chap1概率論的基本概念

第一章隨機事件與概率自然界中有兩類現象：一類稱為確定性現象，如：向上拋一石子必然下落，同性電荷互斥另一類稱為不確定性現象，如：在相同條件下拋一枚硬幣，其結果可能正面朝上也可能反面朝上；在一次射擊之前，無法預測彈著點的確切位置．第一章隨機事件與概率自然界中有兩類現象：1

這類不確定現象，人們經過長期實踐并深入研究之后發(fā)現這類現象在大量重復試驗或觀察下，它的結果卻呈現出某種規(guī)律性．這種在大量重復試驗或觀察中所呈現出的固有規(guī)律性，就是我們以后所說的統(tǒng)計規(guī)律性．這類在個別試驗中其結果呈現出不確定性，在大量重復試驗中其結果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現象，我們稱之為隨機現象．

2概率論所研究的是隨機現象的數量規(guī)律．概率論的中心課題就是要給“可能性”以確切的描述，并給出科學的估計方法，它是一門從數量的角度研究隨機現象內部隱藏的必然規(guī)律的學科．數理統(tǒng)計是一門有趣的學科，它為科研工作者提供所必需的科學方法，利用這些方法去收集數據，并用來確定所需的數據量．通過樣本進行推斷，并且度量它們的不確定性，從而做出有意義的決定．概率論所研究的是隨機現象的數量規(guī)律．概率論的中心課題就3第一節(jié)隨機事件

在這里，我們把試驗作為一個含義廣泛的術語，它包括各種各樣的科學實驗，甚至對某一事物的某一特征的觀察也認為是一種試驗．如：Ｅ１：拋一枚硬幣，觀察正面Ｈ，反面Ｔ出現的情況Ｅ２：將一枚銀幣拋擲三次，觀察正面Ｈ，反面Ｔ出現的情況Ｅ３：將一枚銀幣拋擲三次，觀察出現正面的次數1、隨機試驗第一節(jié)隨機事件

在這里，我們把試驗作為一個含義廣泛4

Ｅ４：拋一顆骰子，觀察出現的點數Ｅ５：記錄某城市１２０急救電話一晝夜接到的呼喚次數Ｅ６：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命Ｅ７：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度

5隨機試驗的特點：１．可以在相同的條件下重復地進行２．每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果３．進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現隨機試驗的特點：62．樣本空間定義：我們將隨機試驗Ｅ 的所有可能結果組成的集合稱為Ｅ的樣本空間，記為Ｓ．樣本空間的元素，即Ｅ的每個結果稱為樣本點．2．樣本空間7第一節(jié)中試驗Ｅk（k=1,2,…7）的樣本空間Sk:S1:{H,T}S2:{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}S3:{0,1,2,3}S4:{1,2,3,4,5,6}S5:{0,1,2,3,…}S6:{t︱t≥0}S7:{(x,y)∣T0≤X≤Y≤T1},這里x表示最低溫度，y表示最高溫度．并設這一地區(qū)溫度不會小于T0，也不會大于T1.第一節(jié)中試驗Ｅk（k=1,2,…7）83．隨機事件定義：一般，我們稱試驗Ｅ的樣本空間Ｓ的子集為Ｅ的隨機事件，簡稱事件．在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時，稱這一事件發(fā)生．特別，由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件．樣本空間Ｓ包含所有的樣本點，它是Ｓ自身的子集，在每次試驗中它總是發(fā)生的，稱為必然事件．空集不包含任何樣本點，它也作為樣本空間的子集，它在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可能事件．3．隨機事件94．事件間的關系與事件的運算設試驗E的樣本空間S,而是S的子集.１．若則稱事件B包含事件Ａ，這指的是事件Ａ發(fā)生必導致事件Ｂ發(fā)生．若且，即。則稱事件A與事件B相等。2.事件稱為事件A與事件B的和事件。當且僅當中A，B至少有一個發(fā)生時，事件發(fā)生。

