橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程【基礎(chǔ)知識精講】.橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于IF1FJ)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點;兩焦點間的距離叫做焦距 「注意：定義中的常數(shù)用2a表示,IFRI用2c表示，當(dāng)2a>2c>0時，軌跡為橢圓，當(dāng)2a=2c時，軌跡為線段FR；當(dāng)2a<2c時，無軌跡.如此，橢圓軌跡一定要有2a>2c這一條件.另外，應(yīng)用定義來求橢圓方程或解題時，往往比較簡便.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2當(dāng)焦點在x軸上時：——+^-=1(a>b>0)a2b2y2x2當(dāng)焦點在y軸上時：—+--=1(a>b>0)a2b2注意：(1)三個量之間的關(guān)系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小確定焦點在哪條坐標(biāo)軸上，X2的分母大，焦點就在x軸上，y2的分母大，焦點就在y軸上.(3)在方程4乂2+8丫2《中，只有A、B、C同號時，才可能表示橢圓方程.(4)當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的中心在原點，其焦點在坐標(biāo)軸上時，橢圓的方程才具有標(biāo)準(zhǔn)形式本節(jié)學(xué)習(xí)方法：.求橢圓方程常用待定系數(shù)法，定義法，參數(shù)法，軌跡法等.利用橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決有關(guān)問題，一樣都轉(zhuǎn)化成某些數(shù)值的確定，而這些數(shù)值的確定可通過列方程，解方程去解決.【重點難點解析】同學(xué)們學(xué)習(xí)“橢圓”應(yīng)與學(xué)習(xí)“圓”一樣，遵循漸近性，邏輯性注重數(shù)形結(jié)合，要緊把握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，需要大伙兒學(xué)習(xí)本節(jié)時，先復(fù)習(xí)求曲線方程的方法，進(jìn)行反復(fù)的再摸索，再分析再明白得.x2y2例1求與橢圓—+彳=1共焦點，且過點M(3,-2)的橢圓方程.x2y2解法一：(待定系數(shù)法)由已知橢圓方程—+亍=1得C2=9-4=5,且焦點在x軸上，設(shè)x2 y2所求橢圓方程為一+—^N=1a2a25又??,點M(3,-2)在橢圓上

.9 4 …..——+ =1,得24-1822+45=0a2a2—5/.a2=15或a2=3<5=C2(舍)X2y2?,?所求橢圓方程為15+jo=1解法二：(定義法)橢圓兩焦點為解法二：(定義法)橢圓兩焦點為FJ-、區(qū)0),%(；5，0)，點亞3,-2)到這兩個焦點距離之和是2a,即2a=|MFI+|MFI=1112式32a=|MFI+|MFI=1112式3+x/5)2+4+%'(345)2+4=2-115；.a2=15b2=a2-c2=15-5=10x2y2?,?所求橢圓方程為15+布=1例2已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且通過兩點P1G后,1),P2(-y'3,-五)，求橢圓的方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1,(m>0,n>0)16m+n=1由題意有《3m+2n=11 1解得m=9，n=3x2 y2???所求橢圓方程為—+y=1說明：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0)可免討論焦點的位置，而且運算簡便.4例3已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為§弋5和2.■3*5，過P作焦點所在軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程解：設(shè)兩個焦點為FF,且IPFI=4v5,IPFI=2v；512 1 3 2 3由橢圓定義知2a=IPFI+IPFI=2<5而1PFJ>而1PFJ>Ipf2I知pf2與焦點所在的對稱軸垂直..\RtAPF2F1中sinZPFF=12PFi兀.\ZPFF=-126冗2.—2C=IPF1Icos—=3捫510.Vb2=a2-c2=—3=1%2 3 33y2=1故所求方程為彳+m丫2=1或 x2+—3.(代入法)與橢圓有關(guān)的軌跡問題：常用的方法有定義法，坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，交軌法，點差法.例4已知圓Cjx2+y2+4x-12=0與圓C2：x2+y2-4x=0,動圓C與J相內(nèi)切，且與C2相外切，求動圓圓心的軌跡方程. 2 1 2解：圓^與^的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+2)2+y2=16,(x-2)2+y2=4圓心分別為q(-2,0),C2(2,0)設(shè)動圓P的圓心為P,半徑為r,有IPC1I=4-r,IPC2I=2+r.?.|PC]|+|PC2I=6>IC1C2I=4；.P點在橢圓上運動，又2a=6,2c=4,；.b2=a2-c2=5%2y2ap的軌跡為互+=-=1(在已知圓q內(nèi))【難題巧解點撥】%2y2例1已知MN是橢圓一+==1(a>b>0)中垂直于長軸的動弦，AB是橢圓長軸的兩端a2b2點，求直線MA與NB的交點P的軌跡方程.解：設(shè)M、N的坐標(biāo)為M(x0，y0),N(x0，-y0),又A(-a,0),B(a,0)TOC\o"1-5"\h\z因此直線AM的方程為丫=(x+a) ①%+a直線BN的方程為：y=二J(x-a) ②%-a—y2①X②得：y2= 0—(x2-a2) ③%2—a20,點M(x,y)在橢圓上，Ab2x2+a2y2=a2b200 0 0a2 b2Ax2-a2=---y2,代入得③得：y2=—(x2-a2)0b20 a2%2y2A交點P的軌跡方程為一-y-=1a2b2

