大樣本順序統(tǒng)計(jì)量均值方差和協(xié)方差計(jì)算與驗(yàn)證

最新資料推薦 大樣本順序統(tǒng)計(jì)量均值方差和協(xié)方差計(jì)算與驗(yàn)證大樣本順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差計(jì)算與驗(yàn)證COMPUTATIONANDVERIFICATIONOFMEANS,VARIANCESANDCOVARIANCESFORLARGESAMPLEORDERSTATISTICS傅惠民林逢春(北京航空航天大學(xué)小樣本技術(shù)研究中心，北京100083)FUHuiMinLINFengChun(ResearchCenterofSmallSampleTechnology,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Beijing100083,China)摘要順序統(tǒng)計(jì)量在可靠性評估和壽命預(yù)測中有廣泛的應(yīng)用。目前，樣本容量較小時的順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差的數(shù)值計(jì)算已得到很好的解決，但是，由于計(jì)算精度問題，樣本容量較大時的順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差的數(shù)值計(jì)算尚未得到完全解決。對此，文中首先從理論上推導(dǎo)出特殊情況下極值分布順序統(tǒng)計(jì)量均值和方差計(jì)算的解析表達(dá)式，以及正態(tài)分布順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差的簡化計(jì)算公式，為數(shù)值計(jì)算結(jié)果提供驗(yàn)證依據(jù)。然后，通過大量數(shù)值計(jì)算與驗(yàn)證表明，目前微機(jī)的運(yùn)算速度與精度已經(jīng)可以實(shí)現(xiàn)大樣本順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差的高精度計(jì)算。文中還給出部分順序統(tǒng)計(jì)量數(shù)字特征的積分計(jì)算與驗(yàn)證結(jié)果。關(guān)鍵詞 順序統(tǒng)計(jì)量 均值方差協(xié)方差可靠性壽命預(yù)測中圖分類號0241.7 TB115AbstractOrderstatisticsarewidelyusedinreliabilityevaluationandlifeprediction.Thenumericalcomputationofmeans,var2iancesandcovariancesoforderstatisticshasbeenwellsolvedforsmallsample,however,ithasnotyetbeencompletelysolvedforlargesamplebecauseofcomputationprecision.Formulasofmeanandvarianceofthefirstorderstatisticfromextremevaluedistributionarede2rivedinanalyticform.Furthermore,simplifiedformulasofmean,varianceandcovarianceofnormalorderstatisticsarealsoderivedinparticularcases.Theyoffertheverificationfornumericalcomputationresults.Alargenumberofcomputationsandverificationsindicatethatthespeedandtheprecisionofcurrentcomputersareenoughtosatisfythehigh2precisioncomputationofmeans,variancesandcova2riancesforlargesampleorderstatistics.Somecomputationandverificationresultsarepresented.KeywordsOrderstatistic;Means;Variances;Covariances;Reliability;LifepredictionCorrespondingauthor:FUHuiMin,E2mail:fuhuimin@263.net,Fax:+86210282328501TheprojectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(No.10472006).Manuscriptreceived20051109,inrevisedform20060115.1992年，N.Balakrishnan和P.S.Chan采用遞推公式，將極值分布順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差計(jì)算的樣本大小擴(kuò)展到n306 。程依明同樣從遞推的思路實(shí)現(xiàn)了n40時Weibull分布BLUE系數(shù)的計(jì)1引言順序統(tǒng)計(jì)量在參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等方面有廣泛應(yīng)用。