4．事件間的關系與事件的運算10類似地，稱為n個事件的和事件；稱為可列個事件的和事件。

3.事件稱為事件A與事件B的積事件.當且僅當A,B同時發(fā)生時,事件發(fā)生.也記作AB類似地，稱為n個事件的積事件；稱為可列個事件的積事件4.事件稱為事件A與事件B的差事件.當且僅當A發(fā)生,B不發(fā)生時,事件發(fā)生類似地，稱為n個事件的和事件；稱為可列個事件的和事件。3.115.若則稱事件A與B是互不相容的,或互斥的.這指的是事件A與事件B不能同時發(fā)生.基本事件是兩兩互不相容的.6.若則稱事件A與B是互為逆事件.又稱事件A與事件B互為對立事件.記5.若則稱事件A與B是互不相容的,或互斥的.6.若則稱事件A12注:對立事件與互斥事件的區(qū)別:1.兩事件對立必定互斥,但互斥不一定對立2.互斥的概念適用于多個事件,但對立的概念只適用于兩個事件3.兩事件互斥只表明兩事件不能同時發(fā)生,即至多只能發(fā)生一個但可以都不發(fā)生;兩事件對立則表示有且僅有一個發(fā)生.chap1概率論的基本概念13事件的運算定律:設A,B,C為事件,則有交換律:結合律:分配律:德.摩根律:此外還有，吸收律、重余律、冪等律、差化積:事件的運算定律:設A,B,C為事件,則有交換律:此外還有，吸14例1：一個盒子有十個完全相同的球，分別標以號碼1，2，…,10.從中任取一球.令i={取得球號為i},則S={1,2,…,10}.若A={球的標號為偶數},B={球的標號<4},C={球的標號為3},則求例2:以A表示事件”甲產品暢銷,乙產品滯銷”,則其對立事件表示什么?例1：一個盒子有十個完全相同的球，分別標以號碼1，2，…,115例3:設A,B,C表示三個事件,試用A,B,C表示如下事件.(1)A發(fā)生且B,C至少有一個發(fā)生(2)A與B發(fā)生而C不發(fā)生(3)A,B,C中至少有兩個發(fā)生(4)A,B,C中至多有兩個發(fā)生(5)A,B,C中不多于一個發(fā)生(6)A,B,C中恰有一個發(fā)生例3:設A,B,C表示三個事件,試用A,B,C表示如下事件.16第二節(jié)事件的概率與性質頻率:描述了事件發(fā)生的頻繁程度概率:表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數第二節(jié)事件的概率與性質頻率:描述了事件發(fā)生的頻繁程度171.頻率的定義在相同的條件下,進行了n次試驗,在這n次試驗中,事件A發(fā)生的次數稱為事件A發(fā)生的頻數.比值稱為事件A發(fā)生的頻率,并記成頻率具有下列性質：3.若是兩兩互不相容事件，則1.2.1.頻率的定義頻率具有下列性質：3.若1.2.182.概率的定義設E是隨機試驗,S是它的樣本空間.對于E的每一個事件A賦予一個實數,記為P(A),稱為事件A的概率.滿足下列條件:1.非負性:對于每個事件A,有2.規(guī)范性:對于必然事件S,有2.概率的定義設E是隨機試驗,S是它的樣本空間.對于E的每一193.可列可加性:設是兩兩互不相容的事件,即對于則有概率的性質:性質1性質2(有限可加性)若是兩兩互不相容的事件,則有3.可列可加性:設是兩兩互不相容的事件,20性質3:設A,B是兩個事件,若,則有性質4:對于任一事件A,性質5:(逆事件的概率)對于任一事件A,有性質6:(加法公式)對于任意兩事件A,B有性質3:設A,B是兩個事件,若,則有性質4:對于21設為任意三個事件,則有對于任意n個事件設為任意三個事件,則有對于任意n個事件22例1:一批產品中,一、二、三等品率分別為0.8，0.16，0.04。若規(guī)定一、二等品為合格品，求產品的合格率。例2：有兩個電站，電站A正常工作的概率為0.93，電站B正常工作的概率為0.92，兩個電站同時工作的概率為0.898，求至少有一個電站工作以及只有一個電站工作的概率。例1:一批產品中,一、二、三等品率分別為0.8，0.16，231.2.3概率的古典定義（古典概型）定義1若隨機試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；

(2)每個樣本點出現的可能性相同.稱這種試驗為等可能概型或古典概型

下面給出古典概型中每個基本事件的概率1.2.3概率的古典定義（古典概型）定義1若隨機試驗滿24設試驗的樣本空間為由于試驗中每個樣本點發(fā)生的可能性相同，即有又由于基本事件是兩兩互不相容的。于是設試驗的樣本空間為由于試驗中每個樣本點發(fā)生的可能性相同，即有25若事件A包含k個基本事件，即古典概型中隨機事件的概率是什么？是中某k個不同的數S包含的基本事件的總數A包含的基本事件數則若事件A包含k個基本事件，即古典概型中隨機事件的概率是什么？26計算古典概率的關鍵是“計數”---計算樣本點的總數和A所含的樣本點數，而這往往歸結為排列組合問題。所以，下面我們介紹一下計數的基本方法：1.基本原理乘法原理:設完成一件事有n個步驟，第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，…，第n步有mn種方法，并且完成這件事必須經過每一步驟，那么完成這件事共有種方法。計算古典概率的關鍵是“計數”---計算樣本點的總數和A所含的27加法原理:設完成一件事有n類方法，只要選擇任何一類方法中的一種方法，這件事就能完成。若第一類有m1種方法，第二類有m2種方法，…，第n類有mn種方法，并且這m1+m2+…+mn種方法中任何兩種方法都不相同，那么完成這件事共有m1+m2+…+mn種方法。2.排列與組合選排列與全排列:從n個(可以分辨)的元素中任取r個元素(每個元素至多只能取一次)排成一排.則共有中排法.當時，稱為選排列；當時稱為全排列.加法原理:設完成一件事有n類方法，只要選擇任何一類方法中的一28可重復的排列：從n個(可以分辨)的元素中任取r個元素(每個元素允許被取任意多次)排成一排.則共有中排法.組合：從n個(可以分辨)的元素中任取r個元素構成一組，共有種取法。例：用1，2，3，4四個數字能作成多少個無重復數字的二位數？三位數？能作成多少個（數字允許重復）的二位數？三位數？可重復的排列：從n個(可以分辨)的元素中任取r個元素(每個元29古典概率的計算舉例例1.一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取球兩次,每次隨機地取一只.考慮兩種取球方式:(i)第一次取一只球,觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球,這種取球方式叫做放回抽樣.(ii)第一次取一只球不放回袋中,第二次從剩余的球中再取一球,這種取球方式叫做不放回抽樣.試分別就上面兩種情況,求(1)取到的兩只球都是白色的概率;(2)取到的兩只球顏色相同的概率;(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.古典概率的計算舉例例1.一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只30例2:有n個不同的粒子,每個粒子都以同樣的概率1/N落入N()個格子的每一格子中.試求下述事件的概率.(1)A={指定n個格子中各有一粒}(2)B={恰有n個格子中各有一粒}例3:設有N件產品,其中有D件次品.今從中任取n件,問其中恰有k()件次品的概率是多少?例4:箱中有a根紅簽,b根白簽,除顏色不同外,這些簽其他方面無區(qū)別.現有a+b個人依次不放回地去抽簽,求第k個人抽到紅簽的概率.記Ak={第k個人抽到紅簽}例2:有n個不同的粒子,每個粒子都以同樣的概率1/N落入N31例5:在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的整數既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?例6：從0，1，2，…，9等十個數字中任選三個不同的數字，試求下列事件的概率。A1={三個數字中不含0和5}A2={三個數字中含0但不含5}A3={三個數字中不含0或5}例5:在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的整數既不32例7：將三個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數分別為1，2，3的概率。例8：10把鑰匙中有3把能打開門，今任取兩把，求能打開門的概率。例7：將三個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數分331.2.4概率的幾何意義（幾何概型）定義：向某一可度量的區(qū)域G內投一點，如果所投的點落在G中任意區(qū)域g內的可能性大小與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關，則稱這一隨機試驗為幾何概型試驗，簡稱幾何概型。在幾何概型試驗中，事件A的概率：上述度量是指線段長度，可求積平面區(qū)域的面積，可求積空間區(qū)域的體積等。1.2.4概率的幾何意義（幾何概型）定義：向某一可度量的區(qū)34例：兩艘船都要停泊在同一個碼頭，這個碼頭不能同時停泊兩艘船，他們可能在一個晝夜的任何時刻到達。設兩艘船?？康臅r間分別是1小時和2小時，求有一艘船要靠位必須等待一段時間的概率。例：兩艘船都要停泊在同一個碼頭，這個碼頭不能同時停泊兩艘船，351.條件概率

