中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題2圖形變式與拓展課件

專題2圖形變式與拓展專題2圖形變式與拓展?？碱愋头治龀？碱愋头治鰧ｎ}類型突破類型1

關(guān)于三角形的變式拓展問(wèn)題【例1】在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2＝45°.(1)如圖1，若AO＝OB，請(qǐng)寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其中AO＝OB.求證：AC＝BD，AC⊥BD；(3)將圖2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖3，求【思路分析】通過(guò)觀察可以猜想AO與BD相等且互相垂直；在后面的問(wèn)題中，通過(guò)添加BD的垂線，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形和相似三角形問(wèn)題加以解決．專題類型突破類型1關(guān)于三角形的變式拓展問(wèn)題【例1】在圖

【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.(2)證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE.∴AC＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°.∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°.∴AC⊥BD.(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD.【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.∴∠ACO＝∠BEO.滿分技法?圖形拓展類問(wèn)題的解答往往需要借助幾何直觀、轉(zhuǎn)化、類比的思想方法．在原圖形中具備的位置和數(shù)量關(guān)系，在圖形變化后這種關(guān)系是否存在或又存在著怎樣的新的關(guān)系，可通過(guò)類比進(jìn)行推理、驗(yàn)證，所用方法和第(1)問(wèn)所用方法相似，可借鑒原結(jié)論方法，并進(jìn)行拓展，只要沿著這樣的思路進(jìn)行即可解決．滿分技法?圖形拓展類問(wèn)題的解答往往需要借助幾何直觀、轉(zhuǎn)化、類

滿分必練?1.[2017·邢臺(tái)模擬]已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AQ交BC于點(diǎn)F，求證：△PDF≌△QDC；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)A移動(dòng)的過(guò)程中，線段DE的長(zhǎng)度是否保持不變？若保持不變，請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)度，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP.由題意，得BP＝CQ，∴FP＝CQ.∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，滿分必練?1.[2017·邢臺(tái)模擬]已知△ABC中，AB(3)線段DE的長(zhǎng)度保持不變．如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.由(1)知，PB＝PF.∵PE⊥BC，∴BE＝EF.由(1)知，△PDF≌△QDC，CD＝DF.(3)線段DE的長(zhǎng)度保持不變．2.[2016·成都中考]如圖1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在AH上，且DH＝CH，連接BD.(1)求證：BD＝AC；(2)將△BHD繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△EHF(點(diǎn)B，D分別與點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)應(yīng))，連接AE.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)(F不與C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到時(shí)，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2.[2016·成都中考]如圖1，△ABC中，∠ABC＝45解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，∴AH＝BH.在△BHD和△AHC中，

∴△BHD≌△AHC(SAS)．∴BD＝AC.(2)①在Rt△AHC中，∵tanC＝3，設(shè)CH＝x，則BH＝AH＝3x.∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1.由旋轉(zhuǎn)，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，F(xiàn)H＝DH＝CH＝1，∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3.如圖，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AE于點(diǎn)P，∴HP＝3AP，AE＝2AP.在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，∴AP2＋(3AP)2＝9.解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，②EF＝2GH.理由如下：設(shè)AH與CG交于點(diǎn)Q，由①知，△AEH和△FHC都為等腰三角形．又∵旋轉(zhuǎn)角為30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°.∴∠EHA＝∠FHC＝120°.∴∠HCG＝∠GAH＝30°.∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝∠CHQ＝90°.又∵∠GQH＝∠AQC，∴△GQH∽△AQC.②EF＝2GH.理由如下：

3.[教材改編題](1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為________，線段AD，BE之間的關(guān)系為________；(2)拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.①請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；②當(dāng)CM＝5時(shí)，AC比BE的長(zhǎng)度多6時(shí)，求AE的長(zhǎng)．解：(1)60°相等(2)①∠AEB＝90°.理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，3.[教材改編題](1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△D∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°，∠BEC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.②∵在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CM⊥DE，則有DM＝CM＝ME＝5.在Rt△ACM中，AM2＋CM2＝AC2.設(shè)BE＝AD＝x，則AC＝6＋x.∴(x＋5)2＋52＝(x＋6)2，解得x＝7.∴AE＝AD＋DM＋ME＝17.∴△ACD≌△BCE(SAS)．每個(gè)時(shí)代，都悄悄犒賞會(huì)學(xué)習(xí)的人觸新的教材相信不管是對(duì)于同學(xué)自己而言還是對(duì)于家長(zhǎng)朋友們而言，可能都還需要一定的時(shí)間去適應(yīng)，但學(xué)習(xí)是一刻也不能松懈的事情，新學(xué)期除了適應(yīng)教材的變化以外，一些試題的變化也必須適應(yīng)，因此就必須在課下進(jìn)行一些練習(xí)。但是問(wèn)題就來(lái)了，很多家長(zhǎng)朋友都表示孩子現(xiàn)在換了教材，但是自己找到的課外練習(xí)題卻還是原來(lái)的教材版本的，不適應(yīng)孩子的教材，不知道該怎么辦才好了，眼看孩子馬上就要結(jié)束第一單元的學(xué)習(xí)了，可是一直沒(méi)找大適合的資料，沒(méi)辦法進(jìn)行課后的鞏固練習(xí)了。zgl每個(gè)時(shí)代，都悄悄犒賞會(huì)學(xué)習(xí)的人觸新的教材相信不管是對(duì)于同學(xué)自【例2】[2017·長(zhǎng)春中考]【再現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，可以得到：DE∥BC，且DE＝(不需要證明)【探究】如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：