例2已知橢圓為+y2=1⑴求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程⑵過A(2,1)引橢圓的割線，求截得的弦中點軌跡方程⑶求過點P(1，1)，且被P平分的弦所在的直線方程.2 2解：(點差法)設(shè)弦的兩端點分別為亞.工)N(x2,y2)、MN的中點為P(x,y)，則x21+2y21=2，x22+2y22=2,兩式相減并除以(xjx)得：x+x+2(y+y)^2———==012 12x2-x1而x1+x2=2x,y1+y2=2y；.x+2y?二 >=0 (*)x-x(1)將上二&=2代入(*)式得所求的軌跡方程為x-xx+4y=0(橢圓內(nèi)部分)(2)將上&=y-1代入(*)式，得所求的軌跡方程為x2+2y2-2x-2y=0(橢圓內(nèi)部分)x-xx-2y-y1(3)將乂+乂=1,丫+丫=1代入(*)式，得=--12 12 x-x22 1???所求的直線方程為2x+4y-3=0例3已知中心在原點，一焦點為F(0,.50)的橢圓被直線l:y=3x-2截得弦的中點橫坐標(biāo)為1，求橢圓方程.解：-50,；.a2=b2+50y2x2???可設(shè)橢圓方程為『+五二1把直線y=3x-2代入橢圓方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0...xjxj12b...xjxj12b210s2+5).??12b2=10b2+50解得b2=25a2=75y2X2???所求的橢圓方程為a+百=1… X2例4已知P為橢圓赤+y2~9=1上的一點，F(xiàn)F是橢圓上的兩焦點，NFPF=60°,求12… X2例4已知P為橢圓赤+y2~9=1上的一點，F(xiàn)F是橢圓上的兩焦點，NFPF=60°,求1212△F1PF2的面積.tc1解：：S人 =77△F1PF2 2???只需求IPF|?|PFiIIPFIsinZFPF12IPFIII 2PF】I*1PF2I=10即可Ll解得IPF】I4IF%I乙2IPF】I-IPF2Iccs60Q 白4PF|-|PFI=12.S△F1PF22￡3.石=-X12X =3v32例5 已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示橢圓，求實數(shù)k的取值范疇.解：結(jié)合橢圓的變形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0從而有：r2(kLr2(kL2)>0rk<-72或kA點k至0-2<k<3解得k至0-2<k<3解得k2-k-6<012(k2-2)^k2?，?k￡(-2,-v'2)u(v’2,2)U(2,3)例64ABC的三邊2>匕>如且a+c=2b,|AC|=2,求頂點B的軌跡.解：以AC的中點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，則A(-1,0),C(1,0),又a+c=2b=4由橢圓的定義知B點在橢圓上運動.?/a>b>c,且A、B、C三點不共線X2y2.B點的軌跡方程是橢圓—+彳-=1,在y軸左側(cè)的部分，但要去掉點(-2,0),(0,,；3),【知識探究學(xué)習(xí)】問題：如何用尺規(guī)作圖法作橢圓的大致示意圖.