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.第五節(jié)條件概率如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的概率，記作P(B|A).

一般P(B|A)≠P(B)

1.條件概率在解決許多概率問題時36又如袋中有16個球已知抽到的是紅球，問它是木質球的概率？木質球玻璃球紅色23藍色47記A={紅球}，B={木質球}，則P(A)=5/16,P(AB)=2/16P(B|A)=2/5=(2/16)/(5/16)=P(AB)/P(A)又如袋中有16個球木質球玻璃球紅色23藍色47記A={紅球}37計算P(B|A)時，這個前提條件未變，只是加上“事件A已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內來考慮問題.本例中，計算P(B)時，依據的前提條件是16個球中抽一個木質球.計算P(B|A)時，這個前提條件未變，只是加上“事件A已發(fā)生38

若事件A已發(fā)生,則為使B也發(fā)生,試驗結果必須是既在A中又在B中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經知道A已發(fā)生,故A變成了新的樣本空間,于是有(1).設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱

(1)條件概率的定義為在事件A發(fā)生的條件下,事件B的條件概率.若事件A已發(fā)生,則為使B也發(fā)生,39條件概率P(B|A)與P(B)的區(qū)別

每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，設B是隨機試驗的一個事件，則P(B)是在該試驗條件下事件B發(fā)生的可能性大小.P(B)與P(B|A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數值上一般也不同.

而條件概率P(B|A)是在原條件下又添加“A發(fā)生”這個條件時B發(fā)生的可能性大小，即P(B|A)仍是概率.條件概率P(B|A)與P(B)的區(qū)別每一個隨40條件概率的性質(自行驗證)設A是一事件，且P(A)>0,則1.對任一事件B，0≤P(B|A)≤1;2.P(S|A)=1；3.設B1,…,B…互不相容，則而且，前面對概率所證明的一些重要性質都適用于條件概率.n條件概率的性質(自行驗證)設A是一事件，且P(A)>0,則141

2)從加入條件后改變了的情況去算

條件概率的計算1)用定義計算:P(A)>0

擲骰子例：B={擲出2點}，

A={擲出偶數點}P(B|A）=A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數在縮減樣本空間中B所含樣本點個數2)從加入條件后改變了的情況去算條件概率的計算1)42例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不小于10”的概率是多少?解法1:

解法2:

解:設A={第一顆擲出6點}B={擲出點數之和不小于10}應用定義在A發(fā)生后的縮減樣本空間中計算例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不43例2：一盒子裝有4只產品，其中有3只一等品，1只二等品。從中取產品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。設事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”。試求條件概率P（B|A）例2：一盒子裝有4只產品，其中有3只一等品，1只二等品。從中44由條件概率的定義：即若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(2)而P(AB)=P(BA)2、乘法公式若已知P(A),P(B|A)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調，有故若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(3)若P(B)>0,則P(BA)=P(B)P(A|B)

