級數(shù)運(yùn)算中的幾個小技巧_第1頁
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級數(shù)運(yùn)算中的幾個小技巧_第4頁
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級數(shù)運(yùn)算中的幾個小技巧Pb07210229詹金春級數(shù)含有無窮多項(xiàng)，它的運(yùn)算要講究方法，否則運(yùn)算量將會令我們望而卻步。下面我舉幾個例子講述一些小技巧。例1將函數(shù)f(x)=exsinx展開成x的冪級數(shù)。解：方法一因?yàn)閑x=n=0∞xnSinx=n=0∞（-1）應(yīng)用冪級數(shù)的乘法運(yùn)算得exsinx=n=0∞sinnπ=n=0∞（方法二由歐拉公式eix=cosx+isinx，有sinx=（eix-e-ix）/2i所以exsinx=ex（eix-e-ix）/2i=（e(i+1)x-e（1-i）x）/2i=1/2in=0∞1＝n=0∞（比較兩種方法，注意到sinx=（eix-e-ix）/2i就可以明顯減少計(jì)算量。例２設(shè)ｆ（ｘ）＝arctan１＋ｘ２解由函數(shù)冪級數(shù)展開的唯一性，我們可以利用函數(shù)的冪級數(shù)展開求導(dǎo)數(shù)在指定的各階導(dǎo)數(shù)值。f’(x)=2x/(1+x4)=2xn=0=n=0兩邊從0到x積分得0=n=0=n=0所以f(x)=f(0)+=π4+因此f(4n+2)(0)=(4n+2)!(-1)n/(2n+1),n=0,1,2,??其他的f(n)(0)=0本題若直接求，明顯會比上述方法難算。例3設(shè)f(x)=x4/(1+x3),求f(10)(0).解：因?yàn)?/(1+x)=n=0∞所以1/(1+x3)=n=0∞(-1)所以x4/(1+x3)=f(3n+4)(0)=-1nn=2時，f(10)(0)=10！總結(jié)上面三題用到的小技巧如下：注意到sinx=（eix-e-ix）/2i，可將sinx用ex形式展開。由函數(shù)冪級數(shù)展開的唯一性，且級數(shù)為多項(xiàng)式時，各階導(dǎo)數(shù)容易求，我們可以利用函數(shù)的冪級數(shù)展開求導(dǎo)數(shù)在指定的各階導(dǎo)數(shù)值。將x4單獨(dú)提出來，不參與級數(shù)展

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