【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 9.1平面及其基本性質(zhì)（第1課時(shí)）

第九章直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體1編輯ppt9.1平面及其基本性質(zhì)考點(diǎn)搜索●公理1、2、3及公理3的三個(gè)推論●用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖高考猜想1.考查共點(diǎn)、共線、共面問題的分析與判斷.2.知道斜二測(cè)畫法原理的應(yīng)用.3.考查簡(jiǎn)單的截面圖的畫法.2編輯ppt

1.通常畫平行四邊形表示平面，當(dāng)平面水平放置時(shí)，一般把平行四邊形的銳角畫成①______；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，一般把平行四邊形的一組對(duì)邊畫成②_________;畫兩相交平面時(shí)，一定要畫出它們的交線.

2.公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么③_____________________都在這個(gè)平面內(nèi).該公理用符號(hào)語言表述為④______________________________.45°鉛垂線這條直線上所有的點(diǎn)若A、B∈l,則α∩β=l，且P∈l3編輯ppt公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是⑤_________.該公理用符號(hào)語言可表述為⑥________________________________.公理3：經(jīng)過⑦_(dá)_________________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.3.推論1：經(jīng)過一條直線和⑧_____________有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過兩條⑨______直線有且只有一個(gè)平面.一條直線若點(diǎn)P∈α∩β,則α∩β=l,且P∈l不在同一條直線上直線外一點(diǎn)相交4編輯ppt推論3：經(jīng)過兩條⑩______直線有且只有一個(gè)平面.4.如果構(gòu)成圖形的所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，這個(gè)圖形叫做11__________；如果構(gòu)成圖形的點(diǎn)不都在同一平面內(nèi)，這種圖形叫做12__________

5.表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖.畫空間圖形的直觀圖，有如下畫法規(guī)則：平行平面圖形立體圖形5編輯ppt(1)在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸Ox、Oy，再取Oz,∠xOz=13____,且∠yOz=14____.(2)畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸O'x'、O'y'、O'z',使∠x'O'y'=15_________，∠x'O'z'=16____，x'O'y'所確定的平面表示17________.(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段,在直觀圖中分別畫成18_______________

____________的線段.90°90°45°或135°90°水平面平行于x′軸、y′軸或z′軸6編輯ppt

(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持不變19______；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為20____________.盤點(diǎn)指南：①45°;②鉛垂線;③這條直線上所有的點(diǎn);④若A、B∈l，且A、B∈α，則lα;⑤一條直線；⑥若點(diǎn)P∈α∩β，則α∩β=l，且P∈l;⑦不在同一條直線上；⑧直線外的一點(diǎn);⑨相交；⑩平行；11

平面圖形；12

立體圖形；1390°;1490°;1545°或135°;1690°;17

水平面;18

平行于x′軸、y′軸或z′軸;19長(zhǎng)度；20

原來的一半.長(zhǎng)度原來的一半7編輯ppt

α、β是兩個(gè)不同的平面，在平面α內(nèi)

取4個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取3個(gè)點(diǎn)，則由這7個(gè)點(diǎn)最多可以確定

個(gè)平面.

解：在α內(nèi)取1個(gè)點(diǎn)，β內(nèi)取2個(gè)點(diǎn)可以確定

=12個(gè)平面;在α內(nèi)取2個(gè)點(diǎn)，β內(nèi)取1個(gè)點(diǎn)可以確定

=18個(gè)平面.再加α、β2個(gè)平面，故最多可確定32個(gè)平面.328編輯ppt正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)，則正方體的過點(diǎn)P、Q、R的截面圖形是()A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形9編輯ppt

解：如圖，分別取C1D1、BB1、DD1的中點(diǎn)E、M、N.易證PQ∥MN∥RE，從而P、Q、N、E、R、M共面，所以截面圖形是六邊形，故選D.10編輯ppt

1.對(duì)空間三條直線，如果其中一條直線和另兩條直線都相交，討論由這三條直線可以確定幾個(gè)平面.

解:設(shè)a,b,c為三條直線,a∩b=A,a∩c=B.(1)若b∥c，則b、c確定一個(gè)平面，且a在這個(gè)平面內(nèi)，故共確定一個(gè)平面.題型1確定平面的個(gè)數(shù)第一課時(shí)11編輯ppt(2)若b與c異面，則由a、b確定一個(gè)平面，由a、c確定一個(gè)平面，故共確定兩個(gè)平面.(3)若b與c相交，設(shè)b∩c=C.當(dāng)a不經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，A、B、C三點(diǎn)不共線，由這三點(diǎn)確定一個(gè)平面，直線a、b、c都在這個(gè)平面內(nèi)，故共確定一個(gè)平面.當(dāng)a經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，a、b、c三線共點(diǎn).若a、b、c共面，則確定一個(gè)平面；若a、b、c不共面，則確定三個(gè)平面.12編輯ppt綜上分析，這三條直線可以確定1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)平面.

