人教版數(shù)學《二次函數(shù)》中考專題復習中考考點分析課件

考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2019浙江溫州,9,4分)已知二次函數(shù)y=x2-4x+2,關(guān)于該函數(shù)在-1≤x≤3的取值范圍內(nèi),下列說法正確的是

()A.有最大值-1,有最小值-2

B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1

D.有最大值7,有最小值-2答案

D

y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x≤3).由圖象可知當x=2時,y取得最小值-2,當x=-1時,y取得最大值7.故選D.

考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2019浙江溫州,9,4分12.(2018陜西,10,3分)對于拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當x=1時,y>0,則這條拋物線的頂點一定在

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

C當x=1時,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根據(jù)拋物線頂點坐標公式可得-

=-

<0,

=

=

<0,所以這條拋物線的頂點一定在第三象限,故選C.2.(2018陜西,10,3分)對于拋物線y=ax2+(2a23.(2018湖北黃岡,6,3分)當a≤x≤a+1時,函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1,則a的值為

()A.-1

B.2

C.0或2

D.-1或2答案

D

y=x2-2x+1=(x-1)2,當a≥1時,函數(shù)y=x2-2x+1在a≤x≤a+1內(nèi),y隨x的增大而增大,其最小值為a2-2a+1,

則a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);當a+1≤1,即a≤0時,函數(shù)y=x2-2x+1在a≤x≤a+1內(nèi),y隨x的增大而減小,其

最小值為(a+1)2-2(a+1)+1=a2,則a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);當0<a<1時,函數(shù)y=x2-2x+1在x=1處取得最小值,最

小值為0,不合題意.綜上,a的值為-1或2,故選D.3.(2018湖北黃岡,6,3分)當a≤x≤a+1時,函數(shù)y34.(2017甘肅蘭州,9,4分)將拋物線y=3x2-3向右平移3個單位長度,得到新拋物線的表達式為

()A.y=3(x-3)2-3

B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3

D.y=3x2-6答案

A直接根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減,上加下減”的平移規(guī)律進行解答即可.選A.4.(2017甘肅蘭州,9,4分)將拋物線y=3x2-3向右45.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐標系中,垂直于x軸的直線l分別與函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖象相交于P,

Q兩點.若平移直線l,可以使P,Q都在x軸的下方,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案

a>1或a<-15.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐標系中,垂直于x5解析解法一:函數(shù)y=x2-2ax的圖象與x軸的交點為(0,0),(2a,0),函數(shù)y=x-a+1的圖象與x軸的交點為(a-1,0),與y

軸的交點為(0,1-a).分兩種情況:①當a<0時,如圖(1),要滿足題意,則需a-1>2a,可得a<-1;②當a>0時,如圖(2),要滿足題意,則需a-1>0,可得a>1.綜上,實數(shù)a的取值范圍是a>1或a<-1.

解法二:∵直線l分別與函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖象相交于P、Q兩點,且都在x軸的下方,解析解法一:函數(shù)y=x2-2ax的圖象與x軸的交點為(0,6∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.令y=x2-2ax<0,當a>0時,解得0<x<2a;當a<0時,解得2a<x<0.分兩種情況:①當a>0時,若

有解,則a-1>0,解得a>1;②當a<0時,若

有解,則2a<a-1,解得a<-1.綜上,實數(shù)a的取值范圍是a>1或a<-1.思路分析

考慮到二次函數(shù)圖象的對稱軸方程是x=a,故分a<0和a>0兩種情況,解法一:由于二次函數(shù)的圖

象過原點,結(jié)合圖象知只需滿足直線y=x-a+1與二次函數(shù)圖象相交的最左邊交點在x軸的下方即可,從而得出

關(guān)于a的不等式;解法二:分別在a<0和a>0兩種情況下滿足

有解,解之即可.難點突破

根據(jù)二次函數(shù)圖象的特點分a<0和a>0兩種情況考慮是解答本題的突破口.∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.思路分析

考慮76.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,16,3分)對任意實數(shù)a,若多項式2b2-5ab+3a2的值總大于-3,則實數(shù)b的取值范圍是

.答案-6<b<6解析2b2-5ab+3a2=3

-

b2+2b2=3

-

b2,又因為對于任意實數(shù)a,多項式2b2-5ab+3a2即3

-

b2的值總大于-3,所以-

b2>-3,所以-6<b<6.6.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,16,3分)對任意實數(shù)a,若多87.(2019浙江溫州,21,10分)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=-

x2+2x+6的圖象交x軸于點A,B(點A在點B的左側(cè)).(1)求點A,B的坐標,并根據(jù)該函數(shù)圖象寫出y≥0時x的取值范圍;(2)把點B向上平移m個單位得點B1.若點B1向左平移n個單位,將與該二次函數(shù)圖象上的點B2重合;若點B1向左

平移(n+6)個單位,將與該二次函數(shù)圖象上的點B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.

7.(2019浙江溫州,21,10分)如圖,在平面直角坐標系9解析(1)令y=0,則-

x2+2x+6=0,∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函數(shù)圖象得,當y≥0時,-2≤x≤6.(2)由題意得B1(6,m),∴B2(6-n,m),B3(-n,m),函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=

=2.∵點B2,B3在二次函數(shù)圖象上且縱坐標相同,∴

=2,∴n=1,∴m=-

×(-1)2+2×(-1)+6=

,∴m,n的值分別為

,1.解析(1)令y=0,則-?x2+2x+6=0,108.(2017江西,22,9分)已知拋物線C1:y=ax2-4ax-5(a>0).(1)當a=1時,求拋物線與x軸的交點坐標及對稱軸;(2)①試說明無論a為何值,拋物線C1一定經(jīng)過兩個定點,并求出這兩個定點的坐標;②將拋物線C1沿這兩個定點所在直線翻折,得到拋物線C2,直接寫出C2的表達式;(3)若(2)中拋物線C2的頂點到x軸的距離為2,求a的值.

