普通物理專題研究課件

普通物理專題研究力學(xué)部分普通物理專題研究力學(xué)部分

參考書目：1、《大學(xué)物理》雜志有關(guān)文章2、《大學(xué)物理力學(xué)教學(xué)研究》北大蔡伯濂3、《電磁學(xué)專題研究》陳秉乾，高教4、《普通物理選論》楊慶裕，南京師大5、《電磁學(xué)討論》封小川，四川教育參考書目：一、功和能1.作功和質(zhì)點的動能定理在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)，作功與質(zhì)點的動能增量之間的關(guān)系可由牛頓第二定律直接導(dǎo)出。對選定的慣性系，牛頓第二定律可寫成：一、功和能1.作功和質(zhì)點的動能定理

左邊表示作用在質(zhì)點上的合力的功，作功是用作用在質(zhì)點上的力與質(zhì)點位移的標(biāo)積定義的。因為牛頓第二定律中的是質(zhì)點的速度，點乘的位移必須是質(zhì)點的位移，才可以積分。所以功的定義中關(guān)于位移的說法，應(yīng)該是質(zhì)點的位移，詳細(xì)例證見下面的討論。左邊表示作用在質(zhì)點上的合力的功，作功是用作用在質(zhì)點上的力與

2.關(guān)于功的定義的討論長期以來，不同教材對作功有不同定義，主要區(qū)別在于對作功中的位移這個量有不同的說法。①質(zhì)點位移；②物體位移；③力的作用點位移。如果討論的對象是質(zhì)點，三種說法用于處理具體問題得到的結(jié)果是一致的；如果討論質(zhì)點組，差別就表現(xiàn)出來了。2.關(guān)于功的定義的討論

例：關(guān)于人走路一種觀點：人能夠走動是靠地面的摩擦力作用。這種觀點認(rèn)為，從功和能的角度看，人由靜止到移動，具有一定的動能，一定是什么力對人作了功。地面對人有摩擦力，人有位移，力乘以位移就是功，即摩擦力對人作功，獲得動能。另一種觀點：從普遍的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律去分析：人走動時動能的增量是從人的機(jī)體內(nèi)部生物化學(xué)能轉(zhuǎn)化而來，人不吃飯則沒有能量補(bǔ)充是走不動路的。再說人如果抬腿走路，位移是向上的，而摩擦力是切向的，摩擦力不作功。例：關(guān)于人走路

兩種觀點反映出對功的定義的不同理解。第一種觀點是用人體位移來定義功，也就是用“物體位移”來定義功。對于一個內(nèi)部有相對運動的質(zhì)點組，各個質(zhì)點沒有共同的位移，所謂物體的位移是指質(zhì)心的位移。據(jù)質(zhì)心定理：兩種觀點反映出對功的定義的不同理解。

由質(zhì)心的位移計算的“功”與質(zhì)心動能變化關(guān)系沒有反應(yīng)出機(jī)械能與其他形式能量的轉(zhuǎn)化，說明按此計算功，不能全面和本質(zhì)反映功能關(guān)系，這種定義不足取，還是用質(zhì)點位移定義功為好。由質(zhì)心的位移計算的“功”與質(zhì)心動能變化關(guān)系沒有反應(yīng)出機(jī)械

在分析人走路時，認(rèn)為地面摩擦力不作功是正確的。這種觀點是按質(zhì)點位移計算功。地面靜摩擦力是作用在人腳上，腳沒有提起也就沒有位移，腳一旦提起，靜摩擦力消失，因此也不作功。據(jù)功能原理W非保=E-E0人走動時獲得的機(jī)械能增量是成對內(nèi)部非保守力做功的結(jié)果。而這些功正是生物化學(xué)能轉(zhuǎn)化而來。至于人走動時必須依靠地面的靜摩擦力，僅僅是地面的靜摩擦力為人的走動提供了條件（地面如果沒有靜摩擦力，人走動要消耗體內(nèi)更多能量，若有滑動摩擦力，則需克服滑動摩擦力作功）。在分析人走路時，認(rèn)為地面摩擦力不作功是正確的。這種觀點是按

關(guān)于用“力的作用點位移”來計算功也是一個不確切的概念。例：關(guān)于用“力的作用點位移”來計算功也是一個不確切的概念。

3.功與參照系的關(guān)系功的定義是作用在質(zhì)點上的力與質(zhì)點位移的標(biāo)量積。根據(jù)功的定義，并沒有提出有關(guān)參照系的選擇的限制，我們可以在任何一個參照系中去計算功，而不論是否是慣性系，只不過在不同參照系中計算功有不同的結(jié)果而已。但由質(zhì)點動能定理：力對質(zhì)點所作的功卻必須是在慣性系中進(jìn)行。3.功與參照系的關(guān)系

這是因為，在推導(dǎo)動能定理中用到牛頓第二定律，而牛頓第二定律在慣性系中成立。在應(yīng)用動能定理討論問題時，必須對同一慣性系去計算功及動能增量。在非慣性系中，作為出發(fā)點的牛頓第二定律還要加上慣性力，這時若在非慣性系中運用動能定理求功，需計算慣性力的功。這是因為，在推導(dǎo)動能定理中用到牛頓第二定律，而牛頓第二定律

討論：不同參照系計算摩擦力作功的爭議。當(dāng)一個物體在地面上滑動時，地面上的觀察者認(rèn)為，摩擦力對物體作了負(fù)功。而相對物體靜止的車上的觀察者認(rèn)為，物體雖受地面摩擦力的作用，但物體沒有位移，摩擦力不作功。兩個不同的觀察者（參照系）對摩擦力對物體作功得出不同結(jié)論，從他們不同的參照系看自然是正確的。但是，當(dāng)我們從“摩擦生熱”這個角度去分析這個例子時，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了矛盾。討論：不同參照系計算摩擦力作功的爭議。

摩擦生熱，物體溫度上升這個結(jié)果對任何觀察者（參照系）都是一樣。但按上例中，車上觀察者講，由于摩擦力對物體不作功，物體溫度不變。功的定義規(guī)定了功在不同的參照系中有不同的結(jié)果，即功的計算依賴于參照系的選擇。而“摩擦生熱”現(xiàn)象告訴我們摩擦力作功不應(yīng)該依賴于參照系的選擇，如何將兩者統(tǒng)一起來？當(dāng)參照系變換到車上以后，摩擦力對物體雖不作功，而作用在地面上的摩擦力的反作用力卻由于地面相對于車有位移，對地面作功。這個反作用力的功往往容易被忽略。摩擦生熱，物體溫度上升這個結(jié)果對任何觀察者（參照系）都是一

問題關(guān)鍵：在討論摩擦生熱現(xiàn)象時，必須同時考慮摩擦力作功和摩擦力的反作用力作功之和，以這一對作用力與反作用力功之和去量度有多少機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱運動能量。可以證明，一對滑動摩擦力作功之和是不隨參照系變換而變換的（不論變換到慣性系還是非慣性系）。從物理角度看，正是普遍的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律的一種表現(xiàn)：機(jī)械能和熱運動能量之間的轉(zhuǎn)化與守恒是不依賴參照系的選擇的。問題關(guān)鍵：在討論摩擦生熱現(xiàn)象時，必須同時考慮摩擦力作功和摩

結(jié)論：凡遵從牛頓第三定律的作用力與反作用力作功之和均與參照系的選擇無關(guān)。不論選取的參照系是慣性系還是非慣性系，也不論討論的是摩擦力還是其他性質(zhì)的力，這個結(jié)論都是正確的。詳見后面的證明。結(jié)論：

4.作用力與反作用力的功證明不論參照系怎樣變換，作用力與反作用力作功之和與參照系的選擇無關(guān)。4.作用力與反作用力的功

5.物體系的勢能在一般的教科書中講授勢能時，都強(qiáng)調(diào)了勢能屬于物體系的概念，但很少進(jìn)行深入的討論。下面以重力勢能為例加以討論：質(zhì)量為m的質(zhì)點沿任意路徑移動，重力對質(zhì)點作功為

W=-(mgh2-mgh1)重力是保守力，引出勢能的概念，保守力作功等于勢能增量的負(fù)值：

W保=-(EP2-EP1)5.物體系的勢能

并強(qiáng)調(diào)重力勢能屬于地球和質(zhì)點組成的系統(tǒng)所共有。由此產(chǎn)生疑問：①mg是作用在質(zhì)點m上的重力，這里并沒有分析地球的受力和運動，怎么把地球作為研究對象？②質(zhì)點和地球處在不同地位，又有什么根據(jù)把作為參考系的地球作為研究對象呢？③如果用重力作功的負(fù)值定義重力勢能增量,重力對質(zhì)點作功是隨參考系的不同選取而變化。例如，以地面為參考系，重力對質(zhì)點作功為-(mgh2-mgh1)，重力勢能增量為mgh2-mgh1，如果選取相對于m為靜止的參考系，重力對質(zhì)點不作功，豈不是得出重力勢能增量為零的結(jié)論？這個結(jié)論顯然不合理。并強(qiáng)調(diào)重力勢能屬于地球和質(zhì)點組成的系統(tǒng)所共有。由此產(chǎn)生疑問

如何解釋上述疑問？上述疑問是合理的，問題出在勢能建立過程是有漏洞的。在引入保守力這一概念時，不應(yīng)當(dāng)說一個力作功與路徑無關(guān)，而應(yīng)當(dāng)說一對作用力與反作用力作功之和與路徑無關(guān)，只決定于初態(tài)和終態(tài)的相對位置，具有這種性質(zhì)的力才是保守力。談?wù)摫Ｊ亓r，有意義的是保守力作的功，而保守力的功總是指一對作用力和反作用力作功之和,這個功之和的負(fù)值等于勢能的增量。所以相互作用物體都是我們的研究對象。如何解釋上述疑問？

