有關(guān)傅里葉變換分析的學(xué)科發(fā)展史及對現(xiàn)代通信技術(shù)的影響

有關(guān)傅里葉變換分析的學(xué)科發(fā)展史及對現(xiàn)代通信技術(shù)的影響一、 傅里葉生平讓?巴普蒂斯?約瑟夫?傅里葉(法語：JeanBaptisteJosephFourier，1768年3月21日一1830年5月16日)，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，提出傅里葉級數(shù)，并將其應(yīng)用于熱傳導(dǎo)理論上，傅里葉變換也以他命名。傅里葉于1768年3月21日在法國約訥省歐塞爾出生。由于很早的時候他的父母就雙亡，所以小時候便在天主教本篤會受的教育。畢業(yè)后在軍隊中教授數(shù)學(xué)，在1795年他到巴黎高等師范教書，之后又在巴黎綜合理工學(xué)院占一教席。1798年他跟隨拿破侖東征，被任命為下埃及的總督。由于英國艦隊對法國人進(jìn)行了封鎖，所以他受命在當(dāng)?shù)厣a(chǎn)軍火為遠(yuǎn)征部隊提供軍火。這個時期，他向開羅埃及學(xué)院遞交了幾篇有關(guān)數(shù)學(xué)的論文。1801年，拿破侖的遠(yuǎn)征軍隊遠(yuǎn)征失敗后，他便被任命為伊澤爾省長官。1816年他回到巴黎，六年后他當(dāng)選了科學(xué)院的秘書，并發(fā)表了《熱的分析理論》一文，此文建立是在牛頓的熱傳導(dǎo)理論的速率和溫度差成正比的基礎(chǔ)上。1830年5月16日他病逝于巴黎，1831年他的遺稿被整理出版成書。二、 傅里葉變換傅立葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征?！比我狻钡暮瘮?shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類：1.傅立葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子;2.傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;3.正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘積運(yùn)算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；5.離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲?。?.著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT))。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用?？焖俑凳献儞Q(FFT)是離散傅氏變換(DFT)的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn)，但是對于在計算機(jī)系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說是進(jìn)了一大步。設(shè)x(n)為N項的復(fù)數(shù)序列，由DFT變換，任一X(m)的計算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法，而一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實數(shù)乘法和兩次實數(shù)加法，一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實數(shù)加法，即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運(yùn)算”(四次實數(shù)乘法和四次實數(shù)加法)，那么求出N項復(fù)數(shù)序列的X(m)，即N點DFT變換大約就需要N2次運(yùn)算。當(dāng)N=1024點甚至更多的時候，需要N2=1048576次運(yùn)算，在FFT中，利用WN的周期性和對稱性，把一個N項序列(設(shè)N=2k,k為正整數(shù))，分為兩個N/2項的子序列，每個N/2點DFT變換需要(N/2)2次運(yùn)算，再用N次運(yùn)算把兩個N/2點的DFT變換組合成一個N點的DFT變換。這樣變換以后，總的運(yùn)算次數(shù)就變成N+2(N/2)2=N+N2/2。繼續(xù)上面的例子，N=1024時，總的運(yùn)算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運(yùn)算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進(jìn)行下去，直到分成兩兩一組的DFT運(yùn)算單元，那么N點的DFT變換就只需要Nlog2N次的運(yùn)算，N在1024點時，運(yùn)算量僅有10240次，是先前的直接算法的1%，點數(shù)越多，運(yùn)算量的節(jié)約就越大，這就是FFT的優(yōu)越性。