備用圖8.(2017江西,22,9分)已知拋物線C1:y=ax2-11解析(1)當a=1時,拋物線C1:y=x2-4x-5.

(1分)令y=0,則x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,∴拋物線C1與x軸的交點坐標為(-1,0),(5,0),

(2分)對稱軸為直線x=2.

(3分)(2)①由拋物線C1:y=ax2-4ax-5(a>0),可得其對稱軸為直線x=-

=2.

(4分)令x=0,得y=-5.∴拋物線C1過定點(0,-5).

(5分)易知點(0,-5)關(guān)于直線x=2的對稱點為點(4,-5),∴由拋物線的對稱性可知,無論a為何值,拋物線C1一定經(jīng)過兩個定點(0,-5)和(4,-5).

(6分)②y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).

(7分)解析(1)當a=1時,拋物線C1:y=x2-4x-5.?(12提示:設(shè)拋物線C2的表達式為y=-a(x-2)2+b,將點(0,-5)的坐標代入求出b即可.(3)對于拋物線C2:y=-ax2+4ax-5,當x=2時,y=4a-5,∴拋物線C2的頂點坐標為(2,4a-5),

(8分)∴|4a-5|=2,解得a1=

,a2=

.

(9分)提示:設(shè)拋物線C2的表達式為y=-a(x-2)2+b,將點(13考點二系數(shù)a、b、c的作用1.(2019四川成都,10,3分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(1,0),B(5,0),下列說法正確的是

()

A.c<0

B.b2-4ac<0C.a-b+c<0

D.圖象的對稱軸是直線x=3答案

D拋物線與y軸的正半軸相交,所以c>0;拋物線與x軸有兩個交點,所以b2-4ac>0;當x=-1時,y=a-b+c,

由題圖可知a-b+c>0,所以選項A,B,C錯誤,拋物線的對稱軸為直線x=

=3,選項D正確,故選D.考點二系數(shù)a、b、c的作用1.(2019四川成都,10,3142.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列說法正確的是

()A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<0答案

B因為拋物線的開口向上,所以a>0,又對稱軸在y軸右側(cè),所以-

>0,所以b<0,因為拋物線與y軸交于負半軸,所以c<0,所以abc>0;因為拋物線與x軸有兩個交點,所以b2-4ac>0,故選B.思路分析

本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系,從拋物線的開口方向,對稱軸,以及與y軸的交點位置來

判斷a,b,c的符號,由拋物線與x軸的交點個數(shù)判斷b2-4ac的符號.2.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐標系xOy中153.(2016湖南長沙,12,3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(b>a>0)與x軸最多有一個交點.現(xiàn)有以下四個結(jié)論:①該拋物線的對稱軸在y軸左側(cè);②關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0無實數(shù)根;③a-b+c≥0;④

的最小值為3.其中,正確結(jié)論的個數(shù)為

()A.1個

B.2個

C.3個

D.4個3.(2016湖南長沙,12,3分)已知拋物線y=ax2+b16答案

D∵b>a>0,∴-

<0,∴①正確;∵拋物線與x軸最多有一個交點,∴b2-4ac≤0,∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0的判別式Δ=b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a<0,∴②正確;∵a>0,且拋物線與x軸最多有一個交點,∴y≥0,∴當x=-1時,a-b+c≥0,∴③正確;∵y≥0,∴當x=-2時,4a-2b+c≥0,答案

D∵b>a>0,∴-?<0,∴①正確;17即a+b+c≥3b-3a,即a+b+c≥3(b-a),∵b>a,∴b-a>0,∴

≥3,∴④正確.故選D.即a+b+c≥3b-3a,184.(2018北京,26,6分)在平面直角坐標系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)

過點A,將點B向右平移5個單位長度,得到點C.(1)求點C的坐標;(2)求拋物線的對稱軸;(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.4.(2018北京,26,6分)在平面直角坐標系xOy中,直19解析(1)將x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,4).∵將點B向右平移5個單位長度得到點C,∴C(5,4).(2)將y=0代入y=4x+4,得x=-1,∴A(-1,0).將(-1,0)代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,∴拋物線的對稱軸為直線x=-

=-

=1.(3)拋物線始終過點A(-1,0),且對稱軸為直線x=1,由拋物線的對稱性可知拋物線也過點A關(guān)于直線x=1的對稱

點(3,0).①a>0時,如圖1.解析(1)將x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,420

圖1將x=5代入拋物線的解析式得y=12a,∴12a≥4,∴a≥

.②a<0,且拋物線頂點不在線段BC上時,如圖2.

21

圖2將x=0代入拋物線解析式得y=-3a,∵拋物線與線段BC恰有一個公共點,∴-3a>4,∴a<-

.若拋物線的頂點在線段BC上,則頂點為(1,4),如圖3.

22

圖3將(1,4)代入拋物線的解析式得4=a-2a-3a,∴a=-1.綜上所述,a≥

或a<-

或a=-1.