在引入重力勢能時，已經(jīng)考慮了地球?qū)|(zhì)點作用力的功和質(zhì)點對地球反作用力的功，僅僅因為這對相互作用力的功之和與參考系選擇無關(guān)，我們在計算這一對相互作用力的功之和時，選用了最方便的辦法，選取地球為參考系，這對相互作用力的功之和也表現(xiàn)為重力對質(zhì)點作功了。即使我們不以地球為參考系，而以任何其他物體為參考系，計算這一對相互作用力的功之和，其結(jié)果都是相同的。在引入重力勢能時，已經(jīng)考慮了地球?qū)|(zhì)點作用力的功和質(zhì)點對地

因此W保=-(mgh2-mgh1)及

W保=-(EP2-EP1)兩式中的保守力作功都應(yīng)該理解為一對作用力與反作用力作功之和，而h1、h2也應(yīng)理解為質(zhì)點與地球之間的相對初態(tài)和終態(tài)位置。當(dāng)參考系變時，重力對質(zhì)點作功隨之而變，但一對作用力和反作用力作功之和仍然不變，重力勢能的增量仍然由相對位置h2和h1決定，即EP2-EP1=mgh2-mgh1對所有參考系都相同。因此W保=-(mgh2-mgh1)及

質(zhì)點動力學(xué)研究運動狀態(tài)變化的原因牛頓定律——狀態(tài)瞬時變化的原因；動量定理——經(jīng)歷一段時間狀態(tài)變化（原因：力對時間的積累效果）；動能定理——經(jīng)歷一個過程狀態(tài)變化（原因：力對空間的積累效果）剛體動力學(xué)研究轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化的原因轉(zhuǎn)動定律——狀態(tài)瞬時變化的原因；角動量定理——經(jīng)歷一段時間轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化（原因：力矩對時間的積累效果）轉(zhuǎn)動動能定理——經(jīng)歷一個過程轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化（原因：力矩對空間的積累效果）質(zhì)點動力學(xué)研究運動狀態(tài)變化的原因

二、動量守恒、角動量守恒和機(jī)械能守恒成立的條件及其應(yīng)用矢量力學(xué)的核心是牛頓的三個運動定律，三個運動定理（動量、角動量、功能）及其在特殊條件下的三個守恒定律以及應(yīng)用它們分析處理各種力學(xué)問題的基本方法。如果力學(xué)問題滿足三個守恒定律成立的條件，則應(yīng)用守恒定律處理問題最簡單。三個守恒定律無論宏觀領(lǐng)域還是微觀領(lǐng)域，低速運動還是高速運動都成立。牢牢掌握三個守恒定律很重要，有必要對它們的守恒條件進(jìn)行深入討論。二、動量守恒、角動量守恒和機(jī)械能守恒成立的條件及其應(yīng)用

1.動量守恒定律成立的條件●某一力學(xué)系統(tǒng)在某一過程中不受外力作用或所受合外力為零，則該力學(xué)系統(tǒng)在該過程中動量守恒?！駜?nèi)力不改變系統(tǒng)總動量，內(nèi)力使系統(tǒng)內(nèi)各部分之間進(jìn)行動量傳遞，但總動量保持不變。如原子核自裂變、炮彈自爆、太陽聚變反應(yīng)、用自己的手拉自己的頭發(fā)等等，系統(tǒng)內(nèi)各部分動量都發(fā)生了變化，但總動量保持不變?！裨趹?yīng)用動量守恒定律時，首先要確定力學(xué)系統(tǒng)在什么過程中所受合外力為零。所取系統(tǒng)不同，合外力計算結(jié)果不同。力學(xué)系統(tǒng)在運動過程中往往改變空間的物質(zhì)分布，在某過程中合外力為零，動量守恒，在這過程之后，合外力不一定為零，動量不一定守恒。1.動量守恒定律成立的條件

●力和動量都是矢量，力學(xué)系統(tǒng)動量守恒時，三個獨立方向上分力之和分別為零，三個獨立方向上動量分量保持不變。※取相互作用前、后兩個“極限”狀態(tài)列方程；※注意守恒定率中各質(zhì)點相對運動同時性?！窳蛣恿慷际鞘噶浚W(xué)系統(tǒng)動量守恒時，三個獨立方向上分力

●某力學(xué)系統(tǒng)合外力不為零，該系統(tǒng)動量不守恒，若在某一方向上外力的分力之和為零，則該力學(xué)系統(tǒng)在該方向上動量守恒?！駜?nèi)力>>外力，系統(tǒng)動量近似守恒。例如：人跳高或跳遠(yuǎn)或跳水，起跳后到落地前忽略空氣阻力不計，所受合外力只有重力，豎直向下，動量不守恒，但水平方向外力分量之和始終為零，所以水平方向動量守恒。人在空中挺胸、收腹、曲腿、伸腳等都是在內(nèi)力作用下，不改變?nèi)梭w的總動量。重力的持續(xù)作用改變?nèi)说目倓恿?。●某力學(xué)系統(tǒng)合外力不為零，該系統(tǒng)動量不守恒，若在某一方向上

2.角動量守恒定律成立的條件某一力學(xué)系統(tǒng)在某過程中不受外力矩作用或所受和外力矩為零，該力學(xué)系統(tǒng)在該過程中轉(zhuǎn)動狀態(tài)不變，即角動量守恒。角動量是描述力學(xué)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動狀態(tài)的物理量。保持轉(zhuǎn)動狀態(tài)不變是物體的固有屬性，叫做物體的轉(zhuǎn)動慣性。低速運動情況下，用轉(zhuǎn)動慣量描述。2.角動量守恒定律成立的條件

轉(zhuǎn)動狀態(tài)與外力矩?zé)o關(guān)，力矩是改變物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的（物理量）原因。沒有外力矩作用，物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)不變。同理，內(nèi)力矩不改變力學(xué)系統(tǒng)的總角動量。原子核自裂變、炮彈自爆、太陽聚變反應(yīng)、人拉自己的頭發(fā)均不改變各力學(xué)系統(tǒng)自身的總角動量。力矩和角動量都是軸矢量。同一力對不同定點力矩不同，質(zhì)元的同一動量對不同的定點角動量也不同。因此力矩和角動量只有相對某一定點或軸才有確切的物理意義。轉(zhuǎn)動狀態(tài)與外力矩?zé)o關(guān)，力矩是改變物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的（物理量）原

力學(xué)系統(tǒng)相對某一定點角動量守恒時，則相對該定點的外力矩在三個獨立方向分量之和分別為零，相對該定點的角動量在上述三個方向分量之和分別為常矢量。在定軸轉(zhuǎn)動的情況下，通常叫定軸角動量守恒，相對定軸合力矩為零，則該力學(xué)系統(tǒng)相對該軸角動量守恒。角動量守恒需指明哪個力學(xué)系統(tǒng)在什么過程對哪一點或?qū)δ骋惠S的角動量守恒，力學(xué)系統(tǒng)取的不同，過程不同,相對的點和軸取的不同，合外力矩計算結(jié)果就不同。力學(xué)系統(tǒng)相對某一定點角動量守恒時，則相對該定點的外力矩在三

合外力矩不為零，則力學(xué)系統(tǒng)的角動量不守恒。例如：人跳高、跳遠(yuǎn)、跳水起跳后到落地前對定點的合力矩都不為零（有重力矩）。因此人對定點的角動量都不守恒。但是，忽略空氣阻力不計，人對其質(zhì)心的角動量守恒（重力矩為零）。要改變?nèi)俗赞D(zhuǎn)的角速度，在不受外力矩作用下，必須改變?nèi)藢ζ滟|(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。對質(zhì)心，轉(zhuǎn)動慣量減?。ㄈ司砜s，各部分靠近質(zhì)心），則自轉(zhuǎn)角速度增大。宇宙飛船在空間飛行時，要使飛船獲得某方向上的角動量，可使噴出的氣體具有等量反向的角動量。若使飛船停止，也可產(chǎn)生相反方向的角動量。（例如《物理學(xué)》上冊，p152,4-21,p154,4-32）合外力矩不為零，則力學(xué)系統(tǒng)的角動量不守恒。例如：人跳高、跳

3.機(jī)械能守恒定律成立的條件某力學(xué)系統(tǒng)在某過程中，外力作功和內(nèi)耗散力的功的總和等于零，則該力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。中等物理學(xué)關(guān)于機(jī)械能守恒定律有以下三中表述：①力學(xué)系統(tǒng)只有動能和勢能之間相互轉(zhuǎn)化,機(jī)械能守恒。②沒有摩擦力和介質(zhì)阻力存在（或作功），力學(xué)系統(tǒng)只有動能和勢能之間相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒。③只有重力和彈力作功，力學(xué)系統(tǒng)只有動能和勢能之間相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒。以上三種表述是否科學(xué)？中學(xué)物理不講授保守力和耗散力，機(jī)械能守恒定律如何表述才比較科學(xué)？（討論）3.機(jī)械能守恒定律成立的條件

三種表述的共同點：強(qiáng)調(diào)沒有耗散力存在或沒有耗散力作功，除動能和勢能以外沒有其它形式的能量轉(zhuǎn)化。這些都不是機(jī)械能守恒的必備條件。較為科學(xué)的表述應(yīng)該是：“外力的功與內(nèi)耗散力功的總和為零，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。”內(nèi)力雖有耗散力，耗散內(nèi)力也作功，只要外力的功與耗散力的功總和為零，即機(jī)械能的耗損被外力的功及時補(bǔ)償，力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械能仍然守恒。例如：穩(wěn)態(tài)的強(qiáng)迫簡諧振動，阻尼力所耗散的機(jī)械能由周期性強(qiáng)迫力做功補(bǔ)償，系統(tǒng)機(jī)械能不隨時間變化，保持不變。三種表述的共同點：強(qiáng)調(diào)沒有耗散力存在或沒有耗散力作功，除動

