人教中考數(shù)學(xué)平行四邊形-經(jīng)典壓軸題及答案

一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）（1）如圖1，當(dāng)b=2a,點M運動到邊AD的中點時，請證明ZBMC=90°：（2）如圖2,當(dāng)b>2a時，點M在運動的過程中，是否存在ZBMC=90%若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由；（3）如圖3,當(dāng)b<2a時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）存在，理由見解析；（3）不成立.理由如下見解析.【解析】試題分析：（1）由b=2a,點M是AD的中點，可得AB=AM=MD=DC=a,又由四邊形ABCD是矩形，即町求得ZAMB=ZDMC=45°,則可求得ZBMC=90°；（2）由ZBMC=90°,易證得△ABM-ADMC,設(shè)AM=x,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得方程：x2-bx+a2=O,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可確定方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；（3）由（2）,當(dāng)b<2a,a>0,b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情況，即可求得答案.試題解析：（l）Tb=2a，點M是AD的中點，/.AB=AM=MD=DC=a,又I在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,ZAMB=ZDMC=45°,/.ZBMC=90°.（2）存在，理由:若ZBMC=90°,則ZAMB+ZDMC=90°,又???ZAMB+ZABM=90°,/.ZABM=ZDMC,又?/ZA=ZD=90°,△ABM~△DMC,AMAB■…CD=DM*5rn.Xa設(shè)AM=x,則一=,ab-x

整理得：X2-bx+a2=O,???b>2a,a>0,b>0,???△=b2-4a2>0,???方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均人于零，符合題意，???當(dāng)b>2a時，存在ZBMC=90°,(3)不成立.理由:若ZBMC=90°,由(2)可知x2-bx+a2=0,???b<2a,a>0,b>0,.?.△=b2-4a2<0t???方程沒有實數(shù)根，.?.當(dāng)b<2a時，不存在ZBMC=90°,即(2)中的結(jié)論不成立.考點：1、相似三角形的判定與性質(zhì)：2、根的判別式；3、矩形的性質(zhì)2.問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，點P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，請過點P畫一條直線/,使其同時平分平行四邊形ABCD的面積和周長.問題探究：如圖②，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊Q4、OC分別在x軸、V軸正半軸上，點B坐標(biāo)為(8,6).已知點P(6,7)為矩形外一點，請過點P畫一條同時平分矩形OA3C面積和周長的直線/，說明理由并求出直線/，說明理由并求出直線/被矩形ABCD截得線段的長度.問題解決：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABCD的邊Q4、OD分別在x軸、歹軸正半軸上，DC/lx軸，4尸〃y軸，且Q4=OD=3,AB=CD=2，點P(10-5^2,10-5>/2)為五邊形內(nèi)一點.請問：是否存在過點P的直線/,分別與邊04與BC交于點E、F，且同時平分五邊形Q4BCD的面積和周長?若存在，請求出點E和點F的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.圖①圖0圖①圖0【答案】(1)作圖見解析;(2)y=2x-593?(3)F(0,0),F(5,5).【解析】試題分析：（1）連接AC、BD交于點0,作直線P0,直線P0將平行四邊形ABCD的面積和周長分別相等的兩部分.（2）連接AC,BD交于點O',過O'、P點的直線將矩形ABCD的面積和周長分為分別相等的兩部分.（3）存在，直線y=x平分五邊形如CQ面積、周長.試題解析：（1）作圖如下：(2)???P(6,7),0(4,3),.??設(shè)POr\y=kx+6.6k+b6k+b=74k+b=3:.y=2x-59丫5、交x軸于N-.0,\上/f11A交于M—.6,/MN十+(#—汀=3的.(3)存在，直線y=x平分五邊形如CD面積、周長.???P(10-5Q10-5>/1)在直線y=x上，???連OP交OA、BC于點E、F,設(shè)BC:y=kx+bfB(8,2)C(2,8),8k+b=2k=-l^2k+=8*=10.??直線BC:y=-x+109聯(lián)立｛＞=_A+1°y=x3.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到到B喲位置，AB%CD交于點E.求證：△AED雯△CEBZ若AB二&DE=3,點P為線段AC上任意一點，PG丄AE于G,PH丄BC于H.