23考點三二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系1.(2019山東濰坊,12,3分)拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t為實

數(shù))在-1<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根,則t的取值范圍是

()A.2≤t<11

B.t≥2

C.6<t<11

D.2≤t<6答案

A∵拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,∴一元二次方程x2+bx+3-t=0有實數(shù)根可以看作y=x2-2x+3的圖象與直線y=t有交點,對于y=x2-2x+3,當x=-1時,y=6,當x=4時,y=11,函數(shù)y=x2-2x+3在x=1時有最小值2,∴2≤t<11.故選A.思路分析

根據(jù)所給的拋物線的對稱軸求出函數(shù)解析式為y=x2-2x+3,將一元二次方程x2+bx+3-t=0有實數(shù)根

看作y=x2-2x+3的圖象與直線y=t有交點,再由-1<x<4確定y的取值范圍即可求解.考點三二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系1.(2019山東濰242.(2018河北,16,2分)對于題目“一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點.若c為整數(shù),

確定所有c的值.”甲的結(jié)果是c=1,乙的結(jié)果是c=3或4,則

()A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確2.(2018河北,16,2分)對于題目“一段拋物線L:y=25答案

D拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y軸向上平移c個單位形成的,

一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點可以看作直線l:y=x+2沿y軸向下平移c個單

位形成的直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點.當直線y=x+2-c(即l2)經(jīng)過原點時,0+2-c=0,c

=2;當直線y=x+2-c(即l3)經(jīng)過點A(3,0)時,3+2-c=0,c=5,根據(jù)圖象可得當2<c≤5時,直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x

-3)(0≤x≤3)有唯一公共點,即一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點.顯然c=3,4,5.

當直線y=x+2-c為圖中l(wèi)1時,直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2

-c=0,Δ=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確,故選D.

答案

D拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3263.(2017四川綿陽,10,3分)將二次函數(shù)y=x2的圖象先向下平移1個單位,再向右平移3個單位,得到的圖象與一

次函數(shù)y=2x+b的圖象有公共點,則實數(shù)b的取值范圍是

()A.b>8

B.b>-8C.b≥8

D.b≥-8答案

D由題意可得,y=x2的圖象經(jīng)過兩次平移后得到y(tǒng)=(x-3)2-1的圖象.

將①代入②得,x2-8x+8-b=0.因為拋物線與直線有公共點,所以Δ=(-8)2-4(8-b)=4b+32≥0,所以b≥-8,故選D.3.(2017四川綿陽,10,3分)將二次函數(shù)y=x2的圖象274.(2016廣西南寧,12,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函數(shù)y=

x的圖象如圖所示,則方程ax2+

x+c=0(a≠0)的兩根之和

()A.大于0

B.等于0C.小于0

D.不能確定4.(2016廣西南寧,12,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx28答案

A根據(jù)題圖可知a>0,b<0,b2-4ac>0.在方程ax2+

x+c=0(a≠0)中,Δ=

-4ac=b2-

b+

-4ac=b2-4ac-

b+

>0,設(shè)此方程的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=-

=-

+

>0,故選A.答案

A根據(jù)題圖可知a>0,b<0,b2-4ac>0295.(2019山東濰坊,17,3分)如圖,直線y=x+1與拋物線y=x2-4x+5交于A,B兩點,點P是y軸上的一個動點,當△PAB

的周長最小時,S△PAB=

.

答案

5.(2019山東濰坊,17,3分)如圖,直線y=x+1與拋30解析聯(lián)立直線與拋物線的解析式得方程組

解得

或

∴點A的坐標為(1,2),點B的坐標為(4,5),∴AB=

=3

,作點A關(guān)于y軸的對稱點A',則A'(-1,2),連接A'B與y軸交于P',則當點P與P'重合時,△PAB的周長最小,設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b,k≠0,則

解得

∴直線A'B的解析式為y=

x+

,當x=0時,y=

,即點P'的坐標為

,解析聯(lián)立直線與拋物線的解析式得方程組?解得?或?31將x=0代入y=x+1中,得y=1,∵直線y=x+1與y軸的夾角是45°,∴點P'到直線AB的距離是

×sin45°=

×

=

,∴△P'AB的面積是

=

.∴當△PAB的周長最小時,S△PAB=

.

將x=0代入y=x+1中,得y=1,326.(2018湖北黃岡,22,8分)已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x.(1)求證:直線l與該拋物線總有兩個交點;(2)設(shè)直線l與該拋物線兩交點為A,B,O為原點,當k=-2時,求△OAB的面積.解析(1)證明:令x2-4x=kx+1,則x2-(4+k)x-1=0,因為Δ=(4+k)2+4>0,所以直線l與該拋物線總有兩個交點.(2)設(shè)A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l與y軸的交點為C,則C點的坐標為(0,1),易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2

,所以△OAB的面積S=

·OC·|x1-x2|=

×1×2

=

.6.(2018湖北黃岡,22,8分)已知直線l:y=kx+1337.(2019北京,26,6分)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx-

與y軸交于點A,將點A向右平移2個單位長度,得到點B,點B在拋物線上.(1)求點B的坐標(用含a的式子表示);(2)求拋物線的對稱軸;(3)已知點P

,Q(2,2).若拋物線與線段PQ恰有一個公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.7.(2019北京,26,6分)在平面直角坐標系xOy中,拋34解析(1)∵拋物線y=ax2+bx-

與y軸交于點A,∴點A的坐標為

.∵將點A向右平移2個單位長度,得到點B,∴點B的坐標為

.(2)∵點B

在拋物線上,∴4a+2b-

=-

,即b=-2a.∴拋物線的對稱軸為x=1.(3)點A

,B

,P

.當a>0時,-

<0,如圖1.解析(1)∵拋物線y=ax2+bx-?與y軸交于點A,35

圖1令拋物線上的點C

.∵當x<1時,y隨x的增大而減小,∴yC<-

.令拋物線上的點D(xD,2)(xD>1).∵當x>1時,y隨x的增大而增大,∴xD>2.結(jié)合函數(shù)圖象,可知拋物線與線段PQ沒有公共點.