.(只添加一個(gè)條件)(2)如圖3，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若AO＝OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為

.類型2

關(guān)于四邊形的變式拓展問(wèn)題【例2】[2017·長(zhǎng)春中考]【再現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，

【思路分析】【探究】利用三角形的中位線定理可得出EF＝HG，EF∥GH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀．【應(yīng)用】(1)同【探究】的方法判斷出即可判斷出EF＝FG，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出S△BCD＝4S△CFG，同理：S△ABD＝4S△AEH，進(jìn)而得出再判斷出OM＝ON，進(jìn)而得出解：【探究】四邊形EFGH是平行四邊形．證明：如圖1，連接AC.∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，綜上，EF∥HG，EF＝HG.故四邊形EFGH是平行四邊形．【應(yīng)用】(1)添加AC＝BD.理由：連接AC，BD，∵AC＝BD，∴EF＝FG.【思路分析】【探究】利用三角形的中位線定理可得出EF＝H又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴?EFGH是菱形．故答案為：AC＝BD.(2)如圖2，由【探究】，得四邊形EFGH是平行四邊形．∵F，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴S△BCD＝4S△CFG.同理，S△ABD＝4S△AEH.∵四邊形ABCD面積為5，設(shè)AC與FG，EH相交于點(diǎn)M，N，EF與BD相交于點(diǎn)P.又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴?EFGH是菱形．∴S△B∵OA＝OC，∴OM＝ON.易知，四邊形ENOP，F(xiàn)MOP是面積相等的平行四邊形．滿分技法?此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解【探究】的關(guān)鍵是判斷出解【應(yīng)用】的關(guān)鍵是判斷出是一道基礎(chǔ)題目．∵OA＝OC，∴OM＝ON.滿分技法?此題是四邊形綜合題，主

滿分必練?4.[2016·蘭州中考]閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題：如圖1，我們把一個(gè)四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H依次連接起來(lái)得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問(wèn)題時(shí)，有如下思路：連接AC.結(jié)合小敏的思路作答：(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說(shuō)明理由；參考小敏思考問(wèn)題方法解決一下問(wèn)題；(2)如圖2，在(1)的條件下，若連接AC，BD.①當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形，寫出結(jié)論并證明；②當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結(jié)論．滿分必練?4.[2016·蘭州中考]閱讀下面材料：結(jié)合解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：如圖，連接AC，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF∥HG，EF＝HG.故四邊形EFGH是平行四邊形．(2)①當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形．理由如下：由(1)知，四邊形EFGH是平行四邊形，∴當(dāng)AC＝BD時(shí)，F(xiàn)G＝HG.∴?EFGH是菱形．②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形．解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：

5.[2017·蘭州中考]如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F.(1)求證：△BDF是等腰三角形；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O.①判斷四邊形BFDG的形狀，并說(shuō)明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的長(zhǎng)．解：(1)證明：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠DBC＝∠DBE.又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形．(2)①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴FD∥BG.又∵DG∥BE，即DG∥BF，5.[2017·蘭州中考]如圖1，將一張矩形紙片ABCD∴四邊形BFDG是平行四邊形．∵DF＝BF，∴四邊形BFDG是菱形．②∵AB＝6，AD＝8，假設(shè)DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2.∴四邊形BFDG是平行四邊形．

6.[2016·臨沂中考]如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE＝BF.連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG，F(xiàn)C.(1)請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是