點(diǎn)評(píng)：解決空間直線或點(diǎn)確定平面的個(gè)數(shù)問題，一是先按已知元素之間的位置關(guān)系(如直線分異面與共面，點(diǎn)分共線與不共線)進(jìn)行分類討論；二是利用公理進(jìn)行計(jì)數(shù).13編輯ppt討論一條直線和這條直線外不共線的三點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面?

解：設(shè)點(diǎn)A、B、C為直線l外不共線的三點(diǎn).(1)若點(diǎn)A、B、C中任意兩點(diǎn)與直線l都不共面，則直線l與點(diǎn)A、B、C分別確定一個(gè)平面.又A、B、C三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故共確定四個(gè)平面.14編輯ppt(2)若點(diǎn)A、B、C中有且只有兩個(gè)點(diǎn)與直線l共面，不妨設(shè)A、B兩點(diǎn)與l共面，則直線l與A、B兩點(diǎn)確定一個(gè)平面，l與C點(diǎn)確定一個(gè)平面，又A、B、C三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故共確定三個(gè)平面.(3)若A、B、C三點(diǎn)與l共面，則可以確定一個(gè)平面.所以一條直線和這條直線外不共線的三點(diǎn)，可以確定4個(gè)、3個(gè)或者1個(gè)平面.15編輯ppt2.若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成()A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分解：三條兩兩相交(不過同一點(diǎn))的直線將平面分成7個(gè)部分.拓展到空間，三個(gè)兩兩相交的平面，當(dāng)三條交線互相平行時(shí)，這三個(gè)平面將空間分成7部分，故選C.題型2空間的分割問題16編輯ppt

討論三個(gè)平面將空間分成幾個(gè)部分，并畫出示意圖.

解：設(shè)三個(gè)平面分別為α、β、γ.(1)若α∥β∥γ，則空間被分成四部分.(2)若α∥β，γ與α、β都相交，則空間被分成六部分.(3)若α、β、γ都相交，且三條交線互相平行，則空間被分成七部分.17編輯ppt(4)若α、β、γ兩兩相交，且三條交線共點(diǎn)，則空間被分成八部分.故三個(gè)平面可將空間分成4或6或7或8部分.圖略.

點(diǎn)評(píng)：平面分割空間問題，注意先按平面之間的位置關(guān)系進(jìn)行分類計(jì)數(shù)，再按交線之間的關(guān)系進(jìn)行分類計(jì)數(shù).18編輯ppt3.畫水平放置的正三角形的直觀圖，并求這個(gè)正三角形與其直觀圖的面積之比.解：(1)在正△ABC中，取BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°.題型3

斜二測(cè)畫法作圖問題19編輯ppt

(2)以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取B′C′=BC，在y′軸上取點(diǎn)A′，使O′A′=

OA.

(3)連結(jié)A′B′，A′C′，則△

A′

B

′C′為正△ABC水平放置的直觀圖.設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為a，過A′作x′軸的垂線，垂足為D′，則A′D′=O′A′·sin45°=

OA·sin45°

=20編輯ppt所以S△A'B'C'=B'C'·A'D'=a·a=a2.因?yàn)镾△ABC=BC·OA=·a=a2，所以

點(diǎn)評(píng)：斜二測(cè)畫法作圖的規(guī)則是“水平不變，縱直減半”.求直觀圖的面積與原圖形的面積之比時(shí)，應(yīng)注意高的變化.21編輯ppt已知一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)等腰梯形，它的底角為45°，兩腰和上底邊長(zhǎng)均為1，求這個(gè)水平放置的平面圖形的面積.

解：設(shè)直觀圖A′B′C′D′對(duì)應(yīng)的平面圖形為ABCD.22編輯ppt因?yàn)橹庇^圖A′B′C′D′是底角為45°的等腰梯形，據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則，對(duì)應(yīng)的平面圖形ABCD是一個(gè)直角梯形，如上圖所示，且AB=A′B′，CD=C′D′，AD=2A′D′.23編輯ppt

在等腰梯形A′B′C′D′中，分別過C′、D′作A′B′的垂線，垂足分別為E′、F′.由已知A′D′=C′D′=B′C′=1，所以

A′F′=B′E′=A′D′cos45°=，E′F′=C′D′=1，所以AB=A′B′=A′F′+E′F′+B′E′=1+.24編輯ppt又CD=C′D′=1，AD=2A′D′=2，所以S梯形ABCD=(AB+CD)·AD=(2+)×2=2+.25編輯ppt

1.空間一些點(diǎn)和直線不一定共面，由它們可以確定若干個(gè)平面.依據(jù)公理3及三個(gè)推論，分析各種可能位置關(guān)系，通過分類討論才能確定平面的個(gè)數(shù).2.一個(gè)平面將空間分割成兩部分