高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題-線面垂直專題典型例題精選精講

.7/7線面垂直的證明中的找線技巧通過計算,運用勾股定理尋求線線垂直1如圖1,在正方體中,為的中點,AC交BD于點O,求證：平面MBD．證明：連結(jié)MO,,∵DB⊥,DB⊥AC,,∴DB⊥平面,而平面∴DB⊥．設(shè)正方體棱長為,則,．在Rt△中,．∵,∴．∵OM∩DB=O,∴⊥平面MBD．評注：在證明垂直關(guān)系時,有時可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù),通過計算來證明．利用面面垂直尋求線面垂直2如圖2,是△ABC所在平面外的一點,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAC．證明：在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC交PC于D．因為平面PAC⊥平面PBC,且兩平面交于PC,平面PAC,且AD⊥PC,由面面垂直的性質(zhì),得AD⊥平面PBC．又∵平面PBC,∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC,平面ABC,∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC．〔另外還可證BC分別與相交直線AD,AC垂直,從而得到BC⊥平面PAC．評注：已知條件是線面垂直和面面垂直,要證明兩條直線垂直,應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個平面中,使另一條直線與該平面垂直,即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中,高一級的垂直關(guān)系中蘊含著低一級的垂直關(guān)系,通過本題可以看到,面面垂直線面垂直線線垂直．一般來說,線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來分析解決,其關(guān)系為：線線垂直線面垂直面面垂直．這三者之間的關(guān)系非常密切,可以互相轉(zhuǎn)化,從前面推出后面是判定定理,而從后面推出前面是性質(zhì)定理．同學(xué)們應(yīng)當(dāng)學(xué)會靈活應(yīng)用這些定理證明問題．下面舉例說明．3如圖１所示,ABCD為正方形,⊥平面ABCD,過且垂直于的平面分別交于．求證：,．證明：∵平面ABCD,∴．∵,∴平面SAB．又∵平面SAB,∴．∵平面AEFG,∴．∴平面SBC．∴．同理可證．評注：本題欲證線線垂直,可轉(zhuǎn)化為證線面垂直,在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中,平面起到了關(guān)鍵作用,同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征,從而順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化．4如圖２,在三棱錐Ａ－BCD中,BC＝AC,AD＝BD,作BE⊥CD,Ｅ為垂足,作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ,連結(jié)CF,DF．∵,∴．∵,∴．又,∴平面CDF．∵平面CDF,∴．又,,∴平面ABE,．∵,,,∴平面BCD．評注：本題在運用判定定理證明線面垂直時,將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時,又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．如此反復(fù),直到證得結(jié)論．5如圖３,是圓Ｏ的直徑,Ｃ是圓周上一點,平面ABC．若AE⊥PC,Ｅ為垂足,Ｆ是PB上任意一點,求證：平面AEF⊥平面PBC．證明：∵AB是圓Ｏ的直徑,∴．∵平面ABC,平面ABC,∴．∴平面APC．∵平面PBC,∴平面APC⊥平面PBC．∵AE⊥PC,平面APC∩平面PBC＝PC,∴AE⊥平面PBC．∵平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC．評注：證明兩個平面垂直時,一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,即證線面垂直,而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系．6.空間四邊形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,求證：AC⊥BD證明：過A作AO⊥平面BCD于O。同理BC⊥DO∴O為△ABC的垂心7.證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC證明：連結(jié)ACAC為A1C在平面AC8.如圖,平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分別是AB、PC的中點,求證：.證：取PD中點E,則9如圖在ΔABC中,AD⊥BC,ED=2AE,過E作FG∥BC,且將ΔAFG沿FG折起,使∠A'ED=60°,求證:A'E⊥平面A'BC分析：弄清折疊前后,圖形中各元素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。解：∵FG∥BC,AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC設(shè)A'E=a,則ED=2a由余弦定理得：A'D2=A'E2+ED2-2?A'E?EDcos60°=3a2∴ED2=A'D2+A'E2∴A'D⊥A'E∴A'E⊥平面A'BC10如圖,在空間四邊形SABC中,SA平面ABC,ABC=90,ANSB于N,AMSC于M。求證:①ANBC;②SC平面ANM分析:①要證ANBC,轉(zhuǎn)證,BC平面SAB。②要證SC平面ANM,轉(zhuǎn)證,SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線,即證SCAM,SCAN。要證SCAN,轉(zhuǎn)證AN平面SBC,就可以了。