中學(xué)物理不講保守力和耗散力，可表述為：“力做功的總效果使力學(xué)系統(tǒng)只有凈動能和勢能之間相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒”（《大學(xué)物理》88年7期）強(qiáng)調(diào)力作功是必要的，因機(jī)械能守恒是功能原理特殊條件下的結(jié)果。功能原理是動能定理的另一種表述形式，即中學(xué)物理不講保守力和耗散力，可表述為：“力做功的總效果使力

系統(tǒng)增加的動能是由勢能轉(zhuǎn)化而來的，因勢能減少了（增加的凈動能=減少的凈勢能）。“凈”能量代數(shù)和，并不排除機(jī)械能與其他形式能量的轉(zhuǎn)化。機(jī)械能守恒不允許有其他形式能量參與轉(zhuǎn)化。系統(tǒng)增加的動能是由勢能轉(zhuǎn)化而來的，因勢能減少了（增加的凈動

由功能原理可知機(jī)械能守恒條件大致有以下幾種說法：①∑Wi外+∑Wi內(nèi)耗=0，則∑Eki+∑Epi=恒量，系統(tǒng)的一切外力和非保守內(nèi)力作功之和為零，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。②Wi外=0，Wi內(nèi)耗=0，則∑Eki+∑Epi=恒量，系統(tǒng)只有保守力作功，外力和非保守內(nèi)力不作功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。第一種說法不嚴(yán)格：對于某一過程，如果∑Wi外+∑Wi內(nèi)耗=0，只能說明系統(tǒng)在過程的始末兩個狀態(tài)機(jī)械能相等，而不能確定在過程的每一時刻的機(jī)械能是守恒的。第二種說法條件是過于苛刻，它只能是充分條件，而非必要條件。由功能原理可知機(jī)械能守恒條件大致有以下幾種說法：

科學(xué)嚴(yán)格的表述應(yīng)該是第一種說法加上限制條件：即，在任一微小的過程中∑Wi外+∑Wi內(nèi)耗=0，或：只有當(dāng)∑Wi外+∑Wi內(nèi)耗=0對于過程的每一時刻均成立，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒的充分條件應(yīng)寫成微分形式：dW外+dW內(nèi)耗=0，（W外=∑Wi外）由功能原理求微分可得：科學(xué)嚴(yán)格的表述應(yīng)該是第一種說法加上限制條件：

即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒的充要條件是：在研究的整個過程中，外力和非保守內(nèi)力的功率代數(shù)和為零。（每個時刻的功）上述守恒條件在理論上式嚴(yán)格的，正確的，但實際中很難找到這一過程，自始至終每一微小過程外力作功與非保守力作功之和恰巧為零。正是由于這種考慮，大多數(shù)教材將條件表述得苛刻一些,只有保守力作功這樣更符合實際。再看W外+W耗=0，雖然在整個過程中不一定每個時刻系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，但始末兩個狀態(tài)機(jī)械能相等，說成守恒也未必不可以。即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒的充要條件是：

常說用能量觀點處理力學(xué)問題方便之處就在于不考慮過程的中間狀態(tài)。如果一個力學(xué)系統(tǒng)發(fā)生一個復(fù)雜的力學(xué)過程而很難用牛頓定律求解，若知過程中滿足W外+W耗=0條件，則可以不管系統(tǒng)中間狀態(tài)多么復(fù)雜（如彈性碰撞、穩(wěn)定的強(qiáng)迫振動），其過程始末兩狀態(tài)的機(jī)械能必守恒，這正是用機(jī)械能守恒處理問題的簡捷之處。常說用能量觀點處理力學(xué)問題方便之處就在于不考慮過程的中間狀

4.三個守恒定律的綜合應(yīng)用應(yīng)用三個守恒定律處理力學(xué)問題最簡便，關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)牧W(xué)系統(tǒng)，使其滿足守恒定律成立的條件，按三個守恒定律建立方程組求解。例題1：質(zhì)量為2m、長為L的均勻細(xì)桿靜止放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m，水平初速為v0的小球垂直于細(xì)桿對其一端進(jìn)行完全彈性碰撞。如圖，求：碰撞后小球的速度，細(xì)桿轉(zhuǎn)動角速度及質(zhì)心的速度。4.三個守恒定律的綜合應(yīng)用

解：取細(xì)桿與球組成一力學(xué)系統(tǒng)。該系統(tǒng)在水平方向無外力，豎直方向受重力和支持力大小相等方向相反，合外力為零，合外力矩為零，系統(tǒng)在水平方向運動，無外力作功，內(nèi)力無耗散力。所以該系統(tǒng)動量守恒、角動量守恒、機(jī)械能守恒。設(shè)碰撞后球速度v′，桿質(zhì)心平動速度vc，桿繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動角速度ω解：取細(xì)桿與球組成一力學(xué)系統(tǒng)。

球與桿的質(zhì)心平動動量守恒：（桿隨質(zhì)心平動）系統(tǒng)相對通過桿質(zhì)心且垂直水平面軸角動量守恒：系統(tǒng)機(jī)械能守恒（桿作平面運動，隨質(zhì)心平動和繞通過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動）球與桿的質(zhì)心平動動量守恒：（桿隨質(zhì)心平動）

由(1)(2)(3)解得碰撞后討論上述結(jié)果：碰撞后小球的速度與細(xì)桿的質(zhì)心速度相等，細(xì)桿同時還要繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，必與小球進(jìn)行第二次完全彈性碰撞。由(1)(2)(3)解得碰撞后普通物理專題研究課件

例題2：質(zhì)量為M,長為L的細(xì)桿，在光滑水平面上，質(zhì)點質(zhì)量為m，以v0初速度與桿發(fā)生完全非彈性碰撞，求碰后桿的運動。例題2：

解：在如圖所示坐標(biāo)下，碰撞系統(tǒng)質(zhì)心位置碰撞前后系統(tǒng)動量守恒所以桿質(zhì)心平動速度系統(tǒng)對質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動角動量守恒：桿繞質(zhì)心軸角速度解：在如圖所示坐標(biāo)下，碰撞系統(tǒng)質(zhì)心位置

例題3如圖所示：在光滑水平面上有一輕彈簧，勁度系數(shù)為k，它的一端固定，另一端系一質(zhì)量為m′的滑塊，最初滑塊靜止時，彈簧呈自然長度l0，今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿水平方向垂直于彈簧軸線射向滑塊且留在其中，滑塊在水平面內(nèi)滑動，當(dāng)彈簧被拉伸至l時，求滑塊的速度大小及方向（速度和彈簧線之間的夾角θ）例題3

分析：將整個運動分兩段考慮：①子彈和滑塊碰撞過程。因滑塊所系的是輕彈簧，又處在自然長狀態(tài)，因此子彈與滑塊碰撞可視為質(zhì)點系的完全非彈性碰撞過程。沿子彈運動方向外力為零，碰撞過程動量守恒。②子彈與滑塊碰后以共同速度運動時，由于彈簧不斷伸長，滑塊在受指向固定點的彈力的作用下作弧線運動，該力屬于有心力不產(chǎn)生力矩，因而滑塊在運動過程中滿足角動量守恒；與此同時，對滑塊、彈簧所組成的系統(tǒng)沒有外力和內(nèi)耗散力作功，機(jī)械能守恒，有：分析：將整個運動分兩段考慮：

解得解得

例題4質(zhì)量為M的物塊焊接上一個進(jìn)度系數(shù)為k的水平帶鉤的輕彈簧，置于光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球以水平初速度v0接近靜止的彈簧并與彈簧碰撞后鉤連在一起。設(shè)碰撞是完全彈性碰撞，求彈簧最大壓縮量及小球與彈簧和物塊組成系統(tǒng)相對振動的頻率。例題4

解：當(dāng)小球與彈簧碰撞并鉤連在一起，將壓縮彈簧，彈簧內(nèi)有彈性力，物塊加速運動，小球減速運動，由于開始小球速度大于物塊速度，彈簧繼續(xù)被壓縮，彈力增大，加速度增大，M速度增大，m速度減小，且要vm>vM，彈簧被壓縮直到二者速度相等，彈簧被壓縮到最大量。此過程系統(tǒng)在水平方向無外力作用，動量守恒，又因為無內(nèi)耗散力作用，機(jī)械能守恒。解：當(dāng)小球與彈簧碰撞并鉤連在一起，將壓縮彈簧，彈簧內(nèi)有彈性

分析系統(tǒng)的運動過程：球碰彈簧后壓縮彈簧直到最大量xm，二者此時有共同速度，由于繼續(xù)運動，彈簧開始伸長，M加速，m減速；經(jīng)自然長度時，受力為零，二者以原速度繼續(xù)運動，由M速度大，m速度小，繼續(xù)伸長彈簧，這時的彈力作用反向，使M減速，m加速，當(dāng)二者速度不等時，彈簧繼續(xù)伸長，直到二者等速，伸長到最大量，再運動；由于m加速，M減速，彈簧被壓縮，直到壓縮到最大。振動振幅為最大壓縮量或伸長量xm分析系統(tǒng)的運動過程：

圖圖

練習(xí)題1光滑桌面上，一根勁度系數(shù)為

k

的輕彈簧兩端聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的滑塊A和B。如果滑塊被水平飛來的質(zhì)量為m/4,速度為v0的子彈射中，并停留其中。試求運動方程中彈簧的最大壓縮量。練習(xí)題1

