人教版A版高中數(shù)學(xué)選修4 5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件

人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍．2．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些不等式．1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍．人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件1．用數(shù)學(xué)歸納法證明含正整數(shù)n的不等式(其中n取無限多個(gè)值)(n≥1，n∈N﹡)；練習(xí)：填空已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2.求證：(1＋x)n＞1＋nx.證明：(1)當(dāng)n＝________時(shí)，左邊＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右邊＝1＋2x，因x2＞0，則原不等式成立．(在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊)(2)假設(shè)n＝k時(shí)(k___________)，不等式成立，即_______________．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，因?yàn)閤＞－1，所以1＋x＞0，于是2≥2k∈N﹡(1＋x)k＞1＋kx1．用數(shù)學(xué)歸納法證明含正整數(shù)n的不等式(其中n取無限多個(gè)值)左邊＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2；右邊＝1＋(k＋1)x.因?yàn)開_______，所以左邊＞右邊，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x.這就是說，原不等式當(dāng)n＝k＋1時(shí)也成立．根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是：假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這也是學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法的重中之重．當(dāng)然第一步是證明的基礎(chǔ)也是不能少的．kx2＞0左邊＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件﹡）.﹡）.人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件﹡).證明：①n＝1時(shí)，12＋1≤1＋1，不等式成立；

②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，不等式成立，

即k2＋k＜k＋1，∴k2＋k＜(k＋1)2.

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

(k＋1)2＋(k＋1)＝(k2＋k)＋2k＋2，

∴上式＜(k＋1)2＋(2k＋3)＝k2＋4k＋4

＝(k＋2)2＝k＋2＝(k＋1)＋1，

∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．

綜合①②可知，對(duì)任意正整數(shù)原不等式成立．

﹡).證明：①n＝1時(shí)，12＋1≤1＋1，不等式成立；②假跟蹤訓(xùn)練分析：在遞歸步驟中需用到2k＞k2這一步，但這只有當(dāng)k≥5時(shí)，才能成立，故不能只證n＝1，命題成立后，便用歸納推理．證明：(1)驗(yàn)證知n＝1,2,3,4,5時(shí)，命題都成立．(2)設(shè)n＝k(k≥5)時(shí)命題成立，即2k＋2＞2k＞k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＋2＞2k＋1＝2·2k＞2·k2＞(k＋1)2，(*)﹡).跟蹤訓(xùn)練分析：在遞歸步驟中需用到2k＞k2這一步，但這只有當(dāng)故命題成立，因而對(duì)一切n∈N*命題成立．其中(*)：當(dāng)k≥5時(shí)2k＞k2，證明如下：(ⅰ)當(dāng)k＝5時(shí)，25＞52顯然成立；(ⅱ)設(shè)k＝i(i＞5)時(shí)，2i＞i2成立，則當(dāng)k＝i＋1時(shí)，2i＋1－(i＋1)2＝2·2i－i2－2i－1＝2(2i－i2)＋(i2－2i＋1)－2＝2(2i－i2)＋(i－1)2－2，∵2i＞i2，i＞5，∴(i－1)2－2＞0，故2i＋1＞(i＋1)2，∴對(duì)一切k≥5有2k＞k2.故命題成立，因而對(duì)一切n∈N*命題成立．人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件*,*)時(shí)*,*)時(shí)*,*,跟蹤訓(xùn)練已知a≥2，不等式logax＋loga[(a＋1)ak－1－x]≥2k－1的解集為A，其中a∈N*，k∈N.(1)求A.(2)設(shè)f(k)表示A中自然數(shù)個(gè)數(shù)，求和Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)．(3)當(dāng)a＝2時(shí)，比較Sn與n2＋n的大小，并證明你的結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練已知a≥2，不等式logax＋loga[(a＋1)a人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件*),*),人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件一層練習(xí)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的過程中，第二步假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到(

)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2kD一層練習(xí)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2CCCC4．當(dāng)n＝1,2,3,4,5,6時(shí)，比較2n與n2的大小并猜想(