證明:①∵SA平面ABC∴SABC又∵BCAB,且ABSA=A∴BC平面SAB∵AN平面SAB∴ANBC②∵ANBC,ANSB,且SBBC=B∴AN平面SBC∵SCC平面SBC∴ANSC又∵AMSC,且AMAN=A∴SC平面ANM11已知如圖,P平面ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90°求證：平面ABC⊥平面PBC分析：要證明面面垂直,只要在其呈平面內(nèi)找一條線,然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然BC中點D,證明AD垂直平PBC即可證明：取BC中點D連結(jié)AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB為正三角形同理ΔPAC為正三角形設(shè)PA=a在RTΔBPC中,PB=PC=aBC=a∴PD=a在ΔABC中AD==a∵AD2+PD2==a2=AP2∴ΔAPD為直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC∴AD⊥平面PBC∴平面ABC⊥平面PBC12.如圖,直角BAC在外,,,求證：在內(nèi)射影為直角。證：如圖所示,、,為射影。確定平面13以AB為直徑的圓在平面內(nèi),于A,C在圓上,連PB、PC過A作AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,試判斷圖中還有幾組線面垂直。解：面AEF兩個平面垂直例題解析1．在三棱錐A—BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是銳角三角形,那么必有〔A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCDD．平面ABC⊥平面BCD[解析]由AD⊥BC,BD⊥ADAD⊥平面BCD,面AD平面ADC∴平面ADC⊥平面BCD．[答案]C2．直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,則點A到平面A1BCA．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)[解析]取A1C的中點O,連結(jié)AO,∵AC=AA1,∴AO⊥A1C,又該三棱柱是直三棱柱．∴平面A1C⊥平面ABC．又∵BC⊥AC∴BC⊥AO,因AO⊥平面A1BC,即A1O等于A到平面ABC的距離．解得：A1O=a[答案]3．三個平面兩兩垂直,它們的三條交線交于一點O,P到三個面的距離分別是3,4,5,則OP的長為〔A．5 B．5 C．3 D．2[解析]構(gòu)造一個長方體,OP為對角線．[答案]B4．在兩個互相垂直的平面的交線上,有兩點A、B,AC和BD分別是這兩個平面內(nèi)垂直于AB的線段,AC=6,AB=8,BD=24,則C、D間距離為_____．[解析]如圖,CD=====265．設(shè)兩個平面α、β,直線l,下列三個條件：①l⊥α,②l∥β,③α⊥β．若以其中兩個作為前提,另一個作為結(jié)論,則可構(gòu)成三個命題,這三個命題中正確的命題個數(shù)為〔A．3 B．2 C．1 D．0[解析]①②③,其余都錯[答案]C[典型例題精講]［例1］如圖9—39,過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求證：平面ABC⊥平面BSC．圖9—39[證明]∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中點O,連AO、SO,則AO⊥BC,SO⊥BC,∴∠AOS為二面角的平面角,設(shè)SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=a,SO=a,AO2=AC2－OC2=a2－a2=a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,從而平面ABC⊥平面BSC．[評述]要證兩平面垂直,證其二面角的平面角為直角．這也是證兩平面垂直的常用方法．［例2］如圖9—40,在三棱錐S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC．圖9—40〔1求證：AB⊥BC；〔2若設(shè)二面角S—BC—A為45°,SA=BC,求二面角A—SC—B的大?。?[證明]作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB,∴AH⊥平面SBC,又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,而SA在平面SBC上的射影為SB,∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．〔2[解]∵SA⊥平面ABC,∴平面SAB⊥平面ABC,又平面SAB⊥平面SBC,∴∠SBA為二面角S—BC—A的平面角,∴∠SBA=45°．設(shè)SA=AB=BC=a,作AE⊥SC于E,連EH,則EH⊥SC,∴∠AEH為二面角A—SC—B的平面角,而AH=a,AC=a,SC=a,AE=a∴sin∠AEH=,二面角A—SC—B為60°．[注]三垂線法是作二面角的平面角的常用方法．［例3］如圖9—41,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分別是AB、PC的中點．〔1求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大小；〔2求證：平面MND⊥平面PCD〔1[解]PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴PD⊥CD,故∠PDA為平面ABCD與平面PCD所成二面角的平面角,在Rt△PAD中,PA=AD,∴∠PDA=45°〔2[證明]取PD中點E,連結(jié)EN,EA,則ENCDAM,∴四邊形ENMA是平行四邊形,∴EA∥MN．∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD,從而MN⊥平面PCD,∵MN平面MND,∴平面MND⊥平面PCD．