(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率由條件概率的定義：即若P(A)>0,則P(AB)45當P(A1A2…An-1)>0時，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)推廣到多個事件的乘法公式:當P(A1A2…An-1)>0時，有推廣到多個事件的乘法公式46例3：設袋中裝有r只紅球，t只白球。每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球。若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、第二次取到紅球且第三、第四次取到白球的概率。例4：設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10。試求透鏡落下三次而未打破的概率。例3：設袋中裝有r只紅球，t只白球。每次自袋中任取一只球，觀47例5：某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率？若已知最后一個數字是奇數，那么此概率是多少？例5：某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求48

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率,它們實質上是加法公式和乘法公式的綜合運用.綜合運用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>03、全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜49

例1有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記Bi={球取自i號箱},

i=1,2,3;

A={取得紅球}即

，

且B1A、B2A、B3A兩兩互斥A發(fā)生總是伴隨著B1，B2，B3之一同時發(fā)生，P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)運用加法公式得123例1有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個50將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.對求和中的每一項運用乘法公式得

代入數據計算得：P(A)=8/15P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的51定義：設S為試驗E的樣本空間，為E的一組事件。若則稱為樣本空間S的一個劃分。為樣本空間的一個劃分，那么對每次試驗，事件中必有一個且僅有一個發(fā)生。定義：設S為試驗E的樣本空間，為E的一組事件。若則52全概率公式定理：設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，為S的一個劃分，且則全概率公式定理：設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，為S的53在較復雜情況下直接計算P(A)不易,但A總是伴隨著某個Bi出現，適當地去構造這一組Bi往往可以簡化計算.全概率公式的來由,不難由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了許多部分之和.它的理論和實用意義在于:在較復雜情況下直接計算P(A)不易,但A總是伴隨著某個Bi出54某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果A是由原因Bi所引起，則A發(fā)生的概率是每一原因都可能導致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,55例3甲箱中有5個正品和3個次品，乙箱中有4個正品和3個次品。從甲箱中任取3個產品放入乙箱，然后從乙箱中任取一個產品，求這個產品是正品的概率。例2采購員要購買10個一包的電器元件，他的采購方法是：從一包中隨機抽查3個，如果3個元件都是好的，他才買下這一包，假定含有4個次品的包數占30%，而其余包中各含一個次品。求采購員拒絕購買的概率。例3甲箱中有5個正品和3個次品，乙箱中有4個正品和3個次品56該球取自哪號箱的可能性最大?實際中還有下面一類問題，是“已知結果求原因”這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:該球取自哪號箱的可能性最大?實際中還有下面一類問題，是57接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式58有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白?有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個59某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現是紅球，求該球是取自1號箱的概率.記Bi={球取自i號箱},i=1,2,3;

A={取得紅球}求P(B1|A).運用全概率公式計算P(A)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出記Bi={球取自i號箱},i=1,60該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導致A發(fā)生的每個原因的概率.貝葉斯公式：

設試驗E的樣本空間為S。A為E的事件，B1,B2,…,Bn為S的一個劃分，且P(A)>0，則該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.61貝葉斯公式在實際中有很多應用，它可以幫助人們確定某結果（事件B）發(fā)生的最可能原因.

貝葉斯公式在實際中有很多應用，它可以幫助人們62例4某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.04，現抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗結果是陽性}，求P(C|A).例4某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗63現在來分析一下結果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數據計算得:

P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?

1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？現在來分析一下結果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數據計算得64如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率

P(C)=0.005

患者陽性反應的概率是0.95，若試驗后得陽性反應，則根據試驗得來的信息，此人是患者的概率為P(C｜A)=0.1066說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率患者陽性反應的652.檢出陽性是否一定患有癌癥?

試驗結果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066即使你檢出陽性，尚可不必過早下結論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認.

2.檢出陽性是否一定患有癌癥?66該球取自哪號箱的可能性最大?實際中還有下面一類問題，是“已知結果求原因”這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:下面我們再回過頭來看一下貝葉斯公式該球取自哪號箱的可能性最大?實際中還有下面一類問題，是67

貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分別稱為原因的驗前概率和驗后概率.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息（不知道事件A是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識.當有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi|A)有了新的估計.貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變化。貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分68例5玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0，1，2只殘次品的概率分別為0.8，0.1和0.1。一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，顧客開箱隨意地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率。例5玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0，1，2只殘次69

顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.第六節(jié)兩事件的獨立性B={第一次擲出6點}，A={第二次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設顯然P(A|B)=P(70由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.P(AB)=P(B)P(A|B)由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有71若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.兩事件獨立的定義若兩事件A、B滿足兩事件獨立的定義72例1

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,說明事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽73前面我們是根據兩事件獨立的定義作出結論的，也可以通過計算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}在實際應用中,往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.則由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13

P(A)=P(A|B),說明事件A、B獨立.前面我們是根據兩事件獨立的定義作出結論的，也74在實際應用中,往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立.甲、乙兩人向同一目標射擊，記

A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）

在實際應用中,往往根據問題的實際意義去判斷兩事件75一批產品共n件，從中抽取2件，設Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨立.因為第二次抽取的結果受到第一次抽取的影響.又如：因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.一批產品共n件，從中抽取2件，設Ai={第i件是合格品}76請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不獨立我們來計算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？即:若A、B互77問：能否在樣本空間S中找兩個事件,它們既相互獨立又互斥?這兩個事件就是

S和P(S)=P()P(S)=0與S獨立且互斥不難發(fā)現，與任何事件都獨立.問：能否在樣本空間S中找兩個事件,它們既相互獨立又78設A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯系.1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習.設A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,前面79=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B獨立故A與獨立.概率的性質=P(A)-P(A)P(B)證明:僅證A與獨立容易證明,若兩事件A、B獨立，則

也相互獨立.=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()=P(80二、多個事件的獨立性將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：對于三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)四個等式同時

P(AC)=P(A)P(C)成立,則稱事件

P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)獨立.

