分注意:(3)式使用的條件是被求導的函數(shù)在處為零值，或者被積分的函數(shù)在區(qū)間上的積分值為零。3.卷積的微分積分特性*523.卷積積分的微分和積分注意:(3)式使用的128*129uuuuuu(t)u(t)u(t)u*53uuuuuu(t)u(t)u(t)u129*1304.卷積的時移*544.卷積的時移130*131由卷積時移性質(zhì)還可進一步得到如下推論：若f1(t)*f2(t)=y(t)，則

式中，t1和t2為實常數(shù)。

特別地，即是延時器！*55由卷積時移性質(zhì)還可進一步得到如下推論：若f1(t)*131*132

例：已知某線性非時變(LTI)系統(tǒng)如圖所示。圖中h1(t)=u(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，試求該系統(tǒng)的沖激響應h(t)。

解：當多個子系統(tǒng)通過級聯(lián)，并聯(lián)組成一個大系統(tǒng)時，大系統(tǒng)的沖激響應h(t)可以直接通過各子系統(tǒng)的沖激響應計算得到。*56例：已知某線性非時變(LTI)系統(tǒng)如圖所示。圖中h132*133h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)=h(t)*δ(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)

從圖可見，子系統(tǒng)h1(t)與h2(t)是級聯(lián)關系，而h3(t)支路與h1(t)及h2(t)組成的支路是并聯(lián)關系，因此*57h(t)=h1(t)133*134例：已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e-5tu(t)，試計算兩信號的卷積f1(t)*f2(t)。

解：上下限錯誤！缺少