解：（1）子彈射入滑塊過程：動量守恒，機(jī)械能不守恒（2）彈簧被壓縮過程：A、B速度相等，壓縮量最大，動量守恒，機(jī)械能守恒※可對全過程應(yīng)用動量守恒，但能量守恒只能對第二過程。解：

練習(xí)2質(zhì)量為m，長為L的勻質(zhì)細(xì)桿豎直立于光滑的水平面上，無初速傾倒在光滑的水平面上，求：(1)桿在傾倒過程中的角速度和質(zhì)心速度的大小;(2)桿和水平面接觸點的速度大??；(3)桿落地時，上述各量的大小。練習(xí)2

解：設(shè)桿為剛體，剛體上各質(zhì)元之間的距離不變，剛體內(nèi)力作功為零，只有重力作功，細(xì)桿傾倒過程機(jī)械能守恒。設(shè)任一時刻細(xì)桿與豎直線的夾角為θ，初始時刻勢能為零，則（細(xì)桿作平面運動）細(xì)桿在水平方向無外力作用，水平方向動量守恒，細(xì)桿質(zhì)心在初始時刻水平速度分量為零，在運動過程中始終為零（質(zhì)心速度豎直向下，質(zhì)心軌跡為豎直向下直線），細(xì)桿觸地點A速度水平向左，由質(zhì)心速度和端點A繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的速度（垂直桿）合成：解：

練習(xí)3如圖，兩個物塊通過一根繩子跨過固定的滑輪聯(lián)結(jié)在一起，忽略滑輪和繩子的質(zhì)量，即不考慮滑輪的轉(zhuǎn)動。已知：M>m,M靜止在桌面上，抬高m使其自由下落h距離后，繩才被拉緊，求此時兩物體的速度及M所能上升的最大高度。練習(xí)3

解：m下落：機(jī)械能守恒mgh=1/2mv20繩子拉緊瞬間：系統(tǒng)動量守恒：mv0=(m+M)vM與m以共同速度v運動至M上升最高點：系統(tǒng)機(jī)械能守恒：1/2(m+M)v2+mgh1=MgH+mgh2,(h1-h2=H)解：

練習(xí)4

如圖所示，A和B兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質(zhì)量分別為m1和m2。問在A板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使A在跳起來時B稍被提起。（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k）練習(xí)4

分析:

運用守恒定律求解是解決力學(xué)問題最簡捷的途徑之一,因為它與過程的細(xì)節(jié)無關(guān)，也常常與特定力的細(xì)節(jié)無關(guān)?！笆睾恪眲t意味著在條件滿足的前提下，過程中任何時刻守恒量不變．在具體應(yīng)用時，必須恰當(dāng)?shù)剡x取研究對象（系統(tǒng)），注意守恒定律成立的條件．該題可用機(jī)械能守恒定律來解決．選取兩塊板、彈簧和地球為系統(tǒng)，該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后（取作狀態(tài)1），直到B板剛被提起（取作狀態(tài)2），在這一過程中，系統(tǒng)不受外力作用，而內(nèi)力中又只有保守力（重力和彈力）作功，支持力不作功，因此，滿足機(jī)械能守恒的條件．只需取狀態(tài)1和狀態(tài)2，運用機(jī)械能守恒定律列出方程，并結(jié)合這兩狀態(tài)下受力的平衡，便可將所需壓力求出．分析:

解：選取如圖所示坐標(biāo)，取原點O處為重力勢能和彈性勢能零點。作各狀態(tài)下物體的受力圖，對A板而言，當(dāng)施以外力F時，根據(jù)受力平衡有

F1=P1+F------（1）當(dāng)外力撤除后，按分析中所選的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可得式中y1、y2為M、N兩點對原點O的位移．因為F1=ky1，F(xiàn)2=ky2及P1=m1g，上式可寫為解：

由式（1）、（2）可得F=P1+F2-------(3)

當(dāng)A板跳到N點時，B板剛被提起，此時彈性力F2′=P2，且F2=F2′

．由式（3）可得

F=P1+P2=(m1+m2)g應(yīng)注意，勢能的零點位置是可以任意選取的．為計算方便起見，通常取彈簧原長時的彈性勢能為零點，也同時為重力勢能的零點.

練習(xí)5如圖所示，有一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO′自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J0，環(huán)的半徑為R，初始的角速度為ω0，今有一質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)A點，由于微小擾動使小球向下滑動．問小球到達(dá)B、C點時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的速度各為多少？（假設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑）練習(xí)5

分析雖然小球在環(huán)中作圓周運動，但由于環(huán)的轉(zhuǎn)動，使球的運動規(guī)律復(fù)雜化了．由于應(yīng)用守恒定律是解決力學(xué)問題最直接而又簡便的方法，故以環(huán)和小球組成的轉(zhuǎn)動系統(tǒng)來分析．在小球下滑的過程中，重力是系統(tǒng)僅有的外力，由于它與轉(zhuǎn)軸平行，不產(chǎn)生外力矩，因此，該系統(tǒng)對軸的角動量守恒，若以小球位于點A、B處為初、末兩狀態(tài)，由角動量守恒定律可解得小球在點B時環(huán)的角速度ωB．分析

在進(jìn)一步求解小球在點B處相對環(huán)的速度vB時，如果仍取上述系統(tǒng)，則因重力（屬外力）對系統(tǒng)要作功而使系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒；若改取小球與地球為系統(tǒng)，也因環(huán)對小球的作用力在轉(zhuǎn)動過程中作功，而使系統(tǒng)的機(jī)械能守恒仍不能成立；只有取環(huán)、小球與地球為系統(tǒng)時，系統(tǒng)才不受外力作用，而重力為保守內(nèi)力，環(huán)與球的相互作用．力雖不屬保守內(nèi)力，但這一對力所作功的總和為零，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，根據(jù)兩守恒定律可解所需的結(jié)果。但必須注意：在計算系統(tǒng)的動能時，既有環(huán)的轉(zhuǎn)動動能，又有小球?qū)Φ氐膭幽埽ㄋ梢暈樾∏螂S環(huán)一起轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能與小球相對于環(huán)運動的動能在進(jìn)一步求解小球在點B處相對環(huán)的速度vB時，如果仍取上述系

解：以環(huán)和小球為轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，由系統(tǒng)的角動量守恒有取環(huán)、小球與地球為系統(tǒng)時，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒可得由式（1）、（2）可解得小球在B點時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的線速度分別為小球在C點時，由于總的轉(zhuǎn)動慣量不變，用同樣的方法可得環(huán)的角速度和小球相對于環(huán)的速度分別為解：以環(huán)和小球為轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，由系統(tǒng)的角動量守恒有矢量投影教學(xué)中的概念訓(xùn)練

牛頓力學(xué)被稱為矢量力學(xué)，它的運動學(xué)以及動量、角動量規(guī)律都是以矢量形式出現(xiàn)的，具有普遍、簡潔的特色。但是，在求解矢量問題時，直接采用矢量代數(shù)、矢量積或矢量積分的方法往往不便。另外，在簡單的一維運動中，如直線運動，剛體定軸轉(zhuǎn)動，物理量及相應(yīng)的規(guī)律卻常常以標(biāo)量形式出現(xiàn)，它們和矢量性質(zhì)又是什么關(guān)系？這兩個問題涉及到力學(xué)教學(xué)中一種重要的基本訓(xùn)練——將有關(guān)的矢量向選定的正交坐標(biāo)系各軸投影，將矢量形式的方程變?yōu)橐唤M標(biāo)量方程。而其中關(guān)鍵的概念是這些標(biāo)量的雙向特性，即它們是代數(shù)量（在某些情況下也可能退化為算數(shù)量）。教學(xué)實踐證明，很多學(xué)生不能很好地掌握這一概念，以至于有人在學(xué)完力學(xué)去解電磁學(xué)習(xí)題時還出現(xiàn)隨意增抹符號的概念錯誤。矢量投影教學(xué)中的概念訓(xùn)練牛頓力學(xué)被稱為矢量力學(xué)

一、運動學(xué)1、矢量在直角坐標(biāo)系中投影按照右手螺旋定則選取直角坐標(biāo)系的各坐標(biāo)正向，確定單位矢量i、j、k方向。由矢量投影得到一組分矢量，各單位矢量前面的系數(shù)，即為具有雙向性質(zhì)的代數(shù)量。分矢量的方向由各單位矢量及標(biāo)量正負(fù)確定，如i代表x方向，i的系數(shù)>0，正向，<0，負(fù)向。一、運動學(xué)

ax、ay、az的正負(fù)不能說明作加速還是減速度運動，可以說明沿坐標(biāo)軸的正、負(fù)方向。

若加速度與速度符號相同，質(zhì)點作加速運動；若加速度與速度符號相反，質(zhì)點作減速運動。如：ax<0，vx<0，質(zhì)點在x軸負(fù)方向作加速運動，ax>0，vx<0，質(zhì)點在x軸負(fù)方向作減速運動。電磁學(xué)中電場、磁場矢量投影，電流、電動勢標(biāo)量都存在雙重性問題。ax、ay、az的正負(fù)不能說明作加速還是減

例題：湖中有一小船，人在高為H的岸上用繩子跨過一定滑輪以恒定速率v0收繩拉船靠岸，求船運動的速度和加速度。解：以船為研究對象，其運動方程沿x軸反方向，v0為收繩速度，即繩速是繩上各點沿繩運動的快慢，繩速和船速是兩個不同的概念，不能認(rèn)為船的運動速度是繩速的分量。定量描述船的運動和規(guī)律，必須建立確定的坐標(biāo)系，寫出船在坐標(biāo)系中的運動方程r=r(t)，根據(jù)速度和加速度定義即可求解。在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，船運動方程為：例題：湖中有一小船，人在高為H的岸上用繩子跨過一定滑輪以恒