，位置關(guān)系是

；(2)如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；(3)如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的判斷．解：(1)FG＝CEFG∥CE(2)成立．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.6.[2016·臨沂中考]如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)在△HGE與△CED中，∴△HGE≌△CED(AAS)．∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.∵GH∥BF，∴四邊形GHBF是平行四邊形．∴FG＝BH，F(xiàn)G∥CH.∴FG∥CE.∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC.∴HE＝BC.∴HE＋EB＝BC＋EB.∴BH＝EC.∴FG＝EC.(3)仍然成立．在△HGE與△CED中，∴△HGE≌△CED(AAS)．∴G【例3】如圖1至圖4中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)．思考如圖1，圓心為O的半圓形紙片在AB，CD之間(包括AB，CD)，其直徑MN在AB上，MN＝8，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，設(shè)∠MOP＝α.當(dāng)α＝

度時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小，最小值為

.探究一在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝

度，此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是

.探究二將圖1中的扇形紙片NOP按下面對(duì)α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖3，當(dāng)α＝60°時(shí)，求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P到CD的最小距離，并請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值；(2)如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，要保證點(diǎn)P能落在直線CD上，請(qǐng)確定α的取值范圍．類型3

關(guān)于圓的變式拓展問(wèn)題【例3】如圖1至圖4中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點(diǎn)【思路分析】在“思考”的圖1中，當(dāng)OP⊥CD時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最??；在“探究一”的圖2中，半圓形紙片不能再轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，⊙O與CD相切于點(diǎn)Y；在“探究二”的圖3中，當(dāng)PM⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小；當(dāng)與AB相切時(shí)，旋轉(zhuǎn)角∠BMO的度數(shù)最大．圖4中，當(dāng)弦MP＝6時(shí)，α取最小值；當(dāng)與CD相切于點(diǎn)P時(shí)，即半徑OP⊥CD于點(diǎn)P時(shí)，α取最大值．【思路分析】在“思考”的圖1中，當(dāng)OP⊥CD時(shí)，點(diǎn)P到CD的解：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當(dāng)α＝90度時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最?。進(jìn)N＝8，∴OP＝4.∴點(diǎn)P到CD的距離最小值為6－4＝2.故答案為：90,2.探究一：∵以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如圖1，∵M(jìn)N＝8，∴MO＝4，OY＝4.∴UO＝2.∴得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝30度，此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是2.故答案為：30,2.探究二：(1)由已知得M與P的距離為4，∴當(dāng)MP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的最大距離為4，從而點(diǎn)P到CD的最小距離為6－4＝2.當(dāng)扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時(shí)，與AB相切，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角最大，∠BMO的最大值為90°.(2)如圖2，由探究一可知，點(diǎn)P是與CD的切點(diǎn)時(shí)，α達(dá)到最大，即OP⊥CD.此時(shí)延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)H，α最大值為∠OMH＋圖1解：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當(dāng)α＝9＋∠OHM＝30°＋90°＝120°.如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在CD上且與AB距離最小時(shí)，MP⊥CD，α達(dá)到最小，連接MP，作OH⊥MP于點(diǎn)H，由垂徑定理，得MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4，∴∠MOH＝49°.∵α＝2∠MOH＝98°，∴α最小為98°.∴α的取值范圍是98°≤α≤120°.圖2滿分技法?在拓展變化的圖形中求最值(比如最大(小)距離，角的最大(小)度數(shù)，線段的最大(小)長(zhǎng)度等)，關(guān)鍵是確定相關(guān)圖形的特殊位置；確定幾何圖形中角度的取值范圍，要考查它的最大角度和最小角度兩種極端情況．另外，幾何直觀與生活經(jīng)驗(yàn)的積累與訓(xùn)練也是不容忽視的，本題中很多結(jié)論如果用純粹的數(shù)學(xué)原理嚴(yán)格論證起來(lái)，是很困難的，比如“思考”中，為什么OP⊥AB時(shí)圖3＋∠OHM＝30°＋90°＝120°.圖2滿分技法?在拓展變點(diǎn)P到CD的距離最??？“探究一”中，怎樣說(shuō)明半圓形紙片不能再轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，⊙O與CD相切于點(diǎn)P？“探究二”(1)中，為什么MP⊥AB時(shí)點(diǎn)P到CD的距離最?。繛槭裁串?dāng)與CD相切于點(diǎn)P時(shí)，旋轉(zhuǎn)角∠BMO的度數(shù)最大？(2)中，為什么當(dāng)弦MP＝6時(shí)，α取最小值；為什么當(dāng)半徑OP⊥CD于點(diǎn)P時(shí)，α取最大值？對(duì)于這些問(wèn)題，在考場(chǎng)上是沒(méi)有時(shí)間、也沒(méi)有必要深究的，其結(jié)論的得出主要依靠幾何直觀與生活經(jīng)驗(yàn)．點(diǎn)P到CD的距離最小？“探究一”中，怎樣說(shuō)明半圓形紙片不能再