然而，基于順序統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)分析方法，如BLUE(bestlinearunbiasedestimation)、BLIE(bestlinearinvariantestimation)、截尾數(shù)據(jù)和不完全數(shù)據(jù)整體估計(jì)算7。但是遞推算法存在相近大數(shù)相減并導(dǎo)致 n較大時計(jì)算精度顯著降低的問題。1992年RudolphS.Parrish采用高斯2勒讓德法進(jìn)行數(shù)值積分，得到正態(tài)順序統(tǒng)計(jì)量n500時均值和方差以及n50時協(xié)方差的計(jì)算結(jié)果8,9 。鑒于樣本較大時計(jì)算得到的順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差的正確與否無法考證，本文首先對任意大小的樣本，推導(dǎo)出特殊情況下極值分布順序統(tǒng)方法等1?5,通常要求計(jì)算順序統(tǒng)計(jì)量的均值、方差和協(xié)方差。由于順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差的計(jì)算對計(jì)算機(jī)速度和精度要求較高，所以，在早期研究中，只能在樣本大小n25情況下,給出BLUE和BLIE方法中的系數(shù)1?？墒枪こ虒?shí)際中常常遇到樣本量較大的截尾數(shù)據(jù)，此時n25成為應(yīng)用限制。20051109收到初稿，20060115收到修改稿。國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10472006)資助。傅惠民，男，1956年2月生，浙江省遂昌縣人，漢族。長江學(xué)者獎勵計(jì)劃特聘教授、博士生導(dǎo)師。發(fā)表130余篇學(xué)術(shù)論文，曾獲得國家自然科學(xué)獎、多項(xiàng)航空航天部科技進(jìn)步獎、霍英東青年教師獎和光華科技獎等18項(xiàng)獎勵，被授予全國五一勞動獎?wù)?、國家做出突出貢獻(xiàn)的中國博士學(xué)位獲得者和國家級有突出貢獻(xiàn)的中青年專家稱號。第29卷第1期傅惠民等：大樣本順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差計(jì)算與驗(yàn)證049計(jì)量均值和方差的解析表達(dá)式，以及正態(tài)分布順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差的簡化計(jì)算公式，為數(shù)值計(jì)算結(jié)果提供驗(yàn)證依據(jù)。然后進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算對比，結(jié)果表明，目前微機(jī)的運(yùn)算速度與精度已經(jīng)可以實(shí)現(xiàn)大樣本情形下順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差的高精度計(jì)算。度為fx，xn!ij(j)=i(i-[1-1)!(j-i-1)!(j)!xi)i(j-i-1)!(j)]j-i-1xi) -[exp(-e-exp(-xixjxi xjexp[-e(n-j+l)e]eelijn(11)2順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差從總體X中抽取容量為n的獨(dú)立隨機(jī)樣本，X的分布函數(shù)為F(x),密度函數(shù)為f(x),則第i個順序統(tǒng)計(jì)量Xi的密度函數(shù)為將式(10)和式(11)代入式(3)?式(7),可以積分求得極值分布順序統(tǒng)計(jì)量的均值、方差和協(xié)方差。在計(jì)算順序統(tǒng)計(jì)量的協(xié)方差時，可以采用換元積分法計(jì)算二階混合矩E(X iXj)，即n ! n !E(XiXj)=i-1(n-if i(x) =F x [1 -Fx]f(x))()(i - 1)!(j- i - 1)!(n-j)!(i-1)!(n-i) !1 1 (1)1inln[-ln(1 -Pi)]ln[-ln(1- Pj)] 0P第i和第j個順序統(tǒng)計(jì)量Xi和Xj(ij)的聯(lián)合概率密度為ii-1j-i-1n-jPi(Pj-Pi)(1-Pj)dPidPj1ijn(12)n!i-1(fij(xi,xj) =)Fxi(i- 1)!(j-i-1)!(n-j)!計(jì)算結(jié)果表明，在結(jié)點(diǎn)數(shù)相同的情況下，分別采用式(7)和式(12)進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算E(XiXj)，后者具有更高的精度。當(dāng)樣本容量n較大時，其優(yōu)勢更加顯著。