二、多個事件的獨立性將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：對于81

推廣到n個事件的獨立性定義,可類似寫出：包含等式總數為：對n個事件A1,A2....An，若對任意k=2,3,…n和任意一組都有,則稱事件A1,A2....An是相互獨立的.推廣到n個事件的獨立性定義,可類似寫出：包含等式總數為：對n82請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯系兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立兩兩獨立相互獨立對n(n>283對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：例2三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人編號為1，2，3，三、獨立性的概念在計算概率中的應用所求為P(A1A2A3)記Ai={第i個人破譯出密碼}i=1,2,3對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：例2三人獨立地去破譯84記Ai={第i個人破譯出密碼}i=1,2,3所求為P(A1+A2+A3)已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

P(A1+A2+A3)=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]記Ai={第i個人破譯出密碼}i=1,2,3所求為85n個獨立事件和的概率公式:設事件相互獨立,則

也相互獨立也就是說，n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.n個獨立事件和的概率公式:設事件86則“

至少有一個發(fā)生”的概率為

若設n個獨立事件發(fā)生的概率分別為類似可以得出：至少有一個不發(fā)生”的概率為“=1-p1

…pn

則“至少有一87下面是一個串并聯電路示意圖.A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.它們下方的數是它們各自正常工作的概率.求電路正常工作的概率.下面是一個串并聯電路示意圖.A、B、C、D、88P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：將電路正常工作記為W，由于各元件獨立工作，有其中P(C+D+E)=1-P(F+G)=1-P(W)0.782代入得P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H89

例2甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.設A={飛機被擊落}

Bi={飛機被i人擊中},i=1,2,3由全概率公式

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)則A=B1A+B2A+B3A求解如下:依題意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1例2甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊90于是

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+

P(B3)P(A|B3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機被擊落的概率為0.458.P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14于是=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6911、要驗收一批（100件）樂器，驗收方案如下：自該批樂器中隨機地取3件測試（設3件樂器的測試是相互獨立的），如果3件中至少有一件在測試中被認為音色不純，則這批樂器就被拒絕接收。設一批音色不純的樂器經測試查出其為音色不純的概率為0.95，而一件音色純的樂器經測試被誤認為不純的概率為0.01。如果已知這100件樂器中恰有4件是音色不純的。試問這批樂器被接收的概率是多少？1、要驗收一批（100件）樂器，驗收方案如下：自該批樂器中隨92一位老戰(zhàn)士向新伙伴介紹經驗；當敵人向我們的陣地打炮時，你最好滾到新彈坑里藏身.因為短時間內不大可能有兩發(fā)炮彈落到同一個地點！”他說得對嗎？一位老戰(zhàn)士向新伙伴介紹經驗；當敵人向我們的陣93這種想法的產生，是因為他們沒有認識到獨立事件的“獨立”性.一發(fā)炮彈落在什么地方，和另一發(fā)炮彈之間沒有關系，它們是相互獨立的.類似地，昨天從香港飛往紐約的飛機是否失事，與今天從北京飛往上海的飛機是否安全．它們是相互獨立的事件.頭胎生女生男與二胎生男生女，前幾次擲硬幣的結果與下一次出正面還是反面，都是彼此獨立的.這種想法的產生，是因為他們沒有認識到獨立事件94第一章隨機事件與概率自然界中有兩類現象：一類稱為確定性現象，如：向上拋一石子必然下落，同性電荷互斥另一類稱為不確定性現象，如：在相同條件下拋一枚硬幣，其結果可能正面朝上也可能反面朝上；在一次射擊之前，無法預測彈著點的確切位置．第一章隨機事件與概率自然界中有兩類現象：95

這類不確定現象，人們經過長期實踐并深入研究之后發(fā)現這類現象在大量重復試驗或觀察下，它的結果卻呈現出某種規(guī)律性．這種在大量重復試驗或觀察中所呈現出的固有規(guī)律性，就是我們以后所說的統(tǒng)計規(guī)律性．這類在個別試驗中其結果呈現出不確定性，在大量重復試驗中其結果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現象，我們稱之為隨機現象．

96概率論所研究的是隨機現象的數量規(guī)律．概率論的中心課題就是要給“可能性”以確切的描述，并給出科學的估計方法，它是一門從數量的角度研究隨機現象內部隱藏的必然規(guī)律的學科．數理統(tǒng)計是一門有趣的學科，它為科研工作者提供所必需的科學方法，利用這些方法去收集數據，并用來確定所需的數據量．通過樣本進行推斷，并且度量它們的不確定性，從而做出有意義的決定．概率論所研究的是隨機現象的數量規(guī)律．概率論的中心課題就97第一節(jié)隨機事件