滿分必練?7.[2017·寶應(yīng)一模]如圖1，水平放置一個(gè)三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，OD＝3cm，開始的時(shí)候BD＝1cm，現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動(dòng)．(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；(2)三角板繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B點(diǎn)和E點(diǎn)重合時(shí)，AC與半圓相切于點(diǎn)F，連接EF，如圖2所示．①求證：EF平分∠AEC；②求EF的長(zhǎng)．解：(1)∵當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，BO＝OD＋BD＝4(cm)，∴三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s.(2)①證明：如圖，連接點(diǎn)O與切點(diǎn)F，則OF⊥AC.∵∠ACE＝90°，∴EC⊥AC.∴OF∥CE.∴∠OFE＝∠CEF.∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF.∴∠OEF＝∠CEF，即EF平分∠AEC.滿分必練?7.[2017·寶應(yīng)一模]如圖1，水平放置一個(gè)②由①知，OF⊥AC.∴△AFO是直角三角形．∵∠BAC＝30°，OF＝OD＝3cm，②由①知，OF⊥AC.

8.[2017·裕華區(qū)模擬]如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn)，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度記作α；設(shè)半圓O的半徑為R，AM的長(zhǎng)度為m，回答下列問(wèn)題：探究：(1)若R＝2，m＝1，如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，圓心O′到射線AB的距離是

.如圖2，當(dāng)α＝

°時(shí)，半圓O與射線AB相切；(2)如圖3，在(1)的條件下，為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長(zhǎng)度不變的條件下，調(diào)整半徑R的大小，請(qǐng)你求出滿足要求的R，并說(shuō)明理由；發(fā)現(xiàn)：(3)如圖4，在0°＜α＜90°時(shí)，為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R，m兩個(gè)量的關(guān)系，請(qǐng)你幫助他直接寫出這個(gè)關(guān)系；cosα＝

；(用含有R，m的代數(shù)式表示)拓展：(4)如圖5，若R＝m，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是

，并求出在這個(gè)變化過(guò)程中陰影部分(弓形)面積的最大值．(用m表示)8.[2017·裕華區(qū)模擬]如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑M解：(1)如圖1，作O′E⊥AB于點(diǎn)E，MF⊥O′E于點(diǎn)F，則四邊形AMFE是矩形，EF＝AM＝1.在Rt△MFO′中，∵∠MO′F＝30°，MO′＝2，如圖2，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于點(diǎn)E，則四邊形O′EAF是矩形．∴AE＝O′F＝2.∵AM＝1，∴EM＝1.解：(1)如圖1，作O′E⊥AB于點(diǎn)E，MF⊥O′E于點(diǎn)F，(2)如圖3，設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．∵在Rt△O′MQ中，O′M＝R，∠MO′Q＝α＝30°，(3)如圖4，設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．在Rt△O′QM中，O′Q＝R·cosα，QP＝m.∵O′P＝R，∴R·cosα＋m＝R.(2)如圖3，設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊(4)如圖5，當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，此時(shí)α＝90°，之后開始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)，∵M(jìn)N′＝2AM，∴∠AMN′＝60°.∴α＝120°.∴當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是90°<α≤120°.故答案為：90°<α≤120°.當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，(4)如圖5，當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，此時(shí)α＝90°，之后開

9.如圖1至圖5，⊙O均作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置，⊙O的周長(zhǎng)為C.閱讀理解：(1)如圖1，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動(dòng)到⊙O2的位置，當(dāng)AB＝c時(shí)，⊙O恰好自轉(zhuǎn)1周；(2)如圖2，∠ABC相鄰的補(bǔ)角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滾動(dòng)，在點(diǎn)B處，必須由⊙O1的位置旋轉(zhuǎn)到⊙O2的位置，⊙O繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的角∠O1BO2＝n°，⊙O在點(diǎn)B處自9.如圖1至圖5，⊙O均作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，⊙O1、⊙O2

實(shí)踐應(yīng)用：(1)在閱讀理解的(1)中，若AB＝2c，則⊙O自轉(zhuǎn)

周；若AB＝l，則⊙O自轉(zhuǎn)

周．在閱讀理解的(2)中，若∠ABC＝120°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)

周；若∠ABC＝60°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)

周；(2)如圖3，∠ABC＝90°，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A－B－C滾動(dòng)到⊙O4的位置，⊙O自轉(zhuǎn)