36當a<0時,(i)當-

<a<0時,-

>2,如圖2.

圖2令拋物線上的點C

.∵當x<1時,y隨x的增大而增大,∴yC>-

.令拋物線上的點D(xD,2)(xD>1).當a<0時,37∵當x>1時,y隨著x的增大而減小,∴xD>2.結(jié)合函數(shù)圖象,可知拋物線與線段PQ沒有公共點.(ii)當a=-

時,A(0,2),B(2,2),P

,Q(2,2),如圖3.

圖3結(jié)合函數(shù)圖象,可知拋物線與線段PQ恰有一個公共點Q(2,2).(iii)當a<-

時,0<-

<2,如圖4.∵當x>1時,y隨著x的增大而減小,38

圖4令拋物線上的點C

.∵當x<1時,y隨x的增大而增大,∴yC>-

.令拋物線上的點D(xD,yD)

,∵當x>1時,y隨x的增大而減小,∴xD<2.結(jié)合函數(shù)圖象,可知拋物線與線段PQ恰有一個公共點.綜上所述,a的取值范圍為a≤-

.?綜上所述,a的取值范圍為a≤-?.39思路分析

本題第(3)問需要對a的大小進行分類討論,同時要關(guān)注拋物線與y軸的交點坐標.解題關(guān)鍵

解決本題的關(guān)鍵是分情況討論后精準畫圖,要在探究的過程中發(fā)現(xiàn)點P與點A,B縱坐標相等的

關(guān)系,進而關(guān)注點Q與拋物線的關(guān)系.思路分析

本題第(3)問需要對a的大小進行分類討論,同408.(2019安徽,22,12分)一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2+c的圖象的一個交點坐標為(1,2),另一個交點是該二

次函數(shù)圖象的頂點.(1)求k,a,c的值;(2)過點A(0,m)(0<m<4)且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=ax2+c的圖象相交于B,C兩點,點O為坐標原點,記W=

OA2+BC2.求W關(guān)于m的函數(shù)解析式,并求W的最小值.8.(2019安徽,22,12分)一次函數(shù)y=kx+4與二次41解析(1)因為點(1,2)在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上,所以2=k+4,即k=-2,因為一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax2

+c圖象的另一個交點是該二次函數(shù)圖象的頂點,所以(0,c)在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上,即c=4.又點(1,2)也在

二次函數(shù)y=ax2+c的圖象上,所以2=a+c,從而a=-2.

(6分)(2)解法一:因為點A的坐標為(0,m)(0<m<4),過點A且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=-2x2+4的圖象交于點B,C,

所以可設(shè)點B的坐標為(x0,m),由對稱性得點C的坐標為(-x0,m),故BC=2|x0|.又點B在二次函數(shù)y=-2x2+4的圖象

上,所以-2

+4=m,即

=2-

,從而BC2=4

=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4),所以m=1時,W有最小值7.

(12分)解法二:由(1)得二次函數(shù)的解析式為y=-2x2+4,因為點A的坐標為(0,m)(0<m<4),過點A且垂直于y軸的直線與

二次函數(shù)y=-2x2+4的圖象交于點B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=

,x2=-

.所以BC=2

,又OA=m,從而W=OA2+BC2=m2+

=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4).所以m=1時,W有最小值7.

(12分)解析(1)因為點(1,2)在一次函數(shù)y=kx+4的圖象上,42思路分析

(1)將(1,2)代入一次函數(shù)解析式求出k,代入二次函數(shù)解析式得a+c=2,由題意可判斷點(0,c)也在

一次函數(shù)圖象上,從而求得a,c.(2)解法一:由題意可設(shè)點B(x0,m),由二次函數(shù)的對稱性可得點C(-x0,m),可得BC

=2|x0|,依據(jù)B點在二次函數(shù)的圖象上,得出

=2-

,從而求出W關(guān)于m的函數(shù)解析式,最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.解法二:由(1)可令-2x2+4=m,求出兩根,從而得BC的長,從而求出W關(guān)于m的函數(shù)解析式,最后根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.思路分析

(1)將(1,2)代入一次函數(shù)解析式求出k,439.(2017北京,27,7分)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點A,B(點A在點B的左側(cè)),與y軸交

于點C.(1)求直線BC的表達式;(2)垂直于y軸的直線l與拋物線交于點P(x1,y1),Q(x2,y2),與直線BC交于點N(x3,y3).若x1<x2<x3,結(jié)合函數(shù)的圖象,

求x1+x2+x3的取值范圍.9.(2017北京,27,7分)在平面直角坐標系xOy中,拋44解析(1)令y=0,即0=x2-4x+3,解得x=1或x=3.∵拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點A,B(點A在點B的左側(cè)),∴點A,B的坐標分別為(1,0),(3,0).令x=0,得y=3.∵拋物線y=x2-4x+3與y軸交于點C,∴點C的坐標為(0,3).設(shè)直線BC的表達式為y=kx+b,k≠0,∴

解得

∴直線BC的表達式為y=-x+3.(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴拋物線的頂點坐標為(2,-1),對稱軸為直線x=2.由題意可知,點P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)關(guān)于直線x=2對稱,解析(1)令y=0,即0=x2-4x+3,解得x=1或x=45∴x2-2=2-x1,∴x1+x2=4.由x1<x2<x3,結(jié)合函數(shù)的圖象,可得-1<y3<0,即-1<-x3+3<0,解得3<x3<4.∴7<x1+x2+x3<8.