提示：由橢圓的定義作圖，建立如圖的坐標(biāo)系，取Iofj=iof2I=c,|OA1I=|oa2I=a在F1F2間任取一點P1,以IP1Ali為半徑，以F1為圓心畫??；以「為圓心，以IP1A2I為半徑向弧，兩弧的交點即在所求橢圓上.用同樣的方法去書間取一系列點，最后用圓滑曲線連起來即可.請同學(xué)們證明. l【典型熱點考題】X2V2例1求橢圓 +1=1上一動點P到直線3x+8y+72=0距離的最大值及最小值.分析常規(guī)思路是設(shè)P(x,y)是橢圓上的點，其到直線的距離為d=P%坐;7200 <32+823x+8v+1=0X2 v2 消去y得:3x+8v+1=0X2 v2 消去y得:——+乙=1〔10025解：設(shè)與直線3x+8y+72=0平行直線為3x+8y+t=0,由〈25x2+6tx+(t2-1600)=0^△=0即4[9t2-25(t2-1600)]=0At=+5022,；73當(dāng)t=50時，直線3x+8y+50=0與直線3x+8y+72=0間的距離是dj———當(dāng)t=-50時，直線當(dāng)t=-50時，直線3x+8y-50=0與直線3x+8y+72=0間的距離是d2=122<7373,122./73 ,22<73???最大距離為右 ，最小距離為—73—例2在面積為1的4PMN中，tanZPMN=1,tan/MNP=-2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出以M、N為焦點且過點P的橢圓方程.

分析以MN分析以MN所在直線為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系如下圖.X2y2設(shè)所求橢圓方程為一+)=1(a>b>0),分別設(shè)M、N、P點坐標(biāo)為(-c,0),(c,0)和a2b2(X0，y0).?「tana=tan(n-ZMNP)=21, ?、y=-(x+c)0 20y=2(x—c)5=—c34=—c3即P(|c,在4MNP中4IMNI=2c,MN上的高為|在4MNP中4IMNI=2c,MN上的高為|cVS=△MNP,2c,—c=1寸I ,5v3??.c=T即網(wǎng)丁3<I