周．拓展聯(lián)想：(1)如圖4，△ABC的周長(zhǎng)為l，⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時(shí)針?lè)较蜓厝切螡L動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖5，多邊形的周長(zhǎng)為l，⊙O從與某邊相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時(shí)針?lè)较蜓囟噙呅螡L動(dòng)，又回到與該邊相切于點(diǎn)D的位置，直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)．實(shí)踐應(yīng)用：(2)如圖5，多邊形的周長(zhǎng)為l，⊙O從與某邊中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題2圖形變式與拓展課件10.平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蜷_始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°≤α≤60°)．發(fā)現(xiàn)(1)當(dāng)α＝0°，即初始位置時(shí)，點(diǎn)P________直線AB上．(填“在”或“不在”)求當(dāng)α是多少時(shí)，OQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B?(2)在OQ旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，簡(jiǎn)要說(shuō)明α是多少時(shí)，點(diǎn)P，A間的距離最??？并指出這個(gè)最小值；圖1圖2(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)．求α及S陰影．拓展如圖3，當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM＝x(x＞0)，用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng)，并求x的取值范圍．10.平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放探究當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求sinα的值．解：發(fā)現(xiàn)(1)在當(dāng)OQ過(guò)點(diǎn)B時(shí)，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，∴α＝60°－45°＝15°.故α＝15°時(shí)，OQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.(2)如圖1，連接AP，有OA＋AP≥OP，當(dāng)OP過(guò)點(diǎn)A，即α＝60°時(shí)，等號(hào)成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.∴當(dāng)α＝60°時(shí)，點(diǎn)P，A間的距離最小．PA的最小值為1.探究當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求sinα的值．解：(3)如圖1，設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R，連接RK，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E.在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.由AD∥BC知，∠RPQ＝∠POH＝30°.∴∠RKQ＝2×30°＝60°.拓展∵∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，∴△AON∽△BMN.(3)如圖1，設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R，連接RK，過(guò)點(diǎn)P作PH探究半圓與矩形相切，分三種情況：①如圖3，半圓K與BC切于點(diǎn)T，設(shè)直線KT與AD和OQ的初始位置所在直線分別交于點(diǎn)S，O′，則∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于點(diǎn)G.在Rt△OSK中，探究半圓與矩形相切，分三種情況：中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題2圖形變式與拓展課件專題2圖形變式與拓展專題2圖形變式與拓展常考類型分析?？碱愋头治鰧ｎ}類型突破類型1

關(guān)于三角形的變式拓展問(wèn)題【例1】在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2＝45°.(1)如圖1，若AO＝OB，請(qǐng)寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其中AO＝OB.求證：AC＝BD，AC⊥BD；(3)將圖2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖3，求【思路分析】通過(guò)觀察可以猜想AO與BD相等且互相垂直；在后面的問(wèn)題中，通過(guò)添加BD的垂線，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形和相似三角形問(wèn)題加以解決．專題類型突破類型1關(guān)于三角形的變式拓展問(wèn)題【例1】在圖

【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.(2)證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE.∴AC＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°.∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°.∴AC⊥BD.(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD.【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.∴∠ACO＝∠BEO.滿分技法?圖形拓展類問(wèn)題的解答往往需要借助幾何直觀、轉(zhuǎn)化、類比的思想方法．在原圖形中具備的位置和數(shù)量關(guān)系，在圖形變化后這種關(guān)系是否存在或又存在著怎樣的新的關(guān)系，可通過(guò)類比進(jìn)行推理、驗(yàn)證，所用方法和第(1)問(wèn)所用方法相似，可借鑒原結(jié)論方法，并進(jìn)行拓展，只要沿著這樣的思路進(jìn)行即可解決．滿分技法?圖形拓展類問(wèn)題的解答往往需要借助幾何直觀、轉(zhuǎn)化、類

滿分必練?1.[2017·邢臺(tái)模擬]已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AQ交BC于點(diǎn)F，求證：△PDF≌△QDC；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)A移動(dòng)的過(guò)程中，線段DE的長(zhǎng)度是否保持不變？若保持不變，請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)度，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP.由題意，得BP＝CQ，∴FP＝CQ.∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，滿分必練?1.[2017·邢臺(tái)模擬]已知△ABC中，AB(3)線段DE的長(zhǎng)度保持不變．如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)F.由(1)知，PB＝PF.∵PE⊥BC，∴BE＝EF.由(1)知，△PDF≌△QDC，CD＝DF.(3)線段DE的長(zhǎng)度保持不變．2.[2016·成都中考]如圖1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在AH上，且DH＝CH，連接BD.(1)求證：BD＝AC；(2)將△BHD繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△EHF(點(diǎn)B，D分別與點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)應(yīng))，連接AE.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)(F不與C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到時(shí)，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2.[2016·成都中考]如圖1，△ABC中，∠ABC＝45解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，∴AH＝BH.在△BHD和△AHC中，