∴x2-2=2-x1,∴x1+x2=4.4610.(2016河北,26,12分)如圖,拋物線L:y=-

(x-t)(x-t+4)(常數(shù)t>0)與x軸從左到右的交點為B,A,過線段OA的中點M作MP⊥x軸,交雙曲線y=

(k>0,x>0)于點P,且OA·MP=12.(1)求k值;(2)當t=1時,求AB長,并求直線MP與L對稱軸之間的距離;(3)把L在直線MP左側(cè)部分的圖象(含與直線MP的交點)記為G,用t表示圖象G最高點的坐標;(4)設(shè)L與雙曲線有個交點的橫坐標為x0,且滿足4≤x0≤6,通過L位置隨t變化的過程,

寫出t的取值范圍.

10.(2016河北,26,12分)如圖,拋物線L:y=-?47解析(1)設(shè)點P(x,y),則MP=y,由OA的中點為M知OA=2x,代入OA·MP=12,得2x·y=12,即xy=6.∴k=xy=6.

(3分)(2)當t=1時,令y=0,得0=-

(x-1)(x+3),∴x1=1,x2=-3.由B在A左邊,得B(-3,0),A(1,0),∴AB=4.

(5分)∵L的對稱軸為x=-1,而M的坐標為

,∴MP與L對稱軸之間的距離為

.

(6分)(3)∵A(t,0),B(t-4,0),∴L的對稱軸為x=t-2.

(7分)又MP為x=

,解析(1)設(shè)點P(x,y),則MP=y,由OA的中點為M知48當t-2≤

,即t≤4時,頂點(t-2,2)就是G的最高點;當t>4時,L與MP的交點

就是G的最高點.

(10分)(4)5≤t≤8-

或7≤t≤8+

.

(12分)[注:如果考生答“5≤t≤8+

”給1分]當t-2≤?,即t≤4時,頂點(t-2,2)就是G的最高點;49【供評卷人參考:(4)的簡解.對于雙曲線,當4≤x0≤6時,1≤y0≤

,即L與雙曲線在C

,D(6,1)之間的一段有個交點.①由

=-

(4-t)(4-t+4),得t1=5,t2=7;②由1=-

(6-t)(6-t+4),得t3=8-

,t4=8+

.隨著t的逐漸增大,L位置隨著點A(t,0)向右平移,如圖所示.

【供評卷人參考:(4)的簡解.50當t=5時,L右側(cè)過點C;當t=8-

<7時,L右側(cè)過點D.即5≤t≤8-

.當8-

<t<7時,L右側(cè)離開了點D,而左側(cè)未到點C,即L與該段無交點,舍去.當t=7時,L左側(cè)過點C;當t=8+

時,L左側(cè)過點D.即7≤t≤8+

】當t=5時,L右側(cè)過點C;當t=8-?<7時,L右側(cè)過點D.5111.(2017福建,25,14分)已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M(1,0),且a<b.(1)求拋物線頂點Q的坐標(用含a的代數(shù)式表示);(2)說明直線與拋物線有兩個交點;(3)直線與拋物線的另一個交點記為N.(i)若-1≤a≤-

,求線段MN長度的取值范圍;(ii)求△QMN面積的最小值.11.(2017福建,25,14分)已知直線y=2x+m與拋52解析(1)因為拋物線過點M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a.所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a

-

,所以拋物線頂點Q的坐標為

.(2)因為直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0),所以0=2×1+m,解得m=-2.把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,①所以Δ=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4,由(1)知b=-2a,又a<b,所以a<0,b>0.所以Δ>0,所以方程①有兩個不相等的實數(shù)根,故直線與拋物線有兩個交點.(3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,解析(1)因為拋物線過點M(1,0),所以a+a+b=0,53得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+

x-2+

=0,所以

=

,解得x1=1,x2=

-2,所以點N

.(i)根據(jù)勾股定理得,MN2=

+

=

-

+45=20

,因為-1≤a≤-

,由反比例函數(shù)的性質(zhì)知-2≤

≤-1,所以

-

<0,所以MN=2

=3

-

,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+?x-2+?=54所以5

≤MN≤7

.(ii)作直線x=-

交直線y=2x-2于點E.

把x=-

代入y=2x-2得,y=-3,即E

.又因為M(1,0),N

,且由(2)知a<0,所以△QMN的面積S=S△QEN+S△QEM=

·

=

-

-

.即27a2+(8S-54)a+24=0,②因為關(guān)于a的方程②有實數(shù)根,所以5?≤MN≤7?.55所以Δ=(8S-54)2-4×27×24≥0,即(8S-54)2≥(36

)2,又因為a<0,所以S=

-

-

>

,所以8S-54>0,所以8S-54≥36

,即S≥

+

,當S=

+

時,由方程②可得a=-

滿足題意.故當a=-

,b=

時,△QMN面積的最小值為

+

.所以Δ=(8S-54)2-4×27×24≥0,5612.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,25,12分)已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a<0)的最大值為4,且拋物線過點

.點P(t,0)是x軸上的動點,拋物線與y軸的交點為C,頂點為D.(1)求該二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標;(2)求|PC-PD|的最大值及對應的點P的坐標;(3)設(shè)Q(0,2t)是y軸上的動點,若線段PQ與函數(shù)y=a|x|2-2a|x|+c的圖象只有一個公共點,求t的取值.12.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,25,12分)已知二次函數(shù)y57解析(1)y=ax2-2ax+c的對稱軸為直線x=1,所以拋物線過(1,4)和

兩點.

(1分)代入解析式得

(2分)解得a=-1,c=3,∴y=-x2+2x+3,

(3分)∴頂點D的坐標為(1,4).

(4分)(2)∵C、D兩點的坐標為(0,3),(1,4),由三角形兩邊之差小于第三邊可知|PC-PD|≤|CD|,

(5分)∴P、C、D三點共線時|PC-PD|取得最大值,此時最大值為|CD|=

.