亍V?點P在橢圓上且a2=b2+c2TOC\o"1-5"\h\z呼)2 ￥). 6 ,3■? =-+ =.3八；3、b2b2+(——)21解得b2=3或b2=-3(舍去)15■a2=b2+c2=—44y2故所求橢圓方程為：15X2+y=1【同步達(dá)綱練習(xí)】A級一、選擇題1.橢圓的兩個焦點分別是%（-8,0）和5（8,0）,且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和是20，則此橢圓方程是（）I 2A.3x2+y2 =1100xA.3x2+y2 =1100x2 y2B.——+^^=1400336C.X2—-+100y236=1X2D.20+g=112xx2 y22.與橢圓丁+一=1共焦點9 4且過點P（3，-2）的橢圓方程是（）A.x2 y2—+ =1\o"CurrentDocument"15 19B.X2y2+ =11015C.X2--A.x2 y2—+ =1\o"CurrentDocument"15 19B.X2y2+ =11015C.X2--+15y210=1D.X2-+<10=1X2 y2.橢圓一+一=1的焦距是2,則m的值是（）m4A.5 B.8 C.5或3 D.20X2.過橢圓行+y2看二1左焦點F1引直線/交橢圓于A、B兩點，F(xiàn)2是橢圓的右焦點，則△abf2的周長是（）A.16 B.18 C.20 D.不能確定3 45.以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點P（5，-4）和Q（-5，3），此橢圓的方程是（）A.X2—+y2=125y2B.x2+——=125C.X2 y255+y2=1或x2+行=1D.非A、B、C答案二、填空題.橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點是(0,13),另一個頂點是(-10,0),則焦點坐標(biāo)是 ..橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，長、短半軸之和為 10，焦距為4v5，則橢圓方程為.%2y2.P點在橢圓弁+力=1上，F(xiàn),F是橢圓的焦點，若PFLPF,貝UP點的坐標(biāo)4520 1 2 1 2是.三、解答題「一X2y2.橢圓一+--=1(a>b>0)的兩個焦點及其與坐標(biāo)軸的一個交點正好是一個等邊三角a2b2形的三個頂點，且橢圓上的點到焦點距離的最小值為%；3，求橢圓的方程.%2 y2.已知橢圓工+一=1上的點P到其右焦點的距離是長軸兩端點到右焦點的距離的等9 4差中項，求p點坐標(biāo).AA級一、選擇題ICA|、|AB|成公差為負(fù)的等差數(shù)在^ABC中，A(-1,0),C(1,0),且|BC|、ICA|、|AB|成公差為負(fù)的等差數(shù)%2y2B.+——%2y2B.+——=1(x>0)43A. 1 =1A.4 3C.%2 yC.%2 y2 1——4 3=1(-2<x<0=%2y2D.—+-y=1(x<0)5 3橢圓的焦點為(-2,0)和(2,0),且橢圓過點(5,-方)，則橢圓方程是()A.y2%2 1 =1106B.%A.y2%2 1 =1106B.%2y2 1 =1106C.y2%2 1 =18 4D.y2 %2 1——4 8=1X2y23.P是橢圓=+9=1上的點，它到左焦點的距離等于它到右焦點距離的2倍，則P2516點的坐標(biāo)是（）TOC\o"1-5"\h\z87 25 8:A.（1，9<6） B.（—，§\14）8.7 25 8.c.（1，土§。6） d.（—，士§x14）.若關(guān)于x,y的方程X2sina-y2cosa=1所表示的曲線是橢圓，則方程 （x+cosa）2+（y+sina）2=1所表示的圓心在（ ）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點，A是一個頂點，若橢圓的長軸長是6,且cosZOFA=I則橢圓的方程是（）A.x2A.x2y2—+—=13620B.=1x2x2y2x2y2C——+—=1或——+—=12036 乂3620x2 y2x2 y2D.9+飛=1或T+V=1二、填空題.在周長為16的4ABC中，若B、C的坐標(biāo)分別是（-3,0）和（3,0）,則點A的軌跡方程是 .x2.直線x-y-m=0與橢圓—+y2=1相切，貝Um的值是..橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離之比是1:4,短軸長為8,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是三、解答題x2y2.橢圓k+3=1的內(nèi)接矩形的長與寬的比是3：2,求矩形的面積.9 18x2y2.橢圓一+—=1（a>b>0）上存在一點P,使得OP，AP（O為原點，A為長軸端點），a2b2求證：a>V2b.【素養(yǎng)優(yōu)化訓(xùn)練】一、選擇題X2 y2.已知橢圓—-+—=14 3F1F2一、選擇題X2 y2.已知橢圓—-+—=14 3F1F2是它的兩個焦點，P是那個橢圓上任意一點，那么當(dāng)1PFJ?|PF2I取最大值時，P、F］、A.共線C.組成一個等腰直角三角形f2三點（ ）B.組成一個正三角形D.組成一個銳角三角形2.A、B分別是x軸，y軸正方向上的點，F(xiàn)為OA上的點，NOFB=30°,當(dāng)"abf=2八-3，那么以O(shè)A為長半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為焦點的橢圓方程是（）X2y2--+^-=19 4X2y2+一二1105X2y225+10=1X2y2—+^-=18 23.橢圓ax2+by2=-ab（a<b<0=的焦點坐標(biāo)是（ ）（土、：（土、：a—b,0）（土b——a,0）C.（0,士C.（0,士工a—b）D.（0,士大b—a）4.B「4.B「B2是橢圓短軸的兩端點，過左焦點F/乍長軸的垂線交橢圓于P若1FH1是1OF1和IBBI的比例中項，則PF

i

OB的值是（）-72艮FC.v3

T<2DOF1和IBBI的比例中項，則PF

i

OB的值是（）-72艮FC.v3

T<2D.W5.若M（x,y）適合arcsin—+arccos-=n,2 3則點M軌跡方程是（）X2A.彳y2+-=1（xW0）二1（xW0,y三0）X2C.丁二1（yW0）二1（x三0,yW0）二、填空題「一x2 y2.橢圓g+亍=1上各點與其左焦點所連線段中點的軌跡方程為.若B（-8,0）,C（8,0）為^ABC的兩頂點，AC和AB兩邊上的中線之和是30,則4ABC的重心軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .

x2y2.已知橢圓彳+5=1的兩焦點I1以FR為直徑的圓與橢圓相交于其中一個交點P，則△『心勺面積是三、解答題x2y2.已知橢圓一+—=1(a>b>0),A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平