在這里，我們把試驗作為一個含義廣泛的術語，它包括各種各樣的科學實驗，甚至對某一事物的某一特征的觀察也認為是一種試驗．如：Ｅ１：拋一枚硬幣，觀察正面Ｈ，反面Ｔ出現的情況Ｅ２：將一枚銀幣拋擲三次，觀察正面Ｈ，反面Ｔ出現的情況Ｅ３：將一枚銀幣拋擲三次，觀察出現正面的次數1、隨機試驗第一節(jié)隨機事件

在這里，我們把試驗作為一個含義廣泛98

Ｅ４：拋一顆骰子，觀察出現的點數Ｅ５：記錄某城市１２０急救電話一晝夜接到的呼喚次數Ｅ６：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命Ｅ７：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度

99隨機試驗的特點：１．可以在相同的條件下重復地進行２．每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果３．進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現隨機試驗的特點：1002．樣本空間定義：我們將隨機試驗Ｅ 的所有可能結果組成的集合稱為Ｅ的樣本空間，記為Ｓ．樣本空間的元素，即Ｅ的每個結果稱為樣本點．2．樣本空間101第一節(jié)中試驗Ｅk（k=1,2,…7）的樣本空間Sk:S1:{H,T}S2:{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}S3:{0,1,2,3}S4:{1,2,3,4,5,6}S5:{0,1,2,3,…}S6:{t︱t≥0}S7:{(x,y)∣T0≤X≤Y≤T1},這里x表示最低溫度，y表示最高溫度．并設這一地區(qū)溫度不會小于T0，也不會大于T1.第一節(jié)中試驗Ｅk（k=1,2,…7）1023．隨機事件定義：一般，我們稱試驗Ｅ的樣本空間Ｓ的子集為Ｅ的隨機事件，簡稱事件．在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時，稱這一事件發(fā)生．特別，由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件．樣本空間Ｓ包含所有的樣本點，它是Ｓ自身的子集，在每次試驗中它總是發(fā)生的，稱為必然事件．空集不包含任何樣本點，它也作為樣本空間的子集，它在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可能事件．3．隨機事件1034．事件間的關系與事件的運算設試驗E的樣本空間S,而是S的子集.１．若則稱事件B包含事件Ａ，這指的是事件Ａ發(fā)生必導致事件Ｂ發(fā)生．若且，即。則稱事件A與事件B相等。2.事件稱為事件A與事件B的和事件。當且僅當中A，B至少有一個發(fā)生時，事件發(fā)生。

4．事件間的關系與事件的運算104類似地，稱為n個事件的和事件；稱為可列個事件的和事件。

3.事件稱為事件A與事件B的積事件.當且僅當A,B同時發(fā)生時,事件發(fā)生.也記作AB類似地，稱為n個事件的積事件；稱為可列個事件的積事件4.事件稱為事件A與事件B的差事件.當且僅當A發(fā)生,B不發(fā)生時,事件發(fā)生類似地，稱為n個事件的和事件；稱為可列個事件的和事件。3.1055.若則稱事件A與B是互不相容的,或互斥的.這指的是事件A與事件B不能同時發(fā)生.基本事件是兩兩互不相容的.6.若則稱事件A與B是互為逆事件.又稱事件A與事件B互為對立事件.記5.若則稱事件A與B是互不相容的,或互斥的.6.若則稱事件A106注:對立事件與互斥事件的區(qū)別:1.兩事件對立必定互斥,但互斥不一定對立2.互斥的概念適用于多個事件,但對立的概念只適用于兩個事件3.兩事件互斥只表明兩事件不能同時發(fā)生,即至多只能發(fā)生一個但可以都不發(fā)生;兩事件對立則表示有且僅有一個發(fā)生.chap1概率論的基本概念107事件的運算定律:設A,B,C為事件,則有交換律:結合律:分配律:德.摩根律:此外還有，吸收律、重余律、冪等律、差化積:事件的運算定律:設A,B,C為事件,則有交換律:此外還有，吸108例1：一個盒子有十個完全相同的球，分別標以號碼1，2，…,10.從中任取一球.令i={取得球號為i},則S={1,2,…,10}.若A={球的標號為偶數},B={球的標號<4},C={球的標號為3},則求例2:以A表示事件”甲產品暢銷,乙產品滯銷”,則其對立事件表示什么?例1：一個盒子有十個完全相同的球，分別標以號碼1，2，…,1109例3:設A,B,C表示三個事件,試用A,B,C表示如下事件.(1)A發(fā)生且B,C至少有一個發(fā)生(2)A與B發(fā)生而C不發(fā)生(3)A,B,C中至少有兩個發(fā)生(4)A,B,C中至多有兩個發(fā)生(5)A,B,C中不多于一個發(fā)生(6)A,B,C中恰有一個發(fā)生例3:設A,B,C表示三個事件,試用A,B,C表示如下事件.110第二節(jié)事件的概率與性質頻率:描述了事件發(fā)生的頻繁程度概率:表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數第二節(jié)事件的概率與性質頻率:描述了事件發(fā)生的頻繁程度1111.頻率的定義在相同的條件下,進行了n次試驗,在這n次試驗中,事件A發(fā)生的次數稱為事件A發(fā)生的頻數.比值稱為事件A發(fā)生的頻率,并記成頻率具有下列性質：3.若是兩兩互不相容事件，則1.2.1.頻率的定義頻率具有下列性質：3.若1.2.1122.概率的定義設E是隨機試驗,S是它的樣本空間.對于E的每一個事件A賦予一個實數,記為P(A),稱為事件A的概率.滿足下列條件:1.非負性:對于每個事件A,有2.規(guī)范性:對于必然事件S,有2.概率的定義設E是隨機試驗,S是它的樣本空間.對于E的每一1133.可列可加性:設是兩兩互不相容的事件,即對于則有概率的性質:性質1性質2(有限可加性)若是兩兩互不相容的事件,則有3.可列可加性:設是兩兩互不相容的事件,114性質3:設A,B是兩個事件,若,則有性質4:對于任一事件A,性質5:(逆事件的概率)對于任一事件A,有性質6:(加法公式)對于任意兩事件A,B有性質3:設A,B是兩個事件,若,則有性質4:對于115設為任意三個事件,則有對于任意n個事件設為任意三個事件,則有對于任意n個事件116例1:一批產品中,一、二、三等品率分別為0.8，0.16，0.04。若規(guī)定一、二等品為合格品，求產品的合格率。例2：有兩個電站，電站A正常工作的概率為0.93，電站B正常工作的概率為0.92，兩個電站同時工作的概率為0.898，求至少有一個電站工作以及只有一個電站工作的概率。例1:一批產品中,一、二、三等品率分別為0.8，0.16，1171.2.3概率的古典定義（古典概型）定義1若隨機試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；

