橢圓知識點(diǎn)及經(jīng)典例題匯總

橢圓知識點(diǎn)知識要點(diǎn)小結(jié)：知識點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常(|PF1|+|尸尸2卜2a>F1Fj),這個動點(diǎn)P的軌跡叫橢圓.這兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若(|PF1|+|尸「卜F1Fj)，則動點(diǎn)P的軌跡為線段F1F2；若(|PF1|+|PF2k|F1Fj)，則動點(diǎn)P的軌跡無圖形.知識點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)焦點(diǎn)在工軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

X2 V2 一、… ,一+—=1(a>b>0)，其中c2=a2—b2a2 b2.當(dāng)焦點(diǎn)在V軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

V2 X2—+一=1(a>b>0)，其中c2=a2—b2；a2 b2Ix=acos①.橢圓的參數(shù)方程Iv-bsin①(分為參蜘注意：1.只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時，才能得到橢圓注意：1.只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;.在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有(a>b>0)和c2=a2-b2；.橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0),(-c,0)；當(dāng)焦點(diǎn)在V軸上時，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c),(0,-c)知識點(diǎn)三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)X2V2橢圓：a?+b=1(a>b>0)的簡單幾何性質(zhì)X2V2(1)對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一十二=1(a>b>0)：說明：把X換成-X、或把v換成-v、a2b2X2V2或把X、V同時換成-X、-V、原方程都不變，所以橢圓一+4=1是以X軸、V軸為對稱軸a2b2的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。

(2)范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線％=土a和y=土b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足卜|<a,y|<b。(3)頂點(diǎn)：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。x2 y2」 ,②橢圓一+-1(a>b>0)與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為橢圓的四個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為a2b2BBA1(-a,0)，A2(a,0)，BJ0,—b)，B2(0,b)BB③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。2c用e表示，記作2c用e表示，記作e—L①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，2aa②因?yàn)?a>c>0)，所以e的取值范圍是(0<e<1)。e越接近1，則c就越接近a，從而b=、a2-c2越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這x2V2注意：橢圓一+1=x2V2注意：橢圓一+1=1的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：a2b2(1)(|PF1+PF2PFiPMiPF——2—=e；PM22a2(PM+PM =——)；1 2 。(lBF1=BF2(lBF1=BF2OF2⑶ A1F1=A2F2AF12a-c<PF1<a+c；知識點(diǎn)四：橢圓第二定義一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個（0,1）內(nèi)常數(shù)e，那么這個點(diǎn)的軌跡叫做橢圓?其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e就是離心率?左準(zhǔn)線l左準(zhǔn)線l:x=1a2右準(zhǔn)線12：X=-知識點(diǎn)五：橢圓的焦半徑公式:（左焦半徑"二a（左焦半徑"二a+ex0（右焦半徑）「a-ex0其中e是離心率.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式：[IMFI=a+ey1|MJ|=a-ey0（其中Ff2分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）*知識點(diǎn)六：直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）弦長公式：若直線1：y=—b與圓錐曲線相交與A、B兩點(diǎn)，A（x1，y1），B（X2,y2）則弦長|AB|=弦長|AB|=■式x1-x2)2+(y1-y2)2-x)2+(kx-kx)2=J1+k2x-x=<1+k2、；'(x+x)2-4xx一 一 X2知識點(diǎn)七：橢圓一+a2y2 y2x2一， . ..?1與—+—=1(a>b>0)的區(qū)別和聯(lián)系b2 a2b2標(biāo)準(zhǔn)方程上+工=1(a>b>0)a2 b2y2 x2 r—+——二1a2 b2(a>b>0)r|一21焉A圖形焦點(diǎn)F1(-c,0)，F(xiàn)Jc,0)F1(0,-c)，F(xiàn)J0,c)焦距FF2=2cFF2=2c范圍x<a，y<bx<b，y<a對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)(土a,0)，(0,土b)(0,±a)，(±b,0)性質(zhì)軸長長軸長=2a，短軸長=2b離心率e=c(0<e<1)a準(zhǔn)線方程X=±9y=±a2焦半徑PF=a+ex，PF=a-exPF=a+ey，PF=a-ey注意：…一X2 y2橢圓一十—二a2 b2一y2 x2 一，,=1，—+—=1(a>b>0)的相同點(diǎn)a2 b2：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有(a>b>0)和e=c(0<e<1),a2=b2+c2；不同點(diǎn)：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)a坐標(biāo)也不相同。規(guī)律方法:.如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件。,b；一個定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a,b,c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a,b,c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：(a>b>0)，(a>c>0)，且(a2=b2+c2)。 受：可借助右圖理解記憶：顯然：a,b,c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條一"&Q ；直角邊。.如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：春2，y2的分母的大小，哪個分母大，焦點(diǎn)就在哪個坐標(biāo)軸上。.方程Ax2+By2=C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件TOC\o"1-5"\h\zAx2By2rx2By2」~ ―一方程Ax2+By2=C可化為一丁+——=1,即-C+*=1，所以只有A、B、C同號，且\o"CurrentDocument"C C C CABCC CCA豐B時，方程表示橢圓。當(dāng)；>羊時，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)：<”時，橢圓的焦點(diǎn)在y軸AB AB上。.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：①待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由已知條件判斷出動點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。.共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異x2 y2共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓一十4=1(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為a2b2x2 y2 一，.、 +——=1(m>-b2),此類問題常用待定系數(shù)法求解。a2+mb2+m