三、傅里葉變換在小波分析中的發(fā)展歷史傅里葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域內(nèi)的定位性是完全準(zhǔn)確的（即頻域分辨率最高），而在時域無任何定位性（或分辨能力），也即傅里葉變換所反映的是整個信號全部時間下的整體頻域特征，而不能提供任何局部時間段上的頻域信息。當(dāng)一個函數(shù)用5函數(shù)展開時，它在時間域的定位性是完全準(zhǔn)確的，而在頻域卻無任何定位性（或分辨率），也即5函數(shù)分析所反應(yīng)的只是信號在全部頻率上的整體時間特征，而不能提供任何頻率所對應(yīng)的時間特征。對于一些常見的非平穩(wěn)的信號，如結(jié)構(gòu)振動信號、地震波、探地信號等等，它們的頻域特性都隨時間而變化，因此也可稱它們?yōu)闀r變信號，分析時通常需要提取某一時間段（或瞬間）的頻域信息或某一頻率段所對應(yīng)的時間信息。短時傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform，簡稱STFT，又稱為加窗傅里葉變換），但由STFT的定義決定了其窗函數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無關(guān)而且保持不變，只適用分析所有特征尺度大致相同的過程，對于分析時變信號是不利的。高頻信號一般持續(xù)時間很短，而低頻信號持續(xù)時間較長，因此，人們期望對于高頻信號采用小時間窗，對于低頻信號則采用大時間窗進(jìn)行分析。在進(jìn)行信號分析時，這種變時間窗的要求同STFT的固定時窗（窗不隨頻率發(fā)生變化）的特性是矛盾的，這表明STFT在處理這一類問題時已無能為力了。此外，在進(jìn)行數(shù)值計算時，人們希望將基函數(shù)離散化，以節(jié)約計算時間及存儲量。但Gabor基無論如何離散，都不能構(gòu)成一組正交基，因而給數(shù)值計算帶來了不便。這些Gabor變換的不足之處，恰恰是小波變換的特長所在。小波變換不僅繼承和發(fā)展了STFT的局部化的思想，而且克服了窗口大小不隨頻率變化、缺乏離散正交的缺點，是一種比較理想的進(jìn)行信號處理的數(shù)學(xué)工具。JeanBaptisteJosephFourier雖已去世100多年了，但其卓越的工作卻因?qū)岬膫鞑ズ蛿U(kuò)散的研究，在現(xiàn)代譜分析中的兩個重要的方面產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。如果我們了解Fourier級數(shù)展開中的兩個要素是正弦諧波項和系數(shù)項，那么我們可以發(fā)現(xiàn)這樣的事實：1807年，F(xiàn)ourier發(fā)現(xiàn)在表示一個物體的溫度分布時，正弦函數(shù)及其諧波的級數(shù)是非常有用的。Fourier進(jìn)而斷言，“任何”周期信號都可用具有諧波關(guān)系的正弦函數(shù)級數(shù)表示。但在Fourier的后續(xù)研究中，有關(guān)Fourier級數(shù)部分的數(shù)學(xué)結(jié)論并不嚴(yán)密。在Fourier級數(shù)的系數(shù)公式中，F(xiàn)ourier本人可能還沒有意識到正交特性，盡管在他之前已經(jīng)存在函數(shù)正交的概念了。在Fourier之前，至少D.Bernoulli就曾提出過一根弦的運(yùn)動完全可以用標(biāo)準(zhǔn)振蕩模（正弦諧波）的線性組合來描述。6.只有在P.L.Dirichlet給出他的著名的三個充分條件之后，在這些條件約束下，我們知道一個周期信號才可以用一個Fourier級數(shù)表示。由此可見，F(xiàn)ourier實際上并沒有對Fourier級數(shù)的數(shù)學(xué)理論做出實質(zhì)性的貢獻(xiàn)。那么科學(xué)上為什么仍然以Fourier的名字來命名周期函數(shù)的級數(shù)展開和非周期函數(shù)的積分變換呢?這是因為Fourier敏銳地洞察出這個級數(shù)表示法的潛在應(yīng)用價值，而且正是由于他的努力才真正推動了Fourier，級數(shù)問題的深入研究。另外，F(xiàn)ourier在這一問題上的研究成果比他的前輩們都大大前進(jìn)了一步，主要體現(xiàn)在他得出了非周期信號的描述形式不是正弦信號高次諧波的加權(quán)和，而是不全成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)積分，這就是眾所周知的從傅里葉級數(shù)到傅里葉積分（或變換）的推廣。與信號的傅里葉（級數(shù)）分析一樣，傅里葉變換仍然是今天分析LTI系統(tǒng)最有力的工具之一。Fourier的貢獻(xiàn)就在于他將前人的這些思想巧妙地綜合到一起，拋棄于繁雜的數(shù)學(xué)求證過程，直接了當(dāng)?shù)厣昝魅魏魏瘮?shù)均可用正弦諧波函數(shù)的無窮和來表示。的確，正弦