(2)每個樣本點出現的可能性相同.稱這種試驗為等可能概型或古典概型

下面給出古典概型中每個基本事件的概率1.2.3概率的古典定義（古典概型）定義1若隨機試驗滿118設試驗的樣本空間為由于試驗中每個樣本點發(fā)生的可能性相同，即有又由于基本事件是兩兩互不相容的。于是設試驗的樣本空間為由于試驗中每個樣本點發(fā)生的可能性相同，即有119若事件A包含k個基本事件，即古典概型中隨機事件的概率是什么？是中某k個不同的數S包含的基本事件的總數A包含的基本事件數則若事件A包含k個基本事件，即古典概型中隨機事件的概率是什么？120計算古典概率的關鍵是“計數”---計算樣本點的總數和A所含的樣本點數，而這往往歸結為排列組合問題。所以，下面我們介紹一下計數的基本方法：1.基本原理乘法原理:設完成一件事有n個步驟，第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，…，第n步有mn種方法，并且完成這件事必須經過每一步驟，那么完成這件事共有種方法。計算古典概率的關鍵是“計數”---計算樣本點的總數和A所含的121加法原理:設完成一件事有n類方法，只要選擇任何一類方法中的一種方法，這件事就能完成。若第一類有m1種方法，第二類有m2種方法，…，第n類有mn種方法，并且這m1+m2+…+mn種方法中任何兩種方法都不相同，那么完成這件事共有m1+m2+…+mn種方法。2.排列與組合選排列與全排列:從n個(可以分辨)的元素中任取r個元素(每個元素至多只能取一次)排成一排.則共有中排法.當時，稱為選排列；當時稱為全排列.加法原理:設完成一件事有n類方法，只要選擇任何一類方法中的一122可重復的排列：從n個(可以分辨)的元素中任取r個元素(每個元素允許被取任意多次)排成一排.則共有中排法.組合：從n個(可以分辨)的元素中任取r個元素構成一組，共有種取法。例：用1，2，3，4四個數字能作成多少個無重復數字的二位數？三位數？能作成多少個（數字允許重復）的二位數？三位數？可重復的排列：從n個(可以分辨)的元素中任取r個元素(每個元123古典概率的計算舉例例1.一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取球兩次,每次隨機地取一只.考慮兩種取球方式:(i)第一次取一只球,觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球,這種取球方式叫做放回抽樣.(ii)第一次取一只球不放回袋中,第二次從剩余的球中再取一球,這種取球方式叫做不放回抽樣.試分別就上面兩種情況,求(1)取到的兩只球都是白色的概率;(2)取到的兩只球顏色相同的概率;(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.古典概率的計算舉例例1.一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只124例2:有n個不同的粒子,每個粒子都以同樣的概率1/N落入N()個格子的每一格子中.試求下述事件的概率.(1)A={指定n個格子中各有一粒}(2)B={恰有n個格子中各有一粒}例3:設有N件產品,其中有D件次品.今從中任取n件,問其中恰有k()件次品的概率是多少?例4:箱中有a根紅簽,b根白簽,除顏色不同外,這些簽其他方面無區(qū)別.現有a+b個人依次不放回地去抽簽,求第k個人抽到紅簽的概率.記Ak={第k個人抽到紅簽}例2:有n個不同的粒子,每個粒子都以同樣的概率1/N落入N125例5:在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的整數既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?例6：從0，1，2，…，9等十個數字中任選三個不同的數字，試求下列事件的概率。A1={三個數字中不含0和5}A2={三個數字中含0但不含5}A3={三個數字中不含0或5}例5:在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的整數既不126例7：將三個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數分別為1，2，3的概率。例8：10把鑰匙中有3把能打開門，今任取兩把，求能打開門的概率。例7：將三個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數分1271.2.4概率的幾何意義（幾何概型）定義：向某一可度量的區(qū)域G內投一點，如果所投的點落在G中任意區(qū)域g內的可能性大小與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關，則稱這一隨機試驗為幾何概型試驗，簡稱幾何概型。在幾何概型試驗中，事件A的概率：上述度量是指線段長度，可求積平面區(qū)域的面積，可求積空間區(qū)域的體積等。1.2.4概率的幾何意義（幾何概型）定義：向某一可度量的區(qū)128例：兩艘船都要停泊在同一個碼頭，這個碼頭不能同時停泊兩艘船，他們可能在一個晝夜的任何時刻到達。設兩艘船停靠的時間分別是1小時和2小時，求有一艘船要靠位必須等待一段時間的概率。例：兩艘船都要停泊在同一個碼頭，這個碼頭不能同時停泊兩艘船，1291.條件概率

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.第五節(jié)條件概率如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的概率，記作P(B|A).

