(完整)蘇教版九年級(jí)一元二次方程復(fù)習(xí)專(zhuān)題

路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索 修遠(yuǎn)教育路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索 修遠(yuǎn)教育6一元二次方程、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容(一)、一元二次方程的概念.理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為2,整式方程，可化為一般形式；.正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)(1)讓學(xué)生明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù) a0時(shí)，整式方程ax2bxc0才是一元二次方程。(2)各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)).(3)熟練整理方程的過(guò)程.一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解.列出實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法.明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；.根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；.體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；.值得注意的幾個(gè)問(wèn)題：2 2(1)開(kāi)平方法：對(duì)于形如xn或(axb)n(a0)的一元二次方程，即一元二次方程的

一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解 ^形如x2n的方程的解法：當(dāng)n0時(shí)，x汨;當(dāng)n0時(shí)，x1x2 0；當(dāng)n0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。(2)配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為 (xm)2n的方程，再運(yùn)用開(kāi)平方法求解。配方法的一般步驟：①移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為 1;③配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為 (xm)2n的形式;④求解：若n0時(shí)，方程的解為xm<n,若n0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。(3)公式法：一元二次方程2(3)公式法：一元二次方程2axbxc0(a0)的根xbb24ac

2a當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；.2 b當(dāng)b4ac0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫(xiě)為 xix2 ——2a當(dāng)b24ac0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式； ②確定a,b,c的值；③代入b24ac中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；④若b24ac0代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。(因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。 另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用， 其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于 0,那么這兩個(gè)因式至少有一

個(gè)為0,即：若ab0,則a 0或b 0;②因式分解法的一般步驟：將方程化為一元二次方程的一般形式；把方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊等于0；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程①對(duì)于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便的多，只不過(guò)應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類(lèi)型；（2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。（三）、根的判別式．了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。=b24ac①當(dāng)2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0①當(dāng)2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程方程有實(shí)數(shù)根；0方程有實(shí)數(shù)根；0時(shí)00時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；000時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；00時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；）a0②當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根；0時(shí)從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。．常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況①先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號(hào)；④總結(jié)出結(jié)論 .例：求證：方程 （a21）x22ax（a24）0無(wú)實(shí)數(shù)根。（4）分類(lèi)討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對(duì)方程進(jìn)行分類(lèi)討論，如果二次系數(shù)為 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根。一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題（四）、一元二次方程的應(yīng)用.數(shù)字問(wèn)題：解答這類(lèi)問(wèn)題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。.幾何問(wèn)題：這類(lèi)問(wèn)題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來(lái)尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對(duì)結(jié)果要結(jié)合幾何知識(shí)檢驗(yàn)。.增長(zhǎng)率問(wèn)題（下降率）：在此類(lèi)問(wèn)題中，一般有變化前的基數(shù)（a）,增長(zhǎng)率（X）,變化的次數(shù)（n）,變化后的基數(shù)（b）,這四者之間的關(guān)系可以用公式a（lx）nb表示。.其它實(shí)際問(wèn)題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，則舍去） 。（五）新題型與代幾綜合題例1.有100米長(zhǎng)的籬笆材料，想圍成一矩形倉(cāng)庫(kù)，要求面積不小于600平方米，在場(chǎng)地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個(gè)籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)40米、寬10米的倉(cāng)庫(kù)，但面積只有400平方米，不合要求，問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)與寬才能符合要求呢？例2.讀詩(shī)詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時(shí)的年齡） ：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三,個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？例3.已知：a,b,c分別是ABC的三邊長(zhǎng)，當(dāng)m0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程c（x2m）b（x2m）2v,'max0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證： ABC是直角三角形。例4.已知：a,b,c分別是ABC的三邊長(zhǎng)，求證：方程b2x2（b2c2a2）xc20沒(méi)有實(shí)數(shù)根。例5.當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx24x40與2 2x4mx4m4m2 2x4mx4m4m0的根都是整數(shù)?m1例6.已知關(guān)于x的方程x2x二 0,其中m為實(shí)數(shù)，(1)當(dāng)m為何值時(shí),x2x2m方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。例7.已知關(guān)于x的一元二次方程x2—(2k+1)x+k2+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在k使得x〔x2—x12—x22>0成立？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例8.(2013?威海)要在一塊長(zhǎng)52m,寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路，下面分別是小亮和小穎的設(shè)計(jì)方案.Fi2AD小亮設(shè)計(jì)的方案如圖①所示，甬路寬度均為小穎設(shè)計(jì)的方案如圖②所示，BC=HE=x,Fi2AD小亮設(shè)計(jì)的方案如圖①所示，甬路寬度均為小穎設(shè)