西安交大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告3300字

西安交大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告3300字

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告——蒙特卡洛算法計(jì)算積分實(shí)驗(yàn)時(shí)間：姓名：司默涵學(xué)號(hào)：2110505018班級(jí)：計(jì)算機(jī)11一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）能通過(guò)MATLAB或其他數(shù)學(xué)軟件了解隨機(jī)變量的概率密度、分布函數(shù)及其期望、方差、協(xié)方差等；（2）熟練使用MATLAB對(duì)樣本進(jìn)行基本統(tǒng)計(jì)，從而獲取數(shù)據(jù)的基本信息；（3）能用MATLAB熟練進(jìn)行樣本的一元回歸分析。二、實(shí)驗(yàn)要求（1）針對(duì)要估計(jì)的積分選擇適當(dāng)?shù)母怕史植荚O(shè)計(jì)蒙特卡洛方法；（2）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生所選分布的隨機(jī)數(shù)以估計(jì)積分值；（3）進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，通過(guò)計(jì)算樣本均值以評(píng)價(jià)估計(jì)的無(wú)偏性；通過(guò)計(jì)算均方誤差（針對(duì)第1類題）或樣本方差（針對(duì)第2類題）以評(píng)價(jià)估計(jì)結(jié)果的精度。三、實(shí)驗(yàn)原理1.蒙特卡洛法的思想簡(jiǎn)述當(dāng)我們所求解問(wèn)題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，通過(guò)某種“實(shí)驗(yàn)”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問(wèn)題的解。有一個(gè)例子我們可以比較直觀地了解蒙特卡洛方法：假設(shè)我們要計(jì)算一個(gè)不規(guī)則圖形的面積，那么圖形的不規(guī)則程度和分析性計(jì)算（比如，積分）的復(fù)雜程度是成正比的。蒙特卡洛方法是如下計(jì)算的：假想有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個(gè)圖形上撒，然后數(shù)這個(gè)圖形之中有多少顆豆子，這個(gè)豆子的數(shù)目就是圖形的面積。當(dāng)豆子越小，撒的越多的時(shí)候，結(jié)果就越精確。在這里我們要假定豆子都在一個(gè)平面上，相互之間沒(méi)有重疊。2.蒙特卡洛法與積分通常蒙特卡洛方法通過(guò)構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)上的各種問(wèn)題。對(duì)于那些由于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒(méi)有解析解的問(wèn)題，蒙特卡洛方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特卡洛方法在數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的應(yīng)用就是蒙特卡洛積分。非權(quán)重蒙特卡洛積分，也稱確定性抽樣，是對(duì)被積函數(shù)變量區(qū)間進(jìn)行隨機(jī)均勻抽樣，然后對(duì)被抽樣點(diǎn)的函數(shù)值求平均，從而可以得到函數(shù)積分的近似值。此種方法的正確性是基于概率論的中心極限定理。3.本實(shí)驗(yàn)原理簡(jiǎn)述在本實(shí)驗(yàn)中，我們主要是計(jì)算積分值與誤差比較。在計(jì)算積分時(shí)，我們要選擇合適的變量分布，其中有均勻分布，有正態(tài)分布，要視情況而選擇。在利用蒙特卡洛方法計(jì)算積分時(shí)，我們要分情況。①對(duì)于積分為這種形式，我們可以轉(zhuǎn)化為這種形式，然后利用其等于（b-a）E(x)的計(jì)算結(jié)果。E(x)可利用求隨機(jī)變量的均值來(lái)得到。②對(duì)于積分為這種形式的，我們依然可以利用上面的算法計(jì)算，將其化為y)可利用求隨機(jī)變量的均值來(lái)得到。?對(duì)于有無(wú)窮的區(qū)間，我們應(yīng)選擇正態(tài)分布。即可得。E(x，三．實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和實(shí)驗(yàn)結(jié)果（附圖）1.計(jì)算下面的積分，并與真值比較?2??①?xsinxdx②0?e?xdx2③.0x?y?12??ex2?y2dxdy22.