j-i-1 [F(xj) -F(xi)]n-j[1-F(xj)]f(xi)f(xj)1ijn(2)3.2X1均值和方差的解析表達(dá)式X1的均值和方差分別為因此，順序統(tǒng)計(jì)量的均值、方差和協(xié)方差可分別由下面諸式求得wE(XI)(13)=-C -lnnE(Xi) = xfi(x)dx(3)1 inTOC\o"1-5"\h\z-w2 =D(X)(14)2 2 D( Xi) =E(Xi )Cov(Xi,Xj) =- [E(Xi)](4)1inE(Xi)E(Xj)1 6E(XiXj)-式中C為歐拉常數(shù)，即(5)w1ijn-xC=lnxedx=0.577215664901式中0證明：(a)由式⑶和式(10)可知，X的均值為WE( X 2 ) = x 2 f( x) dx(6) 1 i n i i-w 1w w wwe ( X i Xj) = xix j f i j (xi ,xj ) d x id x j x )x - nx -w 0 E ( X 1 ) =nx exp(-n e e d x = n ln xe dx -w x i (7)(15) 1ijn由于3極值順序統(tǒng)計(jì)量均值、方差和協(xié)方差計(jì)算3.1均值、方差和協(xié)方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)極值分布的分布函數(shù)為w0ln1-nx=-(C+lnn)(16)xedxn所以wF(x)=1-exp(-ex)密度函數(shù)為f(x)=exp(-w(8)-wxn-nxE(X=1)lnxedx=-(C+lnn)(17)0 (b)由式(6)和式(10)可知，X1的二階原點(diǎn)矩為ex)ex(9)wwE(X22xx=nxexp-needx=nln2xe-nxdx=0由式(1)和式(2),可得容量為順序統(tǒng)計(jì)量Xi的密度函數(shù)為1)()n的樣本的第i個-WW0W(lnt-lnn)2e-tdt=ln2te-tdt- 0n! xi-1fi(x)=-exp(—e)](i-1)!(n-i)!1wW2lnnlntedt+lnnedt-t2 -t(18)exp[— (n—i+1)ex]ex1in(10) 0 0第i和第j個順序統(tǒng)計(jì)量Xi和Xj(ij)的聯(lián)合概率密由于1994-2019ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved. pletedata.JournalofAerospacePower,2004,19(2):169?173(InChi2nese).傅惠民，王華勝.不完全數(shù)據(jù)整體估計(jì)方法.航空動力學(xué)報(bào),2004,19(6):741?744.FUHuiMin,WANGHuaSheng.Integralestimatemethodforincompleteda2ta.JournalofAerospacePower,2004,19(6):741?744(InChinese).傅惠民，林逢春.截尾數(shù)據(jù)整體估計(jì)方法.航空動力學(xué)報(bào),2005,20(5):169?173.FUHuiMin,LINFengChun. Integralestimatemethodforcensoreddata.JournalofAerospacePower, 2005,20(5):529?533(InChinese).BalakrishnanN,ChanPS.Orderstatisticsfromextremevaluedistribution,I:tableofmeans,variancesandcovariances.Commun.Statist.2Simula.,1992,21(4):1199?1217.程依明.Weibull分布n25時的BLUE系數(shù).應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，1992,8(4):420?

427CHENGYiMing.BLUEcoefficientofWeibull427CHENGYiMing.BLUEcoefficientofWeibulldistributionwhenn25.ChineseJournalofAppliedProbabilityandStatistics,1992,8(4):420?427(InChinese).RudolphSParrish.Computingexpectedvaluesofnormalorderstatistics.Commun.Statist. 2Simula. ,1992,21(1) :57? 70.RudolphSParrish.Computingvariancesandcovariancesofnormalordersta2tistics.Commun.Statist.2Simula.,1992,21(1):71?101.絕對誤差A(yù)bsoluteerror數(shù)值積分Numericalintegral簡化公式S；implifiedformula,0.1910-103>.5(610-100.0210--100.2310--100..0210--100.4110-100.1910-103.2510--108.6310--10 13.8910-1010)203040501002005008；0010000.3443438232790.2756966156110.2458378995470.2279918221310.2157124099630.1844048135350.1607244252670.1372015928370.1275750928410.1234554170910.3443438232600.27569)6615255 0.2458378995450.2279918221080.2157124099610.1844048135760