此題也可求出船沿x方向運動方程的代數(shù)式：此題也可求出船沿x方向運動方程的代數(shù)式：

2、矢量在極坐標(biāo)系投影質(zhì)點在極坐標(biāo)下的運動方程為：r=r(t)(矢徑)，θ=θ(t)（幅角）2、矢量在極坐標(biāo)系投影

利用平面極坐標(biāo)系分析上例拉小船的問題：利用平面極坐標(biāo)系分析上例拉小船的問題：

3、矢量在自然坐標(biāo)系中投影自然坐標(biāo)系的兩個正方向為切向和法向，相應(yīng)的單位矢量為切向單位矢量和法向單位矢量3、矢量在自然坐標(biāo)系中投影

比較在三種坐標(biāo)系中的矢量投影：①直角坐標(biāo)系中的各分量（x,vx,ax）都是代數(shù)量；②極坐標(biāo)系中的速度分量(vr,vθ)都是代數(shù)量；③自然坐標(biāo)系中的速度、加速度投影后，若切向單位矢量選為速度方向，則：切向速度分量vt=v退化為算數(shù)量，法向速度分量為零；切向加速度分量at=dv/dt為代數(shù)量，法向加速度分量an=v2/ρ

為算數(shù)量。

矢量投影教學(xué)的概念還貫穿于力學(xué)教學(xué)的其他章節(jié)如牛頓第二定律的應(yīng)用、功的計算等。比較在三種坐標(biāo)系中的矢量投影：

二、關(guān)于牛頓第二定律應(yīng)用的關(guān)鍵是：分量方程的代數(shù)量正負(fù)問題。在直線運動中：將牛頓第二定律F=ma在直角坐標(biāo)系中投影（二維）：

Fx=maxFy=mayFx、Fy、ax、ay都是代數(shù)量取定坐標(biāo)正向后，作用在質(zhì)點上的各個力及加速度若沿坐標(biāo)正向取正，反之取負(fù)，求出每個力或加速度，若大于零，沿坐標(biāo)正向，小于零，沿坐標(biāo)反向。技巧：取加速度方向為正向。在曲線運動中，同法處理。二、關(guān)于牛頓第二定律應(yīng)用的關(guān)鍵是：

三、在功的計算中例如：一質(zhì)點m在重力作用下從a點移到b點，點a和點b距地面高度為ya、yb，重力作功Wab=?三、在功的計算中

例如:水平放置的彈簧振子,求彈性力作的功(質(zhì)點由a→b)例如:水平放置的彈簧振子,求彈性力作的功(質(zhì)點由a→b)

如果將上題中初、終位置顛倒，重新計算此功。無論振子在原點的哪一方，也無論朝哪一個方向運動，元功都應(yīng)是-kxdx四、在動量定理、動量守恒定律中因為動量具有矢量性、瞬時性、相對性所以定理、定律也一樣，求解時一般采取兩個方法：①分量法（建立坐標(biāo)，代數(shù)量正負(fù)）②矢量疊加法（畫矢量圖，幾何關(guān)系）如果將上題中初、終位置顛倒，重新計算此功。

練習(xí)題1：練習(xí)題1：

練習(xí)題2：在光滑水平桌面上，平放固定半圓形屏障，俯視圖如右，質(zhì)量為m的滑塊以v0沿切線從一側(cè)進(jìn)入，滑塊與屏障間摩擦系數(shù)為μ，求從另一側(cè)滑出的速度大小。解：建立自然坐標(biāo)系，設(shè)速度方向為et正向，切向加速度取為坐標(biāo)正向。根據(jù)牛頓第二定律列切向和法向方程滑塊受屏障摩擦力f=μN(yùn)，支持力N練習(xí)題2：在光滑水平桌面上，平放固定半圓形屏障，俯視圖如右非慣性參照系中機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定律

在物理學(xué)中如何選擇適當(dāng)?shù)膮⒄障凳且粋€重要問題，力學(xué)中通常選用慣性參照系，但有時也選用非慣性參照系。要在非慣性參照系中沿用牛頓定律解力學(xué)問題，必須附加慣性力。在非慣性參照系中機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定律是否可沿用？從一個實例出發(fā)進(jìn)行討論。如圖所示：質(zhì)量分別為m1、m2的兩個自由質(zhì)點在萬有引力的吸引下，從靜止?fàn)顟B(tài)（其間距為r0）開始運動，當(dāng)運動到間距為r0/2時，求m2相對m1的速度。非慣性參照系中機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定律在物理學(xué)中如何選擇

下面討論，在非慣性系如何沿用機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律。下面討論，在非慣性系如何沿用機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律。

在非慣性系中，即使外力F=0,還必須考慮慣性力作功，機(jī)械能守恒定律不能直接用。在非慣性系中，即使外力F=0,還必須考慮慣性力作功，機(jī)械能

下面進(jìn)一步討論前面解法二在解法二中，m1看作靜止，也就是把m1選為參照系，是一個非慣性系，質(zhì)點m2除受m1引力F′作用，還受慣性力f作用,兩力分別為：下面進(jìn)一步討論前面解法二

綜上所述，在非慣性系里沿用機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定律必須增加等效引力場勢能這一項，功能原理中要增加慣性力作功這一項。例題：以勻加速a上升的升降機(jī)內(nèi)，有一質(zhì)量為m的小球，從離開升降機(jī)底面高為h的臺面以初速v0′水平拋出，求小球落到升降機(jī)底面時，相對于升降機(jī)的速度。解：選取升降機(jī)為非慣性參照系，取升降機(jī)底面為勢能零點：根據(jù)機(jī)械能守恒定律：綜上所述，在非慣性系里沿用機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定

選取以地面為慣性系進(jìn)行驗證。選取以地面為慣性系進(jìn)行驗證。經(jīng)典變質(zhì)量問題的教學(xué)處理

有些教材把火箭發(fā)射這類例子稱為“變質(zhì)量”問題。其實在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)，質(zhì)量變不變是一個研究對象的選取問題。以火箭發(fā)射為例，研究對象可以有不同的選取?？紤]在t到t+△t一段時間間隔，

如果把在△t時間要噴射的物質(zhì)不作為我們的研究對象，對于除了噴射物質(zhì)的火箭主體，在△t時間內(nèi)它的質(zhì)量不變，并且可當(dāng)作質(zhì)點應(yīng)用質(zhì)點力學(xué)規(guī)律；

如果把噴射物質(zhì)作為研究對象，在噴射過程中質(zhì)量不變，也不存在變質(zhì)量問題；

如果把火箭主體連同噴射物質(zhì)一起作為研究對象，同樣也不存在變質(zhì)量問題，只不過這時火箭主體與噴射物質(zhì)在時刻t有共同運動，在時刻t+△t各自有不同的運動，這樣的對象不能看作是質(zhì)點，只能看作質(zhì)點組應(yīng)用質(zhì)點組動量定理或質(zhì)心定理。以上三種研究對象都不存在變質(zhì)量問題。經(jīng)典變質(zhì)量問題的教學(xué)處理有些教材把火箭發(fā)射這類例子稱為

那么，什么樣一種情形才有“變質(zhì)量”問題呢？例如：在t時刻把火箭主體連同未噴射物質(zhì)作為研究對象，在t+△t時刻只把火箭主體作為研究對象。研究對象變了，質(zhì)量當(dāng)然也變了，但是作用力的含義也不同了。在沒有必要的場合下，把研究對象前后作這種變動容易引起混亂。另外，把某些力學(xué)問題，如有質(zhì)量流進(jìn)或流出的開放系統(tǒng)冠以“變質(zhì)量”的名稱，使人覺得似乎這些力學(xué)問題遵從“變質(zhì)量”的力學(xué)規(guī)律，這是一種誤解。在牛頓力學(xué)中，我們的研究對象或者是質(zhì)點，它遵從牛頓定律、質(zhì)點動能定理、動量定理等質(zhì)點動力學(xué)規(guī)律；或者是質(zhì)點組，它遵從質(zhì)點組功能原理、動量定理等質(zhì)點組動力學(xué)規(guī)律。不存在“變質(zhì)量”的動力學(xué)規(guī)律。處理這類問題的關(guān)鍵：選擇一個確定的研究對象，應(yīng)用動量定理求解。那么，什么樣一種情形才有“變質(zhì)量”問題呢？

例1.火箭發(fā)射（1）以火箭主體為研究對象設(shè)火箭+燃料系統(tǒng)總質(zhì)量為M（主體），△t時間內(nèi)有△M噴出。噴出的燃料不作為研究對象。火箭主體t時刻的質(zhì)量M+△M（△M為負(fù)值），對地面速度為v，t+△t時，質(zhì)量仍為M+△M，速度為v+△v?；鸺黧w所受外力有：噴射物對它的反沖力f反沖，其他外力f1(含重力、阻力)根據(jù)質(zhì)點動量定理（在一條直線上）(f1+f反沖)△t=(M+△M)(v+△v)-(M+△M)v=(M+△M)△v

f1、f反沖力的方向都設(shè)為向上，具體考慮每個力時，再確定其方向，如-mg例1.火箭發(fā)射

兩邊除以△t取極限：（2）以噴射物質(zhì)為研究對象t時刻，噴射物質(zhì)的質(zhì)量為-△M(△M為負(fù))，對地速度為v（隨火箭一起運動）t+△t時刻，噴射物質(zhì)質(zhì)量仍為-△M，相對火箭主體反向運動，速度為u，對地速度為v+△v-u受力為：火箭對其作用力其它外力f2（重力、阻力）兩邊除以△t取極限：