求PG+【答案】(1)證明見解析：(2)纟【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)知，CB』BC=AD,^=^=^D=90°fWECuDEA,則由AAS^,到j(luò)△AED=△CEB[由公AED^LCEB\可得EB』DE=3,又由4B=8,即可求得4E的長，然后在/△/IDE中，利用勾股定理即可求得力D的長，再過點P作PK丄M于K,由角平分線的性質(zhì)，可得PK=PJ易證得四邊形ADHK是矩形，繼而可求得答案.【詳解】V四邊形SBC。為矩形，???CB'=BC=ADLB=乙B‘=ZD=90°99又???WEC=M)EA,△AED=△CEB'.???△AED=ACEB',???EBl=DE=3???AB1=AB=8???AE=AB1-EBf=8^3=5^：Rt△/IDE中，AD=QAE：-DE：=4過點P作PK丄加于K,???LBlAC=LBACPG丄/IE???PK=PG9???PH丄CD,AB//CD???PH丄AB9AH、P、K共線,???乙D=乙KHD=^HKA=90°9???四邊形4D〃K是矩形，???HK=AD=49???PG+PH=PK+PH=HK=4■【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識?此題難度較人，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A,B的坐標(biāo)分別為（4,0）,（4,3）,動點M,N分別從0,B同時出發(fā).以每秒1個單位的速度運動.其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動.過點M作MP丄OA,交AC于P,連接NP,已知動點運動了x秒.（1）P點的坐標(biāo)為多少（用含x的代數(shù)式表示）；（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面枳S的最大值及相應(yīng)的x值：【答案】（1）P點坐標(biāo)為（x,3?扌x）.3（2）S的最人值為斤，此時x=2.416128（3）x=-,或x二一,或x二——3957【解析】試題分析：（1）求P點的坐標(biāo)，也就是求0M和PM的長，已知了0M的長為X,關(guān)鍵是求出PM的長，方法不唯一，①可通過PMII0C得出的對應(yīng)成比例線段來求；②也可延長MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長和ZACB的正切值求出PQ的長，然后根據(jù)PM=AB-PQ來求出PM的長.得出0M和PM的長，即可求出P點的坐標(biāo).（2）可按（1）②中的方法經(jīng)求出PQ的長，而CN的長可根據(jù)CN=BC-BN來求得，因此根據(jù)三角形的面積計算公式即可得出S,x的函數(shù)關(guān)系式.（3）本題要分類討論：當(dāng)CP=CN時，可在直角三角形CPQ中，用CQ的長即x和ZABC的余弦值求出CP的表達(dá)式，然后聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值；當(dāng)CP=PN時，那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的長，然后根據(jù)QN=CN-CQ求出QN的表達(dá)式，根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出x的值.當(dāng)CN=PN時，先求出QP和QN的長，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的長，聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值.試題解析：（1）過點P作PQ丄BC于點Q,有題意可得：PQHAB,△CQP~△CBA,OPAB…QC~1Cx4解得：QP=-x.4?r???PM=3?-x,斗由題意可知，C(0,3),M(x,0),N(4-x,3),P點坐標(biāo)為(x,3-—x).4設(shè)△NPC的面積為S,在ANPC中，NC=4-x,NC邊上的高為斗X,其中,0<x<4.4TOC\o"1-5"\h\z,,???S=—(4-x)x—x=—(-x2+4x)4S3=-—(x-2)2+—?82???S的最大值為此時x=2.7延長MP交CB于Q,則有PQ丄BC.①若NP二CP,???PQ丄BC,???NQ=CQ=x?/.3x=4,4x=—?3若CP=CN,則CN=4-x,PQ=x,CP=|x,4-x=|x,16二x=—；9若CN二NP,則CN=4-x?rJVPQ=-x,NQ=4?2x,???在RtAPNQ中，PN2=NQ2+PQ2,?r/.(4-x)2=(4?2x)2+(—x)2,斗12S.??x=.57考點：二次函數(shù)綜合題.5.如圖①，在等腰RbABC中，ZBAC=90,點E在AC上（且不與點A、C重合），在/XABC的外部作等腰Rt^CED.使ZCED=90，連接AD，分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.（1）請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系；（2）①將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在線段BC上時，如圖②，連接處，請判斷線段AF,&F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若AB=2^，CE=2,在圖②的基礎(chǔ)上將繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)平行四邊形&BFD為菱形時，直接寫出線段&E的長度.

