動點問題中的最值、最短路徑問題

15專題01動點問題中的最值、最短路徑問題動點問題是初中數(shù)學階段的難點，它貫穿于整個初中數(shù)學，自數(shù)軸起始，至幾何圖形的存在性、幾何圖形的長度及面積的最值，函數(shù)的綜合類題目，無不包含其中.其中尤以幾何圖形的長度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變，而其中又有一些技巧性很強的數(shù)學思想（轉化思想），本專題以幾個基本的知識點為經(jīng)，以歷年來中考真題為緯，由淺入深探討此類題目的求解技巧及方法.一、基礎知識點綜述兩點之間，線段最短；垂線段最短；若A、B是平面直角坐標系內兩定點，尸是某直線上一動點，當P、A、B在一條直線上時，|PAPB|最大，最大值為線段AB的長（如下圖所示）;作圖方法：作已知點關于動點所在直線的對稱點，連接成線段與動點所在直線的交點即為所求點的位置.如下圖所示，P是x軸上一動點，求PA+PB的最小值的作圖.yP是/AOB內一點，M、N分別是邊OA、OB上動點，求作APMN周長最小值.作圖方法：作已知點P關于動點所在直線OA、OB的對稱點P'、P'',連接P'P''與動點所在直線的交點M、N即為所求.y=a（x-h）2+k，當a>0時，尹有最小值広當a<0時，尹有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函數(shù)、相似性質等轉化為以上基本圖形解答.（詳見精品例題解析）三、精品例題解析例1.（2019?涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB=12,AE=3,點P在BC上運動（不與B、C重合）,過點P作P0丄EP,交CD于點0,則CQ的最大值為【答案】4.【解析】解:?:PQ丄EP,.\ZEPQ=90。，即ZEPB+ZQPC=90°,???四邊形ABCD是正方形，AZB=ZC=90°,ZEPB+ZBEP=90°,.\ZBEP=ZQPC,.?.△BEPsMPQ,

BEBPCPCQBEBPCPCQTAB=12,AE=3,:?BE=9,設CQ=y，BP=x，CP=12－x，(0<x<12)9x?.?,12-xy即y=x(12-x)一1(x-6)2+4,99???當x=6時，尹有最大值為4,即CQ的最大值為4.【點睛】此題為“一線三直角模型”，解題方法為相似三角形性質求解，綜合利用二次函數(shù)的性質求解最值問題.例2.（2019?自貢）如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（8,0）,（0,8）?點C、F分別是直線x=—5和x軸上的動點，CF=10，點D是線段CF的中點，連接AD交y軸于點E,當"BE面積取最小值時，tanZBAD=()A.17B17A.17B17D.【答案】B.1解析】解：sAE2xBEXOA=4BE,解析】解：當BE取最小值時，MBE面積為最小值.設x=—5與x軸交于點G,連接DG,因為D為CF中點，ACFG為直角三角形，1所以DG=—CD=5,?D點的運動軌跡為以G為圓心，以5半徑的圓上，如圖所示由圖可知：當AD與圓G相切時，BE的長度最小，如下圖,?.?OG=5?.?OG=5,OA=8,DG=5,在Rt^ADG中，由勾股定理得：AD=12,△AOEs^adg,AOADOEDG10求得：OE=―,14l由OB=OA=8，得：BE=~3，ZB=45°,AB=82BE=耳ah=AB-BH=竿,EH:EH:.tan/BAD=A-'2~T_7故答案為B.【點睛】此題解題的關鍵是找到AABE面積最小時即是AD與D的遠動軌跡圓相切的時刻.進而構造以/BAD為內角的直角三角形，利用勾股定理求出邊長，代入三角函數(shù)定義求解例3.（2019?南充）如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點A在y軸的正半軸及原點上滑動，頂點B在x軸的正半軸及原點上滑動，點E為AB的中點，AB=24,BC=5,給出結論：□點A從點O出發(fā)，到點B運動至點O為止，點E經(jīng)過的路徑長為12n；nnOAB的面積的最大值為144；□當OD最大時，點D的坐標為2^-'2612^26,（，），其中正確的結論（填寫序號）.2626【答案】1【解析】解：根據(jù)題意可知：OE=2AB=12,即E的軌跡為以O為圓心以12為半徑的四分之一圓（第一象限的部分），90根據(jù)弧長公式，得點E的路徑長為："x12=6n，故①錯誤；180因為AB=24,當斜邊AB上的高取最大值時，DOAB的面積取最大值，點O在以AB為直徑的圓上（圓心為E），當OE丄AB時，斜邊AB上的高最大,1所以DOAB的面積取最大值為：x24x12=144，故②正確；連接OE、DE，得：ODWOE+DE，當O、E、D三點共線時取等號，即OD的最大值為25，如圖，過點D作DF丄尹軸于F,過點E作EG丄尹軸于G,