據(jù)質(zhì)點動量定理：據(jù)質(zhì)點動量定理：

（3）以火箭主體連同噴射物質(zhì)一起作為研究對象（大多數(shù)教材采取的辦法）t時刻：質(zhì)點組質(zhì)量M，對地速度v;t+△t時刻：火箭主體與噴射物質(zhì)有不同的運動?；鸺黧w：質(zhì)量為(M+△M),對地速度為(v+△v)噴射物質(zhì)：質(zhì)量-△M,對地面速度(v+△v-u)質(zhì)點組受力：重力（-Mg）和阻力，用f表示根據(jù)質(zhì)點組動量定理：（3）以火箭主體連同噴射物質(zhì)一起作為研究對象

例2：鏈條下落

一質(zhì)量為M，長為L的柔軟鏈條自靜止下落，求下落到離地面高為y處，地面對上端鏈條的作用力及鏈條對地面的壓力。解：這是一個質(zhì)點組，可取不同的研究對象考慮。選取向上為y正向，鏈條自靜止下落了L-y時，地面上端鏈條的速度v為：（上端鏈條上每點速度都是此值，因下落同高）取緊靠地面的一個小質(zhì)元dm，與地面碰撞前動量vdm，碰撞后靜止，動量為零。dm受力：地面作用力f，重力dmg。對dm應(yīng)用質(zhì)點動量定理：

(f-dmg)dt=0dm-(-vdm)=vdm例2：鏈條下落

略去重力dmg，則地面對dm（也是對地面上方的繩子）作用力：注：不可以取整個鏈條，不遵從質(zhì)點牛頓定律。略去重力dmg，則地面對dm（也是對地面上方的繩子）作用力

練習(xí)題：鏈條上提一長為l，密度均勻的柔軟鏈條，其單位長度λ，將其卷成一堆放在地面上，若手握鏈條的一端，以勻速v將其上提。當(dāng)鏈條一端被提離地面高度為y時，求手提力。解：以整個鏈條為研究對象。取地為慣性系，向上為y正向，t時，鏈條一端距地面高度為y，其速度為v，地面部分靜止不動；t+△t時，鏈條一端距地面高為y+△y，速度仍為v，地面部分(l-y-△y)靜止。整個系統(tǒng)受外力：提起部分重力λyg，地面部分重力λ(l-y)，手提力F(向上)；地面對λ(l-y)部分的支持力與其重力大小相等方向相反，抵消(△y

部分重力計入在提起部分也可以，但可忽略不計，不影響最后結(jié)果)練習(xí)題：鏈條上提

應(yīng)用質(zhì)點系動量定理：（向上為正）解法二：取提起的y為研究對象。鏈條勻速運動（不考慮地面鏈條對提起部分作用力）取t時提起的y，在此后△t時間內(nèi)又提起△y為研究對象。t時系統(tǒng)總動量為λyv+λ△y﹒0t+△t時系統(tǒng)總動量為λ(y+△y)v(y+△y)鏈條受外力：提力F，重力λ(y+△y)g,(地面鏈條（處于水平狀態(tài)）對提起部分實際在豎直方向沒有作用)應(yīng)用質(zhì)點系動量定理：（向上為正）

根據(jù)系統(tǒng)動量定理：根據(jù)系統(tǒng)動量定理：

例題3：

有質(zhì)量流入的車子。當(dāng)車子以速度v在光滑的水平面上勻速前進(jìn)時，砂子從固定的漏斗里，以dm/dt=k的速度落進(jìn)車中，要使車子保持勻速前進(jìn)所需的水平拉力F。

解法一：以車子和車子中的砂子及dt時間內(nèi)落進(jìn)車中的砂子為研究對象，設(shè)：

t時刻車及砂子質(zhì)量為M，t時：系統(tǒng)動量：Mv+dm0

t+△t時：系統(tǒng)動量:(M+dm)v

該系統(tǒng)水平方向外力只有拉力F，據(jù)系統(tǒng)動量定理：

Fdt=(M+dm)v-MvF=vdm/dt=kv例題3：

解法二：取dt時間落入車內(nèi)的砂子為研究對象：車保持勻速前進(jìn)的條件是合外力=0，拉力與阻力大小相等，方向相反，砂子對車的阻力只是在剛落到車內(nèi)直到獲得共同速度這段時間內(nèi)才有，即dm速度由0→v，所對應(yīng)的時間dt：

t時：dm動量為零

t+△t時，動量為dmv

據(jù)質(zhì)點動量定理：

fdt=dmv-0,F-f=0f=vdm/dt=kv

故F=f=kv解法二：取dt時間落入車內(nèi)的砂子為研究對象：

討論：此題能否用F=dp/dt牛頓第二定律來求解？結(jié)論：①F=dp/dt是對一個確定研究對象，即一個封閉系統(tǒng)，而車中的砂子是不確定的。②牛頓第二定律是質(zhì)點力學(xué)規(guī)律，對質(zhì)點系應(yīng)用質(zhì)心運動定理，各質(zhì)點速度不同，mv沒有意義。③牛頓力學(xué)范圍內(nèi)，m=常量，通常講普遍的F=d(mv)/dt是指在狹義相對論中而言。討論：此題能否用F=dp/dt牛頓第二定律來求解？

練習(xí)題：車內(nèi)裝有砂子，車中有一小孔，每秒從小孔漏出的砂子為dm/dt=k，若車子受到不變的水平拉力作用，不計摩擦，求車子運動方程。解：設(shè)t時刻車與其內(nèi)部砂子總質(zhì)量為M，速度為v，經(jīng)△t時間流出△m砂子在t+△t時刻，車及剩下的砂子質(zhì)量為M-△m,車速度為v+△v,取M為研究對象t時：動量Px(t)=Mvt+△t時：Px(T+△t)≈(M-△m)(v+△v)+△m(v+△v)△m的速度介于v—v+△v之間練習(xí)題：

據(jù)動量定理：此題也可以取M-△m為研究對象,仿火箭（1）據(jù)動量定理：

例題4：下落的雨滴雨滴在下落過程中，受到重力和風(fēng)力的作用，同時吸收其周圍的水汽而逐漸長大。設(shè)水汽在碰到水滴之前的速度為u,試求雨滴下落過程中的運動方程。例題4：下落的雨滴

解決變質(zhì)量問題關(guān)鍵：確定研究對象，應(yīng)用質(zhì)點或質(zhì)點系動量定理。力的作用時間△t或dt，用平均力，取極限后變?yōu)樗矔r力。若dt時間內(nèi)，力可認(rèn)為不變。解決變質(zhì)量問題關(guān)鍵：在非慣性系中巧取瞬時慣性系，

解相對運動中的力學(xué)問題

當(dāng)所選的非慣性系在某一位置（瞬時）加速度為零，此時當(dāng)作慣性系—瞬時慣性系，采用牛頓第二定律，不需引入慣性力（實際此時慣性力f＊=-ma=0）例題1：質(zhì)量為M，內(nèi)壁半徑為R的光滑半球面容器靜止在光滑的水平面上。求質(zhì)量為m的小球由靜止開始沿半球面從最高點滑到最低點A對容器的作用力的大小。解：設(shè)質(zhì)點相對地速度v，質(zhì)點相對凹槽的速度v′，凹槽相對地速度V（質(zhì)點滑到最低時）以地面為參照系，選質(zhì)點、凹槽、地球為一系統(tǒng)，從最高點→最低點，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：在非慣性系中巧取瞬時慣性系，

解相對運動中的力學(xué)問題

選質(zhì)點、凹槽為系統(tǒng),水平方向動量守恒：

mv+MV=0由兩方程解得：選質(zhì)點、凹槽為系統(tǒng),水平方向動量守恒：

以凹槽為參照系（非慣性系）當(dāng)質(zhì)點運動到最低點，質(zhì)點對凹槽的壓力水平分力為零，此時凹槽加速度為零，瞬時為慣性系，應(yīng)用牛頓第二定律：以凹槽為參照系（非慣性系）

例題2：半徑為R，質(zhì)量為M，表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其正上方置一質(zhì)量為m的小滑塊。當(dāng)小滑塊從頂端無初速度地下滑后，在圖示θ的角位置處開始脫離半球。已知cosθ=0.7，求M/m當(dāng)滑塊開始運動時，滑塊對半球壓力豎直分量與重力及支持力平衡，水平分量使半球在水平方向獲得加速度。所以，半球是非慣性系。當(dāng)滑塊將要脫離半球時二者間接觸力為零，即滑塊對半球壓力為零，半球水平加速度為零，此時半球視為慣性系。設(shè)此時滑塊相對半球作圓周運動的速度為v，半球相對地水平速度為V。例題2：半徑為R，質(zhì)量為M，表面光滑的半球放在光滑的水平面

據(jù)牛頓第二定律（以半球為參照系（慣性））據(jù)牛頓第二定律（以半球為參照系（慣性））

由于由于牛頓力學(xué)的原始體系及其中的主要錯誤

本講主要討論牛頓力學(xué)的原始體系和牛頓第二定律原始表述中的錯誤，牛頓錯誤的絕對時空觀，慣性系如何定義？質(zhì)量定義的科學(xué)性。1、牛頓力學(xué)的原始體系牛頓力學(xué)的核心可以概括為四個基本定義和三個運動定律（公理）(1)四個基本定義牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和其它論著中有許多定義，其中四個是基本定義。牛頓力學(xué)的原始體系及其中的主要錯誤本講主要討論牛頓力

