D18連續(xù)性間斷點92360課件

1、增量：函數(shù)在點連續(xù)：機動目錄上頁下頁返回結束一、函數(shù)的連續(xù)性變量u從到，稱為u的增量可正，可負or為零2、(1)設在內有定義，若則稱在點連續(xù)。1、增量：函數(shù)在點連續(xù)：機動目錄上頁下頁1注：函數(shù)在點（2）在的某鄰域內有定義,則稱函數(shù)在點即

極限(3)設函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;機動目錄上頁下頁返回結束定義：注：函數(shù)在點（2）在的某鄰域內有定義,則稱函數(shù)在點即2例1、證明：證明：推論：若為x

的多項式，則在上連續(xù)。3、左右連續(xù)：（1）左連續(xù)：則稱在點左連續(xù)。機動目錄上頁下頁返回結束例1、證明：證明：推論：若為x的多項式，則在上連續(xù)。3、3(2)右連續(xù)：則稱在點右連續(xù)。(3)在點連續(xù)在點左、右連續(xù)。主要用于分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性的討論；例1、設討論在點的連續(xù)性。解：在點連續(xù)。機動目錄上頁下頁返回結束(2)右連續(xù)：則稱在點右連續(xù)。(3)在點連續(xù)在點左、右連續(xù)。4例2、設在點連續(xù),求k

。解：在點連續(xù),機動目錄上頁下頁返回結束例2、設在點連續(xù),求k。解：在點連續(xù),機動目錄5例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結束4、區(qū)間上的函數(shù)連續(xù)的定義：（1）在(a,b)上連續(xù)：在點連續(xù),則稱f(x)

在(a,b)上連續(xù)，記（2）在[a,b]上連續(xù)：且f(x)

在a

點右連續(xù)，在b點左連續(xù)；記例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,有理分式函數(shù)在6例3.證明函數(shù)在內連續(xù).證:即這說明在內連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結束推論：基本初等函數(shù)在其定義域內連續(xù)。例3.證明函數(shù)在內連續(xù).證:即這說明在內連續(xù).同樣可7在在二、函數(shù)的間斷點與分類：(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設在點的某去心鄰域內有定義,則下列情形這樣的點之一函數(shù)f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點即不連續(xù)的點。在無定義;機動目錄上頁下頁返回結束1、定義：在在二、函數(shù)的間斷點與分類：(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在82、間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點.為跳躍間斷點.為無窮間斷點.為振蕩間斷點.機動目錄上頁下頁返回結束2、間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷9為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:機動目錄上頁下頁返回結束為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:機10顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.機動目錄上頁下頁返回結束顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.機動11例4、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，指出類型：但f(0)

無定義，x=0

為可去間斷點。故x=1

為無窮間斷點。機動目錄上頁下頁返回結束例4、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，指出類型：但f(0)12故f(x)

在x=0

間斷，x=0為不可去間斷點。機動目錄上頁下頁返回結束故f(x)在x=0間斷，x=0為不可去間斷點。機動13內容小結左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式機動目錄上頁下頁返回結束內容小結左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限14一、連續(xù)函數(shù)的運算法則第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結束連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

第一章一、連續(xù)函數(shù)的運算法則第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性機動15定理2.連續(xù)單調遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理1.

在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運算法則證明)商(分母不為0)運算,結果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在[－1,1]上也連續(xù)單調遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調機動目錄上頁下頁返回結束定理2.連續(xù)單調遞增函數(shù)的反函數(shù)16定理3.連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調遞增.證:

設函數(shù)于是故復合函數(shù)又如,且即機動目錄上頁下頁返回結束定理3.連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調遞增17例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復合而成,機動目錄上頁下頁返回結束例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復合而成,機動目18例1.設均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則,可知也在上連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結束例1.設均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運19二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點為單側連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域為因此它無連續(xù)點而機動目錄上頁下頁返回結束二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四20例2.求解:原式例3.求解:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結束例4.求例2.求解:原式例3.求解:令則原式機動目21