∴△BHD≌△AHC(SAS)．∴BD＝AC.(2)①在Rt△AHC中，∵tanC＝3，設(shè)CH＝x，則BH＝AH＝3x.∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1.由旋轉(zhuǎn)，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，F(xiàn)H＝DH＝CH＝1，∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3.如圖，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AE于點(diǎn)P，∴HP＝3AP，AE＝2AP.在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，∴AP2＋(3AP)2＝9.解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，②EF＝2GH.理由如下：設(shè)AH與CG交于點(diǎn)Q，由①知，△AEH和△FHC都為等腰三角形．又∵旋轉(zhuǎn)角為30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°.∴∠EHA＝∠FHC＝120°.∴∠HCG＝∠GAH＝30°.∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝∠CHQ＝90°.又∵∠GQH＝∠AQC，∴△GQH∽△AQC.②EF＝2GH.理由如下：

3.[教材改編題](1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為________，線段AD，BE之間的關(guān)系為________；(2)拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.①請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；②當(dāng)CM＝5時(shí)，AC比BE的長(zhǎng)度多6時(shí)，求AE的長(zhǎng)．解：(1)60°相等(2)①∠AEB＝90°.理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，3.[教材改編題](1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△D∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°，∠BEC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.②∵在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CM⊥DE，則有DM＝CM＝ME＝5.在Rt△ACM中，AM2＋CM2＝AC2.設(shè)BE＝AD＝x，則AC＝6＋x.∴(x＋5)2＋52＝(x＋6)2，解得x＝7.∴AE＝AD＋DM＋ME＝17.∴△ACD≌△BCE(SAS)．每個(gè)時(shí)代，都悄悄犒賞會(huì)學(xué)習(xí)的人觸新的教材相信不管是對(duì)于同學(xué)自己而言還是對(duì)于家長(zhǎng)朋友們而言，可能都還需要一定的時(shí)間去適應(yīng)，但學(xué)習(xí)是一刻也不能松懈的事情，新學(xué)期除了適應(yīng)教材的變化以外，一些試題的變化也必須適應(yīng)，因此就必須在課下進(jìn)行一些練習(xí)。但是問(wèn)題就來(lái)了，很多家長(zhǎng)朋友都表示孩子現(xiàn)在換了教材，但是自己找到的課外練習(xí)題卻還是原來(lái)的教材版本的，不適應(yīng)孩子的教材，不知道該怎么辦才好了，眼看孩子馬上就要結(jié)束第一單元的學(xué)習(xí)了，可是一直沒(méi)找大適合的資料，沒(méi)辦法進(jìn)行課后的鞏固練習(xí)了。zgl每個(gè)時(shí)代，都悄悄犒賞會(huì)學(xué)習(xí)的人觸新的教材相信不管是對(duì)于同學(xué)自【例2】[2017·長(zhǎng)春中考]【再現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，可以得到：DE∥BC，且DE＝(不需要證明)【探究】如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：

.(只添加一個(gè)條件)(2)如圖3，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若AO＝OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為

.類型2

關(guān)于四邊形的變式拓展問(wèn)題【例2】[2017·長(zhǎng)春中考]【再現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，

【思路分析】【探究】利用三角形的中位線定理可得出EF＝HG，EF∥GH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀．【應(yīng)用】(1)同【探究】的方法判斷出即可判斷出EF＝FG，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出S△BCD＝4S△CFG，同理：S△ABD＝4S△AEH，進(jìn)而得出再判斷出OM＝ON，進(jìn)而得出解：【探究】四邊形EFGH是平行四邊形．證明：如圖1，連接AC.∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，綜上，EF∥HG，EF＝HG.故四邊形EFGH是平行四邊形．【應(yīng)用】(1)添加AC＝BD.理由：連接AC，BD，∵AC＝BD，∴EF＝FG.【思路分析】【探究】利用三角形的中位線定理可得出EF＝H又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴?EFGH是菱形．故答案為：AC＝BD.(2)如圖2，由【探究】，得四邊形EFGH是平行四邊形．∵F，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴S△BCD＝4S△CFG.同理，S△ABD＝4S△AEH.∵四邊形ABCD面積為5，設(shè)AC與FG，EH相交于點(diǎn)M，N，EF與BD相交于點(diǎn)P.又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴?EFGH是菱形．∴S△B∵OA＝OC，∴OM＝ON.易知，四邊形ENOP，F(xiàn)MOP是面積相等的平行四邊形．滿分技法?此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解【探究】的關(guān)鍵是判斷出解【應(yīng)用】的關(guān)鍵是判斷出是一道基礎(chǔ)題目．∵OA＝OC，∴OM＝ON.滿分技法?此題是四邊形綜合題，主