DC圖①c（2）①AF=a/IaE②4>/I或DC圖①c（2）①AF=a/IaE②4>/I或2血?(1)證明見解析:【解析】【分析】如圖①中，結(jié)論：AF二屁E，只要證明aAEF是等腰直角三角形即可;(2)①如圖②中，結(jié)論：AF=V2AE^連接EF,DF交BC于K,先證明aEKF^△EDA再證明aAEF是等腰直角三角形即可；②分兩種情形a、如圖③中，當(dāng)AD=AC時，四邊形ABFD是菱形.b、如圖④中當(dāng)AD=AC時，四邊形ABFD是菱形?分別求解即可.【詳解】(1)如圖①中，結(jié)論：AF=>/2AE.圖①理由：???四邊形ABFD是平行四邊形,/.AB=DF，?.?AB=AC,/.AC=DF，?.?DE=EC,AE=EF????6EC=/AEF=90，.?.△AEF是等腰直角三角形，AF=-x/2AE.故答案為AF=JIaE?（2）①如圖②中，結(jié)論：AF=V2AE-圖②理由：連接EF,DF交BC于K.?.?四邊形ABFD是平行四邊形，.?.AB//DF，/.NDKE=&ABC=45。，/.ZEKF=180-^DKE=135°,EK=ED,NADE=180-NEDC=180-45’=135°,.?.^EKF=/ADE,?.?4KC=/C,.-.DK=DC,?.?DF二AB=AC,.?.KF=AD,在aEKF和△EDA中，EK=ED<ZEKF=ZADE,KF=AD..△EKF里△EDA，.?.EF=EA,^KEF=/AED，^FEA="ED=90，.?.△AEF是等腰直角三角形，.*.AF=V2AE.②如圖③中，當(dāng)AD=AC時，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H,易知EH=DH=CH=>/I，AH二⑸-（廚=3近‘AE=AH+EH=4忑，

AAE=AH-EH=3a/2-V2=2>/2，ffi?綜上所述，滿足條件的AE的長為4?或2jl?【點睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點，屬于中考常考題型.6.己知AD是ZkABC的中線P是線段AD上的一點（不與點A、D重合），連接PB、PC,（1）如圖1，當(dāng)AB=AC時，求證：四邊形EGHF是矩形;如圖2,當(dāng)點P與點M重合時，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與ABPE面積相等的三角形(不包拾△BPE本身).【答案】(1)見解析；(2)AAPE.AAPF.ACPF.△PGH.【解析】【分析】由三角形中位線定理得出EGIIAP,EFIIBC,EF=-BC,GHIIBC,GH=-BC,推出22EFIIGH,EF=GH,證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF丄AP,推出EF丄EG,即可得出結(jié)論；由4APE與ABPE的底AE=BE,又等高，得出Saape=Sabpe,由△APE與△APF的底EP=FP,又等高，得出Saape=Saapf,由AAPF與ACPF的底AF=CF,又等高，得出SaAPF=S^CPF,證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出SoPGH=—AEF=S°APF?即可得出結(jié)果.2【詳解】⑴證明:TE、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點,1???EGIIAP,EFIIBC,EF=—BC,GHIIBC,GH=-BC,2/.EFIIGH,EF=GH,???四邊形EGHF是平行四邊形，???AB=AC,???AD±BC,???EF丄AP,???EGIIAP,???EF丄EG,???平行四邊形EGHF是矩形；(2)卩已是厶APB的中線,???△APE與ABPE的底AE=BE,又等高，二APE=BPEt???AP是△AEF的中線，.??△APEAPF的底"EP=FP,又等高,二APE=SaAPF，APF=BPEt???PF是厶APC的中線,.??△APFCPF的底AF=?CF,又等高，二APF=SaCPF，CPF=S°BPE，?/EFIIGHIIBC,E.F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，?△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC

底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的咼等AEF底邊EF上咼的一半，???GH=EF,.1二PGH=—AEF=S°APF,2綜上所述，與△BPE面積相等的三角形為：AAPE.AAPF>△CPF、△PGH.【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角形面積的計算等知識，熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵.7.如圖①，四邊形ABCD是知形，AB=l,BC=2t點E是線段BC上一動點（不與5C重合），點F是線段腦延長線上一動點，連接DEEEDREF交AD于點G.設(shè)BE=x,AF=y,已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.團(tuán)①團(tuán)②（1）求圖②中）'與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求證:DE丄DF；（3）是否存在x的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出x的值;如果不存在，說明理由【答案】（1）y=-2x+4（0<xV2）；（2）見解析；（3）存在，x=?或二ZE或3.422【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）證明△CDE-△ADF,得ZADF=ACDE,可得結(jié)論；（3）分三種情況：若DE=DG,則ZDGE=ZDEG,若DE=EG,如圖①，作EHWCD,交AD于H,若DG=EG,則ZGDE=Z.GED.分別列方程計算可得結(jié)論.【詳解】⑴設(shè)y=kx+b,由圖象得：當(dāng)X=1時，y=2,當(dāng)x=0時，y=4,

代入得:k+b=2b=4???y=-2x+4(0<x<2):k+b=2b=4?/BE=x9BC=2???CE=2-x.CE2-x1CD1■'■AF_4-2x_2，AD_2*CECD■???四邊形ABCD是矩形，???ZC=ZDAF=90\???△CDE-△ADF,???ZADF=ZCDE,???ZADF+ZEDG=ZCDE+ZEDG=90。，???DE丄DF；假設(shè)存在x的值，使得△DEG是等腰三角形,①若DE=DG,則ZDGE=ZDEG,???四邊形ABCD是矩形，???ADIIBC.Z8=90%ZDGE=乙GEB,ZDEG=乙BEG在△。子和厶BEF中,ZFDE=ZB<ZDEF=ZBEF,EF=EF???△DEF里△BEF(AAS),/.DE=BE=x,CE=2-x,.?.在RtACDE中，由勾股定理得：1+(2-x)2=x2,5x=—:4②若DE=EG,如圖①，作EHHCD,交AD于H,TADIIBC.EHIICD,???四邊形CDHE是平行四邊形,???ZC=90°,???四邊形CDHE是矩形，???EH=CD=1,DH=CE=2-X,EH丄DG,???HG=DH=2/.AG=2x-2,???EHIICD,DCIIAB.???EHIIAF9???△EHG?△FAG.EHHGAFAG2-x4-2x2x—212?2③若DG=EG,則ZGDE=ZGED.TADIIBC,???ZGDE=ZDEC,???ZGED=ZDEC,???ZC=ZEDF=90。,???△CDE?△DFE,CEDECDDFDECDDFAD2CD2綜上，x=4或或寸.422【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似和全等的性質(zhì)和判定，矩形和平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理和逆定理等知識，運用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.&如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.試猜想AE與GC有怎樣的關(guān)系(直接寫出結(jié)論即可)；將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在BC邊上,如圖2,連接AE和