[注]證明面面垂直通常是先證明線面垂直,本題中要證MN⊥平面PCD較困難,轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面PCD就較簡單了．另外,在本題中,當(dāng)AB的長度變化時,可求異面直線PC與AD所成角的范圍．［例4］如圖9—42,正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C圖9—42〔1求證：平面MNF⊥平面ENF．〔2求二面角M—EF—N的平面角的正切值．〔1[證明]∵M、N、E是中點,∴∴∴即MN⊥EN,又NF⊥平面A1C1,∴MN⊥NF,從而MN⊥平面ENF．∵MN平面MNF,∴平面MNF⊥平面ENF．〔2[解]過N作NH⊥EF于H,連結(jié)MH．∵MN⊥平面ENF,NH為MH在平面ENF內(nèi)的射影,∴由三垂線定理得MH⊥EF,∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中,求得MN=a,NH=a,∴tan∠MHN=,即二面角M—EF—N的平面角的正切值為．［例5］在長方體ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為的正方形,側(cè)棱長為,E、F分別是AB1、CB1的中點,求證：平面D1EF⊥平面AB1C．[證明]如圖9—43,∵E、F分別是AB1、CB1的中點,圖9—43∴EF∥AC．∵AB1=CB1,O為AC的中點．∴B1O⊥AC．故B1O⊥EF．在Rt△B1BO中,∵BB1=,BO=1．∴∠BB1O=30°,從而∠OB1D1=60°,又B1D1=2,B1O1=OB1=1〔O1為BO與EF的交點∴△D1B1O1是直角三角形,即B1O⊥D1O1,∴B1O⊥平面D1EF．又B1O平面AB1C,∴平面D1EF⊥平面AB1C1．棱長都是2的直平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,∠BAD=60°,則對角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成角的正弦值為[解]過A1作A1G⊥C1D1于G,由于該平行六面體是直平行六面體,∴A1G⊥平面D1C,連結(jié)CG,∠A1CG即為A1C與側(cè)面DCC∵A1G=A1D1·sin∠A1D1G=2sin60°=2·=而AC==∴A1C=,∴sin∠A1CG=．[答案]2．E、F分別是正方形ABCD的邊AB和CD的中點,EF、BD相交于O,以EF為棱將正方形折成直二面角,則∠BOD=_____．[解析]設(shè)正方形的邊長為2a則DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2∴cos∠DOB=,∴∠3．如圖9—44,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長均為2,側(cè)棱與底面成的角,側(cè)面ABB1A1圖9—44〔1證明：B1C⊥C1A．〔2求四棱錐B—ACC1〔1[證明]過B1作B1O⊥AB于O,∵面ABB1A1⊥底面ABC,面∴B1O⊥面ABC,∴∠B1BA是側(cè)棱與底面所成角,∴∠B1BA=,又各棱長均為2,∴O為AB的中點,連CO,則CO⊥AB,而OB1∩CO=O,∴AB⊥平面B1OC,又B1C平面OB1C,∴B1C⊥AB,連BC1,∵BCC1B1為邊長為2的菱形,∴B1C⊥BC1,而AB∩BC1∴B1C⊥面ABC1∵A1C面ABC1∴B1C⊥〔2[解]在Rt△BB1O中,BB1=2,BO=1,B1O=,V柱=Sh=·4·=3,∴=V柱=1,=V柱－=3－1=24．如圖9—45,四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形,PA⊥底面ABCD,E為AB的中點,且PA=AB．圖9—45〔1求證：平面PCE⊥平面PCD；〔2求點A到平面PCE的距離．〔1[證明]PA⊥平面ABCD,AD是PD在底面上的射影,又∵四邊形ABCD為矩形,∴CD⊥AD,∴CD⊥PD,∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD,∴∠PDA為二面角P—CD—B的平面角,∵PA=PB=AD,PA⊥AD∴∠PDA=45°,取Rt△PAD斜邊PD的中點F,則AF⊥PD,∵AF面PAD∴CD⊥AF,又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD,取PC的中點G,連GF、AG、EG,則GFCD又AECD,∴GFAE∴四邊形AGEF為平行四邊形∴AF∥EG,∴EG⊥平面PDC又EG平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD．〔2[解]由〔1知AF∥平面PEC,平面PCD⊥平面PEC,過F作FH⊥PC于H,則FH⊥平面PEC∴FH為F到平面PEC的距離,即為A到平面PEC的距離．在△PFH與△PCD中,∠P為公共角,而∠FHP=∠CDP=90°,∴△PFH∽△PCD．∴,設(shè)AD=2,∴PF=,PC=,∴FH=∴A到平面PEC的距離為．5．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形,對角線AC=2,BD=2,E、F分別為棱CC1、BB1上的點,且滿足EC=BC=2FB．圖9—46〔1求證：平面AEF⊥平面A1ACC1；〔2求異面直線EF、A1C1〔1[證明]∵菱形對角線AC=2,BD=2∴BC=2,EC=2,FB=1,取AE中點M,連結(jié)MF,設(shè)BD與AC交于點O,MOECFB平面AEF⊥平面ACC1A1〔2在AA1上取點N,使AN=2,連結(jié)NE,則NEACA1C1故∠NEF為異面直線A1C1與EF所成的角,連結(jié)NF,在直角梯形NABF中易求得NF=,同理求得EF=．在△ENF中,cos∠NEF=,即EF與A1C1所成角的余弦值為．[解題指導(dǎo)]在證明兩平面垂直時,一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線；若沒有這樣的直線,則可通過作輔助線來解決,而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并且要有利于證明,不能隨意添加．在有平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理,在一個平面內(nèi)