滿分必練?4.[2016·蘭州中考]閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題：如圖1，我們把一個(gè)四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H依次連接起來(lái)得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問(wèn)題時(shí)，有如下思路：連接AC.結(jié)合小敏的思路作答：(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說(shuō)明理由；參考小敏思考問(wèn)題方法解決一下問(wèn)題；(2)如圖2，在(1)的條件下，若連接AC，BD.①當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形，寫出結(jié)論并證明；②當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結(jié)論．滿分必練?4.[2016·蘭州中考]閱讀下面材料：結(jié)合解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：如圖，連接AC，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF∥HG，EF＝HG.故四邊形EFGH是平行四邊形．(2)①當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形．理由如下：由(1)知，四邊形EFGH是平行四邊形，∴當(dāng)AC＝BD時(shí)，F(xiàn)G＝HG.∴?EFGH是菱形．②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形．解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：

5.[2017·蘭州中考]如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F.(1)求證：△BDF是等腰三角形；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O.①判斷四邊形BFDG的形狀，并說(shuō)明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的長(zhǎng)．解：(1)證明：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠DBC＝∠DBE.又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形．(2)①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴FD∥BG.又∵DG∥BE，即DG∥BF，5.[2017·蘭州中考]如圖1，將一張矩形紙片ABCD∴四邊形BFDG是平行四邊形．∵DF＝BF，∴四邊形BFDG是菱形．②∵AB＝6，AD＝8，假設(shè)DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2.∴四邊形BFDG是平行四邊形．

6.[2016·臨沂中考]如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE＝BF.連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG，F(xiàn)C.(1)請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是

，位置關(guān)系是

；(2)如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；(3)如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的判斷．解：(1)FG＝CEFG∥CE(2)成立．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.6.[2016·臨沂中考]如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)在△HGE與△CED中，∴△HGE≌△CED(AAS)．∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.∵GH∥BF，∴四邊形GHBF是平行四邊形．∴FG＝BH，F(xiàn)G∥CH.∴FG∥CE.∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC.∴HE＝BC.∴HE＋EB＝BC＋EB.∴BH＝EC.∴FG＝EC.(3)仍然成立．在△HGE與△CED中，∴△HGE≌△CED(AAS)．∴G【例3】如圖1至圖4中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)．思考如圖1，圓心為O的半圓形紙片在AB，CD之間(包括AB，CD)，其直徑MN在AB上，MN＝8，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，設(shè)∠MOP＝α.當(dāng)α＝

度時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小，最小值為

.探究一在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝

度，此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是

.探究二將圖1中的扇形紙片NOP按下面對(duì)α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖3，當(dāng)α＝60°時(shí)，求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P到CD的最小距離，并請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值；(2)如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，要保證點(diǎn)P能落在直線CD上，請(qǐng)確定α的取值范圍．類型3