圖1圖2【答案】⑴AE=CG,AE丄GC：（2）成立，證明見解析：（3）^2?【解析】【分析】（1）觀察圖形，AE、CG的位置關(guān)系可能是垂直，下面著手證明.由于四邊形ABCD、DEFG都是正方形，易證得AADE雯ACDG,則Z1=Z2,由于Z2、Z3互余，所以Z1、Z3互余，由此可得AE丄GC.（2）題（1）的結(jié)論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證△ADE妥△CDG,得Z5=Z4,由于Z4、Z7互余，而Z5、Z6互余，那么Z6=Z7；由圖知ZAEB=ZCEH=90°-Z6,即Z7+ZCEH=90。，由此得證.（3）如圖3中，作CM丄DG于G,GN丄CD于N,CH丄FG于H,則四邊形CMGH是矩形，可得CM=GH,CH=GM.想辦法求出CH,HF,再利用勾股定理即可解決問題.【詳解】⑴AE=CG,AE±GC：證明：延長GC交AE于點H,在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC,ZADE=ZCDG=90°,DE=DG,???△ADE纟△CDG(SAS),???AE,CG,Z1=Z2???Z2+Z3=90。，???Z1+Z3=90%.??zAHG=180°?(Z1+Z3)=180°?90°=90\???AE±GC?(2)答：成立：證明：延長AE和GC相交于點H,

在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG,ZADC=ZDCB=ZB=ZBAD=ZEDG=90%???Z1=Z2=90°-Z3；???△ADE聖△CDG(SAS),/.AE=CG,Z5=Z4；又???Z5+Z6=90%Z4+Z7=180°-ZDCE=180°?90°=90°,Z6=Z7,又JZ6+ZAEB=90°,ZAEB=ZCEH,???ZCEH+Z7=90。，???ZEHC=90°,???AE±GC?(3)如圖3中，作CM丄DG于G,GN丄CD于N,CH丄FG于H,則四邊形CMGH是矩形，可得CM=GH,CH=GM????BE=CE=1,AB=CD=2,???AE=DE=CG=DG=FG=75，???DE=DG,ZDCE=ZGND,ZEDC=ZDGN,???△DCE雯△GND(AAS),???GCD=2,1dcg=—?CD?NG=—eDGeCM>2cm=gh=^E5???mg=ch=7cgi???mg=ch=7cgi55.??FH=FG-FG=????^=y/FH2+CH2故答案為JI?【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.9.（1）如圖1,將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線3D上，折痕為BE,點C落在點U處，若ZADB=42J則的度數(shù)為?（2）小明手中有一張矩形紙片ABCD,=AD=9?（畫一畫）如圖2,點￡?在這張矩形紙片的邊4D上，將紙片折疊，使落在CE■所在直線上，折痕設(shè)為MN（點M，N分別在邊AD,BC上）,利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；S2（算一算）如圖3,點尸在這張矩形紙片的邊BC上,將紙片折疊，使FB落在射線"7匕折痕為GF,點分別落在點川，3'處，若AG=-,求BQ的長.【答案】（1）21；（2）畫一畫；見解析；算一算：B'D=3【解析】【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可解決問題；（2）【畫一畫】，如圖2中，延長BA交CE的延長線由G,作ZBGC的角平分線交AD于M,交BC于N,直線MN即為所求；720【算一算】首先求出GD=9--=—,由矩形的性質(zhì)得出ADIIBC,BC=AD=9,由平行線的3333性質(zhì)得出ZDGF=ZBFG,由翻折不變性可知，ZBFG=ZDFG,證出ZDFG=ZDGF,由等腰三20角形的判定定理證出DF=DG=—,再由勾股定理求出CF,可得BF,再利用翻折不變性，3可知FB'=FB,由此即可解決問題.【詳解】(1)如圖(1)如圖1所示:???四邊形ABCD是矩形,/.ADIIBC,???ZADB=ZDBC=42°,由翻折的性質(zhì)可知，ZDBE=ZEBC=)zDBC=21°,2故答案為21.(2)【畫一畫】如圖所示:【算一算】如3所示:TAG二一，AD=9,3TAG二一，AD=9,37GD=9--=20T???四邊形ABCD是矩形,/.ADIIBC,BC=AD二9,ZDGF=ZBFG,由翻折不變性可知,ZBFG=ZDFG,ZDFG=ZDGF,20???df=dg=——，3?.?CD=AB=4,ZC=90%.??在RtACDF中，由勾股定理得：CF=y