內容小結基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)說明:分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結22思考與練習1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.2.設時提示:為連續(xù)函數(shù).機動目錄上頁下頁返回結束答案:x=1是第一類可去間斷點,思考與練習1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點.間23備用題確定函數(shù)間斷點的類型.解:間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.機動目錄上頁下頁返回結束備用題確定函數(shù)間斷點的類型.解:間斷點為無窮間斷點241、增量：函數(shù)在點連續(xù)：機動目錄上頁下頁返回結束一、函數(shù)的連續(xù)性變量u從到，稱為u的增量可正，可負or為零2、(1)設在內有定義，若則稱在點連續(xù)。1、增量：函數(shù)在點連續(xù)：機動目錄上頁下頁25注：函數(shù)在點（2）在的某鄰域內有定義,則稱函數(shù)在點即

極限(3)設函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;機動目錄上頁下頁返回結束定義：注：函數(shù)在點（2）在的某鄰域內有定義,則稱函數(shù)在點即26例1、證明：證明：推論：若為x

的多項式，則在上連續(xù)。3、左右連續(xù)：（1）左連續(xù)：則稱在點左連續(xù)。機動目錄上頁下頁返回結束例1、證明：證明：推論：若為x的多項式，則在上連續(xù)。3、27(2)右連續(xù)：則稱在點右連續(xù)。(3)在點連續(xù)在點左、右連續(xù)。主要用于分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性的討論；例1、設討論在點的連續(xù)性。解：在點連續(xù)。機動目錄上頁下頁返回結束(2)右連續(xù)：則稱在點右連續(xù)。(3)在點連續(xù)在點左、右連續(xù)。28例2、設在點連續(xù),求k

。解：在點連續(xù),機動目錄上頁下頁返回結束例2、設在點連續(xù),求k。解：在點連續(xù),機動目錄29例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結束4、區(qū)間上的函數(shù)連續(xù)的定義：（1）在(a,b)上連續(xù)：在點連續(xù),則稱f(x)

在(a,b)上連續(xù)，記（2）在[a,b]上連續(xù)：且f(x)

在a

點右連續(xù)，在b點左連續(xù)；記例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,有理分式函數(shù)在30例3.證明函數(shù)在內連續(xù).證:即這說明在內連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結束推論：基本初等函數(shù)在其定義域內連續(xù)。例3.證明函數(shù)在內連續(xù).證:即這說明在內連續(xù).同樣可31在在二、函數(shù)的間斷點與分類：(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設在點的某去心鄰域內有定義,則下列情形這樣的點之一函數(shù)f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點即不連續(xù)的點。在無定義;機動目錄上頁下頁返回結束1、定義：在在二、函數(shù)的間斷點與分類：(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在322、間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點.為跳躍間斷點.為無窮間斷點.為振蕩間斷點.機動目錄上頁下頁返回結束2、間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷33為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:機動目錄上頁下頁返回結束為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:機34顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.機動目錄上頁下頁返回結束顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.機動35例4、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，指出類型：但f(0)

無定義，x=0

為可去間斷點。故x=1

為無窮間斷點。機動目錄上頁下頁返回結束例4、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，指出類型：但f(0)36故f(x)

在x=0

間斷，x=0為不可去間斷點。機動目錄上頁下頁返回結束故f(x)在x=0間斷，x=0為不可去間斷點。機動37內容小結左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式機動目錄上頁下頁返回結束內容小結左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限38一、連續(xù)函數(shù)的運算法則第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結束連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

第一章一、連續(xù)函數(shù)的運算法則第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性機動39定理2.連續(xù)單調遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理1.

在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運算法則證明)商(分母不為0)運算,結果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在[－1,1]上也連續(xù)單調遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調機動目錄上頁下頁返回結束定理2.連續(xù)單調遞增函數(shù)的反函數(shù)40定理3.連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調遞增.證:

設函數(shù)于是故復合函數(shù)又如,且即機動目錄上頁下頁返回結束定理3.連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調遞增41例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復合而成,機動目錄上頁下頁返回結束例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復合而成,機動目42例1.設均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則,可知也在上連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結束例1.設均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運43二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)