一般P(B|A)≠P(B)

1.條件概率在解決許多概率問題時130又如袋中有16個球已知抽到的是紅球，問它是木質球的概率？木質球玻璃球紅色23藍色47記A={紅球}，B={木質球}，則P(A)=5/16,P(AB)=2/16P(B|A)=2/5=(2/16)/(5/16)=P(AB)/P(A)又如袋中有16個球木質球玻璃球紅色23藍色47記A={紅球}131計算P(B|A)時，這個前提條件未變，只是加上“事件A已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內來考慮問題.本例中，計算P(B)時，依據的前提條件是16個球中抽一個木質球.計算P(B|A)時，這個前提條件未變，只是加上“事件A已發(fā)生132

若事件A已發(fā)生,則為使B也發(fā)生,試驗結果必須是既在A中又在B中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經知道A已發(fā)生,故A變成了新的樣本空間,于是有(1).設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱

(1)條件概率的定義為在事件A發(fā)生的條件下,事件B的條件概率.若事件A已發(fā)生,則為使B也發(fā)生,133條件概率P(B|A)與P(B)的區(qū)別

每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，設B是隨機試驗的一個事件，則P(B)是在該試驗條件下事件B發(fā)生的可能性大小.P(B)與P(B|A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數值上一般也不同.

而條件概率P(B|A)是在原條件下又添加“A發(fā)生”這個條件時B發(fā)生的可能性大小，即P(B|A)仍是概率.條件概率P(B|A)與P(B)的區(qū)別每一個隨134條件概率的性質(自行驗證)設A是一事件，且P(A)>0,則1.對任一事件B，0≤P(B|A)≤1;2.P(S|A)=1；3.設B1,…,B…互不相容，則而且，前面對概率所證明的一些重要性質都適用于條件概率.n條件概率的性質(自行驗證)設A是一事件，且P(A)>0,則1135

2)從加入條件后改變了的情況去算

條件概率的計算1)用定義計算:P(A)>0

擲骰子例：B={擲出2點}，

A={擲出偶數點}P(B|A）=A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數在縮減樣本空間中B所含樣本點個數2)從加入條件后改變了的情況去算條件概率的計算1)136例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不小于10”的概率是多少?解法1:

解法2:

解:設A={第一顆擲出6點}B={擲出點數之和不小于10}應用定義在A發(fā)生后的縮減樣本空間中計算例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不137例2：一盒子裝有4只產品，其中有3只一等品，1只二等品。從中取產品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。設事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”。試求條件概率P（B|A）例2：一盒子裝有4只產品，其中有3只一等品，1只二等品。從中138由條件概率的定義：即若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(2)而P(AB)=P(BA)2、乘法公式若已知P(A),P(B|A)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調，有故若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(3)若P(B)>0,則P(BA)=P(B)P(A|B)

(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率由條件概率的定義：即若P(A)>0,則P(AB)139當P(A1A2…An-1)>0時，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)推廣到多個事件的乘法公式:當P(A1A2…An-1)>0時，有推廣到多個事件的乘法公式140例3：設袋中裝有r只紅球，t只白球。每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球。若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、第二次取到紅球且第三、第四次取到白球的概率。例4：設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10。試求透鏡落下三次而未打破的概率。例3：設袋中裝有r只紅球，t只白球。每次自袋中任取一只球，觀141例5：某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率？若已知最后一個數字是奇數，那么此概率是多少？例5：某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求142

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率,它們實質上是加法公式和乘法公式的綜合運用.綜合運用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>03、全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜143

例1有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記Bi={球取自i號箱},

i=1,2,3;

A={取得紅球}即

，

且B1A、B2A、B3A兩兩互斥A發(fā)生總是伴隨著B1，B2，B3之一同時發(fā)生，P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)運用加法公式得123例1有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個144將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.對求和中的每一項運用乘法公式得

代入數據計算得：P(A)=8/15P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的145定義：設S為試驗E的樣本空間，為E的一組事件。若則稱為樣本空間S的一個劃分。為樣本空間的一個劃分，那么對每次試驗，事件中必有一個且僅有一個發(fā)生。定義：設S為試驗E的樣本空間，為E的一組事件。若則146全概率公式定理：設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，為S的一個劃分，且則全概率公式定理：設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，為S的147在較復雜情況下直接計算P(A)不易,但A總是伴隨著某個Bi出現，適當地去構造這一組Bi往往可以簡化計算.全概率公式的來由,不難由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了許多部分之和.它的理論和實用意義在于:在較復雜情況下直接計算P(A)不易,但A總是伴隨著某個Bi出148某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果A是由原因Bi所引起，則A發(fā)生的概率是每一原因都可能導致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即