(6分)易知CD所在直線的方程為y=x+3,將(t,0)代入得t=-3,解析(1)y=ax2-2ax+c的對稱軸為直線x=1,58∴此時對應的點P的坐標為(-3,0).

(7分)(3)y=a|x|2-2a|x|+c的解析式可化為y=

(8分)設(shè)線段PQ所在直線的方程為y=kx+b(k≠0),將P(t,0),Q(0,2t)的坐標代入得線段PQ所在直線的方程為y=-2x+2t.(9分)∴①當線段PQ過點(0,3),即點Q與點C重合時,線段PQ與函數(shù)y=

的圖象有一個公共點,此時t=

,當線段PQ過點(3,0),即點P與點(3,0)重合時,t=3,此時線段PQ與y=

的圖象有兩個公共點,所以當

≤t<3時,線段PQ與y=

的圖象有一個公共點.

(10分)②將y=-2x+2t代入y=-x2+2x+3(x≥0)得-x2+4x+3-2t=0,∴此時對應的點P的坐標為(-3,0).?(7分)59令Δ=16+4(3-2t)=0,解得t=

>0,所以當t=

時,線段PQ與y=

的圖象也有一個公共點.

(11分)③當線段PQ過點(-3,0),即點P與點(-3,0)重合時,線段PQ只與y=-x2-2x+3(x<0)的圖象有一個公共點,此時t=-3,所以當t≤-3時,線段PQ與y=

的圖象也有一個公共點.綜上所述,t的取值為

≤t<3或t=

或t≤-3.

(12分)令Δ=16+4(3-2t)=0,解得t=?>0,60考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2019浙江溫州,9,4分)已知二次函數(shù)y=x2-4x+2,關(guān)于該函數(shù)在-1≤x≤3的取值范圍內(nèi),下列說法正確的是

()A.有最大值-1,有最小值-2

B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1

D.有最大值7,有最小值-2答案

D

y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x≤3).由圖象可知當x=2時,y取得最小值-2,當x=-1時,y取得最大值7.故選D.

考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2019浙江溫州,9,4分612.(2018陜西,10,3分)對于拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當x=1時,y>0,則這條拋物線的頂點一定在

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

C當x=1時,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根據(jù)拋物線頂點坐標公式可得-

=-

<0,

=

=

<0,所以這條拋物線的頂點一定在第三象限,故選C.2.(2018陜西,10,3分)對于拋物線y=ax2+(2a623.(2018湖北黃岡,6,3分)當a≤x≤a+1時,函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1,則a的值為

()A.-1

B.2

C.0或2

D.-1或2答案

D

y=x2-2x+1=(x-1)2,當a≥1時,函數(shù)y=x2-2x+1在a≤x≤a+1內(nèi),y隨x的增大而增大,其最小值為a2-2a+1,

則a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);當a+1≤1,即a≤0時,函數(shù)y=x2-2x+1在a≤x≤a+1內(nèi),y隨x的增大而減小,其

最小值為(a+1)2-2(a+1)+1=a2,則a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);當0<a<1時,函數(shù)y=x2-2x+1在x=1處取得最小值,最

小值為0,不合題意.綜上,a的值為-1或2,故選D.3.(2018湖北黃岡,6,3分)當a≤x≤a+1時,函數(shù)y634.(2017甘肅蘭州,9,4分)將拋物線y=3x2-3向右平移3個單位長度,得到新拋物線的表達式為

()A.y=3(x-3)2-3

B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3

D.y=3x2-6答案

A直接根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減,上加下減”的平移規(guī)律進行解答即可.選A.4.(2017甘肅蘭州,9,4分)將拋物線y=3x2-3向右645.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐標系中,垂直于x軸的直線l分別與函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖象相交于P,

Q兩點.若平移直線l,可以使P,Q都在x軸的下方,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案

a>1或a<-15.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐標系中,垂直于x65解析解法一:函數(shù)y=x2-2ax的圖象與x軸的交點為(0,0),(2a,0),函數(shù)y=x-a+1的圖象與x軸的交點為(a-1,0),與y

軸的交點為(0,1-a).分兩種情況:①當a<0時,如圖(1),要滿足題意,則需a-1>2a,可得a<-1;②當a>0時,如圖(2),要滿足題意,則需a-1>0,可得a>1.綜上,實數(shù)a的取值范圍是a>1或a<-1.

解法二:∵直線l分別與函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖象相交于P、Q兩點,且都在x軸的下方,解析解法一:函數(shù)y=x2-2ax的圖象與x軸的交點為(0,66∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.令y=x2-2ax<0,當a>0時,解得0<x<2a;當a<0時,解得2a<x<0.分兩種情況:①當a>0時,若

有解,則a-1>0,解得a>1;②當a<0時,若

有解,則2a<a-1,解得a<-1.綜上,實數(shù)a的取值范圍是a>1或a<-1.思路分析

考慮到二次函數(shù)圖象的對稱軸方程是x=a,故分a<0和a>0兩種情況,解法一:由于二次函數(shù)的圖

象過原點,結(jié)合圖象知只需滿足直線y=x-a+1與二次函數(shù)圖象相交的最左邊交點在x軸的下方即可,從而得出

關(guān)于a的不等式;解法二:分別在a<0和a>0兩種情況下滿足

有解,解之即可.難點突破

根據(jù)二次函數(shù)圖象的特點分a<0和a>0兩種情況考慮是解答本題的突破口.∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.思路分析

考慮676.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,16,3分)對任意實數(shù)a,若多項式2b2-5ab+3a2的值總大于-3,則實數(shù)b的取值范圍是

.答案-6<b<6解析2b2-5ab+3a2=3

-

b2+2b2=3

-

b2,又因為對于任意實數(shù)a,多項式2b2-5ab+3a2即3

-

b2的值總大于-3,所以-

b2>-3,所以-6<b<6.6.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,16,3分)對任意實數(shù)a,若多687.(2019浙江溫州,21,10分)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=-

x2+2x+6的圖象交x軸于點A,B(點A在點B的左側(cè)).(1)求點A,B的坐標,并根據(jù)該函數(shù)圖象寫出y≥0時x的取值范圍;(2)把點B向上平移m個單位得點B1.若點B1向左平移n個單位,將與該二次函數(shù)圖象上的點B2重合;若點B1向左

平移(n+6)個單位,將與該二次函數(shù)圖象上的點B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.

