大學物理：第五章機械振動

本章教學內容第五章機械振動vibrationmechanicalchapter55.2

簡諧運動的能量5.3

簡諧運動的合成5.1

簡諧運動及描述5.4

阻尼振動和受迫振動簡介二掌握描述簡諧運動的旋轉矢量法和圖線表示法，并會用于簡諧運動規(guī)律的討論和分析.一掌握描述簡諧運動的各個物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關系.本章教學基本要求三掌握簡諧運動的基本特征，能建立一維簡諧運動的微分方程，能根據給定的初始條件寫出一維簡諧運動的運動方程，并理解其物理意義.四理解同方向、同頻率簡諧運動的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡諧運動合成的特點.五了解阻尼振動、受迫振動和共振的發(fā)生條件及規(guī)律.§5機械振動機械振動電磁振動

……◆振動的形式◆振動的分類受迫振動自由振動阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動(簡諧振動)無阻尼自由振動無阻尼自由諧振動物體或物體的某一部分在一定位置附近來回往復的運動

實例:

心臟的跳動，鐘擺，樂器，地震等◆

機械振動:平衡位置§5.1簡諧振動及描述（simpleharmonicvibration)最簡單、最基本的振動簡諧運動復雜振動合成分解◆簡諧振動:一、簡諧運動◆諧振子:作簡諧運動的物體彈簧振子的振動平衡位置振動的成因：回復力+慣性3彈簧振子的運動分析簡諧運動的特征：加速度與位移的大小x成正比，方向相反積分常數，根據初始條件確定。解得簡諧運動方程簡諧運動的微分方程作簡諧運動物體所受合外力----線性回復力或準彈性力簡諧運動的動力學特征1.振幅圖二、描述簡諧運動的物理量2.周期、頻率

周期頻率圓頻率周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質有關。頻率為例如，心臟的跳動80次/分周期為動物、昆蟲的心跳頻率(參考值,單位:Hz)

大象0.4~0.5

馬0.7~0.8

豬1~1.3

兔1.7松鼠6.3

鯨0.13

雌性蚊子355~415

雄性蚊子455~600

蒼蠅330

黃蜂220振動方程的標準形式※振動方程的標準形式x=Acos(ωt+φ)=Acos(2πt/T+φ)=Acos(2πft+φ)相位的意義:

表征任意時刻（t）物體振動狀態(tài).物體經一周期的振動，相位改變.相位初相位三、相位avxtoTT/4T/4由圖可見：※諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系諧振動的位移、速度、加速度之間的相位關系例

試證明，若選取受力平衡點作為位置坐標原點，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動力學方程和振動方程相同。fxk()+rlrlmgXOf0平衡點mgxfmm在平衡點m小球f0mgkrl受彈性力解：選受力平衡點為坐標原點，小球在位置坐標處受彈性力xFmgxk()+rl+合力xcosA()wtj+kxkrl+krlkx即：xmddtx22k均與水平彈簧振子結果相同！解法提要2.小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動mgO諧振動◆分析判斷下列運動是否為簡諧振動？1.乒乓球在地面上的上下跳動討論切向:例2.如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數為k的輕彈簧、一半徑為R、轉動慣量為J的定滑輪和一質量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.例題mm在平衡位置時，設彈簧伸長量為l，則當m有位移x時取位移軸ox，滑輪解：滑輪，m受力如圖xm>>>>>>>>物體作簡諧振動mm在平衡位置時，設彈簧伸長量為l，則當m有位移x時取位移軸ox，滑輪解：滑輪，m受力如圖

自Ox軸的原點O作一矢量，使它的模等于振動的振幅A，并使矢量在Oxy平面內繞點O作逆時針方向的勻角速轉動，其角速度與振動頻率相等，這個矢量就叫做旋轉矢量.四、旋轉矢量

以

為原點旋轉矢量的端點在軸上的投影點的運動為簡諧運動.諧振動振幅A角頻率ω角速度ω位相ωt+φ角坐標ωt+φ初位相φ初角坐標φ旋轉矢量A的圓運動矢量A的模Ax=Acos(t+)已知初始條件t=0,x=x0，v=v0求初相位由速度確定v1<0v2>0v0<0,=1v0>0,=2vm1vm2oxx0·12如圖，在x=x0處可有兩個狀態(tài)分析◆討論1用旋轉矢量法確定初相

相位差：表示兩個相位之差

對同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間．討論2如圖示，例如已知彈簧振子x0

=0t=0時v0=0.4

m·s-1m=5×10-3kgk=2×10-4

N·m

-1完成下述簡諧振動方程cos()x+twmk0.2

(rad·s–1)A+x02v02w22(m)v00x0

=0,已知OXwM(0(相應的旋轉矢量圖為cos()x+t20.2(SI)解法提要v00jp2p2令*（C點為質心）CO轉動正向------角諧振動五、物理擺（單擺）單擺簡諧運動的方程和特征