EGAE1251即：AF二EG二一DF125設DF設DF=x，在Rt^ADF中,由勾股定理得：=25，解得:2526"1）2=25，解得:2526X2+一x15丿125/26在RZDF中，由勾股定理得：26-,即點D的坐標為(篤豊I)，故③正確.2626綜上所述，答案為：②③.例4.(2019?天津)已知拋物線y二x2-bx+c(b、c為常數(shù)，b>0)經(jīng)過點A(—1,0),點M(m,0)是133_/2x軸正半軸上的動點?若點Q(b+yQ)在拋物線上，當p2aM+2QM的最小值為—4—時，求b的值.【答案】見解析.【解析】解：???y二X2-bx+c經(jīng)過點A(—1,0)，1+b+c=0，即y—x2—bx—b—11???點Q（b+二，y°）在拋物線y—x2—bx+c上,b3?y———————…yQ24，

???b>O,???Q點在第四象限，邁AM+2QM=2—AM+QM^2所以只要構造出即可得到邁所以只要構造出即可得到邁AM+2QM的最小值取取N(1,O),連接^^，^M作MG丄/N于G,連接QM,如圖所示,△AGM△AGM為等腰直角三角形,GM=<2AM,即當GM=<2AM,即當G、M、Q三點共線時,GM+MQ取最小值，即€2AM+2QM取最小值,此時此時△MQH為等腰直角三角形,QM=\QM=\2QH=\：2,GM=\41AM+2QM\41AM+2QM=2f2)—AM+QM=2<2丿半(m+1)+晅12+4丿b31b1?QH=MH,?+4=b+2_m，解得：m=_4②7聯(lián)立①②得：m=4,b=4.即當邁AM+2QM的最小值為手時，b=4.AM+QM，進而根據(jù)兩點丿【點睛】此題需要利用等腰直角三角形將\；2aMAM+QM，進而根據(jù)兩點丿之間線段最短及等腰三角形性質求解.例5.（2019?舟山）如圖，一副含30°和45。角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，AC二12cm.當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動.當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為cm；連接3。，則厶ABD的面積最大值為cm2.A(E)丄aC/F)【答案】24-12^2；36巨+24込-12^6過D'作DG丄/C于G，D'H丄BC交BC延長線于點H，可得ZE'D'G=ZF'D'H，D'E'=D'F',.?.RtAE'D'G^RtAF'D'H,:QG=GH,.D'在ZACH的角平分線上，即C，D，D'三點共線.通過分析可知，當D'E'丄AC時，DD'的長度最大，隨后返回初始D點，如圖2所示，D點的運動路徑為D-D'-D,行走路線長度為2DD'；

VZBAC=30°,AC=12,DE=CD:?BC=4j3,CD=DE=6邁,由圖知：四邊形ECFD為正方形，CD=EF=12,:.DD'=CD'-CD=12-6^2,D點運動路程為2DD'=24-12常'2；如圖3所示，當點D運動至D'時，AABD'的面積最大，最大面積為:S+SS+S+S△ABC正方形E'CF'D'AAE'D'△BD'F'+2X6、2-6邁)-1XQd+4J3)x6、2【點睛】準確利用全等、角平分線判定得到D點的運動軌跡是關鍵，利用三角函數(shù)及勾股定理求解，計算較為繁瑣，尤其是利用割補法求解三角形的面積時對學生計算能力要求較高，此題難度較大，新穎不失難度.例6.(2019?巴中)如圖，在菱形ABCD中，連接BD、AC交于點O,過點O作OH1BC于點H,以O為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點M.求證：DC是圓O的切線；若AC=4MC，且AC=8，求圖中陰影部分面積；在(2)的前提下，P是線段BD上的一動點，當PD為何值時，PH+PM的值最小，并求出最小值.【答案】見解析.【解析】(1)證明：過點O作ONLCD于N,AC是菱形ABCD的對角線，:.A