7.(2019浙江溫州,21,10分)如圖,在平面直角坐標系69解析(1)令y=0,則-

x2+2x+6=0,∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函數(shù)圖象得,當y≥0時,-2≤x≤6.(2)由題意得B1(6,m),∴B2(6-n,m),B3(-n,m),函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=

=2.∵點B2,B3在二次函數(shù)圖象上且縱坐標相同,∴

=2,∴n=1,∴m=-

×(-1)2+2×(-1)+6=

,∴m,n的值分別為

,1.解析(1)令y=0,則-?x2+2x+6=0,708.(2017江西,22,9分)已知拋物線C1:y=ax2-4ax-5(a>0).(1)當a=1時,求拋物線與x軸的交點坐標及對稱軸;(2)①試說明無論a為何值,拋物線C1一定經(jīng)過兩個定點,并求出這兩個定點的坐標;②將拋物線C1沿這兩個定點所在直線翻折,得到拋物線C2,直接寫出C2的表達式;(3)若(2)中拋物線C2的頂點到x軸的距離為2,求a的值.

備用圖8.(2017江西,22,9分)已知拋物線C1:y=ax2-71解析(1)當a=1時,拋物線C1:y=x2-4x-5.

(1分)令y=0,則x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,∴拋物線C1與x軸的交點坐標為(-1,0),(5,0),

(2分)對稱軸為直線x=2.

(3分)(2)①由拋物線C1:y=ax2-4ax-5(a>0),可得其對稱軸為直線x=-

=2.

(4分)令x=0,得y=-5.∴拋物線C1過定點(0,-5).

(5分)易知點(0,-5)關(guān)于直線x=2的對稱點為點(4,-5),∴由拋物線的對稱性可知,無論a為何值,拋物線C1一定經(jīng)過兩個定點(0,-5)和(4,-5).

(6分)②y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).

(7分)解析(1)當a=1時,拋物線C1:y=x2-4x-5.?(72提示:設(shè)拋物線C2的表達式為y=-a(x-2)2+b,將點(0,-5)的坐標代入求出b即可.(3)對于拋物線C2:y=-ax2+4ax-5,當x=2時,y=4a-5,∴拋物線C2的頂點坐標為(2,4a-5),

(8分)∴|4a-5|=2,解得a1=

,a2=

.

(9分)提示:設(shè)拋物線C2的表達式為y=-a(x-2)2+b,將點(73考點二系數(shù)a、b、c的作用1.(2019四川成都,10,3分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(1,0),B(5,0),下列說法正確的是

()

A.c<0

B.b2-4ac<0C.a-b+c<0

D.圖象的對稱軸是直線x=3答案

D拋物線與y軸的正半軸相交,所以c>0;拋物線與x軸有兩個交點,所以b2-4ac>0;當x=-1時,y=a-b+c,

由題圖可知a-b+c>0,所以選項A,B,C錯誤,拋物線的對稱軸為直線x=

=3,選項D正確,故選D.考點二系數(shù)a、b、c的作用1.(2019四川成都,10,3742.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列說法正確的是

()A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<0答案

B因為拋物線的開口向上,所以a>0,又對稱軸在y軸右側(cè),所以-

>0,所以b<0,因為拋物線與y軸交于負半軸,所以c<0,所以abc>0;因為拋物線與x軸有兩個交點,所以b2-4ac>0,故選B.思路分析

本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系,從拋物線的開口方向,對稱軸,以及與y軸的交點位置來

判斷a,b,c的符號,由拋物線與x軸的交點個數(shù)判斷b2-4ac的符號.2.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐標系xOy中753.(2016湖南長沙,12,3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(b>a>0)與x軸最多有一個交點.現(xiàn)有以下四個結(jié)論:①該拋物線的對稱軸在y軸左側(cè);②關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0無實數(shù)根;③a-b+c≥0;④

的最小值為3.其中,正確結(jié)論的個數(shù)為

()A.1個

B.2個

C.3個

D.4個3.(2016湖南長沙,12,3分)已知拋物線y=ax2+b76答案

D∵b>a>0,∴-

<0,∴①正確;∵拋物線與x軸最多有一個交點,∴b2-4ac≤0,∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0的判別式Δ=b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a<0,∴②正確;∵a>0,且拋物線與x軸最多有一個交點,∴y≥0,∴當x=-1時,a-b+c≥0,∴③正確;∵y≥0,∴當x=-2時,4a-2b+c≥0,答案

D∵b>a>0,∴-?<0,∴①正確;77即a+b+c≥3b-3a,即a+b+c≥3(b-a),∵b>a,∴b-a>0,∴

≥3,∴④正確.故選D.即a+b+c≥3b-3a,784.(2018北京,26,6分)在平面直角坐標系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)

過點A,將點B向右平移5個單位長度,得到點C.(1)求點C的坐標;(2)求拋物線的對稱軸;(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.4.(2018北京,26,6分)在平面直角坐標系xOy中,直79解析(1)將x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,4).∵將點B向右平移5個單位長度得到點C,∴C(5,4).(2)將y=0代入y=4x+4,得x=-1,∴A(-1,0).將(-1,0)代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,∴拋物線的對稱軸為直線x=-

=-

=1.(3)拋物線始終過點A(-1,0),且對稱軸為直線x=1,由拋物線的對稱性可知拋物線也過點A關(guān)于直線x=1的對稱

點(3,0).①a>0時,如圖1.解析(1)將x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,480

圖1將x=5代入拋物線的解析式得y=12a,∴12a≥4,∴a≥

.②a<0,且拋物線頂點不在線段BC上時,如圖2.