（2）簡諧運動的動力學方程（1）物體受線性回復力作用平衡位置（3）簡諧運動的運動學方程（4）加速度與位移成正比而方向相反小結11.解析法2.曲線法已知表達式A、ω、；簡諧振動的描述方法oA-AtxT

=/2復擺彈簧振子單擺小結2已知A、ω

、表達式已知曲線A、ω

、曲線已知A、ω

、（1）動能(以彈簧振子為例)O

x

X§5.2簡諧運動的能量（2）勢能（3）機械能線性回復力是保守力，作簡諧運動的系統(tǒng)機械能守恒.簡諧運動能量圖4T2T43T能量簡諧運動勢能曲線簡諧運動能量守恒，振幅不變.能量守恒簡諧運動方程導出思考？簡諧振動的動力學解法小結a.由分析受力出發(fā)(由牛頓定律列方程)b.由分析能量出發(fā)(將能量守恒式對t求導)一.兩個同方向同頻率簡諧運動的合成設一質點同時參與兩獨立的同方向、同頻率的簡諧振動：兩振動的位相差=常數§5.3簡諧運動的合成

兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為同頻率的簡諧運動§6.2簡諧運動的合成解析法/旋轉矢量法：（3）一般情況加強減弱（1）相位差（2）相位差說明：

*二.多個同方向同頻率簡諧運動的合成

多個同方向同頻率簡諧運動合成仍為簡諧運動

討論(2)(1)三.兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍.討論

,的情況◆

拍的現(xiàn)象

（測振動頻率,樂器調音,制造拍振蕩器）合振動頻率，隨t劇變振幅部分,隨t緩變

方法一振幅振動頻率ttAx2π2cos)2π2cos2(12121nnnn+-=討論

,的情況合振動頻率，隨t劇變振幅部分,隨t緩變ttAx2π2cos)2π2cos2(12121nnnn+-=◆拍拍頻（振幅變化的頻率）◆

方法二：旋轉矢量合成法振幅振動圓頻率拍頻17.6一質點同時參與兩個在同一直線上的諧振動,

其表達式為

x1=0.04cos(2t+π/6)(SI)；

x2=0.03cos(2t–π/6)(SI).試寫出合振動表達式.解:討論題x=

x1+

x2=Acos(2t+φ0)合振動其中A=[A12+A22+2A1A2cos(φ20–φ10)]1/2tanφ0=A1sinφ10+A2sinφ20A1cosφ10+A2cosφ20A=0.061m；代入數值tanφ0=0.08248因t=0時,x0=x10+x20故φ0=0.0823radφ0=4.715°=0.0823rad或φ0=184.715°=3.224rad=0.04cos(π/6)+0.03cos(–π/6)=0.0606m>0（解析法）◆用旋矢法確定初相φ0Axox=0.061cos(2t+0.0823)(SI)合振動:

x1=0.04cos(2t+π/6)(SI)；

x2=0.03cos(2t–π/6)(SI).φ0=4.715°=0.0823rad或φ0=184.715°=3.224radA1π/6A2-π/6

一

阻尼振動現(xiàn)象：振幅隨時間減小原因：阻尼動力學分析：阻力系數阻尼力*§5.4阻尼振動受迫振動共振方程的解：固有角頻率阻尼系數(a)欠阻尼δ<ω0x=A0e–δtcos(ωt+φ0)其中ω=(ω02–δ2)1/2------減輻振動(非諧振動)臨界阻尼

(c)臨界阻尼x=(c1+c2t)A0e–δt(b)過阻尼δ>ω0(a)欠阻尼δ<ω0x=A0e–δtcos(ωt+φ0)(應用于天平調衡)受迫振動振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)受迫振動共振受迫振動共振

系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動稱為受迫振動。幅值角頻率pH周期性外力（強迫力）costHp彈性力fxkmmvvX平衡點平衡點OO阻力阻力frfrvgvg示意建立動力學方程ddtx22xxddtxkmgcosHtp+ddtx22即+kmgmddtx+xxmHcostp表成ddtx22+b2ddtx+w02xxhcostp此微分方程的解為A0exxbcos()wt+jtd+cosA(+tp)續(xù)上A0exxbcos()wt+tdj+cosA(+tp)21阻尼振動等幅振動受迫振動進入穩(wěn)定振動狀態(tài)后，其振動角頻率為強迫力的角頻率，其振幅為pAh()4bpw02p22+22受迫振動與強迫力有一定的相位差，用初相表示jarctanjbp2w02p2A和j都與阻尼系數b固有角頻率

的大小有關。w0強迫力角頻率

相對于系統(tǒng)的p12tXOXOt+受迫振動開始振動比較復雜經過一段時間后，受