計(jì)算下面的積分，并與平均值比較計(jì)算方差1④.?e0x2dx⑤.x2?y2???1dxdy計(jì)算過(guò)程及程序如下?2①分析：首先產(chǎn)生若干組按在[0，π/2]上的均勻分布的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，然后計(jì)算樣本對(duì)應(yīng)的y=xsinx的值，求出y的均值，最后用樣本的均值估計(jì)隨機(jī)變量的期望。即得到一個(gè)積分值的估計(jì)，求出若干組估計(jì)值根據(jù)其計(jì)算出估計(jì)值的均值，得到最后的估計(jì)。用此估計(jì)和正確值比較。n=10000;m=10;S=0;I=0;r=unifrnd(0,pi/2,m,n)forj=1:ms=0;fori=1:ns=s+r(j,i)*sin(r(j,i));end?xsin0xdxS(j)=pi/2*s/nendD=0;d=0;forj=1:mD=D+(S(j)-1)^2;endd=D/(m-1)結(jié)果S=1.0091.00230.98980.98590.99480.98280.99631.00490.99430.9924d=8.5885e-005??②分析：題目中因?yàn)榉e分區(qū)間無(wú)限故不能使用均勻分布，此時(shí)可以利用matlab產(chǎn)生正態(tài)分布模擬。此次產(chǎn)生1000組每組100個(gè)的樣本，觀察此次的誤差及方差。x=randn(100,1000);%產(chǎn)生滿足正態(tài)分布的100組每組1000個(gè)樣本的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本x_aver=sum(x,2)/1000;e=exp(-x_aver.^2);ans=sqrt(pi/2)*e;plot(ans)ans_aver=sum(ans,1)/100corans=sqrt(pi/2)wucha=abs(ans_aver-corans)fangcha=(ans-corans).^2;?e?x2dx0fangcha=sum(fangcha,1)/99結(jié)果ans_aver=1.2520corans=1.2533wucha=0.0013fangcha=0.0020③.x2?y2?1??ex2?y2dxdym=10000;sum=0;n=50;D=0;X=unifrnd(-1,1,n,m);Y=unifrnd(-1,1,n,m);fori=1:na=0;forj=1:mif(X(i,j)^2+Y(i,j)^2<=1)Z(i,j)=exp(X(i,j)^2+Y(i,j)^2);a=a+Z(i,j);endendS(i)=a/m;sum=sum+S(i);endI=sum/n*4fori=1:nD=D+(S(i)*4-pi*(exp(1)-1))^2;endd=D/n結(jié)果I=5.4089；d=0.00111④e?.0x2dxx=rand(100,1000);y=exp(x.^2);y_aver=sum(y,2)/1000;ans=sum(y_aver,1)/100fangcha=(y_aver-ans).^2;fangcha=sum(fangcha,1)/99plot(y_aver)結(jié)果ans=1.4627；fangcha=0.0171⑤．x2?y2???1dxdyn=1000;m=100;sum=0;S=0;I=0;x=unifrnd(-2,2,m,n);y=unifrnd(-2,2,m,n);forj=1:ms=0;fori=1:nifx(j,i)^2+y(j,i)^2<=4s=s+16/sqrt(1+x(j,i)^4+y(j,i)^2);endendS(j)=s/n;sum=sum+S(j);endI=sum/m；D=0;d=0;forj=1:mD=D+(I-S(j))^2;endd=D/(m-1)結(jié)果I=7.4531；d=0.0188四．實(shí)驗(yàn)心得（1）由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，用蒙特卡羅估計(jì)算法進(jìn)行積分是可行并且有效的，可以用它來(lái)計(jì)算原函數(shù)難以求得的被積函數(shù)的積分及廣義積分的值。與其他用來(lái)計(jì)算積分的方法如simpson、newton等相比它具有簡(jiǎn)單易懂且容易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。b（2）從理論上講，給一個(gè)積分?g(x)*f(x)dx，我們可以用很多種分布去模擬計(jì)a算，只需要選取的分布擁有概率密度g(x)即可。如在本次實(shí)驗(yàn)中，計(jì)算??xe?dx時(shí)，可用正態(tài)分布模擬，此時(shí)g(x)?02x?1?2e，f(x)?2?*e2，21x22也可用均勻分布進(jìn)行模擬，此時(shí)g(x)?1，f(x)?e?x21?x?2e。兩種模擬x計(jì)算的結(jié)果差不多，前者為0.888373，后者為0.86197，與真值2?0.88623很接近。（3）對(duì)第一和第二兩個(gè)積分的模擬結(jié)果求方差，可以看出兩者都在10?6數(shù)量級(jí)，這說(shuō)明用蒙特卡羅模擬估算法的