81

圖2將x=0代入拋物線解析式得y=-3a,∵拋物線與線段BC恰有一個公共點,∴-3a>4,∴a<-

.若拋物線的頂點在線段BC上,則頂點為(1,4),如圖3.

82

圖3將(1,4)代入拋物線的解析式得4=a-2a-3a,∴a=-1.綜上所述,a≥

或a<-

或a=-1.

83考點三二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系1.(2019山東濰坊,12,3分)拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t為實

數(shù))在-1<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根,則t的取值范圍是

()A.2≤t<11

B.t≥2

C.6<t<11

D.2≤t<6答案

A∵拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,∴一元二次方程x2+bx+3-t=0有實數(shù)根可以看作y=x2-2x+3的圖象與直線y=t有交點,對于y=x2-2x+3,當x=-1時,y=6,當x=4時,y=11,函數(shù)y=x2-2x+3在x=1時有最小值2,∴2≤t<11.故選A.思路分析

根據(jù)所給的拋物線的對稱軸求出函數(shù)解析式為y=x2-2x+3,將一元二次方程x2+bx+3-t=0有實數(shù)根

看作y=x2-2x+3的圖象與直線y=t有交點,再由-1<x<4確定y的取值范圍即可求解.考點三二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系1.(2019山東濰842.(2018河北,16,2分)對于題目“一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點.若c為整數(shù),

確定所有c的值.”甲的結(jié)果是c=1,乙的結(jié)果是c=3或4,則

()A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確2.(2018河北,16,2分)對于題目“一段拋物線L:y=85答案

D拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y軸向上平移c個單位形成的,

一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點可以看作直線l:y=x+2沿y軸向下平移c個單

位形成的直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點.當直線y=x+2-c(即l2)經(jīng)過原點時,0+2-c=0,c

=2;當直線y=x+2-c(即l3)經(jīng)過點A(3,0)時,3+2-c=0,c=5,根據(jù)圖象可得當2<c≤5時,直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x

-3)(0≤x≤3)有唯一公共點,即一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點.顯然c=3,4,5.

當直線y=x+2-c為圖中l(wèi)1時,直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2

-c=0,Δ=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確,故選D.

答案

D拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3863.(2017四川綿陽,10,3分)將二次函數(shù)y=x2的圖象先向下平移1個單位,再向右平移3個單位,得到的圖象與一

次函數(shù)y=2x+b的圖象有公共點,則實數(shù)b的取值范圍是

()A.b>8

B.b>-8C.b≥8

D.b≥-8答案

D由題意可得,y=x2的圖象經(jīng)過兩次平移后得到y(tǒng)=(x-3)2-1的圖象.

將①代入②得,x2-8x+8-b=0.因為拋物線與直線有公共點,所以Δ=(-8)2-4(8-b)=4b+32≥0,所以b≥-8,故選D.3.(2017四川綿陽,10,3分)將二次函數(shù)y=x2的圖象874.(2016廣西南寧,12,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函數(shù)y=

x的圖象如圖所示,則方程ax2+

x+c=0(a≠0)的兩根之和

()A.大于0

B.等于0C.小于0

D.不能確定4.(2016廣西南寧,12,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx88答案

A根據(jù)題圖可知a>0,b<0,b2-4ac>0.在方程ax2+

x+c=0(a≠0)中,Δ=

-4ac=b2-

b+

-4ac=b2-4ac-

b+

>0,設(shè)此方程的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=-

=-

+

>0,故選A.答案

A根據(jù)題圖可知a>0,b<0,b2-4ac>0895.(2019山東濰坊,17,3分)如圖,直線y=x+1與拋物線y=x2-4x+5交于A,B兩點,點P是y軸上的一個動點,當△PAB

的周長最小時,S△PAB=

.

答案

5.(2019山東濰坊,17,3分)如圖,直線y=x+1與拋90解析聯(lián)立直線與拋物線的解析式得方程組

解得

或

∴點A的坐標為(1,2),點B的坐標為(4,5),∴AB=

=3

,作點A關(guān)于y軸的對稱點A',則A'(-1,2),連接A'B與y軸交于P',則當點P與P'重合時,△PAB的周長最小,設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b,k≠0,則

解得

∴直線A'B的解析式為y=

x+

,當x=0時,y=

,即點P'的坐標為

,解析聯(lián)立直線與拋物線的解析式得方程組?解得?或?91將x=0代入y=x+1中,得y=1,∵直線y=x+1與y軸的夾角是45°,∴點P'到直線AB的距離是

×sin45°=

×

=

,∴△P'AB的面積是

=

.∴當△PAB的周長最小時,S△PAB=

.

將x=0代入y=x+1中,得y=1,926.(2018湖北黃岡,22,8分)已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x.(1)求證:直線l與該拋物線總有兩個交點;(2)設(shè)直線l與該拋物線兩交點為A,B,O為原點,當k