(a)質(zhì)量的定義“物質(zhì)的量是物質(zhì)的度量，可由密度和體積共同求出?！薄八^密度相同者系指慣性與其體積成比例者?！奔船F(xiàn)在所說的質(zhì)量是物質(zhì)的量或物體慣性的度量，質(zhì)量是標(biāo)量。在這個定義中，包含了牛頓原子論的觀點。在解釋這個定義時，他實際上認(rèn)為“密度”是由單位體積中的粒子數(shù)來確定的。這個定義指出了質(zhì)量同物質(zhì)概念的緊密聯(lián)系。在牛頓看來，原子是永恒的，不可毀壞的，所以物質(zhì)的質(zhì)量是不變的，即質(zhì)量守恒，物質(zhì)守恒。但牛頓質(zhì)量的定義具有原則性缺陷，他所斷言的質(zhì)量是不變的，與運動狀態(tài)及能量變化無關(guān)。隨著物理學(xué)的發(fā)展，對這一定義做出相應(yīng)修正。(a)質(zhì)量的定義

(b)動量的定義“運動的量是這運動的度量，可由速度和物質(zhì)的量共同給出?！边@里所說“運動的量”即物體的動量P(=mv)，并指出動量是可加量（矢量）(c)力的定義“外力是一種對物體的推動作用，使其改變靜止或勻速直線運動狀態(tài)。”即現(xiàn)在所說的力是物體之間的相互作用，力是改變物體運動狀態(tài)的原因。(d)慣性系的定義牛頓在《原理》一書中寫道：“以向心力的加速度度量向心力，它正比于向心力”，當(dāng)時有人向牛頓提問：問：“加速度時相對哪個參考系而言的呢？”牛頓答：“是相對慣性系而言的。”問：“究竟什么是慣性系？”(b)動量的定義

牛頓答：“沒有加速度，沒有轉(zhuǎn)動的參考系叫做慣性系”問：“沒有加速度，沒有轉(zhuǎn)動是相對誰而言的？”牛頓答：“是相對絕對空間而言的”問：“什么是絕對空間？”牛頓答：“絕對空間按其本性與外在事物無關(guān)，處處均勻，永不移動?！庇纱丝梢?，牛頓把相對絕對空間沒有加速度，沒有轉(zhuǎn)動的參考系定義為慣性系。按近代物理學(xué)的觀點，絕對空間是不存在的。牛頓答：“沒有加速度，沒有轉(zhuǎn)動的參考系叫做慣性系”

（2）公理或定律定律Ⅰ每個物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，除非有外力作用于它，迫使它改變那個運動狀態(tài)。定律Ⅱ運動量的改變正比于外力，改變的方向沿外力的直線方向。定律Ⅲ

每種作用都有一個相等的反作用或兩個物體間的相互作用是相等的，而且指向相反。由上述的定義和定律，通過演繹法構(gòu)成了矢量力學(xué)：其核心內(nèi)容是三個運動定律、三個運動定理（動量、動能、角動量）及其在特殊情況下的（三個第一積分）三個守恒定律以及應(yīng)用它們分析處理各種力學(xué)問題的基本方法。（2）公理或定律

三個運動定理和三個守恒定律都不是牛頓首創(chuàng)的。動量守恒定律的思想是由笛卡爾首先提出的，牛頓提出了“質(zhì)心守恒定律”，后來經(jīng)歐勒等加以整理和發(fā)展。開普勒的第二定律（面積定律）實質(zhì)上就是角動量（動量矩）守恒定律，它被牛頓推廣到有心力運動的一切場合，并且由伯克利、歐勒等人各自以不同方式提出。至于機(jī)械能守恒定律是在虛功原理基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。其中有科里奧利、伽利略、惠更斯、伯努利、歐勒、拉格朗日等都做了大量的工作。三個運動定理和三個守恒定律都不是牛頓首創(chuàng)的。

2、牛頓第二定律原始表述中的錯誤分析一下牛頓第二定律，不難發(fā)現(xiàn)其中的錯誤，牛頓說，運動的改變與外力成正比，按照愛因斯坦的思維方法，只要找到一個實驗與某理論相矛盾，該理論必然錯誤，應(yīng)該修正或用新理論取代它，使其與實驗相符。下面舉一個實際例子，與牛頓第二定律矛盾。一個質(zhì)量為m的質(zhì)點在光滑的水平面上作半徑為R，角速度為ω的勻速率圓周運動，所受向心力大小為mRω2。2、牛頓第二定律原始表述中的錯誤

由此可見，同一質(zhì)點在相等的時間內(nèi)受方向隨時間變化的合外力作用，合外力大的，動量增量（運動量改變）反而小，即運動量的變化不與外力成正比，而且動量增量也不沿合外力直線方向。（錯誤根源：非瞬時）由此可見，同一質(zhì)點在相等的時間內(nèi)受方向隨時間變化的合外力作

顯然，牛頓第二定律的原始表述只適用于低速宏觀條件下的一種特殊情況，是錯誤的。1750年物理學(xué)家歐勒剖析牛頓第二定律原始表述中的錯誤，給出了正確的數(shù)學(xué)表述：顯然，牛頓第二定律的原始表述只適用于低速宏觀條件下的一種

大學(xué)普通物理教學(xué)應(yīng)按牛頓力學(xué)的科學(xué)體系教學(xué)，讓學(xué)生從中學(xué)到牛頓的科學(xué)思維方法。用現(xiàn)代物理學(xué)的語言表述牛頓力學(xué)的科學(xué)內(nèi)容體系是：定義了質(zhì)量、動量、力和慣性系。牛頓第一定律告訴人們：（1）每個物體都有保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)不變的性質(zhì)——平動慣性。在低速運動的情況下，平動慣性用質(zhì)量m度量，世界上沒有不運動的物質(zhì)，也沒有無物質(zhì)的運動，運動是物質(zhì)的固有屬性。物體的運動狀態(tài)與外力無關(guān)。（2）物體靜止或勻速直線運動狀態(tài)——平動狀態(tài)用運動的量（動量P）表述。動量是描述物體平動狀態(tài)的物理量，與運動過程無關(guān)，即動量是狀態(tài)量而不是過程量。大學(xué)普通物理教學(xué)應(yīng)按牛頓力學(xué)的科學(xué)體系教學(xué)，讓學(xué)生從中學(xué)

（3）不受外力作用或所受合外力為零的物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)不變，即物體的動量守恒。所以，牛頓第一定律實質(zhì)上就是動量守恒定律。如果把整個宇宙看成是一個大物體系統(tǒng)，它沒有外界，不受外力作用，因此，整個宇宙動量守恒。孤立的物理系統(tǒng)的動量守恒普遍成立。（4）要改變物體的運動狀態(tài)即改變物體的動量，必須有外力持續(xù)作用，內(nèi)力不會改變物體的總動量。（3）不受外力作用或所受合外力為零的物體都保持靜止或勻速直

修正了的牛頓第二定律告訴人們：當(dāng)物體受外力持續(xù)作用后，物體的動量要改變，物體的動量對時間的變化率等于作用在物體上的合外力，數(shù)學(xué)表達(dá)式：物體動量的元增量對d(mv)平行于物體所受的合外力F，動量mv是狀態(tài)量。修正了的牛頓第二定律告訴人們：

牛頓第三定律的內(nèi)容是：作用力與反作用力大小相等，方向相反，且在同一條直線上，作用在兩個物體上。牛頓第三定律告訴人們：自然界不存在沒有反作用的作用。任何一個完整的物理系統(tǒng)與另一個完整的物理系統(tǒng)之間的相互作用遵循牛頓第三定律，但它們中的任一部分與另一部分的相互作用并不遵循牛頓第三定律。例如：兩個閉合穩(wěn)恒電流之間的相互作用服從第三定律，而任意兩個穩(wěn)恒電流元之間的相互作用不遵循牛頓第三定律。力學(xué)系統(tǒng)的任一對內(nèi)力是一對作用力與反作用力，任一力學(xué)組內(nèi)力的總和為零。牛頓第三定律的內(nèi)容是：作用力與反作用力大小相等，方向相反

3、拋棄牛頓錯誤的絕對時空觀，定義慣性系牛頓的絕對時空觀，所謂絕對空間是指長度的亮度與參考系無關(guān)，絕對時間是指時間的量度和參考系無關(guān)，牛頓的絕對時空觀數(shù)不對的，但他引入絕對空間，對于建立他的力學(xué)體系是必要的。愛因斯坦說：“對此，牛頓和他同時代最有批判眼光得人都是感到不安的，但是人們要想給力學(xué)以清晰的定義，在當(dāng)時卻沒有別的辦法?！彼圆荒馨雅ｎD提出的絕對時空觀概念僅僅看做是由于牛頓世界觀方面的缺陷，從根本上說，這是由于絕對空間對經(jīng)典力學(xué)是必不可少的。所以牛頓的絕對時空觀能夠統(tǒng)治物理學(xué)達(dá)二百年之久，直到邁克爾遜干涉儀研制成功。3、拋棄牛頓錯誤的絕對時空觀，定義慣性系

邁克爾遜—莫雷實驗否定了與牛頓時空觀概念相聯(lián)系的伽利略變換的普適性，建立了狹義相對論，洛倫茲變換是普適的，時間是相對的，長度也是相對的，伽利略變換是洛倫茲變換在低速極限情況下的近似。在低速情況下伽利略變換是有效的，但絕對時空觀是錯誤的，應(yīng)該拋棄。拋棄了絕對時空觀，如何定義慣性系？物理學(xué)發(fā)展到今天，牛頓當(dāng)年想辦而辦不到的，現(xiàn)在可以用近代物理學(xué)的科學(xué)方法計量質(zhì)點所受其它物體的作用力并求得作用在質(zhì)點上的合外力。相對所受合外力為零的質(zhì)點保持靜止或勻速直線運動的一切參考系都可以定義為慣性系。邁克爾遜—莫雷實驗否定了與牛頓時空觀概念相