關(guān)于圓的變式拓展問(wèn)題【例3】如圖1至圖4中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點(diǎn)【思路分析】在“思考”的圖1中，當(dāng)OP⊥CD時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小；在“探究一”的圖2中，半圓形紙片不能再轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，⊙O與CD相切于點(diǎn)Y；在“探究二”的圖3中，當(dāng)PM⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最??；當(dāng)與AB相切時(shí)，旋轉(zhuǎn)角∠BMO的度數(shù)最大．圖4中，當(dāng)弦MP＝6時(shí)，α取最小值；當(dāng)與CD相切于點(diǎn)P時(shí)，即半徑OP⊥CD于點(diǎn)P時(shí)，α取最大值．【思路分析】在“思考”的圖1中，當(dāng)OP⊥CD時(shí)，點(diǎn)P到CD的解：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當(dāng)α＝90度時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小．∵M(jìn)N＝8，∴OP＝4.∴點(diǎn)P到CD的距離最小值為6－4＝2.故答案為：90,2.探究一：∵以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如圖1，∵M(jìn)N＝8，∴MO＝4，OY＝4.∴UO＝2.∴得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO＝30度，此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是2.故答案為：30,2.探究二：(1)由已知得M與P的距離為4，∴當(dāng)MP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的最大距離為4，從而點(diǎn)P到CD的最小距離為6－4＝2.當(dāng)扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時(shí)，與AB相切，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角最大，∠BMO的最大值為90°.(2)如圖2，由探究一可知，點(diǎn)P是與CD的切點(diǎn)時(shí)，α達(dá)到最大，即OP⊥CD.此時(shí)延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)H，α最大值為∠OMH＋圖1解：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當(dāng)α＝9＋∠OHM＝30°＋90°＝120°.如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在CD上且與AB距離最小時(shí)，MP⊥CD，α達(dá)到最小，連接MP，作OH⊥MP于點(diǎn)H，由垂徑定理，得MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4，∴∠MOH＝49°.∵α＝2∠MOH＝98°，∴α最小為98°.∴α的取值范圍是98°≤α≤120°.圖2滿分技法?在拓展變化的圖形中求最值(比如最大(小)距離，角的最大(小)度數(shù)，線段的最大(小)長(zhǎng)度等)，關(guān)鍵是確定相關(guān)圖形的特殊位置；確定幾何圖形中角度的取值范圍，要考查它的最大角度和最小角度兩種極端情況．另外，幾何直觀與生活經(jīng)驗(yàn)的積累與訓(xùn)練也是不容忽視的，本題中很多結(jié)論如果用純粹的數(shù)學(xué)原理嚴(yán)格論證起來(lái)，是很困難的，比如“思考”中，為什么OP⊥AB時(shí)圖3＋∠OHM＝30°＋90°＝120°.圖2滿分技法?在拓展變點(diǎn)P到CD的距離最??？“探究一”中，怎樣說(shuō)明半圓形紙片不能再轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，⊙O與CD相切于點(diǎn)P？“探究二”(1)中，為什么MP⊥AB時(shí)點(diǎn)P到CD的距離最小？為什么當(dāng)與CD相切于點(diǎn)P時(shí)，旋轉(zhuǎn)角∠BMO的度數(shù)最大？(2)中，為什么當(dāng)弦MP＝6時(shí)，α取最小值；為什么當(dāng)半徑OP⊥CD于點(diǎn)P時(shí)，α取最大值？對(duì)于這些問(wèn)題，在考場(chǎng)上是沒(méi)有時(shí)間、也沒(méi)有必要深究的，其結(jié)論的得出主要依靠幾何直觀與生活經(jīng)驗(yàn)．點(diǎn)P到CD的距離最小？“探究一”中，怎樣說(shuō)明半圓形紙片不能再

滿分必練?7.[2017·寶應(yīng)一模]如圖1，水平放置一個(gè)三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，OD＝3cm，開始的時(shí)候BD＝1cm，現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動(dòng)．(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；(2)三角板繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B點(diǎn)和E點(diǎn)重合時(shí)，AC與半圓相切于點(diǎn)F，連接EF，如圖2所示．①求證：EF平分∠AEC；②求EF的長(zhǎng)．解：(1)∵當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，BO＝OD＋BD＝4(cm)，∴三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s.(2)①證明：如圖，連接點(diǎn)O與切點(diǎn)F，則OF⊥AC.∵∠ACE＝90°，∴EC⊥AC.∴OF∥CE.∴∠OFE＝∠CEF.∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF.∴∠OEF＝∠CEF，即EF平分∠AEC.滿分必練?7.[2017·寶應(yīng)一模]如圖1，水平放置一個(gè)②由①知，OF⊥AC.∴△AFO是直角三角形．∵∠BAC＝30°，OF＝OD＝3cm，②由①知，OF⊥AC.

8.[2017·裕華區(qū)模擬]如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn)，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度記作α；設(shè)半圓O的半徑為R，AM的長(zhǎng)度為m，回答下列問(wèn)題：探究：(1)若R＝2，m＝1，如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，圓心O′到射線AB的距離是

.如圖2，當(dāng)α＝

°時(shí)，半圓O與射線AB相切；(2)如圖3，在(1)的條件下，為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長(zhǎng)度不變的條件下，調(diào)整半徑R的大小，請(qǐng)你求出滿足要求的R，并說(shuō)明理由；發(fā)現(xiàn)：(3)如圖4，在0°＜α＜90°時(shí)，為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R，m兩個(gè)量的關(guān)系，請(qǐng)你幫助他直接寫出這個(gè)關(guān)系；cosα＝

；(用含有R，m的代數(shù)式表示)拓展：(4)如圖5，若R＝m，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是

，并求出在這個(gè)變化過(guò)程中陰影部分(弓形)面積的最大值．(用m表示)8.[2017·裕華區(qū)模擬]如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑M解：(1)如圖1，作O′E⊥AB于點(diǎn)E，MF⊥O′E于點(diǎn)F，則四邊形AMFE是矩形，EF＝AM＝1.在Rt△MFO′中，∵∠MO′F＝30°，MO′＝2，如圖2，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于點(diǎn)E，則四邊形O′EAF是矩形．∴