.判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱的依據(jù)：①若把曲線方程中的x換成-x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱；②若把曲線方程中的y換成-y，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱；③若把曲線方程中的x、y同時換成-x、-y，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。.如何求解與焦點(diǎn)三角形△「￡?；(P為橢圓上的點(diǎn))有關(guān)的計(jì)算問題？思路分析：與焦點(diǎn)三角形△PF1F2有關(guān)的計(jì)算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股定理)、三角形面積公式S =1PF|xP^F卜sin/FPF相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。呼F2 2I1 1 21 12將有關(guān)線段P^F、PF、FF|,有關(guān)角/FPF(/FPF</FBF)結(jié)合起來，建立1 1 2 12 1 2 1 2 1 2|PFJ+|PFJ、|PFjx|PF2|之間的關(guān)系..如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率e=-(0<e<1)，因?yàn)閏2=a2-b2,aa>c>0，用a、b表示為e=1-(-)2(0<e<1)。aTOC\o"1-5"\h\zb..b b..顯然：當(dāng)一越小時，e(0<e<1)越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)一越大，e(0<e<1)越小，橢圓形狀a a越趨近于圓。經(jīng)典例題:一、橢圓的定義例1、已知F1(-8,0),F2(8,0),動點(diǎn)P滿足IPFJ+IPF2I=16,則點(diǎn)P的軌跡為( )A圓 B橢圓C線段D直線x2x2y2例2、橢圓——~—=1左右焦點(diǎn)為FrF2,16 9 12CD為過F1的弦，則力CDF2的周長為二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3、y例3、y21-k=1表示橢圓，則k的取值范圍是(A-1<k<1 Bk>0 CkN0 Dk>1或k<-1例4、已知方程+2-+上-=1,表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為 m-12-m例5、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長軸長為10,短軸長為6(2)長軸是短軸的2倍，且過點(diǎn)(2,1)(3)經(jīng)過點(diǎn)(5,1),(3,2)例6、若力ABC頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)分別為(-4,0),(4,0),AC、AB邊上的中線長之和為30,求力ABC的重心6的軌跡方程。例7、已知動圓P過定點(diǎn)A(-3,0)，且在定圓B：(x-3)+山=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程.例8、已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為七和三一，過P點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點(diǎn)，求橢圓方程.三、離心率x2y2例9、橢圓瓦-'=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別是F1、F2,過點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于P點(diǎn)。若NF]PF2=60°,則橢圓的離心率為例10、已知正方形人：^口，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的的離心率為 X2V2一 _例11、橢圓一十j=1(a>b>0)與x軸正向交于點(diǎn)A，若這個橢圓上總存在點(diǎn)。，使a2b2OP1AP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率e的取值范圍.四、最值問題x2例12、橢圓丁+y2=1兩焦點(diǎn)為F「月，點(diǎn)p在橢圓上，則ipfJ-ipfj的最大值為 ，最小1 2 1 2值為 x2例14、已知橢圓彳+y2=1,A(1,0),P為橢圓上任意一點(diǎn)，求ipai的最大值和最小值。六、直線和橢圓X2y2例16、已知直線l:y=2x+m,橢圓C：—+彳=1,試問當(dāng)m為何值時：(1)有兩個不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn).x2一例17、已知斜率為1的直線l經(jīng)過橢圓丁+y2=1的右焦點(diǎn)，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的4長.例18、已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)m為何值時，直線與橢圓有公共點(diǎn)？ 2.10(2)若直線