由于地球的自轉(zhuǎn)的加速度很小，地表最大向心加速度R地ω2≈3.4×10-2m/s2(ω=2π/24×3600)，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的加速度更小，可忽略不計。在地球?qū)嶒炇覂?nèi)研究物體相對地球的運動，可選地球為慣性系（近似）。研究行星繞太陽運動，太陽相對行星的平均運動處于靜止?fàn)顟B(tài)，可選太陽為近似的慣性系。太陽繞銀河系公轉(zhuǎn)加速度約為地表最大向心加速度的10-8倍，太陽與地球相比是更好的慣性系。由于地球的自轉(zhuǎn)的加速度很小，地表最大向心加

4、關(guān)于質(zhì)量定義的討論牛頓將質(zhì)量定義為物質(zhì)的量，是慣性的量度，質(zhì)量是守恒量。漆安慎力學(xué)中講，“現(xiàn)在，物質(zhì)的多少用摩爾數(shù)說明，物質(zhì)多少和慣性質(zhì)量目前已是不同的概念，不可混淆?！毕蛄x和編著大學(xué)物理學(xué)導(dǎo)論中講，物質(zhì)的量單位是mol，質(zhì)量單位是kg，所以質(zhì)量和物質(zhì)的量是兩個不同概念。那么質(zhì)量定義究竟是什么？怎樣更具科學(xué)性？有必要加以澄清。4、關(guān)于質(zhì)量定義的討論

在低速運動和物體質(zhì)量為常量的情況下，有物體的質(zhì)量等于物體產(chǎn)生每單位加速度所需要的合外力的大小，反映物體慣性大小。當(dāng)物體作高速運動時，質(zhì)量隨速率變化，即高速運動物體的質(zhì)量不再是慣性的量度。物體質(zhì)量是速率函數(shù)，與速度方向無關(guān)。同一物體高速運動，速率相同，質(zhì)量相同。在低速運動和物體質(zhì)量為常量的情況下，有

但按照非相對論定義，高速運動物體的慣性隨外力與速率夾角的大小變化。例如，荷電質(zhì)點在勻強(qiáng)磁場中受洛倫茲力作用作勻速率圓周運動，則dv/dt=0，由前式可知，第二項為零，則有：按非相對論質(zhì)量定義，靜質(zhì)量為m0的高速運動電荷橫向質(zhì)量mθ可作為荷電質(zhì)點橫向慣性的度量。但按照非相對論定義，高速運動物體的慣性隨外力與速率夾角的大

若荷電質(zhì)點在勻強(qiáng)電場中受電場力作用作勻加速直線運動，由牛頓第二定律得：按照非相對論質(zhì)量定義，mr為質(zhì)點的縱向質(zhì)量，可作為質(zhì)點縱向慣性的度量。但mr不是物質(zhì)的量的度量。因為綜上所述，高速運動物體的質(zhì)量不再是物體平動慣性的量度。若荷電質(zhì)點在勻強(qiáng)電場中受電場力作用作勻加速直線運動，由牛

但作為物質(zhì)的量的度量仍然是科學(xué)的，合理的。因為這個定義滿足物質(zhì)不滅原理以及物質(zhì)與運動不可分原理。所謂“物質(zhì)不滅原理”，即物質(zhì)不能創(chuàng)生，也不能自滅，只能從一種物質(zhì)轉(zhuǎn)化為另一種物質(zhì)，整個宇宙物質(zhì)的量是守恒的。所謂“物質(zhì)不可分原理”即萬物是運動的，沒有不運動的物質(zhì)，也沒有無物質(zhì)的運動，運動是物質(zhì)存在的形式，物質(zhì)的量（質(zhì)量）與運動的量（動量）及能量應(yīng)同步地增長，量與量之間的關(guān)系為但作為物質(zhì)的量的度量仍然是科學(xué)的，合理的。因為這個定義滿足

由此可見，把質(zhì)量定義為物質(zhì)的量仍然是科學(xué)的，既適用于實物，也適用于場；既適用于高速運動，也適用于低速運動；既適用于宏觀物體也適用于微觀粒子。把質(zhì)量定義為物質(zhì)的量與1971年國際度量大會通過的以摩爾為單位的物質(zhì)的量是否相矛盾呢？眾所周知，國際度量大會規(guī)定的摩爾質(zhì)量是指6.0221367(36)×1023個分子熱運動平均處于相對靜止的參考系中所測得同種上述數(shù)量分子的總質(zhì)量。當(dāng)物體高速運動時，分子個數(shù)不變，每個分子的質(zhì)量隨自身速率增加而增加。因此，摩爾質(zhì)量也隨物體速率增加而增加。把質(zhì)量定義為物質(zhì)的量與摩爾為單位的物質(zhì)的量是一致的。由此可見，把質(zhì)量定義為物質(zhì)的量仍然是科學(xué)的，二體問題的運動定理相對運動形式及其應(yīng)用(選論)

質(zhì)點問題很復(fù)雜，三體二維以上的運動沒有精確解，研究兩個物體組成的孤立系統(tǒng)的運動通常叫二體問題，如氫原子問題、雙星運動問題等。二體問題有精確的解，孤立的二體運動動量守恒、角動量守恒、能量守恒。由于二體之間相互作用力（內(nèi)力）與它們的相對位置有關(guān)（如：萬有引力、庫侖力），因此，研究二體中一個物體的運動常取另一個物體作為參考系——非慣性系。相對非慣性系的運動微分方程要計入慣性力。作適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理以后，可得形式上是相對非慣性系，實質(zhì)上是相對慣性系的運動定理。二體問題的運動定理相對運動形式及其應(yīng)用(選論)

1、二體問題的運動定理相對運動形式(v<<c)

我們已經(jīng)熟悉矢量力學(xué)中三個運動定理（動量定理、動能定理、角動量定理）的非相對運動形式，可以用類比法導(dǎo)出三個運動定理的相對運動形式。（1）二體動量定理的相對運動形式動量定理非相對運動形式（微分式）上式的動量及速度都是相對慣性系的。當(dāng)我們?nèi)《w質(zhì)心為坐標(biāo)原點（質(zhì)心系ac=0）是慣性系，可得二體動量定理的相對運動形式與上式類似。證明如下：1、二體問題的運動定理相對運動形式(v<<c)

二體動量定理相對運動形式（質(zhì)心系）：微分式積分式二體動量定理相對運動形式（質(zhì)心系）：

（2）二體動能定理的相對運動形式用1相對2的元位移dr12點乘動量定理相對運動的微分式（2）二體動能定理的相對運動形式

任一對內(nèi)力的元功之和與參考系無關(guān)，由此產(chǎn)生的相對質(zhì)心總動能的元增量也與參考系無關(guān)。證明如下：任一對內(nèi)力的元功之和與參考系無關(guān)，由此產(chǎn)生的

（3）二體角動量定理的相對運動形式用1相對2的位矢r12矢乘動量定理相對運動形式微分式，并考慮r12∥f12（3）二體角動量定理的相對運動形式

二體相對質(zhì)心系的角動量為孤立的二體動量守恒、角動量守恒。一個物體相對另一個物體在所成平面內(nèi)作圓周運動，角速度垂直于該平面。二體相對質(zhì)心系的角動量為

2、二體運動定理相對運動形式的應(yīng)用（1）碰撞問題應(yīng)用二體運動定理相對運動形式處理對心碰撞和非對心碰撞問題都很方便。

對心碰撞兩球的速度沿兩球連心線所發(fā)生的碰撞叫做對心碰撞。設(shè)兩球碰撞前速度為v1和v2，碰后兩球的速度分別為v1′，v2′；設(shè)兩球開始接觸時刻為t0，兩球壓縮最大時刻t1，兩球開始脫離時刻為t2。2、二體運動定理相對運動形式的應(yīng)用

據(jù)牛頓建議：兩球恢復(fù)沖量與壓縮沖量之比為恢復(fù)系數(shù)e，由動量定理相對運動形式得：據(jù)牛頓建議：兩球恢復(fù)沖量與壓縮沖量之比為恢復(fù)系數(shù)e，由動量

當(dāng)e=1，為完全彈性碰撞，碰撞前后，二體的相對速度大小相等，方向相反，碰撞過程動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒，動量守恒。當(dāng)e=0，為完全非彈性碰撞，碰后兩球之間相對速度為零。即在完全非彈性碰撞中，二體相對運動動能完全損失掉，即當(dāng)0≤e≤1，既不是完全彈性碰撞，也不是完全非彈性碰撞，叫非完全彈性碰撞。動能損失為將e代入得：處理二體對心碰撞的基本方程是：當(dāng)e=1，為完全彈性碰撞，碰撞前后，二體的相對速度大小相等

非對心碰撞兩球的速度方向偏離二體連心線所發(fā)生的碰撞叫做非對心碰撞或斜碰。設(shè)質(zhì)量為m1和m2的兩球的速度在碰撞前為v1和v2,碰后為v1′和v2′，兩球接觸時的連心線為x軸，v1和v2與x軸夾角分別為θ1和θ2。設(shè)兩球在光滑水平面內(nèi)，兩球之間無摩擦，整個運動都在xoy面內(nèi)。在碰撞過程中在垂直連心線方向由于沒有內(nèi)力作用，故兩球各自動量分量不變，即非對心碰撞

在平行x軸方向按對心碰撞處理，故有：在平行x軸方向按對心碰撞處理，故有：

（2）非碰撞二體的接觸相互作用及其運動例題1：質(zhì)量為M，內(nèi)壁半徑為R的光滑半球面容器靜止