)A．n≥1時(shí)，2n＞n2

B．n≥3時(shí)，2n＞n2C．n≥4時(shí)，2n＞n2D．n≥5時(shí)，2n＞n2D4．當(dāng)n＝1,2,3,4,5,6時(shí)，比較2n與n2的大小并猜二層練習(xí)5二層練習(xí)57.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c對(duì)于一切n∈N*都成立，則a=______,b=_____,c=______.答案：7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=*).*)時(shí)*).*)時(shí)*成立*成立三層練習(xí)三層練習(xí)人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想an＝n＋1.(2)①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3≥1＋2，不等式成立．假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，不等式成立，即ak≥k＋2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝a－kak＋1＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3.即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立．∴an≥n＋2對(duì)于n∈N*都成立．解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件分析：本題除了考查有關(guān)數(shù)列的知識(shí)之外，在比較大小時(shí)還可進(jìn)行歸納、猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．分析：本題除了考查有關(guān)數(shù)列的知識(shí)之外，在比較大小時(shí)還可進(jìn)行歸人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件1．本節(jié)的主要內(nèi)容是認(rèn)知如何用數(shù)學(xué)歸納法證明，含正整數(shù)n的不等式(其中n取無限多個(gè)值)．觀察—猜想—證明是數(shù)學(xué)歸納法中經(jīng)常用到的綜合性數(shù)學(xué)方法，觀察是解決問題的前提條件，需要進(jìn)行合理的試驗(yàn)和歸納，提出合理的猜想，從而達(dá)到解決問題的目的，猜想歸納能培養(yǎng)探索問題的能力，因此需重視本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)．2．前面已學(xué)過證明不等式的一系列方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法等，而本節(jié)增加了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，且主要解決的是n是無限的問題，因而難度更大一些．但仔細(xì)研究數(shù)學(xué)歸納法關(guān)鍵是由n＝k到n＝k＋1的過渡，也是學(xué)好用數(shù)學(xué)歸納法證不等式的重中之重問題．1．本節(jié)的主要內(nèi)容是認(rèn)知如何用數(shù)學(xué)歸納法證明，含正整數(shù)n的不(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是“變項(xiàng)”，即在假設(shè)的基礎(chǔ)上通過放縮、比較、分析、綜合等證明不等式的方法，得出要證明的目標(biāo)不等式，因此以上幾種方法均要靈活的運(yùn)用．有個(gè)別較復(fù)雜的問題，第二個(gè)步驟再利用數(shù)學(xué)歸納法．(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，有時(shí)要假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)成立，再證當(dāng)n＝k＋1時(shí)成立，實(shí)質(zhì)上，這就是第二數(shù)學(xué)歸納法．(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是“變項(xiàng)”，即在假設(shè)的基礎(chǔ)上通過人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍．2．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些不等式．1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍．人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件1．用數(shù)學(xué)歸納法證明含正整數(shù)n的不等式(其中n取無限多個(gè)值)(n≥1，n∈N﹡)；練習(xí)：填空已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2.求證：(1＋x)n＞1＋nx.證明：(1)當(dāng)n＝________時(shí)，左邊＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右邊＝1＋2x，因x2＞0，則原不等式成立．(在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊)(2)假設(shè)n＝k時(shí)(k___________)，不等式成立，即_______________．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，因?yàn)閤＞－1，所以1＋x＞0，于是2≥2k∈N﹡(1＋x)k＞1＋kx1．用數(shù)學(xué)歸納法證明含正整數(shù)n的不等式(其中n取無限多個(gè)值)左邊＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2；右邊＝1＋(k＋1)x.因?yàn)開_______，所以左邊＞右邊，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x.這就是說，原不等式當(dāng)n＝k＋1時(shí)也成立．根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是：假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這也是學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法的重中之重．當(dāng)然第一步是證明的基礎(chǔ)也是不能少的．kx2＞0左邊＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件﹡）.﹡）.人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件﹡).證明：①n＝1時(shí)，12＋1≤1＋1，不等式成立；

②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，不等式成立，

即k2＋k＜k＋1，∴k2＋k＜(k＋1)2.

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

(k＋1)2＋(k＋1)＝(k2＋k)＋2k＋2，

∴上式＜(k＋1)2＋(2k＋3)＝k2＋4k＋4

＝(k＋2)2＝k＋2＝(k＋1)＋1，

∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．

綜合①②可知，對(duì)任意正整數(shù)原不等式成立．

﹡).證明：①n＝1時(shí)，12＋1≤1＋1，不等式成立；②假跟蹤訓(xùn)練分析：在遞歸步驟中需用到2k＞k2這一步，但這只有當(dāng)k≥5時(shí)，才能成立，故不能只證n＝1，命題成立后，便用歸納推理．證明：(1)驗(yàn)證知n＝1,2,3,4,5時(shí)，命題都成立．(2)設(shè)n＝k(k≥5)時(shí)命題成立，即2k＋2＞2k＞k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＋2＞2k＋1＝2·2k＞2·k2＞(k＋1)2，(*)﹡).跟蹤訓(xùn)練分析：在遞歸步驟中需用到2k＞k2這一步，但這只有當(dāng)故命題成立，因而對(duì)一切n∈N*命題成立．其中(*)：當(dāng)k≥5時(shí)2k＞k2，證明如下：(ⅰ)當(dāng)k＝5時(shí)，25＞52顯然成立；(ⅱ)設(shè)k＝i(i＞5)時(shí)，2i＞i2成立，則當(dāng)k＝i＋1時(shí)，2i＋1－(i＋1)2＝2·2i－i2－2i－1＝2(2i－i2)＋(i2－2i＋1)－2＝2(2i－i2)＋(i－1)2－2，∵2i＞i2，i＞5，∴(i－1)2－2＞0，故2i＋1＞(i＋1)2，∴對(duì)一切k≥5有2k＞k2.故命題成立，因而對(duì)一切n∈N*命題成立．人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件*,*)時(shí)*,*)時(shí)*,*,跟蹤訓(xùn)練已知a≥2，不等式logax＋loga[(a＋1)ak－1－x]≥2k－1的解集為A，其中a∈N*，k∈N.(1)求A.(2)設(shè)f(k)表示A中自然數(shù)個(gè)數(shù)，求和Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)．(3)當(dāng)a＝2時(shí)，比較Sn與n2＋n的大小，并證明你的結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練已知a≥2，不等式logax＋loga[(a＋1)a人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件*),*),人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件一層練習(xí)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的過程中，第二步假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到(

)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2kD一層練習(xí)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2CCCC4．當(dāng)n＝1,2,3,4,5,6時(shí)，比較2n與n2的大小并猜想(

)A．n≥1時(shí)，2n＞n2

B．n≥3時(shí)，2n＞n2C．n≥4時(shí)，2n＞n2D．n≥5時(shí)，2n＞n2D4．當(dāng)n＝1,2,3,4,5,6時(shí)，比較2n與n2的大小并猜二層練習(xí)5二層練習(xí)57.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c對(duì)于一切n∈N*都成立，則a=______,b=_____,c=______.答案：7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=*).*)時(shí)*).*)時(shí)*成立*成立三層練習(xí)三層練習(xí)人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件人教版A版高中數(shù)學(xué)選修45用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想an＝n＋1.(2)①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3≥1＋2，不等式成立．假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，不等式成立，即ak≥k＋2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝a－kak＋1＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3.即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立．∴an≥n＋2對(duì)于